2023届湖南省娄底市新化县五校联盟高三上学期期末联考数学试卷（word版）

新化县五校联盟2022-2023学年高三上学期期末联考

数学

一、选择题（共8题，共40分）

1. 已知全集 ，集合，集合，则集合 （    ）

A.  B.

C.  D.

2. 已知，是两个不同的平面，“存在直线，，”是“”的（    ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

3. 在如图的平面图形中，已知,则的值为

A.  B.

C  D. 0

4. 函数 的图象的大致形状是（    ）

A.  B.

C.  D.

5. 已知为等差数列的前项和，，则数列 的最大项为 （    ）

A.  B.

C.  D.

6. 米接力赛是田径运动中的集体项目．一根小小的木棒，要四个人共同打造一个信念，一起拼搏，每次交接都是信任的传递．甲、乙、丙、丁四位同学将代表高一年级参加校运会米接力赛，教练组根据训练情况，安排了四人的交接棒组合，已知该组合三次交接棒失误的概率分别是，，，假设三次交接棒相互独立，则此次比赛中该组合交接棒没有失误的概率是（    ）

A.

B.

C.

D.

7. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早 多年．在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图 是阳马，，，，．则该阳马的外接球的表面积为（    ）

A.  B.

C.  D.

8. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，，则实数a的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

二、多选题（共4题，共20分）

9. 下列选项中，是函数的单调递增区间的有（    ）

A.  B.

C.  D.

10. 已知函数的图象与直线有两个交点，则的取值可以是（    ）

A.  B.  C.  D.

11. 已知双曲线过点，且渐近线方程为，则下列结论正确的是（    ）

A. 的方程为 B. 的离心率为

C. 曲线经过的一个焦点 D. 直线与有两个公共点

12. 如图，矩形ABCD中，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻转过程中，下列命题正确的是（    ）

A. MB是定值

B. 点M在圆上运动

C. 一定存在某个位置，使DE⊥A1C

D. 一定存在某个位置，使MB∥平面A1DE

三、填空题（共4题，共20分）

13 已知复数，_________.

14. 已知，，，则的最大值是_________.

15. 已知是定义域为的奇函数，且对任意的满足，若时，有，则______.

16. 抛物线焦点为，准线为，经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，，垂足为，则的面积是___________.

四、解答题（共6题，共70分）

17. 已知的三个角A，B，C所对的边为a，b，c，若，，且.

（1）求b､c的值；

（2）求的值.

18. 已知数列的前项和.

（1）求证：数列是等差数列.

（2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围.

19. 甲、乙两所学校进行同一门课程的考试，按照学生考试成绩优秀和不优秀统计成绩后，得到如下列联表：

班级与成绩列联表

附

（参考公式：，）

（1）能否在犯错误的概率不超过的前提下认为成绩与学校有关系；

（2）采用分层抽样方法在两所学校成绩优秀的 名学生中抽取 名同学．现从这 名同学中随机抽取 名运同学作为成绩优秀学生代表介绍学习经验，记这 名同学来自甲学校的人数为 ，求 的分布列与数学期望．

20. 如图1，在△ABC中，，DE是△ABC的中位线，沿DE将△ADE进行翻折，使得△ACE是等边三角形（如图2），记AB的中点为F．

（1）证明：平面ABC．

（2）若，二面角D-AC-E为，求直线AB与平面ACD所成角的正弦值．

21. 已知椭圆 的上下左右四个顶点分别为 ，，，， 轴正半轴上的点 满足．

（1）求椭圆 的标准方程以及点 的坐标．

（2）过点 作直线 交椭圆于 ，，是否存在这样的直线 使得 和 的面积相等？若不存在，请说明理由．

（3）在（）的条件下，求当直线 的倾斜角为钝角时， 的面积．

22. 已知函数

（1）若，求函数的单调递减区间;

（2）若关于x的不等式恒成立，求整数 a的最小值:

（3）若，正实数满足，证明:

新化县五校联盟2022-2023学年高三上学期期末联考

数学

一、选择题（共8题，共40分）

1.【答案】B

2.【答案】C

3.【答案】C

4.【答案】AB

5.【答案】B

6.【答案】C

7.【答案】B

8.【答案】B

二、多选题（共4题，共20分）

9.【答案】BC

10.【答案】BCD

11.【答案】AC

12.【答案】ABD

三、填空题（共4题，共20分）

13.【答案】

14.【答案】2

15【答案】

16.【答案】

四、解答题（共6题，共70分）

17. 已知的三个角A，B，C所对的边为a，b，c，若，，且.

（1）求b､c的值；

（2）求的值.

【答案】（1）7，5；   

（2）．

【解析】

【分析】(1)由可求B，根据余弦定理结合已知条件即可求出b、c；

(2)根据正弦定理求出sinC，再求出cosC，利用三角函数公式即可求．

【小问1详解】

∵，∴cosB＝，∵，∴B＝，

根据余弦定理得：，即，解得，

故，．

【小问2详解】

∵a＝3，b＝7，c＝5，B＝，

∴由正弦定理得，，即，

∵B＞，∴C，∴，

∴

．

18. 已知数列的前项和.

（1）求证：数列是等差数列.

（2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）由，利用数列的通项和前n项和的关系求解；

（2）由（1）得 ，将不等式对任意恒成立，转化为，对任意恒成立求解.

【小问1详解】

解：当时，，解得，

当时，，

所以，即，

即，

又，

故数列是以2为首项，1为公差的等差数列.

【小问2详解】

由（1）知，，即，

所以，对任意恒成立，

即，对任意恒成立，

记，故，

所以时，，所以，即，

时，，即随着的增大，递减，

所以的最大值为，

所以，即.

19. 甲、乙两所学校进行同一门课程的考试，按照学生考试成绩优秀和不优秀统计成绩后，得到如下列联表：

班级与成绩列联表

附

（参考公式：，）

（1）能否在犯错误的概率不超过的前提下认为成绩与学校有关系；

（2）采用分层抽样的方法在两所学校成绩优秀的 名学生中抽取 名同学．现从这 名同学中随机抽取 名运同学作为成绩优秀学生代表介绍学习经验，记这 名同学来自甲学校的人数为 ，求 的分布列与数学期望．

【答案】（1）能在犯错误的概率不超过 的前提下认为成绩与所在学校有关系   

（2）分布列见解析，

【解析】

【分析】(1)根据所给数据求出，结合独立性检验的定义求解；

(2)根据超几何概率模型求解.

【小问1详解】

由题意得，

所以能在犯错误的概率不超过的前提下认为成绩与所在学校有关系．

【小问2详解】

名同学中有甲学校有人，乙学校有人，

的可能取值为，，，．

，，

，，

的分布列为如下

所以．

20. 如图1，在△ABC中，，DE是△ABC的中位线，沿DE将△ADE进行翻折，使得△ACE是等边三角形（如图2），记AB的中点为F．

（1）证明：平面ABC．

（2）若，二面角D-AC-E为，求直线AB与平面ACD所成角的正弦值．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）取AC中点G，连接FG和EG，证明四边形DEGF是平行四边形,然后利用线面垂直的判定定理证明平面ABC, 从而得到平面ABC.

（2）（方法一）过点E作，以E为原点，建立空间直角坐标系E-xyz，设,求出平面AEC和平面ACD的法向量，由已知条件可得长，然后利用线面角的向量公式求解即可；

（方法二）连接DG，可证得，可得长，过点F作，垂足为I，利用线面垂直及面面垂直的性质可得平面ACD，连接AI，则∠FAI即为所求角，在三角形中计算可得答案.

【小问1详解】

如图，

取AC中点G，连接FG和EG，由已知得，且．

因为F，G分别为AB，AC的中点，所以，且

所以，且．

所以四边形DEGF是平行四边形．

所以．

因为翻折的，易知．

所以翻折后，．

又因为，EA，平面AEC，

所以平面AEC．

因为，

所以平面AEC．

因为平面AEC，所以．

因为ACE等边三角形，点G是AC中点，所以

又因为，AC，平面ABC．

所以平面ABC．

因为，所以平面ABC．

【小问2详解】

（方法一）如图，

过点E作，以E为原点，EH、EC，ED所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系E-xyz，设，则，，，，则，，，

因为平面AEC．所以是平面AEC的法向量，

设面ACD的法向量为，则

，即，解得．

取，得．

因为二面角D-AC-E为，所以，

解得，所以，．

记直线AB与平面ACD所成角，

则，

所以直线AB与平面ACD所成角的正弦值为．

（方法二）如图，

连接DG，因为平面AEC，平面AEC，所以．

又因为，，DE，平面DEG．所以平面DEC．

因为EG，平面DEG，所以，，所以∠DGE是二面角D-AC-E的平面角，故．

由△ACE是边长为2的等边三角形，得，

在RtDGE中，，所以，．

过点F作，垂足为I，

因为平面DEGF，平面ACD，所以平面平面ACD．

又因为平面平面，平面DEGF，且，

所以平面ACD．

连接AI，则∠FAI即为直线AB与平面ACD所成的角．

在Rt△DFG中，，，得，由等面积法得，解得．

在RtAFG中，，，所以．

在RtFAI中，，

所以直线AB与平面ACD所成角的正弦值为．

21. 已知椭圆 的上下左右四个顶点分别为 ，，，， 轴正半轴上的点 满足．

（1）求椭圆 的标准方程以及点 的坐标．

（2）过点 作直线 交椭圆于 ，，是否存在这样的直线 使得 和 的面积相等？若不存在，请说明理由．

（3）在（）的条件下，求当直线 的倾斜角为钝角时， 的面积．

【答案】（1）， 点坐标为    

（2）存在， 或    

（3）

【解析】

【分析】（1）由及椭圆的定义即可求得标准方程及点点坐标.

（2）由 与 的面积相等知点到直线 的距离相等，再由点到直线的距离公式即可求得直线方程.

（3）由（2）求得的直线方程，联立椭圆，再由面积公式即可求得三角形的面积.

【小问1详解】

设点 的坐标为 ，易知 ，，

 ，，

因此椭圆的标准方程为 ，点坐标为 ．

【小问2详解】

设直线 ，

由 与 的面积相等知点到直线 的距离相等，

所以解得 或 ，

所以直线 的方程为 或．

【小问3详解】

若直线 的倾斜角为钝角，则 ，

此时直线 的方程为，

由  消去 得 ，

设 ， 坐标分别 ，，

则有所以 的面积

故所求 的面积为 ．

22. 已知函数

（1）若，求函数的单调递减区间;

（2）若关于x的不等式恒成立，求整数 a的最小值:

（3）若，正实数满足，证明:

【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析．

【解析】

【详解】试题分析：（1）利用导数求函数单调区间，注意首先明确定义域，正确求导：因为，所以，由，得，（2）不等式恒成立问题一般利用变量分离法：问题等价于在上恒成立．再利用导数求函数最大值，令根为，在上是增函数；在上是减函数．

，所以整数的最小值为2．（3）转化为关于的不等式即可：由，即

从而，利用导数求左边函数最小值1，所以，解得

试题解析：（1）因为，所以， 1分

此时，

2分

由，得，

又，所以．

所以的单调减区间为． 4分

（2）方法一：令，

所以．

当时，因为，所以．

所以在上是递增函数，

又因为，

所以关于的不等式不能恒成立． 6分

当时，，

令，得．

所以当时，；当时，，

因此函数在是增函数，在是减函数．

故函数的最大值为． 8分

令，

因为，，又因为在是减函数．

所以当时，．

所以整数的最小值为2． 10分

方法二：（2）由恒成立，得在上恒成立，

问题等价于在上恒成立．

令，只要． 6分

因为，令，得．

设，因为，所以在上单调递减，

不妨设的根为．

当时，；当时，，

所以在上是增函数；在上是减函数．

所以． 8分

因为，

所以，此时，即．

所以，即整数的最小值为2． 10分

（3）当时，

由，即

从而 13分

令，则由得，

可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增．

所以， 15分

所以，

因此成立． 16分

考点：利用导数求函数单调区间、函数最值