人教B版高考数学一轮总复习50直线与圆锥曲线的位置关系练习含答案

这是一份人教B版高考数学一轮总复习50直线与圆锥曲线的位置关系练习含答案，共11页。
五十　直线与圆锥曲线的位置关系(建议用时：45分钟)A组　全考点巩固练1．(2020·鹤壁高中高三月考)已知直线l：x－y＋3＝0与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)交于A，B两点，点P(1,4)是弦AB的中点，则双曲线C的离心率为(　　)A． B．2  C．   D．D　解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为点P(1,4)是弦AB的中点，根据中点坐标公式可得因为A，B两点在直线l：x－y＋3＝0上，根据两点斜率公式可得＝1.因为A，B两点在双曲线C上，所以所以－＝0，即＝＝＝×1＝4，解得＝2.所以e＝＝＝.2．(2020·大连一中模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为，且双曲线过点P(2,3)，双曲线两条渐近线与过右焦点F且垂直于x轴的直线交于A，B两点，则△AOB的面积为(　　)A．4 B．2  C．8 D．12A　解析：由题意得，双曲线的渐近线方程为y＝±x，可得双曲线的方程为x2－＝λ(λ>0)，把点(2,3)代入可得4－3＝λ，得λ＝1，所以双曲线的方程为x2－＝1，c2＝1＋3＝4，c＝2，F(2,0)，可得A(2,2)，B(2，－2)，可得S△AOB＝×2×4＝4.故选A.3．(2021·重庆高三月考)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F(－c,0)，过点F且斜率为1的直线与双曲线C交于A，B两点．若线段AB的垂直平分线与x轴交于点P(2c，0)，则双曲线C的离心率为(　　)A．   B．  C． D．2D　解析：设线段AB的中点坐标为(x0，y0)，则有⇒x0＝，y0＝c，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入双曲线方程有－＝1，－＝1，两式相减得－＝0，可得＝＝3，即b2＝3a2，所以c＝2a，e＝2.4．(多选题)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l.设l与x轴的交点为K，P为C上异于O的任意一点，P在l上的射影为E，∠EPF的外角平分线交x轴于点Q，过Q作QN⊥PE交EP的延长线于N，作QM⊥PF交线段PF于点M，则(　　)A．|PE|＝|PF| B．|PF|＝|QF|C．|PN|＝|MF| D．|PN|＝|KF|ABD　解析：由抛物线的定义，知|PE|＝|PF|，A正确；因为PN∥QF，PQ是∠FPN的平分线，所以∠FQP＝∠NPQ＝∠FPQ，所以|PF|＝|QF|，B正确；若|PN|＝|MF|，由PQ是∠FPN的平分线，QN⊥PE，QM⊥PF得|QM|＝|QN|，从而有|PM|＝|PN|，于是有|PM|＝|FM|，这样就有|QP|＝|QF|，△PFQ为等边三角形，∠FPQ＝60°，也即有∠FPE＝60°，这只是在特殊位置才有可能，因此C错误；由A，B知|PE|＝|QF|，因为|EN|＝|KQ|，所以|KF|＝|PN|，D正确．5．(2020·新高考全国卷Ⅰ)斜率为的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝________.　解析：(方法一)在抛物线y2＝4x中，2p＝4，斜率为的直线倾斜角θ＝，所以过焦点的弦长|AB|＝＝＝＝.(方法二)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由已知可得抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，过点F且斜率k＝的直线方程为y＝(x－1)，联立消去y得3x2－10x＋3＝0，所以所以|AB|＝·＝×＝.6．过点P(1,1)作直线l与双曲线x2－＝λ交于A，B两点．若点P恰为线段AB的中点，则实数λ的取值范围是____________．(－∞，0)∪　解析：因为双曲线方程为x2－＝λ，所以λ≠0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为点P恰为线段AB的中点，所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝2.将A，B两点坐标代入双曲线方程，得两式相减并化简可得＝2×＝2.即直线l的斜率为2，所以直线的方程为y＝2x－1.联立化简可得2x2－4x＋2λ＋1＝0.因为直线l与双曲线有两个不同的交点，所以Δ＝16－4×2×(2λ＋1)>0，解得λ<且λ≠0.所以λ的取值范围为(－∞，0)∪.7．(2020·雅安市高三二模)已知F是抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，过F作直线与C相交于P，Q两点，且Q在第一象限．若2＝，则直线PQ的斜率是________．2　解析：设l是准线，过P作PM⊥l于M，过Q作QN⊥l于N，过P作PH⊥QN于H，如图，则|PM|＝|PF|，|QN|＝|QF|.因为2＝，所以|QF|＝2|PF|，所以|QN|＝2|PM|，所以|QH|＝|NH|＝|PM|＝|PF|，|PH|＝＝2|PF|，所以tan ∠HQF＝＝2，所以直线PQ的斜率为2.8．(2020·鹤壁市高三模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线与x轴交于点A，点M(2，p)在抛物线C上．(1)求抛物线C的方程；(2)过点M作直线l交抛物线C于另一点N.若△AMN的面积为，求直线l的方程．解：(1)因为点M(2，p)在抛物线y2＝2px上，所以p2＝4p，所以p＝4或p＝0(舍去)，所以抛物线C的方程为y2＝8x.(2)由(1)知抛物线C的方程为y2＝8x，M(2,4)，A(－2，0)，kMA＝＝1，所以直线MA的方程为y＝x＋2，即x－y＋2＝0，且|MA|＝4，所以点N到直线MA的距离d＝＝.设N点的坐标为，则d＝＝，解得y0＝或y0＝－，即N点的坐标为或.若取N，则kMN＝＝，所以直线l的方程为y－4＝(x－2)，即3x－5y＋14＝0；若取N，则kMN＝＝3，所以直线l的方程为y－4＝3(x－2)，即3x－y－2＝0.综上，直线l的方程为3x－5y＋14＝0或3x－y－2＝0.9．(2020·桂林模拟)椭圆M：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，过点A(－a,0)和B(0，b)的直线与原点间的距离为.(1)求椭圆M的方程；(2)过点E(1,0)的直线l与椭圆M交于C，D两点，且点D位于第一象限，当＝3时，求直线l的方程．解：(1)由题意可得直线AB的方程为bx－ay＋ab＝0.依题意得解得a2＝2，b2＝1，所以椭圆M的方程为＋y2＝1.(2)设C(x1，y1)，D(x2，y2)(x2>0，y2>0)，设直线l的方程为x＝my＋1(m∈R)．代入椭圆方程整理得(m2＋2)y2＋2my－1＝0.Δ＝8m2＋8>0，所以y1＋y2＝－，y1y2＝－.①由＝3，依题意可得y1＝－3y2.②结合①②得消去y2解得m＝1，m＝－1(不合题意)．所以直线l的方程为y＝x－1.B组　新高考培优练10．(2020·大连市高考模拟)已知直线y＝2x＋m与椭圆C：＋y2＝1相交于A，B两点，O为坐标原点．当△AOB的面积取得最大值时，|AB|＝(　　)A.   B.  C.   D.A　解析：联立得21x2＋20mx＋5m2－5＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝，所以|AB|＝＝＝.又O到直线AB的距离d＝，则△AOB的面积S＝d·|AB|＝≤＝，当且仅当m2＝21－m2，即m2＝时，△AOB的面积取得最大值．此时，|AB|＝＝.11．在平面直角坐标系xOy中，直线x＋y－2＝0与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相切，且椭圆C的右焦点F(c,0)关于直线l：y＝x的对称点E在椭圆C上，则△OEF的面积为(　　)A．   B．  C．1 D．2C　解析：由于直线x＋y－2＝0与椭圆C相切，联立得方程组消去x，化简得(a2＋2b2)y2－8b2y＋(8－a2)b2＝0.由Δ＝64b4－4(a2＋2b2)(8－a2)b2＝0，可得a2＋2b2＝8.①设点F′为椭圆C的左焦点，连接EF′，则EF′∥l，所以EF⊥EF′.因为F到直线l的距离d＝＝，所以|EF|＝2d＝.由椭圆定义可得|EF′|＝2a－|EF|＝2a－＝.在Rt△FEF′中，|EF|2＋|EF′|2＝|FF′|2，即2＋2＝(2c)2，化简得a2＝2b2.②联立①②得a2＝4，b2＝2，所以|EF|＝|F′E|＝2，所以S△OEF＝S△F′EF＝1.12．(多选题)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，直线的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于点A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D.若|AF|＝8，则以下结论正确的是(　　)A．p＝4   B．＝C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝4ABC　解析：如图所示．分别过点A，B作抛物线C的准线m的垂线，垂足分别为点E，M.抛物线C的准线m交x轴于点P，则|PF|＝p，由于直线l的斜率为，其倾斜角为60°.∵AE∥x轴，∴∠EAF＝60°.由抛物线的定义可知，|AE|＝|AF|，则△AEF为等边三角形，∴∠EFP＝∠AEF＝60°，则∠PEF＝30°，∴|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8，得p＝4，A选项正确．∵|AE|＝|EF|＝2|PF|，PF∥AE，∴F为AD的中点，则＝，B选项正确．∴∠DAE＝60°，∴∠ADE＝30°，∴|BD|＝2|BM|＝2|BF|，C选项正确．∵|BD|＝2|BF|，∴|BF|＝|DF|＝|AF|＝，D选项错误．故选ABC.13．已知椭圆＋y2＝1的左焦点为F，O为坐标原点．设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，点A和点B关于直线l对称，l与x轴交于点G，则点G横坐标的取值范围是________．　解析：设直线AB的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，代入＋y2＝1，整理得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0.因为直线AB过椭圆的左焦点F且不垂直于x轴，所以方程有两个不等实根．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点N(x0，y0)，则x1＋x2＝，x0＝(x1＋x2)＝，y0＝k(x0＋1)＝.因为点A和点B关于直线l对称，所以直线l为AB的垂直平分线，其方程为y－y0＝－(x－x0)．令y＝0，得xG＝x0＋ky0＝－＋＝－＝－＋.因为k≠0，所以－＜xG＜0，即点G横坐标的取值范围为.14．(2020·邢台市高三三模)在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx＋m(k>0)交椭圆E：＋y2＝1于C，D两点．(1)若m＝k＝1，且点P满足＋＋＝0，证明：点P不在椭圆E上；(2)若椭圆E的左、右焦点分别为F1，F2，直线l与线段F1F2和椭圆E的短轴分别交于两个不同点M，N，且|CM|＝|DN|，求四边形CF1DF2面积的最小值．设直线l：y＝kx＋m(k>0)交椭圆E：＋y2＝1于C(x1，y1)，D(x2，y2)两点．(1)证明：把y＝x＋1代入＋y2＝1，得5x2＋8x＝0，所以x1＋x2＝－，y1＋y2＝x1＋x2＋2＝－＋2＝.因为＋＋＝0，所以＝－(＋)＝(－x1－x2，－y1－y2)＝，即P.因为＋2＝≠1，所以点P不在椭圆E上．(2)解：将y＝kx＋m(k>0)代入＋y2＝1，得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，则x1＋x2＝－，x1x2＝.又M，N(0，m)．因为|CM|＝|DN|，所以xM－x1＝x2－xN，即xM＋xN＝x1＋x2，所以－＝－.因为直线y＝kx＋m(k>0)与线段F1F2及椭圆的短轴分别交于不同的两点，所以m≠0.又k>0，则k＝，故x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－2.由－≤－2m≤，得－≤m≤.因为y1＝x1＋m，y2＝x2＋m，所以|y1－y2|＝＝|x1－x2|＝＝＝.S四边形CF1DF2＝S△F1F2C＋S△F1F2D＝|F1F2|·|y1|＋|F1F2|·|y2|＝|F1F2|·|y1－y2|＝×≥×＝.故当m＝或m＝－时，四边形CF1DF2面积的最小值为.