2022-2023学年湖北省重点高中智学联盟高一上学期10月联考（月考）数学试题含解析

2022-2023学年湖北省重点高中智学联盟高一上学期10月联考数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由集合B的描述求集合，应用集合的交集运算求.

【详解】解：由得，解得，所以，

又，所以，

故选：D

2．命题的否定为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用全称命题的否定解答即可.

【详解】因为命题，

所以命题的否定形式为.

故选：C.

3．使 “”成立的必要不充分条件是（    ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】A

【分析】解不等式，求得，根据必要不充分条件的定义即可得出结果.

【详解】不等式可化为解得

则成立，反之不可以.

所以是成立的必要不充分条件.

故选：A

4．已知，则的最小值为（    ）

A．4 B．

C． D．

【答案】C

【分析】将原式构造成两正数和的形式，然后利用基本不等式求解即可.

【详解】因为，且，

当且仅当即时取等号.

故选：C.

5．已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】结合文氏图、补集和交集的知识确定正确答案.

【详解】文氏图中阴影部分表示的集合为.

故选：D

6．下列不等式中正确的是（    ）

A． B．的最小值为2 C． D．

【答案】D

【分析】利用特殊值判断AC，再由换元法及对勾函数的单调性判断B，根据均值不等式判断D.

【详解】当时，不成立，故A错误；

，令，则在上单调递增，故，故B错误；

当时，不成立，故C错误；

因为，当且仅当时等号成立，故D正确.

故选：D

7．定义集合运算：．若集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】求解集合，令或3，或3，计算的值，求解，即可计算结果.

【详解】∵，∴，令 或3，或3，则或或，则，因为，故．

故选：D.

8．已知为三个非负实数，且满足，若，则u的最大值与最小值之和为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题知，，进而结合题意得，，再求得的最大小值后再求和即可得答案.

【详解】解：因为，

所以，，

所以，，

因为为三个非负实数，

所以，且，即，

所以，即，

所以，u的最大值为，最小值为，

所以，u的最大值与最小值之和为.

故选：A

二、多选题

9．下列命题中正确的有（    ）

A．“”是“”的充分不必要条件

B．是的必要不充分条件

C．是的必要不充分条件

D．已知，则是的充要条件

【答案】ACD

【分析】对A，由或即可判断；

对B，由即可判断；

对C，由即可判断；

对D，由，，即，即可判断

【详解】对A，或，故“”是“或” 的充分不必要条件，A对；

对B，，故是的充要条件，B错；

对C，，故是的必要不充分条件，C对；

对D，，由，即，故是的充要条件，D对.

故选：ACD

10．有学生若干人，住若干宿舍，如果每间住4人，那么还余19人，如果每间住6人，那么只有一间不满但不空，则满足条件的学生人数可以为（    ）

A．55 B．59 C．63 D．67

【答案】BCD

【分析】设有宿舍m间，根据题意列不等式可得m，然后可得学生人数.

【详解】设有宿舍m间，由题意可知，，解得，

即，代入的学生人数为59，63，67.

故选：BCD

11．已知，关于一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则的值可以是（    ）

A．6 B．7 C．8 D．9

【答案】ABC

【分析】利用对应二次函数的性质，结合题设不等式解集仅有3个整数可得求a的范围，即知其可能值.

【详解】由开口向上且对称轴为，

∴要使题设不等式解集有且仅有3个整数，则，解得，

∴的可能值A、B、C.符合.

故选：ABC.

12．若x，y满足，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．

【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；

由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；

因为变形可得，设，所以，因此

，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．

故选：BC．

三、填空题

13．已知集合，若，则实数的值为__________.

【答案】或

【解析】因为，则或或，分别求，，时集合，根据集合元素的互异性，即可求解.

【详解】因为，则或或，

当时，，，符合题意；

当时，，，不满足集合中元素的互异性，舍去；

当时，或（舍）

当时，，符合题意；

综上所述：或，

故答案为：或

14．若正数满足，则的最小值____________．

【答案】

【分析】由题知，再根据基本不等式“1”的用法求解即可.

【详解】解：因为正数满足，

所以，，

所以，，

当且仅当，即时等号成立，

所以，的最小值为.

故答案为：

15．已知命题都成立，命题，若命题p，q都是真命题，则实数a的取值范围为______．

【答案】

【分析】是真命题，分与讨论，根据一元二次不等式恒成立可得a的范围；是真命题，根据可求a的范围，再取交集即可.

【详解】因为是真命题，所以.

当时，不恒成立，故舍去；

当时，可得，解得.

因为是真命题，所以，

所以，即，解得或.

故若命题p，q都是真命题，实数a的取值范围为.

故答案为：.

16．已知，关于的不等式恰有四个整数解，则的取值范围是________．

【答案】

【分析】通过分类讨论表示出不等式的解集，再根据恰有四个整数解得到关于的不等式，求得的取值范围．

【详解】不等式可化为：

当时，解得，所以不等式的解集是，不符合题意；

当且时，方程有两个不等的实根

当时，，且，

所以不等式的解集是，不符合题意；

当时，，且，

所以不等式的解集是，

∵时，，即，

又∵关于的不等式恰有四个整数解，

∴，即，结合，解得．

综上，的取值范围是．

故答案为：．

四、解答题

17．已知集合，集合．

(1)求集合B；

(2)求．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）解分式不等式即可求得集合.

（2）解一元二次不等式即可求得集合，再求补集和交集即可.

【详解】(1)因为，所以，

即，即，

解得：，所以

(2)解得：

，

或，

18．已知集合．

(1)若，求m的取值集合；

(2)若，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）分别解不等式得集合A、B，然后根据已知可得；

（2）先求，然后根据集合的包含关系解不等式可得.

【详解】(1)解不等式得

解不等式得

∵，

∴，

∴，故m的取值集合为；

(2)由题意知或，，

∵，∴或，

∴或，

所以m的取值范围为

19．设函数.

（1）若不等式的解集为，求实数的值；

（2）若，且存在，使成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由不等式的解集得相应二次方程的两根，由韦达定理可求得；

（2）由得，问题可转化为存在，使得成立.，不等式可以成立，时由二次不等式有解可得的范围．

【详解】解：（1）由题意可知：方程的两根是，1

所以

解得

（2）由得

存在，成立，即使成立，

又因为，代入上式可得成立.

当时，显然存在使得上式成立；

当时，需使方程有两个不相等的实根

所以

即

解得或

综上可知的取值范围是．

【点睛】关键点点睛：本题考查一元二次不等式的解集，解题关键是掌握“三个二次”的关系．对一元二次不等式的解集，一元二次方程的根，二次函数的图象与性质的问题能灵活转化，熟练应用．解题中注意不等式的解区间的端点处的值是相应二次方程的根，是二次函数图象与轴交点横坐标．

20．已知函数．

(1)若不等式对任意恒成立，求m的取值范围；

(2)解关于x的不等式．

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）参变分离，原不等式可化为对任意恒成立，利用换元法和基本不等式求出的最大值，从而求出m的取值范围；

（2）先对不等式因式分解，分，，三种情况进行求解.

【详解】(1)因为恒成立，

所以原不等式可化为对任意恒成立，

令，则，

所以，

当时，，

当时，由基本不等式得：，

当且仅当，即时，等号成立，

故，所以，

故m的取值范围为；

(2)原不等式可化为，即，

①当时，不等式的解集为；当时，；

②当时，∵，所以不等式的解集为或；

③当时，∵，所以不等式的解集为．

综上所述：当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为或．

当时，不等式的解集为．

21．某厂家拟在2022年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）m万件与年促销费用x万元满足关系式（k为常数）．如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2022年生产该批次产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）．

(1)将2022年该产品的利润y万元表示为年促销费用x万元的函数；

(2)该厂家2022年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．

【答案】(1)y，

(2)3万元

【分析】（1）根据已知先求k，表示出销售价格，然后由题意可得函数关系；

（2）由基本不等式可得.

【详解】(1)由题意知，当时，∴，

∴，

∴每件产品的销售价格为（元），

∴，

(2)∵当时，，∴，

当且仅当，即时，y取得最大值，

故该厂家2022年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大．

22．如图，在矩形中，，点P从C点出发，沿方向运动至B点（不与点B重合），连接，过点P作交于Q，以为斜边作直角三角形，且，O为直角顶点．

(1)在点P的运动过程中，求的外心到边的距离最大值；

(2)当点P从C点运动至点O恰好落在上时，求点O的运动路径长度．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用相似三角形对应边成比例可得，进而求的外心到边的距离最大值；（2）根据角度分析得到P、O、Q、B四点共圆可的结果.

【详解】(1)直角三角形的外心是中点，外心到的距离为的一半，

∵，∴，∴与相似，

设，

则，

当且仅当即时等号成立，

此时外心到直线的距离最大值为．

(2)P点在运动过程中，，所以P、O、Q、B四点共圆，则，所以O点在射线上且满足，所以O点运动路径长度为；