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江苏省南通市通州市三余中学2022-2023学年九年级上学期第一次段考数学试卷（含答案）
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这是一份江苏省南通市通州市三余中学2022-2023学年九年级上学期第一次段考数学试卷（含答案），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省南通市通州市三余中学九年级第一学期第一次段考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。）
1．抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+2的对称轴是（ ）
A．直线x＝﹣1 B．直线x＝1 C．直线x＝﹣2 D．直线x＝2
2．将二次函数y＝x2的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得图象的表达式是（ ）
A．y＝（x﹣2）2+1 B．y＝（x+2）2+1 C．y＝（x﹣2）2﹣1 D．y＝（x+2）2﹣1
3．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝x2﹣2x+c上的三点，y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
4．抛物线y＝2（x﹣1）2+3可以看作是由抛物线y＝2x2经过以下哪种变换得到的（ ）
A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位
B．向右平移1个单位，再向上平移3个单位
C．向左平移1个单位，再向下平移3个单位
D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位
5．已知二次函数函数y＝（k﹣3）x2+2x﹣1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A．k≥2 B．k≤2 C．k≥2且k≠3 D．k≥﹣4且k≠3
6．已知函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列4个结论：①abc＞0； ②b2＞4ac； ③4a+2b+c＞0；④2a+b＝0．其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
7．抛物线y＝3（x﹣1）2﹣4的顶点坐标是（ ）
A．（1，4） B．（1，﹣4） C．（﹣1，4） D．（﹣1，﹣4）
8．下列方程有两个相等的实数根的是（ ）
A．x2+2x+3＝0 B．x2+x﹣12＝0 C．x2+8x+16＝0 D．3x2+2x+1＝0
9．规定：在平面内，将一个图形绕着某一点旋转一定的角度（小于周角）后能和自身重合，则称此图形为旋转对称图形．下列图形是旋转对称图形，且有一个旋转角为60°的是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．正十边形
10．如图，抛物线y1＝（x﹣2）2﹣1与直线y2＝x﹣1交于A、B两点，则当y2≥y1时，x的取值范围为（ ）
A．1≤x≤4 B．x≤4 C．x≥1 D．x≤1或x≥4
二、填空题（本大题共8小题，第11～13题每小题3分，第14~18题每小题3分，共29分.）
11．二次函数y＝x2﹣4x的顶点坐标是 ．
12．抛物线y＝﹣3x2+4x﹣3开口方向是 ．
13．已知二次函数的解析式为：y＝x2+2x﹣3，则当x 时，y随x增大而增大．
14．若抛物线y＝x2﹣2x+m与x轴的一个交点是（﹣2，0），则另一交点坐标是 ．
15．若x＝﹣2是关于x的方程x2﹣2ax+8＝0的一个根，则方程的另一个根为 ．
16．已知开口向上的抛物线y＝ax2﹣2ax+3，在此抛物线上有A（﹣0.5，y1），B（2，y2）和C（3，y3）三点，则y1，y2和y3的大小关系为 ．
17．已知二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝0的解为 ．
18．如图，抛物线y＝﹣x2+c经过正方形的顶点A，B，C，则c＝ ．
三、解答题（本大题共8小题，共91分）
19．已知y＝（a﹣3）﹣2是二次函数，求a．
20．抛物线y＝3x2与直线y＝kx+3的交点为（2，b），求k和b．
21．已知：抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线的顶点坐标．
22．已知二次函数y＝x2﹣（m+2）x+2m﹣1．
（1）求证：不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个公共点；
（2）若该函数的图象与y轴交于点（0，3），
①求图象与x轴的交点坐标；
②当0＜x＜5时，y的取值范围是 ．
23．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程ax2+bx+c＝0的两个根；
（2）写出不等式ax2+bx+c＞0的解集；
（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
（4）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，求k取值范围．
24．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（5，0）、C（0，﹣5）三点．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）当0＜x＜5时，y的取值范围为 ；
（3）点P为抛物线上一点，若S△PAB＝21，求出此时点P的坐标．
25．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx﹣3（m≠0）与x轴交于A，B两点，且点A的坐标为（3，0）．
（1）求点B的坐标及m的值；
（2）求出抛物线的顶点坐标，并画出此函数的示意图；
（3）结合函数图像直接写出当y＞0时x的取值范围．
26．平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m+2与x轴有两个交点．
（1）当m＝﹣2时，求抛物线与x轴交点的坐标；
（2）过点P（0，m﹣1）作直线l⊥y轴，抛物线的顶点A在直线l与x轴之间（不包含点A在直线l上），求m的范围；
（3）在（2）的条件下，设抛物线的对称轴与直线l相交于点B，求△ABO的面积最大时m的值．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。）
1．抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+2的对称轴是（ ）
A．直线x＝﹣1 B．直线x＝1 C．直线x＝﹣2 D．直线x＝2
【分析】根据抛物线的顶点式，可以直接写出抛物线的对称轴．
解：∵y＝﹣2（x﹣1）2+2，
∴该抛物线的对称轴是直线x＝1，
故选：B．
2．将二次函数y＝x2的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得图象的表达式是（ ）
A．y＝（x﹣2）2+1 B．y＝（x+2）2+1 C．y＝（x﹣2）2﹣1 D．y＝（x+2）2﹣1
【分析】先确定抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），再确定平移后顶点坐标，然后写出平移的顶点式．
解：抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），
把点（0，0）向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点（2，1），
所以平移后的抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2+1．
故选：A．
3．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝x2﹣2x+c上的三点，y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据各点到对称轴的距离的大小关系求解．
解：∵y＝x2﹣2x+c，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∵1﹣（﹣2）＞2﹣1＞1﹣1，
∴y1＞y3＞y2．
故选：B．
4．抛物线y＝2（x﹣1）2+3可以看作是由抛物线y＝2x2经过以下哪种变换得到的（ ）
A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位
B．向右平移1个单位，再向上平移3个单位
C．向左平移1个单位，再向下平移3个单位
D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位
【分析】抛物线的平移可看作顶点的平移，比较前后两个抛物线的顶点坐标即可．
解：∵抛物线y＝2（x﹣1）2+3顶点坐标为（1，3），
抛物线y＝2x2顶点坐标为（0，0），
∴抛物线y＝2（x﹣1）2+3可以看作由抛物线y＝2x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到的，
故选：B．
5．已知二次函数函数y＝（k﹣3）x2+2x﹣1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A．k≥2 B．k≤2 C．k≥2且k≠3 D．k≥﹣4且k≠3
【分析】根据二次函数的定义和Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数，可得k﹣3≠0且△＝22﹣4×（k﹣3）×（﹣1）≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
解：根据题意得k﹣3≠0且△＝22﹣4×（k﹣3）×（﹣1）≥0，
解得k≥2且k≠3．
故选：C．
6．已知函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列4个结论：①abc＞0； ②b2＞4ac； ③4a+2b+c＞0；④2a+b＝0．其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定解答．
解：①由抛物线的对称轴可知：﹣＞0，
∴ab＜0，
∵抛物线与y轴的交点可知：c＞0，
∴abc＜0，故①错误；
②由图象可知：Δ＞0，
∴b2﹣4ac＞0，故②正确；
③∵（0，c）关于直线x＝1的对称点为（2，c），
而x＝0时，y＝c＞0，
∴x＝2时，y＝c＞0，
∴y＝4a+2b+c＞0，故③正确；
④∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故④正确．
故选：C．
7．抛物线y＝3（x﹣1）2﹣4的顶点坐标是（ ）
A．（1，4） B．（1，﹣4） C．（﹣1，4） D．（﹣1，﹣4）
【分析】已知抛物线顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k）．
解：∵抛物线y＝3（x﹣1）2﹣4是顶点式，
∴顶点坐标是（1，﹣4）．
故选：B．
8．下列方程有两个相等的实数根的是（ ）
A．x2+2x+3＝0 B．x2+x﹣12＝0 C．x2+8x+16＝0 D．3x2+2x+1＝0
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，找出各选项方程解的情况即可得出结论．
解：A、Δ＝22﹣4×1×3＝﹣8＜0，
方程没有实数根；
B、Δ＝12﹣4×1×（﹣12）＝49＞0，
方程有两个不相等的实数根；
C、Δ＝82﹣4×1×16＝0，
方程有两个相等的实数根；
D、Δ＝22﹣4×3×1＝﹣8＜0，
∴方程没有实数根．
故选：C．
9．规定：在平面内，将一个图形绕着某一点旋转一定的角度（小于周角）后能和自身重合，则称此图形为旋转对称图形．下列图形是旋转对称图形，且有一个旋转角为60°的是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．正十边形
【分析】分别求出各旋转对称图形的最小旋转角，继而可作出判断．
解：A、正三角形的最小旋转角是120°，故此选项错误；
B、正方形的旋转角度是90°，故此选项错误；
C、正六边形的最小旋转角是60°，故此选项正确；
D、正十角形的最小旋转角是36°，故此选项错误；
故选：C．
10．如图，抛物线y1＝（x﹣2）2﹣1与直线y2＝x﹣1交于A、B两点，则当y2≥y1时，x的取值范围为（ ）
A．1≤x≤4 B．x≤4 C．x≥1 D．x≤1或x≥4
【分析】联立两函数解析式求出交点A、B的坐标，然后根据函数图象写出直线在抛物线上方部分的x的取值范围即可．
解：联立，
解得，，
所以，点A（1，0），B（4，3），
所以，当y2≥y1时，x的取值范围为1≤x≤4．
故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，第11～13题每小题3分，第14~18题每小题3分，共29分.）
11．二次函数y＝x2﹣4x的顶点坐标是 （2，﹣4） ．
【分析】用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，确定顶点坐标即可．
解：∵y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，
∴抛物线顶点坐标为（2，﹣4）．
故本题答案为：（2，﹣4）．
12．抛物线y＝﹣3x2+4x﹣3开口方向是 向下 ．
【分析】根据题目中的抛物线解析式，可以直接写出该抛物线的开口方向．
解：∵抛物线y＝﹣3x2+4x﹣3，a＝﹣3＜0，
∴该抛物线开口方向向下，
故答案为：向下．
13．已知二次函数的解析式为：y＝x2+2x﹣3，则当x ＞﹣1 时，y随x增大而增大．
【分析】直接利用抛物线的开口方向和对称轴即可得到答案．
解：∵二次函数的解析式为：y＝x2+2x﹣3，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，
∴当x＞﹣1时，y随x增大而增大．
故答案为：＞﹣1．
14．若抛物线y＝x2﹣2x+m与x轴的一个交点是（﹣2，0），则另一交点坐标是 （4，0） ．
【分析】把（﹣2，0）代入抛物线y＝x2﹣2x+m求出m的值，再令y＝0，求出x的值即可．
解：∵抛物线y＝x2﹣2x+m与x轴的一个交点是（﹣2，0），
∴4+4+m＝0，解得m＝﹣8，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x+8，
∴令y＝0，则x2﹣2x+8＝0，解得x1＝﹣2，x2＝4，
∴另一交点坐标是（4，0）．
故答案为：（4，0）．
15．若x＝﹣2是关于x的方程x2﹣2ax+8＝0的一个根，则方程的另一个根为 ﹣4 ．
【分析】设出方程的另一个根，利用根与系数关系中的两根之积可以求出方程的另一个根．
解：设方程的另一个根为x1，根据根与系数的关系有：
﹣2x1＝8，
解得x1＝﹣4．
故答案为：﹣4．
16．已知开口向上的抛物线y＝ax2﹣2ax+3，在此抛物线上有A（﹣0.5，y1），B（2，y2）和C（3，y3）三点，则y1，y2和y3的大小关系为 y2＜y1＜y3 ．
【分析】根据二次函数的性质求出抛物线的对称轴，根据二次函数的对称性、增减性解答．
解：抛物线y＝ax2﹣2ax+3的对称轴为x＝﹣＝1，
∴x＝﹣0.5和x＝2.5时，函数值相等，
∵抛物线开口向上，
∴x＞1时，y随x的增大而增大，
∵2＜2.5＜3，
∴y2＜y1＜y3，
故答案为：y2＜y1＜y3，
17．已知二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝0的解为 x1＝4，x2＝﹣2 ．
【分析】根据图象可知，二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象经过点（4，0），把该点代入方程，求得m值；然后把m值代入关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝0，求根即可．
解：根据图象可知，二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象经过点（4，0），所以该点适合方程y＝﹣x2+2x+m，代入，得
﹣42+2×4+m＝0
解得m＝8 ①
把①代入一元二次方程﹣x2+2x+m＝0，得
﹣x2+2x+8＝0，②
解②得
x1＝4，x2＝﹣2，
故答案为x1＝4，x2＝﹣2．
18．如图，抛物线y＝﹣x2+c经过正方形的顶点A，B，C，则c＝ 2 ．
【分析】用c表示出C点坐标，代入y＝﹣x2+c求解即可．
解：有图可知，AO＝c，
则C（，），
代入y＝﹣x2+c得﹣+c＝，
解得c1＝0（舍去），c2＝2．
故答案为2．
三、解答题（本大题共8小题，共91分）
19．已知y＝（a﹣3）﹣2是二次函数，求a．
【分析】由二次函数的定义可得a2﹣2a﹣1＝2，且a﹣3≠0，解得即可．
解：∵y＝（a﹣3）﹣2是二次函数，
则a2﹣2a﹣1＝2，
解得a＝3或a＝﹣1，
又∵a﹣3≠0，
∴a≠3，
∴a＝﹣1．
20．抛物线y＝3x2与直线y＝kx+3的交点为（2，b），求k和b．
【分析】根据已知函数y＝3x2过交点（2，b），代入可求b；再把交点（2，b）代入y＝kx+3中求k．
解：根据题意，把（2，b）代入y＝3x2中，得b＝3×4＝12；
再把交点（2，12）代入y＝kx+3中，得12＝2k+3，
解得k＝4.5．
21．已知：抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线的顶点坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）把一般式配成顶点式可得到抛物线的顶点坐标．
解：（1）把（﹣1，0），（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c得：
，
解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x2﹣2x+1﹣1）+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，4）．
22．已知二次函数y＝x2﹣（m+2）x+2m﹣1．
（1）求证：不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个公共点；
（2）若该函数的图象与y轴交于点（0，3），
①求图象与x轴的交点坐标；
②当0＜x＜5时，y的取值范围是 ﹣1≤y＜8 ．
【分析】（1）令y＝0得到关于x的一元二次方程，然后证明Δ＝b2﹣4ac＞0即可；
（2）①将（0，3）代入可求得m的值，从而可得到抛物线的解析式，然后令y＝0可求得抛物线与x轴的交点坐标；②先确定出抛物线的对称轴，然后依据自变量x的取值范围可求得y的取值范围．
解：（1）令y＝0得：x2﹣（m+2）x+2m﹣1＝0，
∵Δ＝b2﹣4ac＝（m+2）2﹣4（2m﹣1）＝m2﹣4m+8＝（m﹣2）2+4＞0，
∴不论m取何值，方程x2﹣（m+2）x+2m﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个公共点．
（2）①该函数的图象与y轴交于点（0，3），
∴2m﹣1＝3，解得：m＝2．
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3．
令y＝0得：x2﹣4x+3＝0，解得x＝1或x＝3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）或（3，0）．
②y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴当x＝2时，y有最小值﹣1．
又∵0＜x＜5，
∴当x＝5时，自变量的取值范围内y的最大值为8，
∴y的取值范围是﹣1≤y＜8．
故答案为：﹣1≤y＜8．
23．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程ax2+bx+c＝0的两个根；
（2）写出不等式ax2+bx+c＞0的解集；
（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
（4）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，求k取值范围．
【分析】（1）根据图象可知x＝1和3是方程的两根；
（2）找出函数值大于0时x的取值范围即可；
（3）首先找出对称轴，然后根据图象写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
（4）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，则k必须小于y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值，据此求出k的取值范围．
解：（1）由图象可知，图象与x轴交于（1，0）和（3，0）点，则方程ax2+bx+c＝0的两个根为1和3；
（2）由图象可知当1＜x＜3时，不等式ax2+bx+c＞0；
（3）由图象可知，y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴为x＝2，开口向下，
即当x＞2时，y随x的增大而减小；
（4）由图象可知，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值为2，
若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，则k必须小于y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值，
则k＜2．
24．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（5，0）、C（0，﹣5）三点．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）当0＜x＜5时，y的取值范围为 ﹣9≤y＜0 ；
（3）点P为抛物线上一点，若S△PAB＝21，求出此时点P的坐标．
【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5），再将C（0，﹣5）代入求出a的值，即可得到该抛物线的解析式；利用配方法将一般式化为顶点式，即可求出该抛物线的顶点坐标；
（2）根据图象即可求解；
（3）设点P的坐标为（x，y）．由S△PAB＝21，可得y＝±7．把y＝7与y＝﹣7分别代入y＝x2﹣4x﹣5，求出x的值，即可得到点P的坐标．
解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5），
将C（0，﹣5）代入，得﹣5＝﹣5a，解得a＝1，
则该抛物线的解析式为y＝（x+1）（x﹣5），即y＝x2﹣4x﹣5；
∵y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9，
∴该抛物线的顶点坐标是（2，﹣9）；
（2）由图可得，当0＜x＜5时，﹣9≤y＜0．
故答案为﹣9≤y＜0；
（3）设点P的坐标为（x，y）．
∵A（﹣1，0）、B（5，0），
∴AB＝6．
∵S△PAB＝21，
∴×6×|y|＝21，
∴|y|＝7，
∴y＝±7．
①当y＝7时，x2﹣4x﹣5＝7，解得x1＝﹣2，x2＝6，此时点P的坐标为（﹣2，7）或（6，7）；
②当y＝﹣7时，x2﹣4x﹣5＝﹣7，解得x1＝+2，x2＝﹣+2，此时点P的坐标为（+2，﹣7）或（﹣+2，﹣7）；
综上所述，所求点P的坐标为（﹣2，7）或（6，7）或（+2，﹣7）或（﹣+2，﹣7）．
25．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx﹣3（m≠0）与x轴交于A，B两点，且点A的坐标为（3，0）．
（1）求点B的坐标及m的值；
（2）求出抛物线的顶点坐标，并画出此函数的示意图；
（3）结合函数图像直接写出当y＞0时x的取值范围．
【分析】（1）先把A点坐标代入y＝mx2﹣2mx﹣3求出m得到抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，再解方程x2﹣2x﹣3＝0得B点坐标；
（2）先把解析式配成顶点式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，则抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），利用描点法画出二次函数图象；
（3）利用图象写出对应的x的范围．
解：（1）把A（3，0）代入mx2﹣2mx﹣3＝0得9m﹣6m﹣3＝0，解得m＝1，
抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，
所以B点坐标为（﹣1，0）；
（2）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，则抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），
列表如下：
x
..．
﹣1
0
1
2
3
..．
y
..．
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
..．
描点、连线，
（3）由函数图象可知，当y＞0时，x＜﹣1或x＞3，即x的取值范围是x＜﹣1或x＞3．
26．平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m+2与x轴有两个交点．
（1）当m＝﹣2时，求抛物线与x轴交点的坐标；
（2）过点P（0，m﹣1）作直线l⊥y轴，抛物线的顶点A在直线l与x轴之间（不包含点A在直线l上），求m的范围；
（3）在（2）的条件下，设抛物线的对称轴与直线l相交于点B，求△ABO的面积最大时m的值．
【分析】（1）将m＝﹣2代入y＝x2﹣2mx+m2+2m+2中，令y＝0可得结论；
（2）先根据抛物线与x轴有两个交点可知Δ＞0，根据配方法可得点A的坐标，并根据已知列不等式可得结论；
（3）根据三角形面积公式并结合配方法可得结论．
解：（1）当m＝﹣2时，y＝x2+4x+4﹣4+2＝x2+4x+2，
当y＝0时，x2+4x+2＝0，
解得：x＝﹣2，
∴抛物线与x轴交点的坐标为（﹣2+，0）和（﹣2﹣，0）；
（2）如图1，∵抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m+2与x轴有两个交点，
∴Δ＝4m2﹣4×1×（m2+2m+2）＞0，
∴m＜﹣1，
∵y＝x2﹣2mx+m2+2m+2＝（x﹣m）2+2m+2，
∴顶点A的坐标为（m，2m+2），
∵过点P（0，m﹣1）作直线l⊥y轴，抛物线的顶点A在直线l与x轴之间（不包含点A在直线l上），
∴2m+2＞m﹣1，
∴m＞﹣3，
∴m的范围是：﹣3＜m＜﹣1；
（3）如图2，∵顶点A的坐标为（m，2m+2），P（0，m﹣1），
∴AB＝2m+2﹣（m﹣1）＝m+3，
∵△ABO的面积＝•AB•PB＝•（m+3）•（﹣m）＝﹣（m+）2+，
当m＝﹣时，△ABO的面积有最大值．
2022-2023学年江苏省南通市通州市三余中学九年级第一学期第一次段考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。）
1．抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+2的对称轴是（ ）
A．直线x＝﹣1 B．直线x＝1 C．直线x＝﹣2 D．直线x＝2
2．将二次函数y＝x2的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得图象的表达式是（ ）
A．y＝（x﹣2）2+1 B．y＝（x+2）2+1 C．y＝（x﹣2）2﹣1 D．y＝（x+2）2﹣1
3．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝x2﹣2x+c上的三点，y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
4．抛物线y＝2（x﹣1）2+3可以看作是由抛物线y＝2x2经过以下哪种变换得到的（ ）
A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位
B．向右平移1个单位，再向上平移3个单位
C．向左平移1个单位，再向下平移3个单位
D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位
5．已知二次函数函数y＝（k﹣3）x2+2x﹣1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A．k≥2 B．k≤2 C．k≥2且k≠3 D．k≥﹣4且k≠3
6．已知函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列4个结论：①abc＞0； ②b2＞4ac； ③4a+2b+c＞0；④2a+b＝0．其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
7．抛物线y＝3（x﹣1）2﹣4的顶点坐标是（ ）
A．（1，4） B．（1，﹣4） C．（﹣1，4） D．（﹣1，﹣4）
8．下列方程有两个相等的实数根的是（ ）
A．x2+2x+3＝0 B．x2+x﹣12＝0 C．x2+8x+16＝0 D．3x2+2x+1＝0
9．规定：在平面内，将一个图形绕着某一点旋转一定的角度（小于周角）后能和自身重合，则称此图形为旋转对称图形．下列图形是旋转对称图形，且有一个旋转角为60°的是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．正十边形
10．如图，抛物线y1＝（x﹣2）2﹣1与直线y2＝x﹣1交于A、B两点，则当y2≥y1时，x的取值范围为（ ）
A．1≤x≤4 B．x≤4 C．x≥1 D．x≤1或x≥4
二、填空题（本大题共8小题，第11～13题每小题3分，第14~18题每小题3分，共29分.）
11．二次函数y＝x2﹣4x的顶点坐标是 ．
12．抛物线y＝﹣3x2+4x﹣3开口方向是 ．
13．已知二次函数的解析式为：y＝x2+2x﹣3，则当x 时，y随x增大而增大．
14．若抛物线y＝x2﹣2x+m与x轴的一个交点是（﹣2，0），则另一交点坐标是 ．
15．若x＝﹣2是关于x的方程x2﹣2ax+8＝0的一个根，则方程的另一个根为 ．
16．已知开口向上的抛物线y＝ax2﹣2ax+3，在此抛物线上有A（﹣0.5，y1），B（2，y2）和C（3，y3）三点，则y1，y2和y3的大小关系为 ．
17．已知二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝0的解为 ．
18．如图，抛物线y＝﹣x2+c经过正方形的顶点A，B，C，则c＝ ．
三、解答题（本大题共8小题，共91分）
19．已知y＝（a﹣3）﹣2是二次函数，求a．
20．抛物线y＝3x2与直线y＝kx+3的交点为（2，b），求k和b．
21．已知：抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线的顶点坐标．
22．已知二次函数y＝x2﹣（m+2）x+2m﹣1．
（1）求证：不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个公共点；
（2）若该函数的图象与y轴交于点（0，3），
①求图象与x轴的交点坐标；
②当0＜x＜5时，y的取值范围是 ．
23．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程ax2+bx+c＝0的两个根；
（2）写出不等式ax2+bx+c＞0的解集；
（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
（4）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，求k取值范围．
24．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（5，0）、C（0，﹣5）三点．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）当0＜x＜5时，y的取值范围为 ；
（3）点P为抛物线上一点，若S△PAB＝21，求出此时点P的坐标．
25．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx﹣3（m≠0）与x轴交于A，B两点，且点A的坐标为（3，0）．
（1）求点B的坐标及m的值；
（2）求出抛物线的顶点坐标，并画出此函数的示意图；
（3）结合函数图像直接写出当y＞0时x的取值范围．
26．平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m+2与x轴有两个交点．
（1）当m＝﹣2时，求抛物线与x轴交点的坐标；
（2）过点P（0，m﹣1）作直线l⊥y轴，抛物线的顶点A在直线l与x轴之间（不包含点A在直线l上），求m的范围；
（3）在（2）的条件下，设抛物线的对称轴与直线l相交于点B，求△ABO的面积最大时m的值．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。）
1．抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+2的对称轴是（ ）
A．直线x＝﹣1 B．直线x＝1 C．直线x＝﹣2 D．直线x＝2
【分析】根据抛物线的顶点式，可以直接写出抛物线的对称轴．
解：∵y＝﹣2（x﹣1）2+2，
∴该抛物线的对称轴是直线x＝1，
故选：B．
2．将二次函数y＝x2的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得图象的表达式是（ ）
A．y＝（x﹣2）2+1 B．y＝（x+2）2+1 C．y＝（x﹣2）2﹣1 D．y＝（x+2）2﹣1
【分析】先确定抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），再确定平移后顶点坐标，然后写出平移的顶点式．
解：抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），
把点（0，0）向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点（2，1），
所以平移后的抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2+1．
故选：A．
3．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝x2﹣2x+c上的三点，y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据各点到对称轴的距离的大小关系求解．
解：∵y＝x2﹣2x+c，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∵1﹣（﹣2）＞2﹣1＞1﹣1，
∴y1＞y3＞y2．
故选：B．
4．抛物线y＝2（x﹣1）2+3可以看作是由抛物线y＝2x2经过以下哪种变换得到的（ ）
A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位
B．向右平移1个单位，再向上平移3个单位
C．向左平移1个单位，再向下平移3个单位
D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位
【分析】抛物线的平移可看作顶点的平移，比较前后两个抛物线的顶点坐标即可．
解：∵抛物线y＝2（x﹣1）2+3顶点坐标为（1，3），
抛物线y＝2x2顶点坐标为（0，0），
∴抛物线y＝2（x﹣1）2+3可以看作由抛物线y＝2x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到的，
故选：B．
5．已知二次函数函数y＝（k﹣3）x2+2x﹣1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A．k≥2 B．k≤2 C．k≥2且k≠3 D．k≥﹣4且k≠3
【分析】根据二次函数的定义和Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数，可得k﹣3≠0且△＝22﹣4×（k﹣3）×（﹣1）≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
解：根据题意得k﹣3≠0且△＝22﹣4×（k﹣3）×（﹣1）≥0，
解得k≥2且k≠3．
故选：C．
6．已知函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列4个结论：①abc＞0； ②b2＞4ac； ③4a+2b+c＞0；④2a+b＝0．其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定解答．
解：①由抛物线的对称轴可知：﹣＞0，
∴ab＜0，
∵抛物线与y轴的交点可知：c＞0，
∴abc＜0，故①错误；
②由图象可知：Δ＞0，
∴b2﹣4ac＞0，故②正确；
③∵（0，c）关于直线x＝1的对称点为（2，c），
而x＝0时，y＝c＞0，
∴x＝2时，y＝c＞0，
∴y＝4a+2b+c＞0，故③正确；
④∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故④正确．
故选：C．
7．抛物线y＝3（x﹣1）2﹣4的顶点坐标是（ ）
A．（1，4） B．（1，﹣4） C．（﹣1，4） D．（﹣1，﹣4）
【分析】已知抛物线顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k）．
解：∵抛物线y＝3（x﹣1）2﹣4是顶点式，
∴顶点坐标是（1，﹣4）．
故选：B．
8．下列方程有两个相等的实数根的是（ ）
A．x2+2x+3＝0 B．x2+x﹣12＝0 C．x2+8x+16＝0 D．3x2+2x+1＝0
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，找出各选项方程解的情况即可得出结论．
解：A、Δ＝22﹣4×1×3＝﹣8＜0，
方程没有实数根；
B、Δ＝12﹣4×1×（﹣12）＝49＞0，
方程有两个不相等的实数根；
C、Δ＝82﹣4×1×16＝0，
方程有两个相等的实数根；
D、Δ＝22﹣4×3×1＝﹣8＜0，
∴方程没有实数根．
故选：C．
9．规定：在平面内，将一个图形绕着某一点旋转一定的角度（小于周角）后能和自身重合，则称此图形为旋转对称图形．下列图形是旋转对称图形，且有一个旋转角为60°的是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．正十边形
【分析】分别求出各旋转对称图形的最小旋转角，继而可作出判断．
解：A、正三角形的最小旋转角是120°，故此选项错误；
B、正方形的旋转角度是90°，故此选项错误；
C、正六边形的最小旋转角是60°，故此选项正确；
D、正十角形的最小旋转角是36°，故此选项错误；
故选：C．
10．如图，抛物线y1＝（x﹣2）2﹣1与直线y2＝x﹣1交于A、B两点，则当y2≥y1时，x的取值范围为（ ）
A．1≤x≤4 B．x≤4 C．x≥1 D．x≤1或x≥4
【分析】联立两函数解析式求出交点A、B的坐标，然后根据函数图象写出直线在抛物线上方部分的x的取值范围即可．
解：联立，
解得，，
所以，点A（1，0），B（4，3），
所以，当y2≥y1时，x的取值范围为1≤x≤4．
故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，第11～13题每小题3分，第14~18题每小题3分，共29分.）
11．二次函数y＝x2﹣4x的顶点坐标是 （2，﹣4） ．
【分析】用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，确定顶点坐标即可．
解：∵y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，
∴抛物线顶点坐标为（2，﹣4）．
故本题答案为：（2，﹣4）．
12．抛物线y＝﹣3x2+4x﹣3开口方向是 向下 ．
【分析】根据题目中的抛物线解析式，可以直接写出该抛物线的开口方向．
解：∵抛物线y＝﹣3x2+4x﹣3，a＝﹣3＜0，
∴该抛物线开口方向向下，
故答案为：向下．
13．已知二次函数的解析式为：y＝x2+2x﹣3，则当x ＞﹣1 时，y随x增大而增大．
【分析】直接利用抛物线的开口方向和对称轴即可得到答案．
解：∵二次函数的解析式为：y＝x2+2x﹣3，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，
∴当x＞﹣1时，y随x增大而增大．
故答案为：＞﹣1．
14．若抛物线y＝x2﹣2x+m与x轴的一个交点是（﹣2，0），则另一交点坐标是 （4，0） ．
【分析】把（﹣2，0）代入抛物线y＝x2﹣2x+m求出m的值，再令y＝0，求出x的值即可．
解：∵抛物线y＝x2﹣2x+m与x轴的一个交点是（﹣2，0），
∴4+4+m＝0，解得m＝﹣8，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x+8，
∴令y＝0，则x2﹣2x+8＝0，解得x1＝﹣2，x2＝4，
∴另一交点坐标是（4，0）．
故答案为：（4，0）．
15．若x＝﹣2是关于x的方程x2﹣2ax+8＝0的一个根，则方程的另一个根为 ﹣4 ．
【分析】设出方程的另一个根，利用根与系数关系中的两根之积可以求出方程的另一个根．
解：设方程的另一个根为x1，根据根与系数的关系有：
﹣2x1＝8，
解得x1＝﹣4．
故答案为：﹣4．
16．已知开口向上的抛物线y＝ax2﹣2ax+3，在此抛物线上有A（﹣0.5，y1），B（2，y2）和C（3，y3）三点，则y1，y2和y3的大小关系为 y2＜y1＜y3 ．
【分析】根据二次函数的性质求出抛物线的对称轴，根据二次函数的对称性、增减性解答．
解：抛物线y＝ax2﹣2ax+3的对称轴为x＝﹣＝1，
∴x＝﹣0.5和x＝2.5时，函数值相等，
∵抛物线开口向上，
∴x＞1时，y随x的增大而增大，
∵2＜2.5＜3，
∴y2＜y1＜y3，
故答案为：y2＜y1＜y3，
17．已知二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝0的解为 x1＝4，x2＝﹣2 ．
【分析】根据图象可知，二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象经过点（4，0），把该点代入方程，求得m值；然后把m值代入关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝0，求根即可．
解：根据图象可知，二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象经过点（4，0），所以该点适合方程y＝﹣x2+2x+m，代入，得
﹣42+2×4+m＝0
解得m＝8 ①
把①代入一元二次方程﹣x2+2x+m＝0，得
﹣x2+2x+8＝0，②
解②得
x1＝4，x2＝﹣2，
故答案为x1＝4，x2＝﹣2．
18．如图，抛物线y＝﹣x2+c经过正方形的顶点A，B，C，则c＝ 2 ．
【分析】用c表示出C点坐标，代入y＝﹣x2+c求解即可．
解：有图可知，AO＝c，
则C（，），
代入y＝﹣x2+c得﹣+c＝，
解得c1＝0（舍去），c2＝2．
故答案为2．
三、解答题（本大题共8小题，共91分）
19．已知y＝（a﹣3）﹣2是二次函数，求a．
【分析】由二次函数的定义可得a2﹣2a﹣1＝2，且a﹣3≠0，解得即可．
解：∵y＝（a﹣3）﹣2是二次函数，
则a2﹣2a﹣1＝2，
解得a＝3或a＝﹣1，
又∵a﹣3≠0，
∴a≠3，
∴a＝﹣1．
20．抛物线y＝3x2与直线y＝kx+3的交点为（2，b），求k和b．
【分析】根据已知函数y＝3x2过交点（2，b），代入可求b；再把交点（2，b）代入y＝kx+3中求k．
解：根据题意，把（2，b）代入y＝3x2中，得b＝3×4＝12；
再把交点（2，12）代入y＝kx+3中，得12＝2k+3，
解得k＝4.5．
21．已知：抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线的顶点坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）把一般式配成顶点式可得到抛物线的顶点坐标．
解：（1）把（﹣1，0），（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c得：
，
解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x2﹣2x+1﹣1）+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，4）．
22．已知二次函数y＝x2﹣（m+2）x+2m﹣1．
（1）求证：不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个公共点；
（2）若该函数的图象与y轴交于点（0，3），
①求图象与x轴的交点坐标；
②当0＜x＜5时，y的取值范围是 ﹣1≤y＜8 ．
【分析】（1）令y＝0得到关于x的一元二次方程，然后证明Δ＝b2﹣4ac＞0即可；
（2）①将（0，3）代入可求得m的值，从而可得到抛物线的解析式，然后令y＝0可求得抛物线与x轴的交点坐标；②先确定出抛物线的对称轴，然后依据自变量x的取值范围可求得y的取值范围．
解：（1）令y＝0得：x2﹣（m+2）x+2m﹣1＝0，
∵Δ＝b2﹣4ac＝（m+2）2﹣4（2m﹣1）＝m2﹣4m+8＝（m﹣2）2+4＞0，
∴不论m取何值，方程x2﹣（m+2）x+2m﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个公共点．
（2）①该函数的图象与y轴交于点（0，3），
∴2m﹣1＝3，解得：m＝2．
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3．
令y＝0得：x2﹣4x+3＝0，解得x＝1或x＝3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）或（3，0）．
②y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴当x＝2时，y有最小值﹣1．
又∵0＜x＜5，
∴当x＝5时，自变量的取值范围内y的最大值为8，
∴y的取值范围是﹣1≤y＜8．
故答案为：﹣1≤y＜8．
23．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程ax2+bx+c＝0的两个根；
（2）写出不等式ax2+bx+c＞0的解集；
（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
（4）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，求k取值范围．
【分析】（1）根据图象可知x＝1和3是方程的两根；
（2）找出函数值大于0时x的取值范围即可；
（3）首先找出对称轴，然后根据图象写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
（4）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，则k必须小于y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值，据此求出k的取值范围．
解：（1）由图象可知，图象与x轴交于（1，0）和（3，0）点，则方程ax2+bx+c＝0的两个根为1和3；
（2）由图象可知当1＜x＜3时，不等式ax2+bx+c＞0；
（3）由图象可知，y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴为x＝2，开口向下，
即当x＞2时，y随x的增大而减小；
（4）由图象可知，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值为2，
若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，则k必须小于y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值，
则k＜2．
24．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（5，0）、C（0，﹣5）三点．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）当0＜x＜5时，y的取值范围为 ﹣9≤y＜0 ；
（3）点P为抛物线上一点，若S△PAB＝21，求出此时点P的坐标．
【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5），再将C（0，﹣5）代入求出a的值，即可得到该抛物线的解析式；利用配方法将一般式化为顶点式，即可求出该抛物线的顶点坐标；
（2）根据图象即可求解；
（3）设点P的坐标为（x，y）．由S△PAB＝21，可得y＝±7．把y＝7与y＝﹣7分别代入y＝x2﹣4x﹣5，求出x的值，即可得到点P的坐标．
解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5），
将C（0，﹣5）代入，得﹣5＝﹣5a，解得a＝1，
则该抛物线的解析式为y＝（x+1）（x﹣5），即y＝x2﹣4x﹣5；
∵y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9，
∴该抛物线的顶点坐标是（2，﹣9）；
（2）由图可得，当0＜x＜5时，﹣9≤y＜0．
故答案为﹣9≤y＜0；
（3）设点P的坐标为（x，y）．
∵A（﹣1，0）、B（5，0），
∴AB＝6．
∵S△PAB＝21，
∴×6×|y|＝21，
∴|y|＝7，
∴y＝±7．
①当y＝7时，x2﹣4x﹣5＝7，解得x1＝﹣2，x2＝6，此时点P的坐标为（﹣2，7）或（6，7）；
②当y＝﹣7时，x2﹣4x﹣5＝﹣7，解得x1＝+2，x2＝﹣+2，此时点P的坐标为（+2，﹣7）或（﹣+2，﹣7）；
综上所述，所求点P的坐标为（﹣2，7）或（6，7）或（+2，﹣7）或（﹣+2，﹣7）．
25．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx﹣3（m≠0）与x轴交于A，B两点，且点A的坐标为（3，0）．
（1）求点B的坐标及m的值；
（2）求出抛物线的顶点坐标，并画出此函数的示意图；
（3）结合函数图像直接写出当y＞0时x的取值范围．
【分析】（1）先把A点坐标代入y＝mx2﹣2mx﹣3求出m得到抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，再解方程x2﹣2x﹣3＝0得B点坐标；
（2）先把解析式配成顶点式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，则抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），利用描点法画出二次函数图象；
（3）利用图象写出对应的x的范围．
解：（1）把A（3，0）代入mx2﹣2mx﹣3＝0得9m﹣6m﹣3＝0，解得m＝1，
抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，
所以B点坐标为（﹣1，0）；
（2）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，则抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），
列表如下：
x
..．
﹣1
0
1
2
3
..．
y
..．
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
..．
描点、连线，
（3）由函数图象可知，当y＞0时，x＜﹣1或x＞3，即x的取值范围是x＜﹣1或x＞3．
26．平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m+2与x轴有两个交点．
（1）当m＝﹣2时，求抛物线与x轴交点的坐标；
（2）过点P（0，m﹣1）作直线l⊥y轴，抛物线的顶点A在直线l与x轴之间（不包含点A在直线l上），求m的范围；
（3）在（2）的条件下，设抛物线的对称轴与直线l相交于点B，求△ABO的面积最大时m的值．
【分析】（1）将m＝﹣2代入y＝x2﹣2mx+m2+2m+2中，令y＝0可得结论；
（2）先根据抛物线与x轴有两个交点可知Δ＞0，根据配方法可得点A的坐标，并根据已知列不等式可得结论；
（3）根据三角形面积公式并结合配方法可得结论．
解：（1）当m＝﹣2时，y＝x2+4x+4﹣4+2＝x2+4x+2，
当y＝0时，x2+4x+2＝0，
解得：x＝﹣2，
∴抛物线与x轴交点的坐标为（﹣2+，0）和（﹣2﹣，0）；
（2）如图1，∵抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m+2与x轴有两个交点，
∴Δ＝4m2﹣4×1×（m2+2m+2）＞0，
∴m＜﹣1，
∵y＝x2﹣2mx+m2+2m+2＝（x﹣m）2+2m+2，
∴顶点A的坐标为（m，2m+2），
∵过点P（0，m﹣1）作直线l⊥y轴，抛物线的顶点A在直线l与x轴之间（不包含点A在直线l上），
∴2m+2＞m﹣1，
∴m＞﹣3，
∴m的范围是：﹣3＜m＜﹣1；
（3）如图2，∵顶点A的坐标为（m，2m+2），P（0，m﹣1），
∴AB＝2m+2﹣（m﹣1）＝m+3，
∵△ABO的面积＝•AB•PB＝•（m+3）•（﹣m）＝﹣（m+）2+，
当m＝﹣时，△ABO的面积有最大值．
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