湖南省雅礼十六校2022-2023学年高三上学期第一次联考数学试卷（Word版附解析）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 下列不属于的展开式的项的是（   ）

A.    B.    C.   D.

解析：

展开式中的系数应为，故不属于展开式的项，选择B选项

2.已知集合. 其中，若满足，则的取值范围为（   ）

A.     B.     C.     D. 解析：

设则，同时将集合转化得

将以上条件整理得的解集应该含于，其中，

即且满足

由根的分布规律可得

故选C

3.已知复数，与共轭，，且

则的值为（   ）

A.5    B. 6   C. 7    D. 8

解析：

本题考察复数和椭圆的知识，根据复数和椭圆的基本知识可得，即为椭圆焦点三角形周长的值，故

故选D

4.已知三边所对角分别为，且，则的值为（   ）

A. -1    B. 0    C. 1    D.以上选项均不正确

解析：

将由余弦定理变换得

由正弦定理得，三角变换得，即

变形得，两边同时乘以得

故选B

5.已知正项数列满足，且，为前100项和，下列说法正确的是（   ）

A.            B.             C.             D.

解析：

令，则可得，故

将两边同除得为递减数列可得，累乘可得，

根据等比数列求和公式得

综上，，选择C选项

6. 长沙市雅礼中学（雅礼）、华中师范大学第一附属中学（华一）、河南省实验中学（省实验）三校参加华中名校杯羽毛球团体赛. 这时候有四位体育老师对最终的比赛结果做出了预测：

罗老师：雅礼是第二名或第三名，华一不是第三名；

魏老师：华一是第一名或第二名，雅礼不是第一名；

贾老师：华一是第三名；

关老师：省实验不是第一名；

其中只有一位老师预测对了，则正确的是（   ）

A.罗老师           B.魏老师           C.贾老师            D.关老师

根据假设法推理，可得贾老师预测正确，选择C选项

7.若，（）试比较的大小关系（   ）

A.             B.             C.             D.

解析：

由得，故，故

由常用数据得，综上，

故选D

8. 已知双曲线，若过点能作该双曲线的两条切线，则该双曲线离心率取值范围为（   ）

A.   B.   C.   D.以上选项均不正确

解析：

过能作两条切线说明该点在双曲线外部，且不在该双曲线渐近线上

临界情况时，点在双曲线上，代入得。

当渐近线经过点时，

综上，，故选D

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 长沙市有橘子洲,岳麓山,天心阁,开福寺四个景点，一位游客来长沙市游览. 已知该游客游览橘子洲的概率为，游览其他景点的概率都是. 该游客是否游览这四个景点相互独立，用随机变量X记录该游客游览的景点数，下列说法正确的是（   ）

A.游客至多游览一个景点的概率为                 B.

C.                                 D.

解析：

略

择选ABD选项

10.如果一个无限集中的元素可以按照某种规律排成一个序列（或者说，可以对这个集合的元素标号表示为），则称其为可列集.下列集合属于可列集的有（   ）

A.  B. Z C. Q D. R

解析：

令即可表示所有自然数，故集合N可标号表示为，故为可列集，同理，Z为可列集

对于Q，由于其区间可由可列个区间组成，故可只讨论区间内的情况。

令，当分母为1时，分子只有一种取值，故记作，同理

综上，集合Q可标号表示为，故Q为可列集

故选ABC

11.已知某四面体的四条棱长度为，另外两条棱长度为，则下列说法正确的是（   ）

A.若且该四面体的侧面存在正三角形，则

B.若且该四面体的侧面存在正三角形，则四面体的体积

C.若且该四面体的对棱均相等，则四面体的体积

D.对任意，记侧面存在正三角形时四面体的体积为，记对棱均相等时四面体的体积为，恒有

解析：

A只需判断临界情况，易得A正确,同理，易得B错误，应为

对于C，可将四面体补体成为一个长宽高分别为的长方体，由四面体体积规律得，由基本不等式得，故C正确

对于D，同C可得，即。

同时易得要使，只需即，故时D正确

综上，选ACD

12. 已知函数，下列说法不正确的是（   ）

A.当时，函数仅有一个零点

B.对于，函数都存在极值点

C.当时，，函数不存在极值点

D.，使函数都存在3个极值点

解析：

易得ABD错误，选择ABD选项。

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知，则的最大值为______.

解析：

依题可变形得

即圆与直线有交点

运用点到直线距离公式可得

14.已知向量与的夹角为，且，，若与的夹角为锐角，则的取值范围是______.

解析：

依题，( ) 且和不共线，即

综上，解得

15.已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作直线分别交双曲线左支和一条渐近线于点（在同一象限内），且满足. 联结，满足. 若该双曲线的离心率为，求的值­________.

解析：

设，由得，化简得（1）

，又在渐近线上，即.

两边平方得（2）

在双曲线上，所以，即. 代入（1）解得

将和代入（2）得

化简得，解得，即. 化简得

16.若不等式恒成立，则的最大值为_______.

解析：

原不等式可变形为，故为直线的横截距，又知曲线和轴唯一交点为，根据一直一曲图像规律，可知

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.

17.定义

（1）证明：

（2）解方程：

解析：

（1）

而

联立两式可得

即

（2）注意到

若，解得

若，则

记

则在单调递增，在单调递减

而

∴有且仅有三个零点，有三个实根，且均位于区间内

记三个实根分别为

由（1）知

∴

解得

综上所述，方程的解集为

18.已知单调递减正数列，时满足. ,为前n项和.

（1）求的通项公式

（2）证明：

（1）由

得

即

由单调递减得

则，即

故是以2为首项，1为公差的等差数列

则，即

（2）要证

只需证

即证

即证

即证

即证

而此式为显然.

证毕

19.如图，在以P，A，B，C，D为顶点的五面体中，四边形ABCD为等腰梯形，，，平面平面，．

(1)求证：平面平面；

(2)若二面角的余弦值为，求直线PD与平面PBC所成角的正弦值．

（1）由面面垂直的性质得到平面，由面面垂直的判定即可证明；

（2）过作，，垂足分别为，，连接，由几何法可证即为二面角的平面角，过作平面，以为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设，再由向量法求出直线PD与平面PBC所成角即可.

(1)

因为平面平面，平面平面，，平面，

所以平面，又因为平面，所以平面平面．

(2)

过作，，垂足分别为，，连接，

因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以，

又，且，，平面，所以平面，

因为平面，所以，即即为二面角的平面角，

不妨设，则可知，且，，

因为，所以，所以，

过作平面，以为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，

所以，，，

设平面的法向量为，则，

令，则，，所以，

设直线PD与平面PBC所成角为，则，

直线PD与平面PBC所成角的正弦值为

20.现有一批疫苗拟进入动物试验阶段，将1000只动物平均分成100组，任选一组进行试验．第一轮注射，对该组的每只动物都注射一次，若检验出该组中有9只或10只动物产生抗体，说明疫苗有效，试验终止；否则对没有产生抗体的动物进行第二轮注射，再次检验．如果被二次注射的动物都产生抗体，说明疫苗有效，否则需要改进疫苗．设每只动物是否产生抗体相互独立，两次注射疫苗互不影响，且产生抗体的概率均为.

（1）求该组试验只需第一轮注射的概率（用含的多项式表示）；

（2）记该组动物需要注射次数的数学期望为，求证：

（1）易得

（2）由（1）得

当时，

由此可得

综上得证

21.已知平面直角坐标系中有两点，且曲线上的任意一点P都满足.

（1）求曲线的轨迹方程并画出草图；

（2）设曲线与交于顺时针排列的S、T、M、N四点，求的值.

（1）

（草图要求经过所有整点且形状大致正确）

（2）联立

得

则

由对称性知S、T、M、N四点横纵坐标的绝对值相等，分别记为

则

又

∴

22.已知函数，且.

（1）若，且在R上单调递增，求的取值范围

（2）若图象上存在两条互相垂直的切线，求的最大值

（1）由题知，则

得

即有

（2）由，令，

由，

得

，

所以

由题意可知，存在，使得，

只需要，即，

所以，,

所以的最大值为.