四川省成都市双流中学2021-2022学年高三上学期第一次阶段性检测理科数学试题

双流中学2022届高三阶段性检测（一）

数  学（理科）

说明：1.本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟.

2.所有试题均在答题卡相应的区域内作答.

第I卷（选择题  共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）

1. 设集合，，则

A.     B.     C.     D.

2. 复数(为虚数单位) ，则的共轭复数

A.            B.             C.           D.

3. 下列命题正确的是

A. ，               B. ，

C. 是的充分不必要条件          D. 若，则

4. 设为坐标原点，、，则

A.                 B. 4                 C.              D. 6

5. 一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的主视图与左视图分别如下图所示，则该几何体的俯视图为

A.     B.     C.     D.

6. 在区间上任取两个数，则两个数之和小于的概率是

A.              B.              C.              D.

7. 设，则

A.                             B.       

C.                                D.

8. 函数，（其中，，） 其图象如右图所示，为了得到的图象，可以将的图象

A. 向右平移个单位长度        B. 向右平移个单位长度

C. 向左平移个单位长度        D. 向左平移个单位长度

9. 如图所示的程序框图，若输出的结果为4，则输入的实数的取值范围是

A.                    B.            

C.                      D.

10. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿．大鼠日一尺，小鼠亦日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半．问几何日相逢？各穿几何？”，翻译成今天的话是：一只大鼠和一只小鼠分别从的墙两侧面对面打洞，已知第一天两鼠都打了一尺长的洞，以后大鼠每天打的洞长是前一天的2倍，小鼠每天打的洞长是前一天的一半，已知墙厚五尺，问两鼠几天后相见？相见时各打了几尺长的洞？设两鼠天后相遇（假设两鼠每天的速度是匀速的），则

A.             B.              C.                    D.

11. 如图所示，边长为1的正方形的顶点，分别在边长为2的正方形的边和上移动，则的最大值是

A. 4                   B.             C.                    D. 2

12. 已知函数，，集合，集合，若集合只含有一个元素，则实数的取值范围是

A.            B.          C.          D.

 第II卷（非选择题  共90分）

注意事项： 必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指定的答题区域内作答,作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效.

二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 的展开式中项的系数为             .

14. 设等比数列满足：，，则的最大值为             。

15.  已知为锐角，且，则             .

16.  若曲线与曲线有公切线，则的取值范围是             .

三.解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分12分）

已知等差数列满足：，且，，成等比数列．

（Ⅰ）求数列的通项公式．

（Ⅱ）记为数列的前项和，是否存在正整数，使得？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由．

18.（本小题满分12分）

如图所示，中，角的对边分别为，且满足．

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）点为边的中点，，求面积的最大值．

19.  （本小题满分12分）

 随着华为mate 20手机的上市，很多消费者觉得价格偏高，尤其是一部分大学生可望而不可及，因此“国美在线”推出无抵押分期付款的购买方式，某店对最近100位采用分期付款的购买者进行统计，统计结果如下表所示.

已知分3期付款的频率为0.15，并且销售一部mate 20手机，若果顾客分1期付款，商家利润为1000元；分2期或3期付款，其利润为1500元；分4期或5期付款，其利润为2000元，以频率作为概率.

（Ⅰ）求，的值，并求事件：“购买mate 20手机的3位顾客中，至多有1位分4期付款”的概率；

（Ⅱ）用表示销售一部mate 20手机的利润，求的分布列及数学期望.

20.（本小题满分12分）

如图所示，已知正方形的边长为，，分别以，为一边在空间中作等边与等边，延长到点，使，连接，.

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）若点是线段上一动点，记与平面所成的角为，求的取值范围.

21.（本小题满分12分）

已知函数，.

（Ⅰ）试求函数的单调区间；

（Ⅱ）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.

请考生在22、23题中任选一题作答，共10分，如果多作，则按所作的第一题计分. 作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题目题号的方框涂黑.

22.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系.

（Ⅰ）求圆的极坐标方程；

（Ⅱ）直线的极坐标方程是，射线：与圆的交点为，与直线的交点为，求线段的长.

23.（本小题满分10分） 选修4－5：不等式选讲

设函数，．

（Ⅰ） 求不等式的解集；

（Ⅱ）如果关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．

参考答案（理科）

一、选择题

二、填空题

13.  80    14.  64    15.  16.

三、简答题

17.【解析】

（Ⅰ）设数列的公差为，

依题意知，2，，成等比数列，故有，---------------2分

化简得，解得或．------------------------------------------------------4分

当时，；

当时，，

从而得数列的通项公式为或．--------------------------6分

（Ⅱ）当时，，显然，

此时不存在正整数，使得成立．-------------------------------------8分

当时，．

令，即，

解得或(舍去)，-------------------------------------10分

此时存在正整数，使得成立，的最小值为41．

综上，当时，不存在满足题意的正整数；

当时，存在满足题意的正整数，其最小值为41．----------------------12分

18.【解析】

（Ⅰ）由正弦定理可得，

所以，因为，所以．--------------------------6分

（Ⅱ）在中，设，

由余弦定理知，当且仅当时取“”．-----------------------9分

所以，                  --------------------------------11分

所以的最大值为，此时.-------------------------------------------12分

19. 【解析】

（Ⅰ）由，得，-----------------------------------2分

因为，所以.-------------------------------------4分

“购买该手机的3位顾客中，至多有1位分4期付款”的概率为：

------------------------------------------6分

（Ⅱ）设分期付款的分期数为，则

，，，，.

的所有可能取值为1000，1500，2000.

，---------------------------------------7分

，--------------------------------8分

.----------------------------------------9分

所以的分布列为    

----------------10分

（元）-------------------------12分

20.【解析】

（Ⅰ）连接，则，又∵，

∴，又∵，∴，

∴，∵，∴平面，

∵平面，∴，∵，，∴，

∴，即，∵，∴平面.-------------------5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，、、两两垂直，故以为原点，、、所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，易知，则

，，，，.

∵点是线段上一动点，∴可设，

则，，，

设平面的一个法向量为，由，

令，得.

∴.

∵，.

∴，即的取值范围是.----------------------------12分

21.【解析】

（Ⅰ）因为，（，）.

所以. ----------------------------2分

①若，则，即在区间上单调递减；-------------------------3分

②若，则当时， ；当时，；

所以在区间上单调递减，在区间上单调递增；-----------------------4分

③若，则当时，；当时，；

所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．----------------5分

综上所述，若，函数在区间上单调递减；；

若，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；

若，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．---------6分

 （Ⅱ）依题意得，

令.因为，则，即．

于是，由，得，

即对任意恒成立.

设函数（），则.

当时，；当时，；

所以函数在上单调递增，在上单调递减；

所以.

于是，可知，解得.

故的取值范围是. ------------------------------------------------12分

22.【解析】

（Ⅰ）圆的普通方程为，又，，

∴圆的极坐标方程为.  ----------------------------5分

（Ⅱ）设，则由  解得.

设，则由解得.

∴.     ----------------------------------------10分

23.【解析】

（Ⅰ）                

当时，，，则；

当时，，，则；

当时，，，则.

综上可得，不等式的解集为.                   -------------------------------5分       

（Ⅱ） 设，由函数的图像与的图像可知：

在时取最小值为6，在时取最大值为，

若恒成立，则.----------------------------------------10分