2022年浙江省杭州十五中中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2022年浙江省杭州十五中中考数学二模试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年浙江省杭州十五中中考数学二模试卷  第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）数，，，中是无理数的是(    )A.  B.  C.  D. 接种新冠疫苗不仅可以预防新冠病毒感染，也可以预防重症，降低死亡率．经统计，北仑区到年月份为止已有约万人完成新冠疫苗接种．其中万人用科学记数法可表示为(    )A. 人 B. 人 C. 人 D. 人若一个三角形的两边长分别为和，则第三边长可能是(    )A.  B.  C.  D. 计算的正确结果是(    )A.  B.  C.  D. 要使式子有意义，的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 我国古代数学名著孙子算经中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，本长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子剩余尺；将绳子对折再量木条，木条剩余尺．向木条长多少尺？如果设木条长尺，绳子长尺，那么可列方程组为(    )A.  B.  C.  D. 如图所示的电路中，随机闭合开关，，中的两个，则能让两盏灯泡同时发光的概率为(    )A.
B.
C.
D. 图是年世界数学大会的会徽，其主体图案如图是由四个全等的直角三角形组成的四边形．若，，则的长为(    )
A.  B.  C.  D. 如图，已知中，，，，作的角平分线交于，以为圆心，为半径作圆，与射线交于点，有下列结论：是直角三角形；与直线相切；其中正确的结论有(    )A.  B.  C.  D. 在平面直角坐标系中，已知点，，下列关于的函数中，函数图象可能同时经过，两点的是(    )A.  B.
C.  D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共6小题，共24分）不等式的解是______．分解因式______．已知中，，，则______．如图，在直角坐标系中，正方形的边在轴上，点，现固定点，在轴上的位置不变，把正方形沿箭头方向推，使点落在轴正半轴上的点，则点的对应点的坐标为______．已知，则函数的取值范围是______．如图，将两块三角板和三角板放置在矩形中，直角顶点重合，点，在边上，．
若点到的距离为，则点到的距离为______．
若，则外接圆的半径为______．
  三、解答题（本大题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）本小题分
计算：；
化简：．本小题分
某中学为了解本校学生平均每天的课外学习实践情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果分为，，，四个等级，设学习时间为小时，：，：，：，：，根据调查结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．请你根据图中信息解答下列问题：
本次抽样调查共抽取了多少名学生？并将条形统计图补充完整；
本次抽样调查中，学习时间的中位数落在哪个等级内？
表示等级的扇形圆心角的度数是多少？
在此次问卷调查中，甲班有人平均每天课外学习时间超过小时，乙班也有人平均每天课外学习时间超过小时，若从这人中任选人去参加座谈，试用列表或画树状图的方法求选出的人来自不同班级的概率．
 
本小题分
如图，的角平分线，交于点，．
求证：≌．
当时，求的度数．
本小题分
某公司组织员工到附近的景点旅游，根据旅行社提供的收费方案，绘制了如图所示的图象，图中折线表示人均收费元与参加旅游的人数人之间的函数关系．
当参加旅游的人数不超过人时，人均收费为______元；
如果该公司支付给旅行社元，那么参加这次旅游的人数是多少？
本小题分
如图，内接于，，是的直径，点是延长线上的一点且．
求证：是的切线；
若，，求及的半径．
本小题分
在平面直角坐标系中，设二次函数，一次函数其中，是实数，，．
若，函数的图象与函数的图象交于点，求函数的表达式．
若，，当时，求函数的最大值．
若，当时，始终有，求的取值范围．本小题分
【证明体验】如图，正方形中，，分别是边和对角线上的点，求证：∽．
【思考探究】如图，矩形中，，，，分别是边和对角线上的点，，，求的长．
【拓展延伸】如图，菱形中，，对角线，交的延长线于点，，分别是线段和上的点，，，求的长．请直接写出答案
 

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：、是无理数，故此选项符合题意；
B、是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
C、是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
D、是整数，属于有理数，故此选项不符合题意．
故选：．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．
 2.【答案】 【解析】解：万．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 3.【答案】 【解析】【分析】
本题考查三角形三边关系定理，记住两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，属于基础题，中考常考题型．根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可判断．
【解答】
解：设第三边为，
则，即，
所以符合条件的选项为，
故选B．  4.【答案】 【解析】解：，
故选：．
根据幂的乘方与积的乘方的法则进行计算，即可得出答案．
本题考查了幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方的法则是解决问题的关键．
 5.【答案】 【解析】解：依题意有：，
解得．
故选：．
二次根式中的被开方数是非负数，依此即可求解．
本题考查了二次根式有意义的条件，关键是熟悉二次根式中的被开方数是非负数的知识点．
 6.【答案】 【解析】解：用一根绳子去量一根木条，绳子剩余尺，
；
将绳子对折再量木条，木条剩余尺，
．
所列方程组为．
故选：．
根据“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余尺；将绳子对折再量木条，木条剩余尺”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 7.【答案】 【解析】解：根据题意画图如下：

共有种等可能的结果，能让两盏灯泡同时发光的有种情况，
能让两盏灯泡同时发光的概率为，
故选：．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能让两盏灯泡同时发光的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
此题考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等．
 8.【答案】 【解析】解：，，，
，，
由题意得：
，
，
故选：．
在中，利用锐角三角函数的的定义求出，的长，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的的定义是解题的关键．
 9.【答案】 【解析】解：如图，作于点，
，，，
，
是直角三角形，且，
故正确；
，，且平分，
，
是的半径，点到直线的距离等于，
与直线相切，
故正确；
设，
，
，
，
，
，
故正确，
故选：．
作于点，先根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，可判断正确；
由，，且平分得，即可证明与直线相切，可判断正确；
设，则，解得，即可求得，可判断正确．
此题重点考查勾股定理的逆定理、圆的切线的判定、角平分线上的点到角的两边的距离相等、根据面积等式列方程求线段长度、锐角三角函数等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 10.【答案】 【解析】解：，，
函数随的增大而减小，
A、中，随的增大而增大，故A不可能；
B、中，，随的增大而减小，故B有可能；
C、中，开口向上，对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，而，故C不可能；
D、中，，函数图象在第四象限，随的增大而增大，故D不可能，
故选：．
根据一次函数的性质，反比例函数以及二次函数的性质判断即可．
本题考查一次函数的性质，二次函数的性质，反比例函数，熟练掌握它们的性质是解题的关键．
 11.【答案】 【解析】解：，
移项及合并同类项，得：，
系数化为，得：，
故原不等式的解集是，
故答案为：．
根据移项及合并同类项、系数化为，可以求得不等式的解集．
本题考查解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
 12.【答案】 【解析】解：．
故答案为：．
首先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用公式是解题关键．
 13.【答案】 【解析】解：如图．

，，
设，则．
．
．
故答案为：．
根据三角函数值的定义以及勾股定理的定义解决此题．
本题主要考查三角函数的定义、勾股定理，熟练掌握三角函数的定义以及勾股定理是解决本题的关键．
 14.【答案】 【解析】解：点，，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，，
，
故答案为：
由已知条件得到，根据勾股定理得到，于是得到结论．
本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
 15.【答案】 【解析】解：，
时，随的增大而减小，
时，随的增大而增大，
，
当时，取得最大值为，
当时，取得最小值为，
当时，函数的取值范围为．
故答案为：．
求得抛物线的开口方向和对称轴，计算出当和对应的函数值，然后根据二次函数的性质解决问题．
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 16.【答案】   【解析】解：两块三角板和三角板放置在矩形中，
，，，
如图，过点作于点，延长交于点，
四边形是矩形，
，
，

，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
．
，
，
，
则点到的距离为，
故答案为：；
，
，
，
∽，
，
，
，
，
由知：，，
设，
，
设，
，
，
，
，，
，
，
，
在中，根据勾股定理得：
，
，
解得，
，，
在中，根据勾股定理得：
，
，
，
外接圆的半径为．
故答案为：．

根据题意可得，，，过点作于点，延长交于点，证明≌，可得，，然后根据勾股定理即可解决问题；
根据题意证明∽，可得，由，设，可得，设，可得，根据可得，，然后利用勾股定理可得，进而可以解决问题．
本题属于几何综合题，是中考填空题的压轴题，考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，三角形外接圆与外心，矩形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．
 17.【答案】解：原式

；
原式
． 【解析】根据有理数的乘方，零指数幂的意义解答即可；
利用平方差公式，单项式乘多项式的运算法则计算乘法，然后合并同类项进行化简．
本题考查实数的混合运算，整式的混合运算，掌握，平方差公式是解题的关键．
 18.【答案】解：名，，
补全条形统计图如下：

将调查的名学生的课外学习实践活动时间从小到大排列后，处在中间位置的两个数均为“等级”，
本次抽样调查中，学习时间的中位数落在等级内；
，
答：表示等级的扇形圆心角的度数为；
把甲班平均每天课外学习时间超过小时的名学生记为、，乙班平均每天课外学习时间超过小时的名学生记为、，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中选出的人来自不同班级的结果有种，
选出的人来自不同班级的概率为． 【解析】由的人数除以所占百分比可求出调查总人数，进而求出等级的人数，即可补全条形统计图；
根据中位数的意义求解即可；
由乘以等级的人数所占的比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中选出的人来自不同班级的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率添加条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 19.【答案】解：，
，
两条角平分线、相交于点，
，
在和中，
，
≌．
在中，，
，的平分线，相交于点，
，，
，
在中，． 【解析】根据等腰三角形的性质以及角平分线的定义，得出，进而判定≌，
根据角平分线的定义可得，，再根据三角形内角和定理求出即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形等边对等角及等角对等边的性质及角平分线的定义的综合应用，角平分线的定义的利用是正确解答本题的关键．
 20.【答案】；
，，
收费标准在段，
设直线的解析式为，则有，
解得，
，
由题意，
解得或舍弃
答：参加这次旅游的人数是人． 【解析】解：观察图象可知：当参加旅游的人数不超过人时，人均收费为元．
故答案为．

见答案．
观察图象即可解决问题；
首先判断收费标准在段，求出直线的解析式，列出方程即可解决问题．
本题考查一次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，解题的关键是理解题意，读懂图象信息，用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型．
 21.【答案】证明：如图，连接，则，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，且，
是的切线．
解：如图，作于点，则，
，，
，，
，
，
，，，
，
，
，
的半径长为． 【解析】连接，先根据圆周角定理证明，则，，所以，即可证明是的切线；
作于点，则，，即可根据勾股定理求出的长，然后在中根据勾股定理列方程求出的长，即为的半径长．
此题重点考查等腰三角形的性质、圆的切线的判定、圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 22.【答案】解：，
，
将代入得，
将代入得，
解得，
．
时，，
抛物线开口向下，对称轴为直线，
时，随增大而增大，
，
，
当时，随增大而增大，
当时，为最大值．
，
，
整理得，
令，
，
，
抛物线开口向上，
，
时，，即抛物线经过定点，
时，，
时，，
解得，
． 【解析】由可得直线解析式，将代入直线解析式可得的值，再将代入二次函数解析式求解．
将二次函数解析式化为顶点式，可得抛物线开口方向及定点坐标，由可得时函数取最大值．
由可得，从而可得抛物线开口向上，由可得抛物线经过，从而可得时，，进而求解．
本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
 23.【答案】证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
又，
∽；

解：如图，连接，交于点，

四边形是矩形，
，，，，
，，，
，
，
，
，，
，
，
，
又，
∽，
，
，
；

解：如图，设与交于点，

四边形是菱形，
，，，，，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
，
． 【解析】由正方形的性质可得，由相似三角形的判定可得结论；
通过证明∽，可得，即可求解；
通过证明∽，可求，由菱形的面积公式可求，由锐角三角函数可求，即可求解．
本题是相似形综合题，考查了矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，证明∽是解题的关键．