四川省凉山宁南中学2020-2021学年高二上学期第二次月考数学（理）【试卷+答案】

2020-2021学年度上期宁南中学高二上第二次月考卷

     理科数学试题       

                               满分：150分   考试时间：120分钟   

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．一商店有奖促销活动中仅有一等奖､二等奖､鼓励奖三个奖项，其中中一等奖的概率为0.05，中二等奖的概率为0.16，中鼓励奖的概率为0.40，则不中奖的概率为（    ）

A． B． C． D．

2．某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01，…，38，39.现要从中选出5个，利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，则选出来的第5个零件编号是（    ）

0347  4373  8636  9647  3661  4698  6371  6233  2616  8045  6011  1410

9577  7424  6762  4281  1457  2042  5332  3732  2707  3607  5124  5179

A．36 B．16 C．11 D．14

3．在庆祝中华人民共和国成立周年之际，某学校为了解《我和我的祖国》､《我爱你，中国》､《今天是你的生日》等经典爱国歌曲的普及程度，在学生中开展问卷调查.该校共有高中学生人，其中高一年级学生人，高二年级学生人，高三年级学生人.现采用分层抽样的方法从高中学生中抽取一个容量为的样本，那么应抽取高一年级学生的人数为（    ）

A．33 B．32 C．31 D．30

4．某公司为对本公司的名员工的身体状况进行调查，先将员工随机编号为，采用系统抽样的方法（等间距地抽取，每段抽取一个个体）将抽取的一个样本．已知抽取的员工中最小的两个编号为，那么抽取的员工中，最大的编号应该是（ ）

A．            B．             C．             D．

5．已知、、是三条不同的直线，、是两个不同的平面，则下面说法中正确的是（    ）.

A．若，，且，，则

B．若，，且，则

C．若且，则//

D．若，，且//，//，则//

6．统计与人类活动息息相关，我国从古代就形成了一套关于统计和整理数据的方法．据宋元时代学者马端临所著的《文献通考》记载，宋神宗熙宁年间（公元1068－1077年），天下诸州商税岁额：四十万贯以上者三，二十万贯以上者五，十万贯以上者十九……五千贯以下者七十三，共计三百十一．由这段内容我们可以得到如下的统计表格：

则宋神宗熙宁年间各州商税岁额（单位：万贯）的中位数大约为（    ）

A．0.5 B．2 C．5 D．10

7．在平面区域内随机取一点，所取的点恰好满足的概率为（ ）

A．       B．       C．         D．

8．如图，正三棱柱的九条棱都相等，三个侧面都是正方形，M、N分别是和的中点，则与所成角的余弦值为（    ）

A．     B．   C． D．

9．正方体的棱长为，线段上有两个动点，且，则下列结论中错误的是(     )

A．

B．三棱锥的体积为定值

C．二面角的大小为定值

D．异面直线所成角为定值

10．某程序框图如图，该程序运行后输出的值是（   ）

A．8        B．9        C．10        D．11

11．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（　　）

A．4 B．8 C． D．

12．如图，在棱锥中，底面是正方形，，平面．在这个四棱锥中放入一个球，则球的最大半径为（    ）

A．           B．            C．2               D．

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．某中学举行了一场音乐知识竞赛，将参赛学生的成绩进行整理后分为5组，绘制如图所示的频率分布直方图.根据频率分布直方图，同一组数据用该区间的中点值代替，估计这次竞赛的平均成绩为______分.

14．已知一组数据的方差为2，则这组数据的方差为______.

15．国庆节放假，甲去北京旅游的概率为，乙、丙去北京旅游的概率分别为、.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________．

16．如图，二面角等于，、是棱上两点，、分别在半平面、内，，，且，则的长等于______．

三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（本题满分10分）

2019年，河北等8省公布了高考改革综合方案将采取“3+1+2”模式，即语文、数学、英语必考，然后考生先在物理、历史中选择1门，再在思想政治、地理、化学、生物中选择2门．为了更好进行生涯规划，甲同学对高一一年来的七次考试成绩进行统计分析，其中物理、历史成绩的茎叶图如图所示．

（1）若甲同学随机选择3门功课，求他选到物理、地理两门功课的概率；

（2）试根据茎叶图分析甲同学应在物理和历史中选择哪一门学科？并说明理由。

18．（本题满分12分）

树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，现从参与调查的人群中随机选出20人的样本，并将这20人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示

（1）求a的值．

（2）根据频率分布直方图，估计参与调查人群的样本数据的中位数（保留两位小数）．

（3）若从年龄在的人中随机抽取两位，求两人恰有一人的年龄在内的概率．

19．（本题满分12分）

已知如图①，在菱形中，且，为的中点，将沿折起使，得到如图②所示的四棱锥.

（1）求证：平面平面；

（2）若为的中点，求二面角的余弦值.

20．（本题满分12分）

 如图，在三棱锥中，平面平面，和均是等腰直角三角形，，，，分别为，的中点. 

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.

21.（本题满分12分）

2020年新型冠状病毒肺炎疫情期间，某市从2020年2月1日算第一天起，每日新增的新型冠状病毒肺炎人数y(人)的近5天的具体数据，如表：

已知2月份前半个月处于疫情爆发期，且新增病例数与天数具有相关关系.

（1）求线性回归方程；

（2）预测哪天该市新增的新型冠状病毒肺炎人数可以突破37人？

参考公式：回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，为样本平均值.

22．（本题满分12分）

如图，直三棱柱中，点是棱的中点.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）若，，在棱上是否存在点，使二面角的大小为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

宁南中学高2022届第二次月考

     理科数学试题 参考答案

BCACD  BCADB  CD

1．B解:中奖的概率为，中奖与不中奖互为对立事件，

所以不中奖的概率为.故选：B.

2．C解:从题中给的随机数表第一行第3列开始从左往右开始读取，

重复的数字只读一次，

读到的小于40的编号分别为36，33，26，16，11，故选：C.

3．A解:由分层抽样方法可得：应抽取高一年级学生的人数为，故选：A.

4．C解:∵抽取的学生中最小的两个编号为为5,21,

∴样本数据组距为21−5=16，样本容量n=10，∴编号对应的数列的通项公式为an=5+16(n−1)，

则当n=10时，5+16×9=149，即抽取的最大编号是149.本题选择C选项.

5．D解:对于A选项，当//时，直线与平面不一定垂直，只有、相交时才能得到，故A错； 对于B选项，如图所示，把看作，看作，平面看作，平面看作，此时//，故B错；对于C选项，若且，则//或在内，故C错；对于D选项，∵//，//，∴//，若，，则//，故选：D.

6．B解:总频数为311，则中位数是所有数据从小到大第156个数据，，中位数大约在区间的中点处，所以中位数大约为2．故选：B

7．C试题分析：由题意可知所取的点应在图中阴影部分.从而其概率为.故本题正确答案为C．

8．A解：如图建立空间直角坐标系：

令棱柱的棱长为2，则，，，则，，设与所成的角为，则故选：A

9．D试题分析：易知，所以；三棱锥的高就是点到平面的距离且为一定值，为一定值，故三棱锥的体积为定值；二面角的平面角与二面角的平面角相等，故为一定值.

10．B【解析】由题设中提供的算法流程图可知程序执行的是求和运算：由于的周期是，所以，应选答案B．

11．C【分析】根据几何体的三视图还原得到该几何体的直观图为：该几何体为三棱锥体．

如图所示：由于，下底面为等腰直角三角形．

可得，，，，

所以该四面体四个面的面积中，最大的是．故选：C．

12．D【分析】利用等体积法求四棱锥内切球的半径

设球心为S，连接，、、、，则把此四棱锥分为五个棱锥，利用这五个棱锥的体积之和等于棱锥的体积，则球的最大半径可求.

解：由平面，，又，，

所以平面，所以，，

设此球半径为R，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S，连接，、、、，则把此四棱锥分为五个棱锥，它们的高均为R．

四棱锥的体积，

四棱锥的表面积，

因为，所以．故选：D.

13．67.解：这次竞赛的平均成绩为：

故答案为：67.

14．8解：的方差是．

15．【解】用A，B，C分别表示甲、乙、丙三人去北京旅游这一事件，三人均不去的概率为，故至少有一人去北京旅游的概率为.

16．2【解】∵A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，

又∵二面角α﹣l﹣β的平面角θ等于120°，且AB＝AC＝BD＝1，

∴，60°，

∴

，故答案为2．

17．（1）；（2）答案：开放性题目，学生从其它角度作答合理可给分，答案仅供参考。

【解】（1）记物理、历史分别为，思想政治、地理、化学、生物分别为，

由题意可知考生选择的情形有，，，，，，，，，，，，共12种；他选到物理、地理两门功课的情形有，共3种；

甲同学选到物理、地理两门功课的概率为

（2）物理成绩的平均分为

历史成绩的平均分为

由茎叶图可知物理成绩的方差历史成绩的方差

故从平均分来看，选择物理历史学科均可以；从方差的稳定性来看，应选择物理学科；

从最高分的情况来看，应选择历史学科.

18．（1）；（2）42.14；（3）.

解（1）因为，.解得

（2）因为的频率为，的频率为，

所以估计参与调查人群的样本数据的中位数为.

（3）20人中，年龄在中的有人，记为A，B，

年龄在中的有人记为a，b，c，

从年龄在的5人中随机抽取两位，基本事件有：，共10种，

两人恰有一人的年龄在在内的基本事件有：，共6种，所以两人恰有一人的年龄在内的概率为..

19．（1）证明见解析；（2）.

解：（1）在图①中，连接，如图所示：

因为四边形为菱形，，所以是等边三角形.

因为为的中点，所以，.

又，所以.

在图②中，，所以，即.

因为，所以，.

又，，平面.所以平面.

又平面，所以平面平面.

（2）由（1）知，，.

因为，，平面.

所以平面.

以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴，

建立如图所示的空间直角坐标系：

则，，，，.

20．（本小题满分12分）

【解析】（Ⅰ）在等腰直角三角形中，，所以.      ………2分

因为平面平面，平面平面， 平面，

所以平面.                                                  ………4分

又因为平面，所以；                                ………5分

（Ⅱ）在平面内过点作垂直于，

由（Ⅱ）知，平面，

因为平面，所以.             ………6分

如图，以为原点建立空间直角坐标系.

则，，，，.

，，.   ………7分   

设平面的法向量为，

则，即.

令则，，所以.               ………10分

直线与平面所成角大小为，.

所以直线与平面所成角的正弦值为.            ………12分 

20．（1）；

（2）预测2月10日该市新增的新型冠状病毒肺炎人数可以突破37人.

解（1）由题意，，

，，，

则，，

所以线性回归方程为.

（2）在中，取，得；取，得.

故预测2月10日该市新增的新型冠状病毒肺炎人数可以突破37人.

22．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

解：（Ⅰ）证明：连接，交于点，则为中点，

连接，又是棱的中点，

平面，平面，平面.

（Ⅱ）解：由已知，，则，，两两垂直

以为原点，如图建立空间直角坐标系

则，

设

则，，

设平面的法向量为 ，

则

∴取平面的一个法向量.

设平面的法向量为 ，

则

∴取平面的一个法向量 .

∴，得或

∵，∴

∴存在点，此时，使二面角的大小为45°.