四川省双流中学2020-2021学年高二上学期第一学月考（半期）数学理科试题

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绝密★启用前双流中学2020~2021学年度上期高中2019级第一学月考试数学试题（理工农医类）（总分150分）  题号一二三总分得分    注意事项：注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置． 2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效． 第Ⅰ卷评卷人得分  一．选择题：本题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．命题“”的否定是（    ）A．             B．C．             D．【答案】B【解析】由命题的否定原则知，变量词，否结论．故选B2．已知直线与平行，则实数的值（    ）A．          B．          C．          D．或【答案】D【解析】因为两直线平行，所以，解得或，经检验，当或时，两直线不重合．故选D3．在空间直角坐标系中，点到点和点的距离相等，则实数的值为（   ）A．          B．         C．            D．【答案】B【解析】由题知，所以，解得的值为．故选B4．圆与圆的位置关系为（    ）A．相离          B．内切         C．外切          D．相交【答案】B【解析】圆的圆心，圆的圆心，因为，．所以相交．故选B5．曲线方程的化简结果为（    ）A．      B．        C．     D．【答案】B【解析】的意义为一动点到两定点的距离为的点的轨迹方程，由椭圆的定义知其轨迹为且焦点在轴上的椭圆，所以其方程为．故选B6．如图，在直四棱柱中，底面为正方形，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）A．          B．            C．         D．【答案】D【解析】连接，则异面直线与所成角即为，设底面正方形的边长为，则，所以，．故选D7．设为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的（    ）A．充分而不必要条件             B．必要而不充分条件C．充分必要条件                 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】为非零向量，若“存在负数，使得”，则向量共线且方向相反，可得“”；反之不成立，非零向量的夹角为钝角时，满足，而不成立．故选A8．设是等比数列的前项和，若，则（    ）A．          B．           C．          D．或【答案】B【解析】由等比数列性质知成等比数列，设，则，则，所以，则．故选B9．圆关于直线对称，则的最小值是（    ）A．        B．        C．         D．【答案】C【解析】圆关于直线 对称，则圆心在直线上，即，又因为，所以，当且仅当时等号成立．故选C10．方程所表示的曲线的图形是（    ）    【答案】C【解析】方程，即或，表示一条直线去掉点以及圆位于直线右侧的部分．故选C11．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用．直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“勾2+股2=弦2”．设是椭圆的左焦点，直线交椭圆于两点，若恰好是的“勾”“股”，则此椭圆的离心率为（    ）A．       B．          C．     D．【答案】A【解析】因为恰好是的“勾”“股”，所以， 所以，所以，又因为点在椭圆上， 所以，设，则，整理得，解得，所以．故选A12．如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点在的上方），且，过点任作一条与圆相交于两点，的值为（    ）A．              B．                C．            D．【答案】C【解析】因为圆与轴相切于点，所以圆心横坐标，取的中点，因为，所以，则，即圆的半径，所以圆心，又因为，且为的中点，所以，因为在圆上，所以可设，所以，，所以，同理可得，所以．故选C评卷人得分               第II卷二．填空题．本大题共4个小题，每小题5分，共20分．将答案直接写在答题卡上．  13．等差数列中，，则=________．【答案】【解析】因为为等差数列，所以，所以．14．设点和，在直线上找一点，使取到最小值，则这个最小值为__________．【答案】【解析】设点关于直线对称的点为，则，解得，所以，连接与直线交于点，则15．已知平面区域恰好被面积最小的圆及其内部所覆盖，则圆的方程为_________． 【答案】【解析】平面区域表示以构成的三角形及其内部，覆盖它的最小圆是其外接圆，设其方程为，带入得，解得，故其方程为，其标准方程为16．已知边长为的菱形中，，沿对角边折成二面角为的四面体，则该四面体的外接球的表面积为______________．【答案】【解析】如图，设两三角形外心分别为，球心为中点为， 由题知，所以，所以球半径，所以四面体的外接球的表面积为． 评卷人得分  三．解答题，本大题共6题，共70分．解答出写文字说明、证明过程或推演步骤． 17．17．已知的三个顶点坐标为（1）求的中线所在直线方程的一般式方程；（2）求的面积．【解析】（1）因为所以的中点坐标，又因为，所以 的中线所在直线的斜率，所以直线方程为（2）因为所以，而，所以直线垂直于直线，所以，，，所以,所以的面积18．设命题：实数满足，其中．命题：实数满足；    （1）若，且为真，求实数的取值范围；（2）是的充分不必要条件，求实数的取值范围．【解析】（1），所以，所以，，所以，所以实数的取值范围为（2）因为是的充分不必要条件，所以是的充分不必要条件， 又因为命题：实数满足，所以， 命题：实数满足，其中，所以， 所以可得，所以实数的取值范围为19．在中，角的对边分别为，已知，（1）求的值（2）在边上取一点，使得,求的值．                    【解析】（1）因为，根据余弦定理，可得，可得，再根据正弦定理，可得，所以（2）由于，，所以，由于， 所以，所以，所以=由于，所以，所以．20.如图，已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆相交于两点，是的中点，直线与相交于点，（1）求圆的方程；（2）当时，求直线的方程．                     【解析】（1）点到直线的距离为，所以半径为，所以圆的方程为（2）连接，则由垂径定理可知,且， 在中，由勾股定理知：, 当动直线的斜率不存在时，直线的方程为：，显然符合题意． 当动直线的斜率存在时，直线的方程为：， 由到动直线的距离为1，得，， 所以，所以直线的方程为或21．如图，在三棱柱中，分别是的中点，（1）设棱的中点为，证明：平面；（2）若，且平面平面，求平面角的余弦值．            【解析】（1）连接，因为为棱的中点，可由棱柱性质知,且，所以四边形为平行四边形，所以，因为分别是的中点，所以，所以平面平面，所以平面，所以得证.以为原点，在平面内过作的垂线为轴， 以为轴， 为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则平面的一个法向量为，,所以,设平面的法向量，则，取，得，设二面角的平面角为，则，所以二面角的余弦值为22．已知点，椭圆的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点．（1）求椭圆的方程；（2）设过点的动直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程．【解析】（1）因为直线的斜率为，且，所以直线：，据题知点的纵坐标为，所以，所以在椭圆中，又因为椭圆的离心率为，所以，所以，所以椭圆方程为（2）当轴时，不符合题意，所以可设， 联立直线与椭圆方程得，所以， 由，得， 设，， =， 点到直线的距离，所以的面积 =，设，则， 所以=，当且仅当，即时等号成立， 符合，所以当时，的面积取得最大值， 此时直线的方程为或