江苏省南京外国语学校2021-2022学年高一上学期10月月考数学试题

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1. 已知集合均为全集的子集，且,,则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】,因为，所以中必有元素，
【考点定位】本题考查集合的交集、并集和补集运算，考查推理判断能力.对于，这两个条件，可以判断集合中的元素有三种情形，而指出中必有元素，简化了运算，使结果判断更容易.
2. 若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的性质，结合特值法，逐一分析选项，即可得答案.
【详解】A选项，当，时，，不等式不成立；
B选项，若时，，则不等式不成立；
C选项，若， 时，则不等式不成立；
D选项，若，则，不等式成立；
若，则，，不等式成立，
故选：D.
3. 若，满足，，且，则的值为（ ）
A. B. C. 9D. 11
【答案】A
【解析】
【分析】依题可得，，为方程的两个不等实根，
由根与系数的关系即可求解
【详解】依题可得，，为方程的两个不等实根，
所以，，
所以.
故选：A.
4. 已知集合，则满足的集合的个数为（ ）
A. 4B. 8C. 16D. 32
【答案】C
【解析】
【分析】先求得集合A，根据题意，可得，分析求解，即可得答案.
【详解】由题意得，解得，
所以，所以，
所以集合的个数与的子集个数相同为.
故选：C.
5. 已知，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】化简可得，根据基本不等式即可求得答案.
【详解】由题意得：
因为，所以，，
所以，
当且仅当，即时取等号.
故选：D.
6. 关于的不等式在[1，6]内有解，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意只需，即可，先求得在上的最大值，结合一元二次不等式的解法，即可得答案.
【详解】依题可得在[1，6]内有解，
只需，
设，
当时，，
所以，解得.
故选：C.
7. 面积为4的直角三角形，其周长的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设三角形的两条直角边为，，可得，则周长为，结合基本不等式，即可得答案.
【详解】设三角形的两条直角边为，，可得，
三角形的周长为，
当且仅当时取等号.
故选：C.
8. 若集合，且满足，则称为集合的三元“调和子集”，自然数集合的所有三元“调和子集”个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】设为自然数集合的三元“调和子集”，不妨设，然后分和两种情况分别求的值，从而求出集合.
【详解】设为自然数集合的三元“调和子集”，不妨设，
若，则显然不成立；
若，则，所以，
满足的正整数只能是，
代入，得，所以.
所以
故选：.
二､多项选择题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）
9. 下列说法错误的有（ ）.
A. ，是，的必要不充分条件
B. 的最小值为2
C. 语句“”是命题
D. “实数都大于0”的否定是“实数都小于或等于0”
【答案】BD
【解析】
【分析】根据不等式的性质，结合充分、必要条件的定义，逐一分析选项，即可得答案.
【详解】A选项，若，，则，，
但，时，如，，
无法保证，，故A正确；
B选项，，当且仅当时，即取等号，不成立，故B错误；
C选项，这是一个假命题，故C正确；
D选项，否定应为“存在实数小于或等于0”，故D错误.
故选：BD.
10. 若一个集合是另一个集合的子集，则称这两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则可能的取值为（ ）
A. 0B. 1C. D. -1
【答案】ACD
【解析】
【分析】由题意，可得或者两个集合有公共元素，分别讨论求解，即可得答案.
【详解】如果，则，解得，
如果两个集合有公共元素则，解得，经检验符合，
或，解得，经检验符合.
故选：ACD
11. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 不等式的解集为或
D. 的最小值为6
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据含参的一元二次不等式的解法，分析可得a的正负，即可判断A的正误；根据二次函数性质，可判断B的正误；根据根与系数的关系，可得且，代入所求，化简计算，即可判断C的正误；将代入，根据基本不等式，即可判断D的正误，即可得答案.
【详解】A选项，依题可得函数开口向下与轴交点横坐标为2，3，故A错误；
B选项，依题可得时，函数值小于0，即，故B正确；
C选项，因为开口向下与轴交点横坐标为2，3，
所以，即，且，
所以不等式可化为，即，
解集为或，故C正确；
D选项，，
当且仅当时，即时取等，故D正确.
故选：BCD.
12. 已知正数，满足，下列说法正确的有（ ）
A. 的最大值为1B. 的最大值为
C. 的最大值为D. 的最小值为2
【答案】ABC
【解析】
【分析】由基本不等式结合已知条件逐个判断即可求解
【详解】A选项：，当且仅当时取等，故A正确；
B选项：，解得，
当且仅当时取等，故B正确；
C选项：令，已知条件可化为，
即，
当且仅当时，即，时取等，故C正确；
D选项：，
当且仅当时取等，故D错误.
故选：ABC.
三､填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
13. 命题“”是假命题，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】先求得原命题的否定，由题意得命题的否定为真命题，根据二次方程的性质，即可得答案
【详解】由题意得原命题的否定为：为真命题，
所以，解得.
故答案为：
14. 已知集合，有下列三个关系①；②；③，若三个关系中有且只有一个正确的，则_______________.
【答案】5
【解析】
【分析】依次讨论①②③正确性，确定的值，得到答案.
【详解】若①正确，②③错误，则，，，矛盾，不成立；
若②正确，①③错误，则，，，矛盾，不成立；
若③正确，①②错误，则，，，成立，；
综上所述：.
故答案为：.
【点睛】本题考查了逻辑推理，相等集合，意在考查学生的计算能力和逻辑推理能力.
15. 已知：，：（其中为不为0的常数），若是的一个必要不充分条件，写出一个满足题意的的值___________.
【答案】1
【解析】
【分析】先求出：，：，依题可得，讨论与求解即可
【详解】：，：，
依题可得，
当时， 由得，
故，解得，
当时， 由得，
故，解得，
综上可知：或
故满足题意的的值可以取1，
故答案：1
16. 已知，若在上恒成立，则0___________（用“”､“”､“关系不能确定”填空）；的最大值为___________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】如果，则时不等式成立，代入可得，分析整理，可得进行判断；
法一：先求得不等式的解集，根据a，b的正负，结合题意，可得，即可求得a的范围，即可得答案；
法二：根据题意，时，不等式成立，代入求解，化简整理，即可得答案.
【详解】如果，则时不等式成立，即，
因为，可得，
与矛盾，故；
法一：
因为，所以，
所以不等式的解集为或，
因为，，
所以要使得在上恒成立，
只需，
解得，所以.
法二：
因为在上恒成立，
所以时可得，
因为，所以，
解得，所以，
经检验，，时符合条件.
四､解答题：本大题共6小题，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上.
17. 已知全集，集合，.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】
【分析】（1）先求得集合A，当时，求得集合B，根据交集、补集运算的概念，即可得答案.
（2）根据题意，可得，根据，可得或，即可得答案.
【详解】（1），当时，所以；
（2）因为，所以，
又因为，所以或，
解得或.
18. 已知集合，，若，求实数的取值范围.
【答案】
【解析】
【分析】先求得集合A，根据，可得，分别讨论、、和几种情况，求得a值，综合即可得答案.
【详解】由题意得：，
因为，所以
①，可得，即，解得；
②，即，解得；
③，即，无解；
④，即，无解，
综上，.
19. 已知关于的不等式的解集为，.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若___________，求的取值范围.
请在①；②；③这三个条件中任选一个补充在横线处然后作答.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
【答案】（1）或；（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）由题意，二次方程有解，由判别式求解即可；
（2）如选①：
因为，所以，分与两种结合二次方程的根的情况讨论即可求解；
如选②：
因为，所以，所以时，所以只需和时即可，代入即可求解；
如选③：分与两种情况讨论即可求解；
【详解】（1）因为，二次方程有解
所以，即，
解得或；
（2）
如选①：
因为，所以
当时，即，解得；
当时，即或，
所以的两个根在区间[1，3]内，
即，解得，
综上，；
如选②：
因为，所以，
所以时，
所以只需和时即可，
即，解得；
如选③：
当时，即，解得；
当时，即或，
所以的两个根均大于3或均小于1，
即或，
解得，
综上，；
20. 已知正数，满足.
（1）求的最小值；
（2）若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）8；（2）.
【解析】
【分析】（1），根据基本不等式，即可求得答案.
（2）原式可化为，令，，条件可化为，代入所求，根据基本不等式，可求得的最小值，根据一元二次不等式的解法，即可得答案.
【详解】（1），
解得，
当且仅当，即，时取等，
所以的最小值为8；
（2）原式可化为，
令，，条件可化为，
因为，
所以，
则
，
当且仅当，即，时取等，
所以，解得.
21. 求下列关于不等式的解集.
（1）；
（2）.
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；
【解析】
【分析】（1）不等式等价于，分别讨论和两种情况，根据二次不等式的解法，即可得答案.
（2）当时，可得，即可得解集，当时，若，可求得解集；若，根据一元二次不等式的解法，即可得答案.
【详解】（1）不等式等价于
①时，，不等式无解，解集为；
②时，因为，
所以不等式的解集为；
（2）①时，，解集为；
②时，
i）若，即时，解集为；
ⅱ）若，即时，解集为.
22. 含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数.例如{4，6，9}的元素和是4+6+9=19；交替和是9-6+4=7；而{5}的元素和与交替和都是5.
（1）写出集合{1，2，3}的所有非空子集的交替和的总和；
（2）已知集合，根据提示解决问题.
①求集合所有非空子集的元素和的总和；
提示：方法1：，先求出在集合的非空子集中一共出现多少次，进而可求出集合所有非空子集的元素和的总和；方法2：如果我们知道了集合{1，2，3，4，5}的所有非空子集的元素和的总和为，可以用表示出的非空子集的元素和的总和，递推可求出集合所有非空子集的元素和的总和.
②求集合所有非空子集的交替和的总和.
【答案】（1）12；（2）①672，②192
【解析】
【分析】（1）写出集合{1，2，3}的非空子集，根据交替和的概念，求得各个交替和，综合即可得答案.
（2）①求得集合{1，2，3}所有非空子集中，数字1、2、3各出现的次数，集合{1，2，3，4}所有非空子集中，数字1、2、3、4各出现的次数，根据规律，推测出集合M中各数字出现的次数，即可得答案.
②分别求得集合的交替和总和，根据规律，总结出n个元素的交替和总和公式，代入数据，即可得答案.
【详解】（1）集合{1，2，3}的非空子集为{1}，{2}，{3}，{2，1}，{3，1}，{3，2}，{3，2，1}，
集合{1}，{2}，{3}的交替和分别为1，2，3，
集合{2，1}的交替和为2-1=1，
集合{3，1}的交替和为3-1=2，
集合{3，2}的交替和为3-2=1，
集合{3，2，1}的交替和为3-2+1=2，
所以集合{1，2，3}的所有非空子集的交替和的总和为1+2+3+1+2+1+2=12.
（2）①集合{1，2，3}所有非空子集中，数字1、2、3各出现次，
集合{1，2，3，4}所有非空子集为：{1}，{2}，{3}，{4}，{2，1}，{3，1}，{4，1}，{3，2}，{2，4}，{3，4}，{3，2，1}，{4，2，1}，{4，3，1}，{4，3，2}，{4，3，2，1}，
其中数字1、2、3、4各出现次，
在集合{1，2，3，4，5}所有非空子集中，含1的子集的个数为，
故数字1在个子集中出现即数字1在所有的非空子集中出现了16次，
同理数字2、3、4、5各出现次，
同理在集合{1，2，3，4，5，6}所有非空子集中，数字1、2、3、4、5、6各出现次，
所以集合所有非空子集的元素和的总和为.
②设集合交替和分别为，
集合{1}的所有非空子集的交替和为
集合{1，2}的所有非空子集的交替和，
集合{1，2，3}的非空子集的交替和，
集合{1，2，3，4}的非空子集的交替和
所以根据前4项猜测集合的所有非空子集的交替和总和为，
所以集合所有非空子集的交替和的总和
【点睛】解题的关键是根据题意，列出非空子集，求得元素和、交替和，总结规律，进行猜想，再代数求解，分析理解难度大，属难题.
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