海南省海口市海南枫叶国际学校2019-2020学年高一上学期期中数学试题

海南枫叶国际学校2019-2020学年度第一学期

高一年级数学学科期中考试试卷

一、选择题、（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.集合U={1，2，3，4，5，6}，S={1，4，5}，T={2，3，4}，则S∩（∁UT）等于（    ）

A. {1，4，5，6} B. {1，5} C. {4} D. {1，2，3，4，5}

【答案】B

【解析】

【分析】

由集合，，由补集的运算有,又，再结合交集的运算即可得解.

【详解】解：因为集合，，

所以,又，

所以,

故选B.

【点睛】本题考查了补集，交集的运算，重点考查了对交集、补集概念的理解能力，属基础题.

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2.若是定义在上的奇函数，当时，，则（    ）

A. 2 B. 6 C. －2 D. －6

【答案】C

【解析】

【分析】

利用奇函数的性质得到，计算即得解.

【详解】由奇函数性质得到.

故选：C

【点睛】本题主要考查奇函数性质的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

3.集合的真子集的个数是（    ）

A. 4 B. 7 C. 8 D. 16

【答案】B

【解析】

【分析】

先根据已知化简集合，再求集合的真子集的个数得解.

【详解】因为所以均满足.

所以集合,

由于集合A有3个元素，

所以它的真子集的个数为.

故选：B

【点睛】本题主要考查集合的化简和集合的真子集的个数的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

4.函数y=的定义域为

A. （-2，2） B. （-∞，-2）∪（2，+∞）

C. [-2，2] D. （-∞，-2] ∪[2，+∞）

【答案】A

【解析】

要使函数有意义，则有，解得，即定义域为，故选A.

5.已知，函数的最小值是（ ）

A. 5 B. 4 C. 8 D. 6

【答案】D

【解析】

试题分析：因为该函数的单调性较难求，所以可以考虑用不等式来求最小值，，因为，由重要不等式可知，所以，本题正确选项为D.

考点：重要不等式的运用.

6.已知，则的值等于（ ）

A.  B. 4 C. 2 D.

【答案】B

【解析】

详解】,

，

，

，故选B.

考点：分段函数.

7.若，则“”是“”的（    ）.

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

因为，所以“”是“”的必要而不充分条件.

考点：充分条件与必要条件.

8.下列不等式正确的是（　　）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若，则

【答案】B

【解析】

试题分析：A.若c<0，则不等号改变，若c=0，两式相等，故A错误；B. 若，则，故，故B正确；C.若b=0，则表达是不成立故C错误；D.c=0时错误.

考点：不等式的性质.

9.下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

逐一讨论每一个选项函数的奇偶性和单调性判断得解.

【详解】A. ,满足,所以它是偶函数，根据它的图象可以看到它在上单调递增，所以该选项符合题意；

B. ，是一个奇函数，在上单调递增，所以该选项不符合题意；

C. ，是一个偶函数，在上单调递减，所以该选项不符合题意；

D. ，由于，定义域不关于原点对称，所以函数是非奇非偶的函数，在上单调递增，所以该选项不符合题意.

故选：A

【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的判断和单调性的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

10.若函数的定义域为，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

等价于不等式的解集为R, 结合二次函数的图象分析即得解.

【详解】由题得的解集为R,

当时，1＞0恒成立，所以.

当时，，所以.

综合得.

故选：C

【点睛】本题主要考查函数的定义域和二次函数的图象性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

11.函数是奇函数且在上是增函数，，则不等式的解集为（   ）

A. 或 B. 或

C. 或 D. 或

【答案】D

【解析】

【详解】解；∵f（x）是奇函数，f（-3）=0，且在（0，+∞）内是增函数，

∴f（3）=0，且在（-∞，0）内是增函数，

∵xf（x）＜0

∴1°当x＞0时，f（x）＜0=f（3）

∴0＜x＜3

2°当x＜0时，f（x）＞0=f（-3）

∴-3＜x＜0．

3°当x=0时，不等式无解．

综上，xf（x）＜0的解集是{x|0＜x＜3或-3＜x＜0}．

故选D．

12.函数y＝f(x)对于任意x，y∈R，有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，当x>0时，f(x)>1，且f(3)＝4，则（     ）

A. f(x)在R上是减函数，且f(1)＝3

B. f(x)在R上是增函数，且f(1)＝3

C. f(x)在R上是减函数，且f(1)＝2

D. f(x)在R上是增函数，且f(1)＝2

【答案】D

【解析】

【分析】

根据定义判断函数的单调性,根据,利用赋值法即可求得的值.

【详解】函数在R上单调递增,证明过程如下:

任取,且

则

因为,所以

又因为当时,

所以,即

则,可得

所以函数在R上单调递增

令,由

可得

令

可得

因为

所以

综上可知,D为正确选项

故选:D

【点睛】本题考查了利用定义证明抽象函数的单调性,赋值法求函数值的应用,属于中档题.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20.0分）

13.命题“∃xR，x＋1≥0”的否定为______．

【答案】∀x∈R，x＋1＜0

【解析】

由题意，特称命题“∃，x＋1≥0”的否定为全称命题：“∀x∈R，x＋1＜0”.

点睛：对含有存在(全称)量词的命题进行否定需两步操作：(1)将存在(全称)量词改写成全称(存在)量词；(2)将结论加以否定．这类问题常见的错误是没有变换量词，或者对于结论没给予否定．有些命题中的量词不明显，应注意挖掘其隐含的量词．

14.已知，则__________．

【答案】

【解析】

设2x+1=t,则，f(t)= ，即f(t)= ,所以f(x)= .

答案：.

点睛：换元法是求函数解析式的常用方法之一，它主要用来处理不知道所求函数的类型，且函数的变量易于用另一个变量表示的问题．它主要适用于已知复合函数的解析式，但使用换元法时要注意新元定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域．

15.函数的单调递增区间为_______________．

【答案】和

【解析】

【分析】

作出函数的图象，利用数形结合可得结果.

【详解】作出函数的图象如下图所示，

由图象可知，函数的单调递增区间为和．

【点睛】判断函数单调性的一般方法：1．利用基本初等函数的单调性与图象：只需作出函数的图象便可判断函数在相应区间上的单调性；

2．性质法：（1）增函数增函数增函数，减函数减函数减函数，增函数减函数增函数，减函数增函数减函数；

（2）函数与函数的单调性相反；

（3）时，函数与的单调性相反（）；

时，函数与的单调性相同（）．

2．导数法：在区间D上恒成立，则函数在区间D上单调递增；在区间D上恒成立，则函数在区间D上单调递减．

4．定义法：作差法与作商法（常用来函数单调性的证明，一般使用作差法）．

【注】分段函数的单调性要求每段函数都满足原函数的整体单调性，还需注意断点处两边函

16.当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是________.

【答案】

【解析】

【分析】

运用参数分离，再结合基本不等式，即可求出实数的取值范围．

【详解】当时，不等式恒成立，

，

，时，取等号），

，

，

故答案为：

【点睛】本题考查二次不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和基本不等式，考查运算能力．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

17.已知全集U=R，集合A={–1≤x<3}，B={x|2x+2≥x+4}，

（1）求A∩B；

（2）若C={x|2x–a>0}，且B∪C=B，求实数a的取值范围．

【答案】（1）[2，3）；（2）a的取值范围是[4，+∞）．

【解析】

【分析】

(1)先解不等式得集合B，再根据交集定义求结果，(2)先由B∪C=B，得C⊆B，再利用数轴确定实数a满足条件，解得结果.

【详解】（1）∵A={–1≤x<3}，B={x|2x+2≥x+4}={x|x≥2}，

∴A∩B=[2，3）；

（2）C={x|2x–a>0}={x|x>}，

∵B∪C=B，∴C⊆B，

则，即a≥4．

∴实数a的取值范围是[4，+∞）．

【点睛】集合的基本运算的关注点

(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．

(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．

(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．

18.已知函数.

（1）求；

（2）判断函数在上单调性，并用单调性的定义证明.

【答案】（1）-1；（2）在上单调递增，证明详见解析.

【解析】

【分析】

（1）先求出，再求得解；（2）先判断函数在上单调递增，再利用单调性的定义证明.

【详解】（1）∵，∴；

（2）函数在上单调递增，证明如下：

任取且，

∴，

∵，∴，，

∵，∴，

∴，从而，

∴函数在上单调递增.

【点睛】本题主要考查函数的单调性的判断和证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

19.已知幂函数的图象过点.

（1）求函数的解析式；

（2）设函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由题得，解方程即得解；（2）在区间上是单调函数，再分两种情况讨论得解.

【详解】（1）是幂函数，，又图象过点，

∴，∴，∴；

（2）函数，∴，对称轴为；

当在上为增函数时，，解得；

当在上为减函数时，，；

所以的取值范围为.

【点睛】本题主要考查幂函数解析式的求法，考查二次函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

20.已知 ， ， .

（1）求 的最小值；

（2）求 的最小值.

【答案】(1) 64  ,(2) x+y的最小值为18.

【解析】

试题分析：（1）利用基本不等式构建不等式即可得出；
（2）由，变形得，利用“乘1法”和基本不等式即可得出．

试题解析：(1)由 ，得 ,又 ， ，故,

故，当且仅当即时等号成立，∴

(2)由2,得,则 .当且仅当即时等号成立.∴

【点睛】本题考查了基本不等式的应用，熟练掌握“乘1法”和变形利用基本不等式是解题的关键．

21.已知是定义在上的奇函数.

（1）若在上单调递减，且，求实数的取值范围；

（2）当时，，求在上的解析式.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）解抽象不等式主要是运用函数的单调性，将函数值的大小关系转化为变量取值之间的大小关系，即去掉函数符号；（2）具有奇偶性的函数，其图象就具有对称性，因此给出一半的解析式，就可求出另一半的解析式，主要是运用好奇偶性代数和几何两方面的特征解题.

【详解】（1）因为奇函数，所以可化为

又在上单调递减，于是有

解得 ：

所以实数的取值范围是.

（2）当时，则

又是定义在上的奇函数，

，

又是定义在上的奇函数，

所以的解析式为：

22.某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产千件，需另投入成本，当年产量不足80千件时，（万元）；当年产量不小于80千件时，（万元），每件售价为0.05万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．

（1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；

（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？

【答案】（1）；（2）100千件.

【解析】

【分析】

（1）分两种情况进行研究，当时，当时，分别根据年利润等于销售收入与成本的差，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；（2）根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当时，利用二次函数求最值，当时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案．

【详解】（1）∵每件商品售价为0.05万元，

∴千件商品销售额为万元，

①当时，根据年利润=销售收入-成本，

∴；

②当时，根据年利润=销售收入-成本，

∴

综合①②可得，；

（2）①当时，，

∴当时，取得最大值万元；

②当时，，

当且仅当，即时，取得最大值万元．

综合①②，由于，

∴年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．

【点睛】本题考查学生根据实际问题选择合适的函数类型的能力，以及运用基本不等式求最值的能力．与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.理解本题题意的关键是构造分段函数，构造分段函数时，做到分段合理、不重不漏，分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者).