广东省佛山市三水区（2020-2022）九年级数学上学期期末试题汇编 3解答题

这是一份广东省佛山市三水区（2020-2022）九年级数学上学期期末试题汇编 3解答题，共28页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。

广东省佛山三水区市三水区（2020-2022）九年级数学上学期期末试题汇编-03 解答题
三、解答题
53．（2020·广东佛山三水区·九年级期末）计算：
54．（2020·广东佛山三水区·九年级期末）解方程：2x2﹣4x+1＝0．
55．（2020·广东佛山三水区·九年级期末）甲、乙两个人在纸上随机写一个-2到2之间的整数（包括-2和2）．若将两个人所写的整数相加，那么和是1的概率是多少？
56．（2020·广东佛山三水区·九年级期末）如图，中，，，面积为150．

（1）尺规作图：作的平分线交于点；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，求出点到两条直角边的距离．
57．（2020·广东佛山三水区·九年级期末）如图，的三个顶点在平面直角坐标系中正方形的格点上．

（1）求的值；
（2）点在反比例函数的图象上，求的值，画出反比例函数在第一象限内的图象．
58．（2020·广东佛山三水区·九年级期末）已知反比例函数和一次函数．
（1）当两个函数图象的交点的横坐标是-2和3时，求一次函数的表达式；
（2）当时，两个函数的图象只有一个交点，求的值．
59．（2020·广东佛山三水区·九年级期末）如图，在矩形的边上取一点，连接并延长和的延长线交于点，过点作的垂线与的延长线交于点，与交于点，连接．

（1）当且时，求的长；
（2）求证：；
（3）连接，求证：．
60．（2020·广东佛山三水区·九年级期末）已知一次函数的图象与轴和轴分别交于、两点，与反比例函数的图象分别交于、两点．
（1）如图，当，点在线段上（不与点、重合）时，过点作轴和轴的垂线，垂足为、．当矩形的面积为2时，求出点的位置；

（2）如图，当时，在轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；

（3）若某个等腰三角形的一条边长为5，另两条边长恰好是两个函数图象的交点横坐标，求的值．
61．（2022·广东佛山三水区·九年级期末）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0．
(1)若该方程的一个根为1，求a的值；
(2)若a的值为3时，请解这个方程．
62．（2022·广东佛山三水区·九年级期末）某数学小组为调查重庆实验外国语学校周五放学时学生的回家方式，随机抽取了部分学生进行调查，所有被调查的学生都需从“：乘坐电动车，：乘坐普通公交车或地铁，：乘坐学校的定制公交车，：乘坐家庭汽车，：步行或其他”这五种方式中选择最常用的一种，随后该数学小组将所有调查结果整理后绘制成如图不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题．

（1）本次调查中一共调查了　　名学生；扇形统计图中，选项对应的扇形圆心角是　　度；
（2）请补全条形统计图；
（3）若甲、乙两名学生放学时从、、三种方式中随机选择一种，请用列表法或画树状图的方法，求出甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具上班的概率．
63．（2022·广东佛山三水区·九年级期末）深圳市某商场销售某女款上衣，刚上市时每件可盈利100元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利为81元，平均每天可售出20件．
（1）求平均每次降价盈利的百分率；
（2）为扩大销售量，尽快减少库存，在“双十一”期间该商场决定再次采取适当的降价措施，经调查发现，一件女款上衣每降价1元，每天可多售出2件．若商场每天要盈利2940元，每件应降价多少元？
64．（2022·广东佛山三水区·九年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于E，连接CD，BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形BECD是正方形？（不必说明理由）

65．（2022·广东佛山三水区·九年级期末）如图1，一次函数y＝kx﹣3（k≠0）的图象与y轴交于点B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（8，1）．

(1)求出一次函数与反比例函数的解析式；
(2)点C是线段AB上一点（不与A，B重合），过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D，连接OC，OD，AD，当CD等于6时，求点C的坐标和△ACD的面积；
(3)在（2）的前提下，将△OCD沿射线BA方向平移一定的距离后，得到△O'CD'，若点O的对应点O'恰好落在该反比例函数图象上（如图2），求出点O'，D'的坐标．
66．（2022·广东佛山三水区·九年级期末）如图（1），在四边形ABCD中，AB∥DC，CB⊥AB，AB＝16cm，BC＝6cm，CD＝8cm，动点P从点D开始沿DA边匀速运动，动点Q从点A开始沿AB边匀速运动，它们的运动速度均为2cm/s．点P和点Q同时出发，设运动的时间为t（s），0＜t＜5
（1）用含t的代数式表示AP；
（2）当以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似时，求t的值；
（3）如图（2），延长QP、BD，两延长线相交于点M，当△QMB为直角三角形时，求t的值．

67．（2021·广东佛山三水区·九年级期末）计算：sin30°＋cos45°﹣tan30°•sin60°．
68．（2021·广东佛山三水区·九年级期末）如图，菱形ABCD中，DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N．求证：AM=CN．

69．（2021·广东佛山三水区·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△OAB放大到原来的2倍后得到△OA′B′，其中A、B在图中格点上，点A、B的对应点分别为A′、B′．
（1）在第一象限内画出△OA′B′；
（2）求△OA′B′的面积．

70．（2021·广东佛山三水区·九年级期末）为落实“垃圾分类”，环保部门要求垃圾要按A，B，C，D四类分别装袋、投放，其中A类指废电池、过期药品等有毒垃圾，B类指剩余食品等厨余垃圾，C类指塑料、废纸等可回收物，D类指其他垃圾．小明、小亮各自投放了一袋垃圾．
（1）小明投放的垃圾恰好是C类的概率是　 　；
（2）求小明投放的垃圾与小亮投放的垃圾是同一类的概率．
71．（2021·广东佛山三水区·九年级期末）三水大桥是一座横跨北江的特大桥梁，是一座独塔单索面斜拉桥．某无人机兴趣小组为测量主塔顶端A距离水面的高度，在无人机上搭载了测角仪，飞行到C点悬空，测得A点的仰角为30°，测得B点的俯角为22°，已知观测C到主塔的水平距离（CD的长）约为90米，求斜拉索顶端A点到水面B点的距离（AB的长）．（已知≈1.73，tan22°≈0.40，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，结果精确到0.1）

72．（2021·广东佛山三水区·九年级期末）一商店销售某种商品，平均每天可售出12件，每件盈利20元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于15元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若每件商品降价2元，则平均每天盈利多少元？
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天的盈利为320元？
73．（2021·广东佛山三水区·九年级期末）如图，在第一象限内有一点A（4，1），过点A作AB⊥x轴于B点，作AC⊥y轴于C点，点N为线段AB上的一动点，过点N的反比例函数y＝交线段AC于M点，连接OM，ON，MN．
（1）若点N为AB的中点，则n的值为　 　；
（2）求线段AN的长（用含n的代数式表示）；
（3）求△AMN的面积等于时n的值．

74．（2021·广东佛山三水区·九年级期末）如图①，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．以AQ、PQ为边作▱AQPD，连接DQ，交AB于点E．设运动时间为t（单位：s）（0≤t≤4）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，AQ＝AP；
（2）如图②，当t为何值时，▱AQPD为矩形；
（3）当t为何值时，△PEQ是以PE为直角边的直角三角形．


【答案】
53．
【分析】根据特殊角三角函数值计算即可.
【详解】解：原式.
【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
54．x1＝1+，x2＝1﹣
【分析】先把方程两边除以2，变形得到x2-2x+1=，然后利用配方法求解．
【详解】x2-2x+1=，
（x-1）2=，
x-1=±，
所以x1=1+，x2=1-．
【点睛】此题考查解一元二次方程-配方法，解题关键在于掌握运算法则.
55．
【分析】先画树状图展示所有25种等可能的结果数，再找出两数和是1的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：画树状为：

共25种可能，其中和为1有4种．
∴和为1的概率为.
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
56．（1）见解析；（2）
【分析】（1）利用尺规作图的步骤作出∠ACB的平分线交AB于点D即可；
（2）作于E，于F,根据面积求出BC的长.法一：根据角平分线的性质得出DE=DF，从而得出四边形CEDF为正方形.再由，得出，列方程可以求出结果；法二：根据，利用面积法可求得DE,DF的值.
【详解】解：（1）∠ACB的平分线CD如图所示：

（2）已知，面积为150，∴.
法一：作，，

∵是角平分线，
∴，，而,
∴四边形为正方形．
设为，则由，
∴，∴.
即，得.
∴点到两条直角边的距离为.
法二：，
即，
又由（1）知AC=15，BC=20，
∴，
∴.
故点到两条直角边的距离为.
【点睛】本题考查了尺规作图，角平分线的性质，直角三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本性质，属于中考常考题型．
57．（1）；（2），图见解析
【分析】（1）过点B作BD⊥AC于点D,然后在Rt△ABD中可以求出；
（2）将点B代入，可得出k的值，从而得出反比例函数解析式，进而用描点法画出函数图象即可.
【详解】解：（1）过点B作BD⊥AC于点D,
由图可得，BD=2，AD=4，
∴.

（2）将点B(1,3)代入,得k=3,
∴反比例函数解析式为.
函数在第一象限内取点，描点得，
x(x＞0)

1

2
3
6
y
6
3
2

2


连线得函数图象如图：

【点睛】本题主要考查正切值的求法，反比例函数解析式的求法以及反比例函数图象的画法，掌握基本概念和作图步骤是解题的关键.
58．（1）；（2）
【分析】（1）根据两个函数图象的交点的横坐标是-2和3先求出两个交点坐标，然后把两点代入一次函数解析式求出k，b值，即可得到一次函数解析式；
（2）两个函数解析式联立组成方程组消去y得到关于x的一元二次方程，根据判别式=0求出b的值.
【详解】解：（1）把-2和3分别代入中，得：和.
把，代入中，
.
∴一次函数表达式为：；
（2）当，则，联立得：，
整理得：，
只有一个交点，即，
则，得．
故b的值为4或-4.
【点睛】本题主要考查待定系数法求函数解析式和函数交点坐标的求法，先利用反比例函数解析式求出两交点坐标是解本题的关键．
59．（1）；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）根据已知条件先求出CE的长，再证明，在Rt△CHE中解三角形可求得EH的长，最后利用勾股定理求CH的长；
（2）证明，进而得出结果；
（3）由（2）得，进而，即，再结合，可得出，进一步得出结果.
【详解】（1）解：∵矩形，，
∴.
而，，
∴，
又∵，，∴，
易得.
∴，∴.
∴.
（2）证明：∵矩形，，
∴，
而，
∴，∴，
∴；
（3）证明：由（2）得，
∴，即，
而，
∴，
∴．

【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质以及解直角三角形，关键是掌握基本的概念与性质.
60．（1）或；（2）存在，或；（3）
【分析】（1）根据已知条件先求出函数解析式，然后根据平行得到，得出，又结合矩形面积=，可求出结果；
（2）先由已知条件推到出点E在A点左侧，然后求出C,D两点坐标，再分以下两种情况：①当；②当，得出，进而可得出结果；
（3）联立一次函数和反比例函数的解析式得出方程组，消去y得出关于x的一元二次方程，解出x的值，再分以下两种情况结合三角形的三边关系求解：①5为等腰三角形的腰长；
②5为等腰三角形底边长.进而得出k的值.
【详解】解：（1）当时，，
如图，由轴，轴，易得．

∴，即①，
而矩形面积为2，∴②.
∴由①②得为1或2.
∴或.
（2）∵，∴，，
∴，而，
∴点不可能在点右侧，
当在点左侧时，，
联立或
即，.
①当，∴.
而，，，，
即.
∴.
②当，∴．
即，∴.
综上所述，或.
（3）当和时，
联立，
得，
，
，.
①当5为等腰三角形的腰长时，.
②当5为等腰三角形底边长时，．
而，∴舍去.
因此，综上，.
【点睛】本题是一次函数和反比例函数的综合题，主要考查一次函数和反比例函数解析式的求法，图象与性质，两函数交点问题以及相似的判定与性质，综合性较强，有一定的难度.
61．(1)
(2)

【分析】（1）将x=1代入原方程可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a的值；
（2）把a=3代入原方程得到x2+3x+1=0，再利用公式法求解即可．
(1)
将x=1代入原方程，得：1+a+a-2=0，
解得：a=．
(2)
把a=3代入原方程得，x2+3x+1=0，
∴Δ=32-4×1×1=5，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及利用公式法解一元二次方程，都是基础知识，需熟练掌握．
62．（1）200，72；（2）见解析；（3）．
【分析】（1）根据B的人数以及百分比得到被调查的人数，再根据扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°进行计算即可；
（2）求出C组的人数即可补全图形；
（3）列表得出所有等可能结果，即可运用概率公式得甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具回家的概率．
【详解】解：（1）本次调查的学生人数为（名，
扇形统计图中，项对应的扇形圆心角是，
故答案为：200；72；
（2）选项的人数为（名，
补全条形图如下：

（3）画树状图如图：

共有9个等可能的结果，甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具上班的结果有3个，
甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具上班的概率为．
【点睛】此题考查了列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图和概率公式，解题的关键是仔细观察统计图并从中整理出解题的有关信息，正确画出树状图．
63．（1）10%；（2）60元
【分析】（1）设每次下降的百分率为a，根据刚上市每件利润100元和连续两次降价后每件利润81元，可列方程为：100（1﹣a）2＝81，即可求解；
（2）设每件应降价x元，则降价后的利润为，因降价后销量为，根据总利润利润销量，列方程进而求解．
【详解】（1）设每次下降的百分率为a，
根据题意，得：100（1﹣a）2＝81，
解得：a＝1.9（舍）或a＝0.1＝10%，
答：每次下降的百分率为10%；
（2）设每件应降价x元，
根据题意，得（81﹣x）（20+2x）＝2940，
解得：x1＝60，x2＝11，
∵尽快减少库存，
∴x＝60，
答：若商场每天要盈利2940元，每件应降价60元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题关键．
64．（1）见解析；（2）菱形，理由见解析；（3）∠A＝45°．
【分析】（1）根据∠ACB=90°，DE⊥BC可得DE//AC，即可证明四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得结论；
（2）根据直角三角形斜边中线的性质可得AD＝BD=CD，可得BD=CE，根据AB//MN可证明BECD是平行四边形，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得结论；
（3）根据正方形的性质可得∠CBD=45°，根据∠ACB=90°可得△ABC为等腰直角三角形，可得答案．
【详解】（1）∵DE⊥BC，
∴∠DFB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE＝AD．
（2）四边形BECD是菱形，理由如下：
∵D为AB中点，∠ACB＝90°，
∴AD＝BD=CD，
∵CE＝AD，
∴BD＝CE，
∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵BD=CD，
∴四边形BECD是菱形．
（3）当△ABC是等腰直角三角形时，四边形BECD是正方形，理由如下：
由（2）可知，四边形BECD是菱形，
∴∠BDC=90°时，四边形BECD是正方形，
∴∠CBD＝45°，
∵∠ACB=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴当△ABC是等腰直角三角形时，四边形BECD是正方形．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、正方形的判定与性质，有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；有一组两边相等的平行四边形是菱形；有一个角是直角的菱形是正方形；熟练掌握判定定理是解题关键．
65．(1)，y=；
(2)C（2，-2），18
(3)O'（4，2），D'（6，6）．

【分析】（1）把A坐标代入一次函数解析式求出k的值，确定出一次函数解析式，再将A坐标代入反比例函数解析式求出k的值，即可确定出反比例解析式；
（2）设C的坐标为（a，），表示出D的坐标，两点纵坐标之差即为DC的长，由已知DC的长求出a的值，确定出C的坐标，过A作AE⊥CD于点E，由A与C的横坐标之差求出AE的长，三角形ACD面积以DC为底，AE为高，求出即可；
（3）连接OO'，由平移可得：OO'∥AC，根据两直线平行时k的值相同确定出直线OO'的解析式，与反比例函数解析式联立求出交点O'的坐标，根据平移的性质，由O平移到O'的路径确定出D平移到D'的路径，进而确定出D'的坐标即可．
（1）
解：∵点A（8，1）在直线y=kx3上，
∴1=8k3，
解得：k=，
∴一次函数解析式为，
∵A（8，1）在y=（x＞0）的图象上，
∴1=，
解得：m=8，
则反比例函数解析式为y=；
（2）
解：设C（a，）（0＜a＜8），则有D（a，），
∴CD=（）=，
∵CD=6，
∴，
解得：a=8（舍去）或a=2，
∴，
∴C（2，-2），
过A作AE⊥CD于点E，则AE=8-2=6，

∴S△ACD=CD•AE=×6×6=18；
（3）
连接OO'，由平移可得：OO'∥AC，

∴直线OO'的解析式为y=，
联立得：，
解得：或（不合题意，舍去），
∴O'（4，2），
即O（0，0）通过往右平移4个单位，往上平移2个单位得到O'（4，2），
又由（2）中知D坐标为（2，4），
∴点D（2，4）往右平移4个单位，往上平移2个单位得到D'（6，6）．
【点睛】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数及反比例函数解析式，一次函数与反比例函数的交点，平移的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
66．（1）10-2t；（2）或；（3）或
【分析】（1）作DH⊥AB于H，得矩形DHBC，则CD=BH=8cm，DH=BC=6cm，AH=8cm，由勾股定理可求得AD的长，从而可得AP；
（2）分两种相似情况加以考虑，根据对应边成比例即可完成；
（3）分∠QMB=90゜和∠MQB=90゜两种情况考虑即可，再由相似三角形的性质即可求得t的值．
【详解】（1）如图，作DH⊥AB于H

则四边形DHBC是矩形
∴CD=BH=8cm，DH=BC=6cm
∴AH=AB-BH=16-8=8(cm)
在Rt△ADH中，由勾股定理得
∵DP=2tcm
∴AP=AD-DP=(10-2t)cm
（2）①当△APQ∽△ADB时
则有
∴
解得：
②当△APQ∽△ABD时
则有
∴
解得：
综上所述，当或时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似；
（3）①当∠QMB=90゜时，△QMB为直角三角形
如图，过点P作PN⊥AB于N，DH⊥AB于H

∴∠PNQ=∠BHD
∵∠QMB=90゜
∴∠PQN+∠DBH=90゜
∵∠PQN+∠QPN=90゜
∴∠QPN=∠DBH
∴△PNQ∽△BHD
∴
即4QN=3PN
∵PN∥DH
∴△APN∽△ADH
∴，
∴，
∴
由4QN=3PN得：
解得：
②当∠MQB=90゜时，△QMB为直角三角形，如图

则PQ∥DH
∴△APQ∽△ADH
∴
∴  
即
解得：
综上所述，当或时，△QMB是直角三角形．
【点睛】本题是相似三角形的综合应用，考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，注意分类讨论的应用．
67．
【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．
【详解】解：
=
=
=
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
68．见解析
【分析】由菱形的性质可得AD=CD，∠A=∠C，由“AAS”可证△DAM≌△DCN，可得AM=CN．
【详解】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，∠A=∠C，
∵DM⊥AB，DN⊥BC，
∴∠DMA=∠DNC=90°，
在△DAM和△DCN中，
，
∴△DAM≌△DCN（AAS），
∴AM=CN．
【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握菱形的性质是本题的关键．
69．（1）见解析；（2）10
【分析】（1）根据原点为位似中心，将放大到原来的2倍后得到△，即可在第一象限内画出△；
（2）根据网格利用割补法即可求△的面积．
【详解】解：（1）如图，△即为所求；

（2）△的面积为：．
【点睛】本题考查了作图位似变换，解决本题的关键是掌握位似图形的性质．
70．（1）；（2）
【分析】（1）直接利用概率公式求出小明投放的垃圾恰好是类的概率；
（2）首先利用树状图法得出所有可能，进而利用概率公式求出答案．
【详解】解：（1）∵垃圾要按，，，四类分别装袋，小明投放了一袋垃圾，
∴小明投放的垃圾恰好是类的概率为：，
故答案为：；
（2）画树状图如图所示：

由图可知，共有16种可能结果，其中小明投放的垃圾与小亮投放的垃圾是同一类的结果有4种，
∴小明投放的垃圾与小亮投放的垃圾是同一类的概率为．
【点睛】此题主要考查了列表法与树状图法求概率以及概率公式，正确画出树状图是解题的关键．
71．87.9米
【分析】在和中，根据锐角三角函数定义求出、，即可求出．
【详解】解：由题意得，在中，米，，，，
在中，（米，
在中，（米，
（米，
答：斜拉索顶端点到水面点的距离约为87.9米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，锐角三角函数的意义等知识；掌握锐角三角函数的意义是解决问题的关键．
72．（1）288元；（2）4元
【分析】（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价2元，则平均每天可多售出2×2=4（件），即平均每天销售数量为20+4=24（件）；
（2）利用商品平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种商品利润列出方程解答即可．
【详解】解：（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价2元，
则平均每天可多售出2×2=4（件），即平均每天销售数量12+4=16（件），
利润为：18×16=288，
∴平均每天盈利288元；
（2）设每件商品降价x元时，该商品每天的销售利润为320元，
由题意得：（20-x）（12+2x）=320，
整理得：x2-14x+40=0，
∴（x-4）（x-10）=0，
∴x1=4，x2=10，
∵每件盈利不少于15元，
∴x2=10应舍去．
答：每件商品降价4元时，该商品每天的销售利润为320元．
【点睛】本题考查了一元二次方程在商品利润问题中的应用，明确商品平均每天售出的件数乘以每件盈利等于每天销售这种商品利润是解决本题的关键．
73．（1）2；（2）；（3）
【分析】（1）根据点A的坐标和点N为AB的中点得到点N的坐标，可得n值；
（2）将点N的横坐标代入反比例函数表达式，得到纵坐标，即BN的长，再根据AB得到AN；
（3）分别表示出AN和AM的长，表示出△AMN的面积，令其为，解方程即可得到结果．
【详解】解：（1）∵A（4，1），AB⊥x轴于点B，交于点N，
∴xA=xB=xN=4，AB=1，
又∵点N为AB中点，
∴BN=AB=，即yN=，
∴n=xN×yN=4×=2，
故n=2；
（2）由（1）可知：xA=xB=xN=4，
∵点N在上，
∴yN=，
∴AN=AB-BN=，
故线段AN的长为；
（3）由（2）可知：AN=，
∵点A（4，1），AC⊥y轴，交于点M，
∴yA=yM=1，AC=xN=4，
则xM==n，即CM=xM=n，
∴AM=AC-CM=4-n，
∵AC⊥y轴，AB⊥x轴，
∴四边形OBAC为矩形，
∴∠A=90°，
∴S△AMN=
=
=，
又△AMN的面积等于，
∴，
解得：，
又AN=＞0，
∴n＜4，
∴，
故n的值为．
【点睛】本题考查了反比例函数综合，矩形的判定和性质，一元二次方程，解题的关键是利用反比例函数图像上的点坐标表示出相应线段的长度．
74．（1）；（2）；（3）或
【分析】（1）先由勾股定理求出，再由题意得，，则，解得即可；
（2）证，得，解得即可；
（3）分两种情况：①时，四边形为菱形，则，再证，得，解得；
②当时，证，得，解得即可．
【详解】解：（1）在中，由勾股定理得：，
点由出发沿方向向点匀速运动，同时点由出发沿方向向点匀速运动，它们的速度均为，
，，
，
，
解得：；
（2）四边形是矩形，

又，
，
，
即，
解得：；
（3）是以为直角边的直角三角形，
分两种情况，
①当时，四边形为菱形，
，
，，
，
，
即，
解得：；
②当时，
，，
，
，
即，
解得：；
综上所述，当为或时，是以为直角边的直角三角形．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和菱形的判定与性质，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．