江苏省南京外国语学校2021-2022学年高一上学期10月月考数学试题

高一上数学阶段性练习卷

一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.

1. 已知集合均为全集的子集，且,,则

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【详解】,因为，所以中必有元素，

【考点定位】本题考查集合的交集、并集和补集运算，考查推理判断能力.对于，这两个条件，可以判断集合中的元素有三种情形，而指出中必有元素，简化了运算，使结果判断更容易.

2. 若，则下列不等式一定成立的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据不等式的性质，结合特值法，逐一分析选项，即可得答案.

【详解】A选项，当，时，，不等式不成立；

B选项，若时，，则不等式不成立；

C选项，若， 时，则不等式不成立；

D选项，若，则，不等式成立；

若，则，，不等式成立，

故选：D.

3. 若，满足，，且，则的值为（    ）

A.  B.  C. 9 D. 11

【答案】A

【解析】

【分析】依题可得，，为方程的两个不等实根，

由根与系数的关系即可求解

【详解】依题可得，，为方程的两个不等实根，

所以，，

所以.

故选：A.

4. 已知集合，则满足的集合的个数为（    ）

A. 4 B. 8 C. 16 D. 32

【答案】C

【解析】

【分析】先求得集合A，根据题意，可得，分析求解，即可得答案.

【详解】由题意得，解得，

所以，所以，

所以集合的个数与的子集个数相同为.

故选：C.

5. 已知，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】化简可得，根据基本不等式即可求得答案.

【详解】由题意得：

因为，所以，，

所以，

当且仅当，即时取等号.

故选：D.

6. 关于的不等式在[1，6]内有解，则的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由题意只需，即可，先求得在上的最大值，结合一元二次不等式的解法，即可得答案.

【详解】依题可得在[1，6]内有解，

只需，

设，

当时，，

所以，解得.

故选：C.

7. 面积为4的直角三角形，其周长的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】设三角形的两条直角边为，，可得，则周长为，结合基本不等式，即可得答案.

【详解】设三角形的两条直角边为，，可得，

三角形的周长为，

当且仅当时取等号.

故选：C.

8. 若集合，且满足，则称为集合的三元“调和子集”，自然数集合的所有三元“调和子集”个数为（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】A

【解析】

【分析】设为自然数集合的三元“调和子集”，不妨设，然后分和两种情况分别求的值，从而求出集合.

【详解】设为自然数集合的三元“调和子集”，不妨设，

若，则显然不成立；

若，则，所以，

满足的正整数只能是，

代入，得，所以.

所以

故选：.

二､多项选择题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）

9. 下列说法错误的有（    ）.

A. ，是，的必要不充分条件

B. 的最小值为2

C. 语句“”是命题

D. “实数都大于0”的否定是“实数都小于或等于0”

【答案】BD

【解析】

【分析】根据不等式的性质，结合充分、必要条件的定义，逐一分析选项，即可得答案.

【详解】A选项，若，，则，，

但，时，如，，

无法保证，，故A正确；

B选项，，当且仅当时，即取等号，不成立，故B错误；

C选项，这是一个假命题，故C正确；

D选项，否定应为“存在实数小于或等于0”，故D错误.

故选：BD.

10. 若一个集合是另一个集合的子集，则称这两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则可能的取值为（    ）

A. 0 B. 1 C.  D. -1

【答案】ACD

【解析】

【分析】由题意，可得或者两个集合有公共元素，分别讨论求解，即可得答案.

【详解】如果，则，解得，

如果两个集合有公共元素则，解得，经检验符合，

或，解得，经检验符合.

故选：ACD

11. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ）

A.

B.

C. 不等式的解集为或

D. 的最小值为6

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据含参的一元二次不等式的解法，分析可得a的正负，即可判断A的正误；根据二次函数性质，可判断B的正误；根据根与系数的关系，可得且，代入所求，化简计算，即可判断C的正误；将代入，根据基本不等式，即可判断D的正误，即可得答案.

【详解】A选项，依题可得函数开口向下与轴交点横坐标为2，3，故A错误；

B选项，依题可得时，函数值小于0，即，故B正确；

C选项，因为开口向下与轴交点横坐标为2，3，

所以，即，且，

所以不等式可化为，即，

解集为或，故C正确；

D选项，，

当且仅当时，即时取等，故D正确.

故选：BCD.

12. 已知正数，满足，下列说法正确的有（    ）

A. 的最大值为1 B. 的最大值为

C. 的最大值为 D. 的最小值为2

【答案】ABC

【解析】

【分析】由基本不等式结合已知条件逐个判断即可求解

【详解】A选项：，当且仅当时取等，故A正确；

B选项：，解得，

当且仅当时取等，故B正确；

C选项：令，已知条件可化为，

即，

当且仅当时，即，时取等，故C正确；

D选项：，

当且仅当时取等，故D错误.

故选：ABC.

三､填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.

13. 命题“”是假命题，则实数的取值范围是___________.

【答案】

【解析】

【分析】先求得原命题的否定，由题意得命题的否定为真命题，根据二次方程的性质，即可得答案

【详解】由题意得原命题的否定为：为真命题，

所以，解得.

故答案为：

14. 已知集合，有下列三个关系①；②；③，若三个关系中有且只有一个正确的，则_______________.

【答案】5

【解析】

【分析】依次讨论①②③正确性，确定的值，得到答案.

【详解】若①正确，②③错误，则，，，矛盾，不成立；

若②正确，①③错误，则，，，矛盾，不成立；

若③正确，①②错误，则，，，成立，；

综上所述：.

故答案为：.

【点睛】本题考查了逻辑推理，相等集合，意在考查学生的计算能力和逻辑推理能力.

15. 已知：，：（其中为不为0的常数），若是的一个必要不充分条件，写出一个满足题意的的值___________.

【答案】1

【解析】

【分析】先求出：，：，依题可得，讨论与求解即可

【详解】：，：，

依题可得，

当时， 由得，

故，解得，

当时， 由得，

故，解得，

综上可知：或

故满足题意的的值可以取1，

故答案：1

16. 已知，若在上恒成立，则0___________（用“”､“”､“关系不能确定”填空）；的最大值为___________.

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】如果，则时不等式成立，代入可得，分析整理，可得进行判断；

法一：先求得不等式的解集，根据a，b的正负，结合题意，可得，即可求得a的范围，即可得答案；

法二：根据题意，时，不等式成立，代入求解，化简整理，即可得答案.

【详解】如果，则时不等式成立，即，

因为，可得，

与矛盾，故；

法一：

因为，所以，

所以不等式的解集为或，

因为，，

所以要使得在上恒成立，

只需，

解得，所以.

法二：

因为在上恒成立，

所以时可得，

因为，所以，

解得，所以，

经检验，，时符合条件.

四､解答题：本大题共6小题，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上.

17. 已知全集，集合，.

（1）若，求；

（2）若，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

【分析】（1）先求得集合A，当时，求得集合B，根据交集、补集运算的概念，即可得答案.

（2）根据题意，可得，根据，可得或，即可得答案.

【详解】（1），当时，所以；

（2）因为，所以，

又因为，所以或，

解得或.

18. 已知集合，，若，求实数的取值范围.

【答案】

【解析】

【分析】先求得集合A，根据，可得，分别讨论、、和几种情况，求得a值，综合即可得答案.

【详解】由题意得：，

因为，所以

①，可得，即，解得；

②，即，解得；

③，即，无解；

④，即，无解，

综上，.

19. 已知关于的不等式的解集为，.

（1）若，求实数的取值范围；

（2）若___________，求的取值范围.

请在①；②；③这三个条件中任选一个补充在横线处然后作答.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

【答案】（1）或；（2）答案见解析.

【解析】

【分析】（1）由题意，二次方程有解，由判别式求解即可；

（2）如选①：

因为，所以，分与两种结合二次方程的根的情况讨论即可求解；

如选②：

因为，所以，所以时，所以只需和时即可，代入即可求解；

如选③：分与两种情况讨论即可求解；

【详解】（1）因为，二次方程有解

所以，即，

解得或；

（2）

如选①：

因为，所以

当时，即，解得；

当时，即或，

所以的两个根在区间[1，3]内，

即，解得，

综上，；

如选②：

因为，所以，

所以时，

所以只需和时即可，

即，解得；

如选③：

当时，即，解得；

当时，即或，

所以的两个根均大于3或均小于1，

即或，

解得，

综上，；

20. 已知正数，满足.

（1）求的最小值；

（2）若恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）8；（2）.

【解析】

【分析】（1），根据基本不等式，即可求得答案.

（2）原式可化为，令，，条件可化为，代入所求，根据基本不等式，可求得的最小值，根据一元二次不等式的解法，即可得答案.

【详解】（1），

解得，

当且仅当，即，时取等，

所以的最小值为8；

（2）原式可化为，

令，，条件可化为，

因为，

所以，

则

，

当且仅当，即，时取等，

所以，解得.

21. 求下列关于不等式的解集.

（1）；

（2）.

【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；

【解析】

【分析】（1）不等式等价于，分别讨论和两种情况，根据二次不等式的解法，即可得答案.

（2）当时，可得，即可得解集，当时，若，可求得解集；若，根据一元二次不等式的解法，即可得答案.

【详解】（1）不等式等价于

①时，，不等式无解，解集为；

②时，因为，

所以不等式的解集为；

（2）①时，，解集为；

②时，

i）若，即时，解集为；

ⅱ）若，即时，解集为.

22. 含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数.例如{4，6，9}的元素和是4+6+9=19；交替和是9-6+4=7；而{5}的元素和与交替和都是5.

（1）写出集合{1，2，3}的所有非空子集的交替和的总和；

（2）已知集合，根据提示解决问题.

①求集合所有非空子集的元素和的总和；

提示：方法1：，先求出在集合的非空子集中一共出现多少次，进而可求出集合所有非空子集的元素和的总和；方法2：如果我们知道了集合{1，2，3，4，5}的所有非空子集的元素和的总和为，可以用表示出的非空子集的元素和的总和，递推可求出集合所有非空子集的元素和的总和.

②求集合所有非空子集的交替和的总和.

【答案】（1）12；（2）①672，②192

【解析】

【分析】（1）写出集合{1，2，3}的非空子集，根据交替和的概念，求得各个交替和，综合即可得答案.

（2）①求得集合{1，2，3}所有非空子集中，数字1、2、3各出现的次数，集合{1，2，3，4}所有非空子集中，数字1、2、3、4各出现的次数，根据规律，推测出集合M中各数字出现的次数，即可得答案.

②分别求得集合的交替和总和，根据规律，总结出n个元素的交替和总和公式，代入数据，即可得答案.

【详解】（1）集合{1，2，3}的非空子集为{1}，{2}，{3}，{2，1}，{3，1}，{3，2}，{3，2，1}，

集合{1}，{2}，{3}的交替和分别为1，2，3，

集合{2，1}的交替和为2-1=1，

集合{3，1}的交替和为3-1=2，

集合{3，2}的交替和为3-2=1，

集合{3，2，1}的交替和为3-2+1=2，

所以集合{1，2，3}的所有非空子集的交替和的总和为1+2+3+1+2+1+2=12.

（2）①集合{1，2，3}所有非空子集中，数字1、2、3各出现次，

集合{1，2，3，4}所有非空子集为：{1}，{2}，{3}，{4}，{2，1}，{3，1}，{4，1}，{3，2}，{2，4}，{3，4}，{3，2，1}，{4，2，1}，{4，3，1}，{4，3，2}，{4，3，2，1}，

其中数字1、2、3、4各出现次，

在集合{1，2，3，4，5}所有非空子集中，含1的子集的个数为，

故数字1在个子集中出现即数字1在所有的非空子集中出现了16次，

同理数字2、3、4、5各出现次，

同理在集合{1，2，3，4，5，6}所有非空子集中，数字1、2、3、4、5、6各出现次，

所以集合所有非空子集的元素和的总和为.

②设集合交替和分别为，

集合{1}的所有非空子集的交替和为

集合{1，2}的所有非空子集的交替和，

集合{1，2，3}的非空子集的交替和，

集合{1，2，3，4}的非空子集的交替和

所以根据前4项猜测集合的所有非空子集的交替和总和为，

所以集合所有非空子集的交替和的总和

【点睛】解题的关键是根据题意，列出非空子集，求得元素和、交替和，总结规律，进行猜想，再代数求解，分析理解难度大，属难题.

本试卷的题干、答案和解析均由组卷网（http://zujuan.xkw.com）专业教师团队编校出品。

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