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人教版初中数学基础知识和基本概念
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七年级上册 2
第一章 有理数 2
第二章 整式的加减 7
第三章 一元一次方程 9
第四章 几何图形初步 11
七年级 下册 15
第五章 相交线与平行 15
第六章 实数 19
第七章 平面直角坐标系 21
第八章 二元一次方程组 23
第九章 不等式与不等式组 24
第十章 数据的收集、整理与描述 25
八年级 上册 26
第十一章 三角形 26
第十二章 全等三角形 30
第十三章 轴对称 31
第十四章 整式的乘法与因式分解 33
第十五章 分式 37
八年级下册 40
第十六章 二次根式 40
第十七章 勾股定理 41
第十八章 平行四边形 42
第十九章 一次函数 44
第二十章 数据的分析 46
九年级 上册 47
第二十一章 一元二次方程 47
第二十二章 二次函数 48
第二十三章 旋转 50
第二十四章 圆 52
第二十五章 概率初步 55
九年级 下册 56
第二十六章 反比例函数 56
第二十七章 相似 57
第二十八章 锐角三角函数 62
第二十九章 投影与视图 63
七年级上册
第一章 有理数
1.1 正数和负数
正数、负数的定义：
正数：像3，1.8%，3.5这样大于0的数叫做正数。
负数：像－3，－2.7%，－4.5，－1.2这样在正数前加上符号“－”（负）的数叫做负数。
0既不是正数，也不是负数。
对0的认识：
1.表示没有
例如，0个苹果，意思是没有苹果。
2.表示数时起到占位的作用
例如：10605中的两个0，分别占的是十位和千位。
3.表示某种量的基准
例如，0℃不是表示没有温度，而是表示在标准大气压下，水开始结冰的温度。
4.表示某些数量的分界
0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界。
5.表示起点
例如，在米尺上，刻度的起点为“0”。.
如果一个问题中出现相反意义的的量，我们可以用正数和负数分别表示它们。
如：若规定零上温度为正，则零上8℃可记作+8（或8）℃，零下6℃可记作 -6℃。
1.2 有理数
1.2.1 有理数
正整数、0、负整数统称为整数；正分数、负分数统称为分数。
整数和分数统称为有理数。
几个常用的数学名词：
（1）正整数 （2）负整数 （3）正分数 （4）负分数 （5）非负数 （6）非正数
（7）非负整数（也叫做自然数）：正整数和0 （8）非正整数：负整数和0。
（9）正有理数：正整数和正分数。 （10）负有理数：负整数和负分数。
（11）非正有理数：0、负整数和负分数。 （12）非负有理数：0、正整数和正分数。
1.2.2 数轴
数轴的定义：
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
归纳
一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右（或上）边，与原点的距离是a个单位长度；表示数－a的点在原点左（或下）边，与原点的距离是a个单位长度。
1.2.3 相反数
归纳
一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距离是a的点有两个，它们分别在原点左右，表示－a和a，我们说这两个点关于原点对称。
像2和－2，5和－5这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数。这样是说，2的相反数是－2，－2的相反数是2；5的相反数是－5，－5的相反数是5。
一般地，a和－a互为相反数。特别地，0的相反数是0。
在任意一个数前添上“－”号，新的数就表示原数的相反数。
1.2.4 绝对值
绝对值
一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值记作|a|。
|10|=10 |－10|=10 显然 |0|=0
由绝对值的定义可知：
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。即
（1）如果a＞0，那么|a|=a；
（2）如果a=0，那么|a|=0；
（3）如果a＜0，那么|a|=－a。
数学中规定：在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数。
一般地：
（1）正数大于0，0大于负数，正数大于负数；
（2）两个负数，绝对值大的反而小。
异号两数比较大小，要考虑它们的正负；同号两数比较大小，要考虑它们的绝对值。
1.3 有理数的加减法
1.3.1 有理数的加法
有理数加法法则：
1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
2.绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个加数相加得0。
3.一个数同0相加，仍得这个数。
加法交换律:a+b = b+a 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)
1.3.2 有理数的减法
有理数的减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。
a-b=a+(-b)
归纳
引入相反数后，加减混合运算可以统一为加法运算。
a+b-c=a+b+(-c)
1.4 有理数的乘除法
1.4.1 有理数的乘法
有理数的乘法法则：
两数相乘 ，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
任何数与0相乘，都得0。
有理数中仍有：
乘积是1的两个数互为倒数。
归纳
几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。
乘法交换律:ab = ba 乘法结合律:(ab)c = a(bc) 乘法分配律：a(b+c) = ab+ac
1.4.2 有理数的除法
有理数的除法法则：
除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。
a÷b=a· 1b （b≠0）
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。
1.5 有理数的乘方
1.5.1 乘方
求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数。当an看作a的n次方的结果时，也可读作“a的n次幂”。94读作“9的4次方”，或“9的4次幂”。
根据有理数的乘法法则可以得出：
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
正数的任何次幂都是正数，0的任何正数次幂都是0。
做有理数的运算时，应注意以下运算顺序：
1.先乘方，再乘除，最后加减。
2.同级运算，从左到右进行。
3.如有括号，先做括号内的运算，按照小括号、中括号、大括号依次进行。
1.5.2 科学记数法
把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a大于或等于1且小于10，n是正整数），使用的是科学记数法。
1.5.3 近似数
“约有五百人参加了今天的会议。”五百这个数只是接近实际人数，但与实际人数还有差别，它是一个近似数。
π≈3 （精确到个位）
π≈3.1 （精确到0.1，或叫做精确到十分位）
π≈3.14 （精确到0.01，或叫做精确到百分位）
第二章 整式的加减
2.1 整式
单项式
100t，-n，m2n，这些式子都是数或字母的积，像这样的式子叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。
系数
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。
单项式的次数
一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
多项式
几个单项式的和叫做多项式。其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。
多项式的次数
多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。例如多项式x2+2x-5中次数最高项是二次项x2，这个多项式的次数是2。
整式
单项式与多项式统称整式。
2.2 整式的加减
同类项
所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，几个常数项也是同类项。例如2a与5a是同类项，m2与-5m2是同类项，5与8是同类项。
合并同类项
把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。
在书写时，通常我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小（降幂）或从小到大（升幂）的顺序排列。
合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变
去括号时符号变化的规律：
如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同。
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。
+120（u-0.5）=+120u – 60 -120（u-0.5）= -120u + 60
整式加减的运算法则：
一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。
第三章 一元一次方程
3.1 从算式到方程
3.1.1 一元一次方程
方程：含有未知数的等式。
一元一次方程：
只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程。
解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解。
分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法。
3.1.2 等式的性质
等式的性质：
等式的性质1 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
如果a = b，那么a±c = b±c
等式的性质2 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
如果a = b，那么ac = bc
如果a = b（c≠0），那么ac=bc
3.2 解一元一次方程（一）----合并同类项与移项
移项
把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。
移项的作用：
通过移项，可以把含有未知数的项与常数项分别位于方程的左右两边，使方程变为“ax=b”的形式，再系数化为1，即可求出方程的解。
3.3 解一元一次方程（二）
----去括号与去分母
归纳
解一元一次方程的一般步骤包括：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等。通过这些步骤可以使以x为未知数的方程逐步向着x=a的形式转化，这个过程主要依据等式的基本性质和运算律等。
3.4 实际问题与一元一次方程
能画图要画图，要把信息罗列在纸上，可以使信息更加直观，有利于理清思路。
第四章 几何图形初步
4.1 几何图形
几何图形
长方体、圆柱、球、长（正）方形、圆、线段、点等，以及小学学过的三角形、四边形等，都是从形形色色的物体外形中得出的，它们都是几何图形。
4.1.1 立体图形与平面图形
有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形。
有些几何图形（如线段、角、三角形、长方形、圆等）的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。
虽然立体图形与平面图形是两类不同的几何图形，但它们是相互联系的。立体图形中某些部分是平面图形，例如长方体的侧面是长方形。
从不同方向看立体图形，往往会得到不同形状的平面图形。
有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形。这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。
4.1.2 点、线、面、体
长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等都是几何体。几何体也简称体。
包围着体的是面。面有平的面和曲的面两种。
点动成线 线动成面 面动成体
几何图形都是由点、线、面、体组成的，点是构成图形的基本元素。
4.2 直线、射线、线段
经过思考和画图，我们可以得到一个基本事实：
经过两点有一条直线，并且只有一条直线。
简单说成：两点确定一条直线。
当两条不同的直线有一条公共点时，我们就称这两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点。
尺规作图：用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图。
两点的所有连线中，线段最短。简单说成：两点之间，线段最短。
连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离。
4.3 角
4.3.1 角
角
角也是一种基本的几何图形，棱锥相交的两条棱，三角尺两条相交的边线，都给我们以角的形象。
有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边。
度、分、秒
把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作1’； 把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作1’’。
1°=60’ 1’=60’’
4.3.2角的比较与运算
角平分线
一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。类似的，还有角的三等分线等。
例 把一个周角7等分，每一份是多少度的角（精确到分）？
解：360°➗ 7=51°+ 3°➗7 = 51°+180ʹ➗7≈51°26 ʹ
4.3.3余角和补角
余角、补角
一般地，如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角。
类似的，如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角。
余角的性质：同角（等角）的余角相等。
补角的性质：同角（等角）的补角相等。
方向的叙述：北偏东 北偏西 南偏东 南偏西 东北 东南 西北 西南
一个角是钝角，它的一半是什么角？ 它的一半是锐角，且这个锐角大于45°。
七年级 下册
第五章 相交线与平行
5.1 相交线
5.1.1 相交线
邻补角
∠1和∠2有一条公共边OC，它们的另一边互为
反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角。
对顶角
∠1和∠3有一个公共点O，并且∠1的两边分别
是∠3的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两
角，互为对顶角。
对顶角的性质：对顶角相等。
5.1.2 垂线
垂直、垂线、垂足
固定木条a，转动木条b。当b的位置变化时，a，b所成的∠α也会发生变化。当∠α=90°时，我们说a与b互相垂直。
垂直是相交的一种特殊情形，两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
简单说成：垂线段最短。
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
5.1.3 同位角、内错角、同旁内角
同位角
∠1与∠5，这两个角分别在直线AB，CD的同一方（上方），
并且都在直线EF的同侧（右侧），具有这种位置关系的一对角叫
做同位角。
内错角
∠3与∠5，这两个角分都在直线AB，CD之间，并且分别在
直线EF的两侧（∠3在直线EF左侧，∠5在直线EF右侧），具有
这种位置关系的一对角叫做内错角。
同旁内角
∠3和∠6都在直线AB，CD之间，但它们在直线EF的同一旁（左侧），具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角。
5.2 平行线及其判定
5.2.1 平行线
平行
转动a，可以发现，在木条转动过程中，存在直线a与b不相交的情形，这时我们说直线a与b互相平行，记作a∥b。
在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交或平行。
通过观察和画图，可以发现一个基本事实（平行公理）：
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
由平行公理，进一步可以得出以下结论：
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
也就是说：如果b∥a，c∥a，那么b∥c。
5.2.2 平行线的判定
判定两条直线平行的方法：
判定方法1 同位角相等，两直线平行。 （判定方法1来自实践）
判定方法2 内错角相等，两直线平行。 （由判定方法1推出）
判定方法3 同旁内角互补，两直线平行。 （由判定方法1推出）
5.3 平行线的性质
5.3．1 平行线的性质
一般地，平行线具有性质：
性质1 两直线平行，同位角相等。
性质2 两直线平行，内错角相等。
性质3 两直线平行，同旁内角互补。
5.3.2 命题、定理、证明
等式两边加同一个数，结果仍是等式。
像这样判断一件事情的语句，叫做命题。命题由题设和结论两部分组成。题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。
如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题。
题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题。
有一些命题，如“对顶角相等”“内错角相等，两直线平行”等，它们的的正确性经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理。定理也可以作为继续推理的依据。
在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做证明。
5.4 平移
归纳
1.把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同。
2.新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到，这两个点是对应点。连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等。
图形的这种移动，叫做平移。
平移的方向，不限于是水平的。
第六章 实数
6.1 平方根
算术平方根
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。a的算术平方根记为a，读作“根号a”，a叫做被开方数。
规定：0的算术平方根是0。
100的算术平方根是10，100是被开方数。
被开方数越大，对应的算术平方根也越大，这个结论对所有正数都成立。
平方根
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根。
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。
正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的平方根就是这个数的算术平方根。
任何一个数的平方都不会是负数，所以负数没有平方根。
0的平方根是0.
6.2 立方根
立方根
一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。
求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
归纳
正数的立方根是正数，
负数的立方根是负数，
0的立方根是0。
类似于平方根，一个数a的立方根，用符号“3a”表示，读作“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数。例如38表示8的立方根，38=2；3−8表示-8的立方根，3−8=−2。3a中的根指数不能省略。
6.3 实数
无限不循环小数又叫做无理数。
有理数和无理数统称实数。
正有理数
有理数 0 有限小数或无限循环小数
负有理数
实数
正无理数
无理数 无限不循环小数
负无理数
正实数
实数 0
负实数
每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来。
数a的相反数是 – a，这里a表示任意一个实数。
一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
第七章 平面直角坐标系
7.1 平面直角坐标系
7.1.1 有序数对
“9排7号”“第一列第五排”这样含有两个数的表达方式来表示一个确定的位置，其中两个数各自表示不同的含义。我们把这种有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）。
7.1.2 平面直角坐标系
我们可以在平面内画两条相互垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上的方向为正方向；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示了。例如，由点A分别向x轴和y轴做垂线，垂足M在x轴上的坐标是3，垂足N在y轴上的坐标是4，我们说点A的横坐标是3，纵坐标是4，有序数对（3，4）就叫做点A的坐标。
建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ成四个部分，每个部分称为象限。分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。坐标轴上的点不属于任何象限。
坐标平面内的点与有序实数对是 一 一对应的。
7.2 坐标方法的简单应用
7.2.1 用坐标表示地理位置
归纳
利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程如下：
（1）建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向；
（2）根据具体问题确定单位长度；
（3）在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称。
7.2.2 用坐标表示平移 点的平移 图形的平移
一般地，在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把各个点的纵坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度。
第八章 二元一次方程组
8.1 二元一次方程组
x+y=10 2x+y=16
上面两个方程中，每个方程都含有两个未知数（x和y），并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。
把两个方程合在一起，写成
x+y=10
2x+y=16
就组成一个方程组，这个方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组。
一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
8.2 消元--------解二元一次方程组
消元思想 带入消元法，简称代入法。
加减消元法，简称加减法。
8.3 实际问题与二元一次方程（应用题）
*8.4 三元一次方程组的解法（三元一次方程组通过消元转化为二元一次方程组）
第九章 不等式与不等式组
9.1 不等式
9.1.1 不等式及其解集
50x ＜ 23 23x＞50
像这样用符号“＞”或“＜”表示大小关系的式子叫做不等式。
我们把使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。
一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集，求不等式的解集的过程叫做解不等式。
9.1.2 不等式的性质
不等式的性质
不等式的性质1 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
不等式的性质2 不等式的两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
不等式的性质3 不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
9.2 一元一次不等式
类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。
归纳
解一元一次方程，要根据等式的性质，将方程逐步转化为x=a的形式；而解一元一次不等式，则要根据不等式的性质，将不等式逐步转化为x＜a或x＞a的形式。
9.3 一元一次不等式组
类似于方程组，把两个不等式合起来，组成一个一元一次不等式组。
归纳
解一元一次不等式组时，一般先求出其中各个不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集。
第十章 数据的收集、整理与描述
10.1 统计调查
考察全体对象地调查叫做全面调查。
抽样调查是这样地一种方法，它只抽取一部分对象进行调查，然后根据调查数据推断全体对象的情况。
全体对象 个体 样本
抽取样品的过程中，总体中的每一个个体都有相等的机会被抽到，像这样地抽样方法是一种简单随机抽样。
归纳
全面调查和抽样调查是收集数据的两种方式。全面调查收集到的数据全面、准确，但一般花费多、耗时长，而且某些调查不宜全面调查，抽样调查具有花费少、省时的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度。
10.2 直方图
把所有数据分成若干组，每个小组的两个端点之间的距离（组内数据的取值范围）称为组距。根据问题的需要，各组的组距可以相同或不同。 149≤x＜152 152≤x＜155
对落在各个小组内的数据进行累计，得到各个小组内的数据的个数叫做频数。
直方图 为了更直观形象地看出频数分布地情况，可以根据图表画出频数分布直方图。
八年级 上册
第十一章 三角形
11.1 与三角形有关的线段
11.1.1 三角形的边
三角形
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
三角形三边之间的大小关系：
1 三角形的两边的和大于第三边。 （由两点之间，线段最短得出）
2 三角形的两边之差小于第三边。 （由1变形可得出）
三角形的分类，按是否有边相等分为两类：
1三边都不相等的三角形
2等腰三角形 底边和腰不相等的等腰三角形；等边三角形。
11.1.2 三角形的高、中线与角平分线
三角形的高
从ΔABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做ΔABC的边BC上的高。
三角形的中线
连接ΔABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做ΔABC的边BC上的中线。
三角形的重心
三角形的三条中线相交于一点。三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。
三角形的角平分线
画∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫做ΔABC的角平分线。
11.1.3 三角形的稳定性
三角形木架的形状不会改变，而四边形木架的形状会改变。这就说说明，三角形是具有稳定性的图形，而四边形没有稳定性。
11.2 与三角形有关的角
11.2.1 三角形的内角
三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°。 （要知道其证明过程）
直角三角形的两个锐角互余。
由三角形内角和定理可得：有两个角互余的三角形是直角三角形。
11.2.2三角形的外角
把ΔABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
由三角形内角和定理可以推出下面结论：
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
11.3多边形及其内角和
11.3.1 多边形
我们学过三角形，类似的，在平面内，由一些线段首位顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。
连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
我们知道，正方形的各个角都相等，各条边都相等。像正方形这样，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。
11.3.2 多边形的内角和
多边形的内角和公式：
n边形内角和等于（n-2）×180°。
多边形的外角和：
多边形的外角和等于360° （要知道这个结论的思考的过程）
第十二章 全等三角形
12.1 全等三角形
1能够完全重合的两个图形叫做全等形。
2能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
3把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。
4全等三角形有这样的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。
12.2 全等三角形的判定
1三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。
需要掌握尺规作图 画∠AʹOBʹ 等于 ∠AOB
2两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。
3两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 （可以简写成“角边角”或“ASA”）。
4两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） （由ASA推出的）。
5斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）。
12.3角平分线的性质
要求掌握画角平分线的方法：
角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
利用全等三角形，可以得到：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
第十三章 轴对称
13.1 轴对称
13.1.1 轴对称
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。
垂直平分线
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
图形轴对称的性质：
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
13.1.2 垂直平分线的性质
垂直平分线的性质：
垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
通过证明可以得到：
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
尺规作图：1经过已知直线外一点作这条直线的垂线。
2点A 和点B关于某条直线成轴对称，做出这条直线。（这两个图要会做）
13.2 画轴对称图形
归纳一
由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同；新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的对称点；连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。
归纳二
几何图形都可以看作由点组成，对于某些图形，只要画出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形。
归纳三
点（x, y）关于x轴的对称点的坐标为（x, - y）。
点（x, y）关于y轴的对称点的坐标为（-x, y）。
13.3 等腰三角形
13.3.1等腰三角形的性质
等腰三角形的性质：
性质1 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）；
性质2等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的
高相互重合（简写成“三线合一”）。
等腰三角形的判定方法：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）
13.3.2 等边三角形
由等边三角形的性质和判定方法可以得到：
等边三角形的三个内角都相等，并且每一角都等于60°。
三个角都相等的三角形是等边三角形。
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
13.4 课题学习 最短路径问题
在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而做出最短路径的选择。
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.1 整式的乘法
14.1.1 同底数幂的乘法
同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
am·an=am+n(m、n都是正整数)
x2·x 5= x2+5= x7
14.1.2 幂的乘方
幂的乘方，底数不变，指数相乘。
（am）n=amn(m、n都是正整数)
(103)5=103×5=1015
14.1.3 积的乘方
积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
（ab）n=anbn(n是正整数)
14.1.4 整式的乘法
一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
ac5·bc2=(a·b)(c5·c2)=abc7
一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所有的积相加。p(a+b+c)=pa+pb+pc (利用图来说明)
一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。（a+b）（p+q）=a（p+q）+b（p+q）=ap+aq+bp+bq
同底数幂相除
同底数幂相除，底数不变，指数相减。
am÷an=am-n(a≠0，m、n都是正整数，并且m＞n) x7÷x2=x5
am÷am=1 am÷am=am-m=a0 于是规定a0=1（a≠0）
任何不等于0的数的0次幂都等于1。
一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
28x4y2÷7x3y
=(28÷7)·x4-3·y2-1
=4xy
一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
(12a3-6a2+3a)÷3a
=12a3÷3a - 6a2÷3a + 3a÷3a
=4a2-2a+1
14.2 乘法公式
14.2.1 平方差公式
平方差公式 （a+b）（a-b）=a2-b2
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
(3x+2)(3x-2)=9x2-4
14.2.2 完全平方公式
完全平方公式 （a+b）2=a2+2ab+b2 （a-b）2=a2-2ab+b2
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
(4m+n)2=16m2+8mn+n2 (y-5)2=y2-10y+25
添括号法则：
a+b+c=a+(b+c);
a-b-c=a-(b+c).
也就是说，添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不改变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都要改变符号。
14.3因式分解
X2+x=x(x+1) x2-1=(x+1)(x-1)
上面我们把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
14.3.1提公因式法
pa+pb+pc
它的各项都有一个公共的因式p，我们把因式p叫做这个多项式各项的公因式。
pa+pb+pc=p(a+b+c)
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法。
分解因式 8a3b2+12ab3c
=4ab2·2a2+4ab2·3bc
=4ab2(2a2+3bc)
14.3.2公式法 （利用平方差公式 完全平方公式）
a2-b2=（a+b）（a-b）
a2+2ab+b2=（a+b）2 a2-2ab+b2=（a-b）2
我们把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫做完全平方式。
分解因式 a3b-ab -x2+4xy-4y2
=ab(a2-1) =-(x2-4xy+4y2)
=ab(a+1)(a-1) =-(x-2y)2
第十五章 分式
15.1分式
15.1.1从分数到分式
9030+v 6030−v Sa
上面的式子与分数一样都是AB（即A÷B）的形式。分数的分子A与分母B都是整数，而这些式子中A与B都是整式，并且B中都含有字母。
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 AB 叫做分式，分式AB中，A叫做分子，B叫做分母。
分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式AB才有意义。
15.1.2 分式的基本性质
分式的基本性质：
分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。
分式的约分
把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
最简分式
分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。
分式的通分
根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
最简公分母
为通分，要先确定各分式的公分母，一般取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母。
15.2分式的运算
15.2.1分式的乘除
类似于分数，分式有：
乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
ab×cd=acbd
除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
ab÷cd=ab×dc=adbc
乘方:分式乘方要把分子、分母分别乘方。 (ab)n = anbn
15.2.2分式的加减
类似分数的加减法，分式的加减法法则是：
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。
上述法则用式子表示为：
ac±bc=a±bc
ab±cd=adbd±bcbd=ad±bcbd
15.2.3 整数指数幂
把幂的指数推广到了负指数
a3÷a5=a3a5=a3a3·a2=1a2 a3÷a5=a3-5=a-2 所以 a-2=1a2
a-n=1an a≠0 这就是说，a-n是an的倒数。
归纳
am·an=am-n这条性质对于m，n时任意整数的情形仍然适用。
整数指数幂的运算性质可以归结为：
（1）am·an=am+n(m、n都是整数)；
（2）（am）n=amn(m、n都是整数)；
（3）（ab）n=anbn(n是正整数)。
15.3分式方程
9030+v=6030−v
方程的分母中含未知数v，像这样分母中含有未知数的方程叫做分式方程。我们以前学的都是整式方程，它们的未知数不在分母中。
在方程两边乘最简公分母得到整式方程。
归纳
解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边乘最简公分母。这也是解方程的一般方法。
解分式方程要检验
一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，因此应做如下检验：
将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则这个解不是原分式方程的解。
八年级下册
第十六章 二次根式
16.1 二次根式
3 S 65
一般地，我们把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
一般地，（a）2=a (a≥0)
一般地，根据算术平方根的意义，a2=a (a≥0)
5, a, a+b, -ab, st , -x3, 3, a(a≥0)，它们都是用基本的运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式。
16.2 二次根式的乘除
4×9 = 6 4×9 = 6
一般地，二次根式的乘法法则是：
a·b = ab (a≥0, b≥0)。
一般地，二次根式的除法法则是：
ab =ab (a≥0, b≥0)
49 =23 49 =23
最简二次根式：
满足以下两个条件的根式叫做最简二次根式（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方得因数或因式。
22 310
16.3二次根式的加减
一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
80 －45 = 45 － 35 = 5
第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。
命题1与直角三角形的边有关，我国把它称为勾股定理。
要理解“赵爽弦图” P24
“赵爽弦图”通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理。
学了勾股定理后，要能够证明“斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等”这一结论。
17.2 勾股定理的逆定理
命题2 如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
命题2和命题1的题设、结论恰好相反。我们把这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立。
要看懂命题2的证明过程。P31
勾股定理的逆命题也是正确的，它是一个定理。我们把这个定理叫做勾股定理的逆定理。它是判定直角三角形的一个依据。
第十八章 平行四边形
18.1 平行四边形
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形用“ ”表示，平行四边形ABCD记作“ ABCD”。
18.1.1 平行四边形的性质
平行四边形具有以下性质：
1 平行四边形的对边相等；
2 平行四边形的对角相等；
3 平行四边形的对角线互相平分。
由平行四边形的概念和性质可知，平行线之间的任何两条平行线段都相等。
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离。
18.1.2 平行四边形的判定
1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
2 两组对对角分别相等的四边形是平行四边形；
3 对角线互相平分的四边形是平行四边形；
4 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
5.用定义证明
中位线 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形的中位线定理：
三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
（证明过程要熟悉P48）
18.2特殊的平行四边形
18.2.1 矩形
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也就是长方形。
矩形的性质：
矩形的四个角都是直角；
矩形的对角线相等。
由矩形的性质我们可以得到直角三角形的一个性质：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
矩形的判定定理：
1 对角线相等的平行四边形是矩形；
2 有三个角是直角的平行四边形是矩形。
3 用定义判定
18.2.2 菱形
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
菱形的性质：
菱形的四条边都相等；
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
菱形的判定定理：
1有一组邻边相等的平行四边形是菱形；（定义）
2对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
3四条边相等的四边形是菱形。
18.2.3 正方形
正方形的四条边都相等，四个角都是直角。因此，正方形既是矩形，又是菱形，它既有矩形的性质，又有菱形的性质。
第十九章 一次函数
19.1 函数
19.1.1 变量与函数
电影票10元每张，一场电影售出x张票，收入为y元，y的值随x的值的变化而变化吗？在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量。
上面问题中两个变量相互联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与其对应。
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。如果x=a时，y等于b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。
像y=50-0.1x 这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法。这种式子叫做函数的解析式。
19.1.2 函数的图像
用画图可以更直观地反映函数关系。
一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横坐标、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图像。
归纳
描点法画图像的一般步骤：第一步，列表；第二步，描点；第三步，连线。
表示函数的方法：写出函数解析式或者列表格或者画函数图像，都可以表示具体的函数。这三种表示函数的方法，分别称为解析式法、列表法和图像法。
注意：具体的题 自变量有具体的取值范围
19.2 一次函数
19.2.1 正比例函数
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。
一般地，正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图像是一条经过原点的直线，我们称它为直线y=kx。当k＞0时，直线y=kx经过第三、第一象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大；当k＜0时，直线y=kx经过第二、第四象限，从左向右下降，即随着x的增大y反而减小。
因为两点确定一条直线，所以可用两点法画正比例函数y=kx（k≠0）的图像。一般地，过原点和点（1，k）（k是常数，k≠0）的直线，即正比例函数y=kx（k≠0）的图像。
19.2.2 一次函数
一般地，形如y=kx+b（k,b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。当b=0时，y=kx+b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。
一次函数y=kx+b（k,b是常数，k≠0）具有如下性质：
当k＞0时，y随x的增大而增大；
当k＜0时，y随x的增大而减小。
先列出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而得出函数解析式的方法，叫做待定系数法。用待定系数法时，需要根据两个条件列一元二次方程组（以k和b为未知数）。解方程后就能具体写出一次函数的解析式。
19.2.3 一次函数与方程、不等式 （应用题）
19.3 课题学习 选择方案 收费方式、乘车方式等应用题
第二十章 数据的分析
20.1 数据的集中趋势
20.1.1 平均数
听、说、读、写成绩按2：1：3：4的比确定，其中2，1，3，4分别称为听、说、读、写四项成绩的权。
加权平均数
一般地，若n个数x1，x2，···,xn的权分别为w1,w2, ··,wn，则x1+x2+··+xnw1+w2+ ··+wn叫做这n个数的加权平均数。
20.1.2 中位数和众数
中位数
将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则称处于中间位置的数为为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数。
众数
一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数。
20.2 数据的波动程度
为了刻画一组数据波动的大小，可以采用很多种方法。统计中常采用下面的做法：设有n个数据x1，x2，···,xn，各组数据与它们的平均数`x的差的平方分别是（x1-`x）2，（x2-`x）2，···（xn-`x）2，我们用这些值的平均数，即用1n[（x1-`x）2+（x2-`x）2+···+（xn-`x）2]来衡量这组数据波动的大小，并把它叫做这组数据的方差。
方差（S2甲 S2乙 ）
方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小。
.
九年级 上册
第二十一章 一元二次方程
21.1 一元二次方程
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0（a≠0）
其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
一元二次方程的解/根
将方程化成一元二次方程的一般形式
21.2. 解一元二次方程
21.2.1 配方法
x2+6x+4=0转化为（x+3）2=5
通过配成完全平方的形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。可以看出，配方是为了降次，把一元二次方程转化成两个一元一次方程。
21.2.2 公式法
ax2+bx+c=0 （a≠0）
x=−b±b2−4ac2a b2−4ac 叫做判别式 Δ=b2−4ac
当Δ≥0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）的实数根可写为x=−b±b2−4ac2a的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式。可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法。
公式法求解的一般步骤：解：a= b= c= Δ=
Δ＞0方程有两个不相等的实数根 /Δ=0方程有两个相等的实数根 /Δ＜0方程无实数根。
21.2.3 因式分解法
x(x-2) + x-2=0
解：因式分解，得
（x-2）（x+1）=0
于是得 x-2=0 或 x+1=0
X1 = 2，x2 = -1
另外可介绍十字交叉法 x2-x-6=0化为(x-3)(x+2)=0
21.2.4一元二次方程的根与系数的关系
X1+X2= - ba X1X2= ca
21.3 实际问题与一元二次方程 应用题
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图像和性质
22.1.1 二次函数
一般地，形如y= ax2+bx+c （a,b,c都是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式得二次项系数、一次项系数和常数项。
22.1.2 二次函数y= ax2的图像和性质
实际上，二次函数的图像都是抛物线，它们的开口或者向上或者向下。一般地，二次函数y= ax2+bx+c的图像叫做抛物线y= ax2+bx+c。
Y轴式抛物线y= x2的对称轴，抛物线y= x2与它的对称轴的交点（0,0）叫做抛物线y= x2的顶点，它是抛物线y= x2的最低点。
实际上每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点。顶点是抛物线的最低点或最高点。
一般地，抛物线y= ax2的对称轴是y轴，顶点是原点。当a＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a＜0时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点。对于抛物线y= ax2，|a|越大，抛物线开口越小。
如果a＞0，当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大；如果a＜0，当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小。
22.1.3 二次函数 y=a(x-h)2+k的图象和性质
一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与y= ax2的形状相同，位置不同，把抛物线y= ax2向上（下）向左（右）平移，可以得到抛物线y=a(x-h)2+k。平移的方向、距离要根据h，k的值来决定。
抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点：
（1）当a＞0时开口向上；当a＜0时开口向下。
（2）对称轴是x=h。
（3）顶点是（h,k）。
把抛物线y=2x2向上平移1个长度单位，就得到抛物线y=2x2+1。
把抛物线y=2x2向下平移1个长度单位，就得到抛物线y=2x2-1。
抛物线y=-12（x+1）2-1的开口向下，对称轴是x=-1，顶点是（-1，-1）。
把抛物线y=-12x2向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，就得到抛物线
y=-12（x+1）2-1。
22.1.4 二次函数y= ax2+bx+c的图象和性质
抛物线y= ax2+bx+c的对称轴是x= - b2a ，顶点是（- b2a ，4ac−b24a）
二次函数y= ax2+bx+c的图象：
如果a＞0，当x＜- b2a时，y随x的增大而减小，当x＞- b2a时，y随x的增大而增大。如果a小于0，当x＜- b2a时，y随x的增大而增大，当x＞- b2a时，y随x的增大而减小。
归纳
求二次函数的解析式y= ax2+bx+c，需要求出a,b,c的值
由已知条件（如二次函数图像上三个点的坐标）列出关于a,b,c的方程组，求出a,b,c的值，就可以写出二次函数的解析式。
22.2 二次函数与一元二次方程
归纳
一般地，从二次函数y= ax2+bx+c的图象可得如下结论：
（1）如果抛物线y= ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点得横坐标是x0，那么当x= x0时，函数值是0，因此x= x0是方程ax2+bx+c=0的一个根。
（2）二次函数y= ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根。
第二十三章 旋转
23.1 图形的旋转
把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。如果图形上的点P经过旋转变为点P’，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。
旋转的性质：
对应点到旋转中心的距离相等。
对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
旋转前、后的图形全等。
选择不同的旋转中心、不同的旋转角旋转同一个图案，会出现不同的效果。
23.2 中心对称
23.2.1 中心对称
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心（简称中心）。这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点。
归纳
中心对称的性质：
中心对称的两个图形，对称点所连接线断都经过对称中心，而且被对称中心所平分。
中心对称的两个图形是全等图形。
23.2.2 中心对称图形
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。
23.2.3 关于原点对称的点的坐标
归纳
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x,y)关于原点的对称点为P’(-x,-y)。
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.1 圆
在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。
圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
大于半圆的弧叫做优弧；小于半圆的弧叫做劣弧。
能够重合的两个圆叫做等圆，容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，同圆或等圆的半径相等。在同圆或等圆中，能够相互重合的弧叫做等弧。
24.1.2 垂直于铉的直径
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴。
垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所在的两条弧。
进一步，我们就得到推论：
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
24.1.3弧、弦、圆心角
圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心。
我们把顶点在圆心的角叫做圆心角。
关于圆心角、弦、弧之间关系的定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
同样，还可以得到：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等。
24.1.4 圆周角
它的顶点在圆上，并且两边都与圆相交，我们把这样的角叫做圆周角。
圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
同弧或等弧所对的圆周角相等
半圆（或直径）所对的圆周角是直径，90°的圆周角所对的弦是直径。
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。
圆内接四边形的对角互补。
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.1 点和圆的位置关系
点在圆外d＞r 点在圆上d=r 点在圆内d＜r
不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。
P94页介绍了反证法。由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法。（课本上的例子要理解）
24.2.2 直线和圆的位置关系
直线和圆有两个公共点，这时我们就说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线。
直线和圆只有一个公共点，这时我们就说直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。
直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离。
相交d＜r 相切d=r 相离d＞r
切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的性质定理：
圆的切线垂直于过切点的半径。
过圆外一点P有两条直线PA，PB分别与⊙O相切。经过圆外一点的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长。
切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。
24.3 正多边形和圆
各边相等、各角也相等的多边形是正多边形。
我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。
24.4 弧长和扇形面积公式
对于n°的圆心角所对的弧长 l= nΠR180。
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围城的图形叫做扇形。
S扇形 = nΠR2360 S扇形 = lR2
圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体，我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。
沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形。
第二十五章 概率初步
25.1 随机事件与概率
25.1.1 随机事件
在一定条件下，有些事件必然会发生，这样的事件称为必然事件。相反的，有些事件必然不会发生，这样的事件称为不可能事件。必然事件与不可能事件统称确定性事件。
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件。
25.1.2 概率
一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P（A）。
当A为必然事件时，P（A）=1
当A为不可能事件时，P（A）=0
归纳
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P（A）= mn。
25.2 用列举法求概率
把所有可能出现的结果都列出来。 （列表法、树状图）
25.3 用频率估计概率
概率是针对大量重复试验而言的，大量重复试验反应的规律并非在每一次试验中都发生。
九年级 下册
第二十六章 反比例函数
由s=vt可知，在路程s一定的前提下，平均速度v与运行时间t成反比例。从函数角度看，平均速度v随运行时间t的变化的规律，可表示为v = st（s为常数），这类函数就是本章要研究的反比例函数。
26.1 反比例函数
26.1.1 反比例函数
一般地，形如y=kx(k为常数，k≠0)的函数，叫做反比例函数，其中x是自变量，y是函数。自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。
26.1.2 反比例函数的图象和性质
归纳
一般地，反比例函数y=kx 的图象是双曲线，它具有以下性质：
（1）当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小。
（2）当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大。
26.2 实际问题与反比例函数
考察应用题
第二十七章 相似
27.1 图像的相似
同一张底版洗出的不同尺寸的照片，以及排版印刷时使用不同字号排出的相同文字，都给我们以形状相同的形象。我们把形状相同的图形叫做相似图形。
两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比。
由相似多边形的定义可知，相似多边形的对应角相等，对应边成比例。
27.2 相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定
在ΔABC和ΔA’B’C’中，如果∠A=∠A’， ∠B=∠B’， ∠C=∠C’， ABA'B'=BCB'C'=ACA'C' =k，即三个角分别相等，三条边成比例，我们就说ΔABC与ΔA’B’C’相似，相似比为k。相似用符号“∽”表示，读作“相似于”，ΔABC与ΔA’B’C’相似记作“ΔABC∽ΔA’B’C’”。
平行线分线段的基本事实：
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
三条边成比例的两个三角形相似。
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
两角分别相等的两个三角形相似。
判定三角形相似的定理：
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
三条边成比例的两个三角形相似。
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
两角分别相等的两个三角形相似。
由相似三角形的条件可知，如果两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例，那么这两个直角三角形相似。
27.2.2 相似三角形的性质
相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比。
一般地，我们有：
相似三角形对应线段的比等于相似比。
相似三角形的面积比等于相似比的平方。
27.2.3 相似三角形应用举例
利用相似求高度、宽度、距离等
27.3 位似
位似图形
如图，在直角坐标系中有两点，A（6，3），B（6，0）。以原点O为位似中心，相似比为1/3，把线段AB缩小。观察对应点之间坐标的变化。
A，B对应点为A’（2，1），B’（2，0）；A’’（-2，-1），B’’（-2，0）。
一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点（x,y）对应的位似图形上的点的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）。
第二十八章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数
在RTΔABC中:
∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，
记作sinA，即sinA = ∠A的对边斜边 = ac
Sin30°=12 Sin45°=22 Sin60°=32
∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，
记作cosA，即cosA = ∠A的邻边斜边 = bc
cos30°=32 cos 45°=22 cos 60°=12
∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，
记作tanA，即tanA = ∠A的对边∠A的邻边 = ab
tan30°=33 tan 45°=1 tan 60°=3
28.2 解直角三角形及其应用
28.2.1 解直角三角形
一般地，在直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角。由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。
28.2.2 应用举例
例 热气球探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120m，这栋楼有多高（结果取整数）？
第二十九章 投影与视图
29.1 投影
一般地，用光线照射物体，在某个平面（底面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投射所在的平面叫做投影面。
影子既与物体的形状有关，也与光线的照射方式有关。
由平行光线形成的投影叫做平行投影（如日影）。
由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影（如物体在灯泡发出的光照射下形成的影子）。
投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影。
归纳
当物体的某个平面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同。
29.2 三视图
主视图（由前向后看）
俯视图（由上向下看）
左视图（由左向右看）
主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等。
正对着物体看，物体左右之间的
水平距离、前后之间的水平距离、上
下之间的数值距离，分别对应这里
所说的长、宽、高。
七年级上册 2
第一章 有理数 2
第二章 整式的加减 7
第三章 一元一次方程 9
第四章 几何图形初步 11
七年级 下册 15
第五章 相交线与平行 15
第六章 实数 19
第七章 平面直角坐标系 21
第八章 二元一次方程组 23
第九章 不等式与不等式组 24
第十章 数据的收集、整理与描述 25
八年级 上册 26
第十一章 三角形 26
第十二章 全等三角形 30
第十三章 轴对称 31
第十四章 整式的乘法与因式分解 33
第十五章 分式 37
八年级下册 40
第十六章 二次根式 40
第十七章 勾股定理 41
第十八章 平行四边形 42
第十九章 一次函数 44
第二十章 数据的分析 46
九年级 上册 47
第二十一章 一元二次方程 47
第二十二章 二次函数 48
第二十三章 旋转 50
第二十四章 圆 52
第二十五章 概率初步 55
九年级 下册 56
第二十六章 反比例函数 56
第二十七章 相似 57
第二十八章 锐角三角函数 62
第二十九章 投影与视图 63
七年级上册
第一章 有理数
1.1 正数和负数
正数、负数的定义：
正数：像3，1.8%，3.5这样大于0的数叫做正数。
负数：像－3，－2.7%，－4.5，－1.2这样在正数前加上符号“－”（负）的数叫做负数。
0既不是正数，也不是负数。
对0的认识：
1.表示没有
例如，0个苹果，意思是没有苹果。
2.表示数时起到占位的作用
例如：10605中的两个0，分别占的是十位和千位。
3.表示某种量的基准
例如，0℃不是表示没有温度，而是表示在标准大气压下，水开始结冰的温度。
4.表示某些数量的分界
0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界。
5.表示起点
例如，在米尺上，刻度的起点为“0”。.
如果一个问题中出现相反意义的的量，我们可以用正数和负数分别表示它们。
如：若规定零上温度为正，则零上8℃可记作+8（或8）℃，零下6℃可记作 -6℃。
1.2 有理数
1.2.1 有理数
正整数、0、负整数统称为整数；正分数、负分数统称为分数。
整数和分数统称为有理数。
几个常用的数学名词：
（1）正整数 （2）负整数 （3）正分数 （4）负分数 （5）非负数 （6）非正数
（7）非负整数（也叫做自然数）：正整数和0 （8）非正整数：负整数和0。
（9）正有理数：正整数和正分数。 （10）负有理数：负整数和负分数。
（11）非正有理数：0、负整数和负分数。 （12）非负有理数：0、正整数和正分数。
1.2.2 数轴
数轴的定义：
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
归纳
一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右（或上）边，与原点的距离是a个单位长度；表示数－a的点在原点左（或下）边，与原点的距离是a个单位长度。
1.2.3 相反数
归纳
一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距离是a的点有两个，它们分别在原点左右，表示－a和a，我们说这两个点关于原点对称。
像2和－2，5和－5这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数。这样是说，2的相反数是－2，－2的相反数是2；5的相反数是－5，－5的相反数是5。
一般地，a和－a互为相反数。特别地，0的相反数是0。
在任意一个数前添上“－”号，新的数就表示原数的相反数。
1.2.4 绝对值
绝对值
一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值记作|a|。
|10|=10 |－10|=10 显然 |0|=0
由绝对值的定义可知：
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。即
（1）如果a＞0，那么|a|=a；
（2）如果a=0，那么|a|=0；
（3）如果a＜0，那么|a|=－a。
数学中规定：在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数。
一般地：
（1）正数大于0，0大于负数，正数大于负数；
（2）两个负数，绝对值大的反而小。
异号两数比较大小，要考虑它们的正负；同号两数比较大小，要考虑它们的绝对值。
1.3 有理数的加减法
1.3.1 有理数的加法
有理数加法法则：
1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
2.绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个加数相加得0。
3.一个数同0相加，仍得这个数。
加法交换律:a+b = b+a 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)
1.3.2 有理数的减法
有理数的减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。
a-b=a+(-b)
归纳
引入相反数后，加减混合运算可以统一为加法运算。
a+b-c=a+b+(-c)
1.4 有理数的乘除法
1.4.1 有理数的乘法
有理数的乘法法则：
两数相乘 ，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
任何数与0相乘，都得0。
有理数中仍有：
乘积是1的两个数互为倒数。
归纳
几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。
乘法交换律:ab = ba 乘法结合律:(ab)c = a(bc) 乘法分配律：a(b+c) = ab+ac
1.4.2 有理数的除法
有理数的除法法则：
除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。
a÷b=a· 1b （b≠0）
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。
1.5 有理数的乘方
1.5.1 乘方
求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数。当an看作a的n次方的结果时，也可读作“a的n次幂”。94读作“9的4次方”，或“9的4次幂”。
根据有理数的乘法法则可以得出：
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
正数的任何次幂都是正数，0的任何正数次幂都是0。
做有理数的运算时，应注意以下运算顺序：
1.先乘方，再乘除，最后加减。
2.同级运算，从左到右进行。
3.如有括号，先做括号内的运算，按照小括号、中括号、大括号依次进行。
1.5.2 科学记数法
把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a大于或等于1且小于10，n是正整数），使用的是科学记数法。
1.5.3 近似数
“约有五百人参加了今天的会议。”五百这个数只是接近实际人数，但与实际人数还有差别，它是一个近似数。
π≈3 （精确到个位）
π≈3.1 （精确到0.1，或叫做精确到十分位）
π≈3.14 （精确到0.01，或叫做精确到百分位）
第二章 整式的加减
2.1 整式
单项式
100t，-n，m2n，这些式子都是数或字母的积，像这样的式子叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。
系数
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。
单项式的次数
一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
多项式
几个单项式的和叫做多项式。其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。
多项式的次数
多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。例如多项式x2+2x-5中次数最高项是二次项x2，这个多项式的次数是2。
整式
单项式与多项式统称整式。
2.2 整式的加减
同类项
所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，几个常数项也是同类项。例如2a与5a是同类项，m2与-5m2是同类项，5与8是同类项。
合并同类项
把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。
在书写时，通常我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小（降幂）或从小到大（升幂）的顺序排列。
合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变
去括号时符号变化的规律：
如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同。
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。
+120（u-0.5）=+120u – 60 -120（u-0.5）= -120u + 60
整式加减的运算法则：
一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。
第三章 一元一次方程
3.1 从算式到方程
3.1.1 一元一次方程
方程：含有未知数的等式。
一元一次方程：
只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程。
解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解。
分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法。
3.1.2 等式的性质
等式的性质：
等式的性质1 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
如果a = b，那么a±c = b±c
等式的性质2 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
如果a = b，那么ac = bc
如果a = b（c≠0），那么ac=bc
3.2 解一元一次方程（一）----合并同类项与移项
移项
把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。
移项的作用：
通过移项，可以把含有未知数的项与常数项分别位于方程的左右两边，使方程变为“ax=b”的形式，再系数化为1，即可求出方程的解。
3.3 解一元一次方程（二）
----去括号与去分母
归纳
解一元一次方程的一般步骤包括：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等。通过这些步骤可以使以x为未知数的方程逐步向着x=a的形式转化，这个过程主要依据等式的基本性质和运算律等。
3.4 实际问题与一元一次方程
能画图要画图，要把信息罗列在纸上，可以使信息更加直观，有利于理清思路。
第四章 几何图形初步
4.1 几何图形
几何图形
长方体、圆柱、球、长（正）方形、圆、线段、点等，以及小学学过的三角形、四边形等，都是从形形色色的物体外形中得出的，它们都是几何图形。
4.1.1 立体图形与平面图形
有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形。
有些几何图形（如线段、角、三角形、长方形、圆等）的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。
虽然立体图形与平面图形是两类不同的几何图形，但它们是相互联系的。立体图形中某些部分是平面图形，例如长方体的侧面是长方形。
从不同方向看立体图形，往往会得到不同形状的平面图形。
有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形。这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。
4.1.2 点、线、面、体
长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等都是几何体。几何体也简称体。
包围着体的是面。面有平的面和曲的面两种。
点动成线 线动成面 面动成体
几何图形都是由点、线、面、体组成的，点是构成图形的基本元素。
4.2 直线、射线、线段
经过思考和画图，我们可以得到一个基本事实：
经过两点有一条直线，并且只有一条直线。
简单说成：两点确定一条直线。
当两条不同的直线有一条公共点时，我们就称这两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点。
尺规作图：用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图。
两点的所有连线中，线段最短。简单说成：两点之间，线段最短。
连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离。
4.3 角
4.3.1 角
角
角也是一种基本的几何图形，棱锥相交的两条棱，三角尺两条相交的边线，都给我们以角的形象。
有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边。
度、分、秒
把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作1’； 把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作1’’。
1°=60’ 1’=60’’
4.3.2角的比较与运算
角平分线
一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。类似的，还有角的三等分线等。
例 把一个周角7等分，每一份是多少度的角（精确到分）？
解：360°➗ 7=51°+ 3°➗7 = 51°+180ʹ➗7≈51°26 ʹ
4.3.3余角和补角
余角、补角
一般地，如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角。
类似的，如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角。
余角的性质：同角（等角）的余角相等。
补角的性质：同角（等角）的补角相等。
方向的叙述：北偏东 北偏西 南偏东 南偏西 东北 东南 西北 西南
一个角是钝角，它的一半是什么角？ 它的一半是锐角，且这个锐角大于45°。
七年级 下册
第五章 相交线与平行
5.1 相交线
5.1.1 相交线
邻补角
∠1和∠2有一条公共边OC，它们的另一边互为
反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角。
对顶角
∠1和∠3有一个公共点O，并且∠1的两边分别
是∠3的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两
角，互为对顶角。
对顶角的性质：对顶角相等。
5.1.2 垂线
垂直、垂线、垂足
固定木条a，转动木条b。当b的位置变化时，a，b所成的∠α也会发生变化。当∠α=90°时，我们说a与b互相垂直。
垂直是相交的一种特殊情形，两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
简单说成：垂线段最短。
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
5.1.3 同位角、内错角、同旁内角
同位角
∠1与∠5，这两个角分别在直线AB，CD的同一方（上方），
并且都在直线EF的同侧（右侧），具有这种位置关系的一对角叫
做同位角。
内错角
∠3与∠5，这两个角分都在直线AB，CD之间，并且分别在
直线EF的两侧（∠3在直线EF左侧，∠5在直线EF右侧），具有
这种位置关系的一对角叫做内错角。
同旁内角
∠3和∠6都在直线AB，CD之间，但它们在直线EF的同一旁（左侧），具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角。
5.2 平行线及其判定
5.2.1 平行线
平行
转动a，可以发现，在木条转动过程中，存在直线a与b不相交的情形，这时我们说直线a与b互相平行，记作a∥b。
在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交或平行。
通过观察和画图，可以发现一个基本事实（平行公理）：
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
由平行公理，进一步可以得出以下结论：
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
也就是说：如果b∥a，c∥a，那么b∥c。
5.2.2 平行线的判定
判定两条直线平行的方法：
判定方法1 同位角相等，两直线平行。 （判定方法1来自实践）
判定方法2 内错角相等，两直线平行。 （由判定方法1推出）
判定方法3 同旁内角互补，两直线平行。 （由判定方法1推出）
5.3 平行线的性质
5.3．1 平行线的性质
一般地，平行线具有性质：
性质1 两直线平行，同位角相等。
性质2 两直线平行，内错角相等。
性质3 两直线平行，同旁内角互补。
5.3.2 命题、定理、证明
等式两边加同一个数，结果仍是等式。
像这样判断一件事情的语句，叫做命题。命题由题设和结论两部分组成。题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。
如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题。
题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题。
有一些命题，如“对顶角相等”“内错角相等，两直线平行”等，它们的的正确性经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理。定理也可以作为继续推理的依据。
在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做证明。
5.4 平移
归纳
1.把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同。
2.新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到，这两个点是对应点。连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等。
图形的这种移动，叫做平移。
平移的方向，不限于是水平的。
第六章 实数
6.1 平方根
算术平方根
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。a的算术平方根记为a，读作“根号a”，a叫做被开方数。
规定：0的算术平方根是0。
100的算术平方根是10，100是被开方数。
被开方数越大，对应的算术平方根也越大，这个结论对所有正数都成立。
平方根
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根。
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。
正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的平方根就是这个数的算术平方根。
任何一个数的平方都不会是负数，所以负数没有平方根。
0的平方根是0.
6.2 立方根
立方根
一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。
求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
归纳
正数的立方根是正数，
负数的立方根是负数，
0的立方根是0。
类似于平方根，一个数a的立方根，用符号“3a”表示，读作“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数。例如38表示8的立方根，38=2；3−8表示-8的立方根，3−8=−2。3a中的根指数不能省略。
6.3 实数
无限不循环小数又叫做无理数。
有理数和无理数统称实数。
正有理数
有理数 0 有限小数或无限循环小数
负有理数
实数
正无理数
无理数 无限不循环小数
负无理数
正实数
实数 0
负实数
每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来。
数a的相反数是 – a，这里a表示任意一个实数。
一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
第七章 平面直角坐标系
7.1 平面直角坐标系
7.1.1 有序数对
“9排7号”“第一列第五排”这样含有两个数的表达方式来表示一个确定的位置，其中两个数各自表示不同的含义。我们把这种有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）。
7.1.2 平面直角坐标系
我们可以在平面内画两条相互垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上的方向为正方向；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示了。例如，由点A分别向x轴和y轴做垂线，垂足M在x轴上的坐标是3，垂足N在y轴上的坐标是4，我们说点A的横坐标是3，纵坐标是4，有序数对（3，4）就叫做点A的坐标。
建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ成四个部分，每个部分称为象限。分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。坐标轴上的点不属于任何象限。
坐标平面内的点与有序实数对是 一 一对应的。
7.2 坐标方法的简单应用
7.2.1 用坐标表示地理位置
归纳
利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程如下：
（1）建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向；
（2）根据具体问题确定单位长度；
（3）在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称。
7.2.2 用坐标表示平移 点的平移 图形的平移
一般地，在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把各个点的纵坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度。
第八章 二元一次方程组
8.1 二元一次方程组
x+y=10 2x+y=16
上面两个方程中，每个方程都含有两个未知数（x和y），并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。
把两个方程合在一起，写成
x+y=10
2x+y=16
就组成一个方程组，这个方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组。
一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
8.2 消元--------解二元一次方程组
消元思想 带入消元法，简称代入法。
加减消元法，简称加减法。
8.3 实际问题与二元一次方程（应用题）
*8.4 三元一次方程组的解法（三元一次方程组通过消元转化为二元一次方程组）
第九章 不等式与不等式组
9.1 不等式
9.1.1 不等式及其解集
50x ＜ 23 23x＞50
像这样用符号“＞”或“＜”表示大小关系的式子叫做不等式。
我们把使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。
一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集，求不等式的解集的过程叫做解不等式。
9.1.2 不等式的性质
不等式的性质
不等式的性质1 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
不等式的性质2 不等式的两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
不等式的性质3 不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
9.2 一元一次不等式
类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。
归纳
解一元一次方程，要根据等式的性质，将方程逐步转化为x=a的形式；而解一元一次不等式，则要根据不等式的性质，将不等式逐步转化为x＜a或x＞a的形式。
9.3 一元一次不等式组
类似于方程组，把两个不等式合起来，组成一个一元一次不等式组。
归纳
解一元一次不等式组时，一般先求出其中各个不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集。
第十章 数据的收集、整理与描述
10.1 统计调查
考察全体对象地调查叫做全面调查。
抽样调查是这样地一种方法，它只抽取一部分对象进行调查，然后根据调查数据推断全体对象的情况。
全体对象 个体 样本
抽取样品的过程中，总体中的每一个个体都有相等的机会被抽到，像这样地抽样方法是一种简单随机抽样。
归纳
全面调查和抽样调查是收集数据的两种方式。全面调查收集到的数据全面、准确，但一般花费多、耗时长，而且某些调查不宜全面调查，抽样调查具有花费少、省时的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度。
10.2 直方图
把所有数据分成若干组，每个小组的两个端点之间的距离（组内数据的取值范围）称为组距。根据问题的需要，各组的组距可以相同或不同。 149≤x＜152 152≤x＜155
对落在各个小组内的数据进行累计，得到各个小组内的数据的个数叫做频数。
直方图 为了更直观形象地看出频数分布地情况，可以根据图表画出频数分布直方图。
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第十一章 三角形
11.1 与三角形有关的线段
11.1.1 三角形的边
三角形
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
三角形三边之间的大小关系：
1 三角形的两边的和大于第三边。 （由两点之间，线段最短得出）
2 三角形的两边之差小于第三边。 （由1变形可得出）
三角形的分类，按是否有边相等分为两类：
1三边都不相等的三角形
2等腰三角形 底边和腰不相等的等腰三角形；等边三角形。
11.1.2 三角形的高、中线与角平分线
三角形的高
从ΔABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做ΔABC的边BC上的高。
三角形的中线
连接ΔABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做ΔABC的边BC上的中线。
三角形的重心
三角形的三条中线相交于一点。三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。
三角形的角平分线
画∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫做ΔABC的角平分线。
11.1.3 三角形的稳定性
三角形木架的形状不会改变，而四边形木架的形状会改变。这就说说明，三角形是具有稳定性的图形，而四边形没有稳定性。
11.2 与三角形有关的角
11.2.1 三角形的内角
三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°。 （要知道其证明过程）
直角三角形的两个锐角互余。
由三角形内角和定理可得：有两个角互余的三角形是直角三角形。
11.2.2三角形的外角
把ΔABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
由三角形内角和定理可以推出下面结论：
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
11.3多边形及其内角和
11.3.1 多边形
我们学过三角形，类似的，在平面内，由一些线段首位顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。
连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
我们知道，正方形的各个角都相等，各条边都相等。像正方形这样，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。
11.3.2 多边形的内角和
多边形的内角和公式：
n边形内角和等于（n-2）×180°。
多边形的外角和：
多边形的外角和等于360° （要知道这个结论的思考的过程）
第十二章 全等三角形
12.1 全等三角形
1能够完全重合的两个图形叫做全等形。
2能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
3把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。
4全等三角形有这样的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。
12.2 全等三角形的判定
1三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。
需要掌握尺规作图 画∠AʹOBʹ 等于 ∠AOB
2两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。
3两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 （可以简写成“角边角”或“ASA”）。
4两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） （由ASA推出的）。
5斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）。
12.3角平分线的性质
要求掌握画角平分线的方法：
角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
利用全等三角形，可以得到：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
第十三章 轴对称
13.1 轴对称
13.1.1 轴对称
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。
垂直平分线
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
图形轴对称的性质：
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
13.1.2 垂直平分线的性质
垂直平分线的性质：
垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
通过证明可以得到：
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
尺规作图：1经过已知直线外一点作这条直线的垂线。
2点A 和点B关于某条直线成轴对称，做出这条直线。（这两个图要会做）
13.2 画轴对称图形
归纳一
由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同；新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的对称点；连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。
归纳二
几何图形都可以看作由点组成，对于某些图形，只要画出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形。
归纳三
点（x, y）关于x轴的对称点的坐标为（x, - y）。
点（x, y）关于y轴的对称点的坐标为（-x, y）。
13.3 等腰三角形
13.3.1等腰三角形的性质
等腰三角形的性质：
性质1 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）；
性质2等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的
高相互重合（简写成“三线合一”）。
等腰三角形的判定方法：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）
13.3.2 等边三角形
由等边三角形的性质和判定方法可以得到：
等边三角形的三个内角都相等，并且每一角都等于60°。
三个角都相等的三角形是等边三角形。
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
13.4 课题学习 最短路径问题
在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而做出最短路径的选择。
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.1 整式的乘法
14.1.1 同底数幂的乘法
同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
am·an=am+n(m、n都是正整数)
x2·x 5= x2+5= x7
14.1.2 幂的乘方
幂的乘方，底数不变，指数相乘。
（am）n=amn(m、n都是正整数)
(103)5=103×5=1015
14.1.3 积的乘方
积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
（ab）n=anbn(n是正整数)
14.1.4 整式的乘法
一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
ac5·bc2=(a·b)(c5·c2)=abc7
一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所有的积相加。p(a+b+c)=pa+pb+pc (利用图来说明)
一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。（a+b）（p+q）=a（p+q）+b（p+q）=ap+aq+bp+bq
同底数幂相除
同底数幂相除，底数不变，指数相减。
am÷an=am-n(a≠0，m、n都是正整数，并且m＞n) x7÷x2=x5
am÷am=1 am÷am=am-m=a0 于是规定a0=1（a≠0）
任何不等于0的数的0次幂都等于1。
一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
28x4y2÷7x3y
=(28÷7)·x4-3·y2-1
=4xy
一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
(12a3-6a2+3a)÷3a
=12a3÷3a - 6a2÷3a + 3a÷3a
=4a2-2a+1
14.2 乘法公式
14.2.1 平方差公式
平方差公式 （a+b）（a-b）=a2-b2
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
(3x+2)(3x-2)=9x2-4
14.2.2 完全平方公式
完全平方公式 （a+b）2=a2+2ab+b2 （a-b）2=a2-2ab+b2
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
(4m+n)2=16m2+8mn+n2 (y-5)2=y2-10y+25
添括号法则：
a+b+c=a+(b+c);
a-b-c=a-(b+c).
也就是说，添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不改变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都要改变符号。
14.3因式分解
X2+x=x(x+1) x2-1=(x+1)(x-1)
上面我们把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
14.3.1提公因式法
pa+pb+pc
它的各项都有一个公共的因式p，我们把因式p叫做这个多项式各项的公因式。
pa+pb+pc=p(a+b+c)
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法。
分解因式 8a3b2+12ab3c
=4ab2·2a2+4ab2·3bc
=4ab2(2a2+3bc)
14.3.2公式法 （利用平方差公式 完全平方公式）
a2-b2=（a+b）（a-b）
a2+2ab+b2=（a+b）2 a2-2ab+b2=（a-b）2
我们把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫做完全平方式。
分解因式 a3b-ab -x2+4xy-4y2
=ab(a2-1) =-(x2-4xy+4y2)
=ab(a+1)(a-1) =-(x-2y)2
第十五章 分式
15.1分式
15.1.1从分数到分式
9030+v 6030−v Sa
上面的式子与分数一样都是AB（即A÷B）的形式。分数的分子A与分母B都是整数，而这些式子中A与B都是整式，并且B中都含有字母。
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 AB 叫做分式，分式AB中，A叫做分子，B叫做分母。
分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式AB才有意义。
15.1.2 分式的基本性质
分式的基本性质：
分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。
分式的约分
把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
最简分式
分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。
分式的通分
根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
最简公分母
为通分，要先确定各分式的公分母，一般取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母。
15.2分式的运算
15.2.1分式的乘除
类似于分数，分式有：
乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
ab×cd=acbd
除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
ab÷cd=ab×dc=adbc
乘方:分式乘方要把分子、分母分别乘方。 (ab)n = anbn
15.2.2分式的加减
类似分数的加减法，分式的加减法法则是：
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。
上述法则用式子表示为：
ac±bc=a±bc
ab±cd=adbd±bcbd=ad±bcbd
15.2.3 整数指数幂
把幂的指数推广到了负指数
a3÷a5=a3a5=a3a3·a2=1a2 a3÷a5=a3-5=a-2 所以 a-2=1a2
a-n=1an a≠0 这就是说，a-n是an的倒数。
归纳
am·an=am-n这条性质对于m，n时任意整数的情形仍然适用。
整数指数幂的运算性质可以归结为：
（1）am·an=am+n(m、n都是整数)；
（2）（am）n=amn(m、n都是整数)；
（3）（ab）n=anbn(n是正整数)。
15.3分式方程
9030+v=6030−v
方程的分母中含未知数v，像这样分母中含有未知数的方程叫做分式方程。我们以前学的都是整式方程，它们的未知数不在分母中。
在方程两边乘最简公分母得到整式方程。
归纳
解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边乘最简公分母。这也是解方程的一般方法。
解分式方程要检验
一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，因此应做如下检验：
将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则这个解不是原分式方程的解。
八年级下册
第十六章 二次根式
16.1 二次根式
3 S 65
一般地，我们把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
一般地，（a）2=a (a≥0)
一般地，根据算术平方根的意义，a2=a (a≥0)
5, a, a+b, -ab, st , -x3, 3, a(a≥0)，它们都是用基本的运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式。
16.2 二次根式的乘除
4×9 = 6 4×9 = 6
一般地，二次根式的乘法法则是：
a·b = ab (a≥0, b≥0)。
一般地，二次根式的除法法则是：
ab =ab (a≥0, b≥0)
49 =23 49 =23
最简二次根式：
满足以下两个条件的根式叫做最简二次根式（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方得因数或因式。
22 310
16.3二次根式的加减
一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
80 －45 = 45 － 35 = 5
第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。
命题1与直角三角形的边有关，我国把它称为勾股定理。
要理解“赵爽弦图” P24
“赵爽弦图”通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理。
学了勾股定理后，要能够证明“斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等”这一结论。
17.2 勾股定理的逆定理
命题2 如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
命题2和命题1的题设、结论恰好相反。我们把这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立。
要看懂命题2的证明过程。P31
勾股定理的逆命题也是正确的，它是一个定理。我们把这个定理叫做勾股定理的逆定理。它是判定直角三角形的一个依据。
第十八章 平行四边形
18.1 平行四边形
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形用“ ”表示，平行四边形ABCD记作“ ABCD”。
18.1.1 平行四边形的性质
平行四边形具有以下性质：
1 平行四边形的对边相等；
2 平行四边形的对角相等；
3 平行四边形的对角线互相平分。
由平行四边形的概念和性质可知，平行线之间的任何两条平行线段都相等。
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离。
18.1.2 平行四边形的判定
1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
2 两组对对角分别相等的四边形是平行四边形；
3 对角线互相平分的四边形是平行四边形；
4 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
5.用定义证明
中位线 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形的中位线定理：
三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
（证明过程要熟悉P48）
18.2特殊的平行四边形
18.2.1 矩形
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也就是长方形。
矩形的性质：
矩形的四个角都是直角；
矩形的对角线相等。
由矩形的性质我们可以得到直角三角形的一个性质：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
矩形的判定定理：
1 对角线相等的平行四边形是矩形；
2 有三个角是直角的平行四边形是矩形。
3 用定义判定
18.2.2 菱形
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
菱形的性质：
菱形的四条边都相等；
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
菱形的判定定理：
1有一组邻边相等的平行四边形是菱形；（定义）
2对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
3四条边相等的四边形是菱形。
18.2.3 正方形
正方形的四条边都相等，四个角都是直角。因此，正方形既是矩形，又是菱形，它既有矩形的性质，又有菱形的性质。
第十九章 一次函数
19.1 函数
19.1.1 变量与函数
电影票10元每张，一场电影售出x张票，收入为y元，y的值随x的值的变化而变化吗？在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量。
上面问题中两个变量相互联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与其对应。
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。如果x=a时，y等于b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。
像y=50-0.1x 这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法。这种式子叫做函数的解析式。
19.1.2 函数的图像
用画图可以更直观地反映函数关系。
一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横坐标、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图像。
归纳
描点法画图像的一般步骤：第一步，列表；第二步，描点；第三步，连线。
表示函数的方法：写出函数解析式或者列表格或者画函数图像，都可以表示具体的函数。这三种表示函数的方法，分别称为解析式法、列表法和图像法。
注意：具体的题 自变量有具体的取值范围
19.2 一次函数
19.2.1 正比例函数
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。
一般地，正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图像是一条经过原点的直线，我们称它为直线y=kx。当k＞0时，直线y=kx经过第三、第一象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大；当k＜0时，直线y=kx经过第二、第四象限，从左向右下降，即随着x的增大y反而减小。
因为两点确定一条直线，所以可用两点法画正比例函数y=kx（k≠0）的图像。一般地，过原点和点（1，k）（k是常数，k≠0）的直线，即正比例函数y=kx（k≠0）的图像。
19.2.2 一次函数
一般地，形如y=kx+b（k,b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。当b=0时，y=kx+b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。
一次函数y=kx+b（k,b是常数，k≠0）具有如下性质：
当k＞0时，y随x的增大而增大；
当k＜0时，y随x的增大而减小。
先列出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而得出函数解析式的方法，叫做待定系数法。用待定系数法时，需要根据两个条件列一元二次方程组（以k和b为未知数）。解方程后就能具体写出一次函数的解析式。
19.2.3 一次函数与方程、不等式 （应用题）
19.3 课题学习 选择方案 收费方式、乘车方式等应用题
第二十章 数据的分析
20.1 数据的集中趋势
20.1.1 平均数
听、说、读、写成绩按2：1：3：4的比确定，其中2，1，3，4分别称为听、说、读、写四项成绩的权。
加权平均数
一般地，若n个数x1，x2，···,xn的权分别为w1,w2, ··,wn，则x1+x2+··+xnw1+w2+ ··+wn叫做这n个数的加权平均数。
20.1.2 中位数和众数
中位数
将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则称处于中间位置的数为为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数。
众数
一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数。
20.2 数据的波动程度
为了刻画一组数据波动的大小，可以采用很多种方法。统计中常采用下面的做法：设有n个数据x1，x2，···,xn，各组数据与它们的平均数`x的差的平方分别是（x1-`x）2，（x2-`x）2，···（xn-`x）2，我们用这些值的平均数，即用1n[（x1-`x）2+（x2-`x）2+···+（xn-`x）2]来衡量这组数据波动的大小，并把它叫做这组数据的方差。
方差（S2甲 S2乙 ）
方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小。
.
九年级 上册
第二十一章 一元二次方程
21.1 一元二次方程
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0（a≠0）
其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
一元二次方程的解/根
将方程化成一元二次方程的一般形式
21.2. 解一元二次方程
21.2.1 配方法
x2+6x+4=0转化为（x+3）2=5
通过配成完全平方的形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。可以看出，配方是为了降次，把一元二次方程转化成两个一元一次方程。
21.2.2 公式法
ax2+bx+c=0 （a≠0）
x=−b±b2−4ac2a b2−4ac 叫做判别式 Δ=b2−4ac
当Δ≥0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）的实数根可写为x=−b±b2−4ac2a的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式。可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法。
公式法求解的一般步骤：解：a= b= c= Δ=
Δ＞0方程有两个不相等的实数根 /Δ=0方程有两个相等的实数根 /Δ＜0方程无实数根。
21.2.3 因式分解法
x(x-2) + x-2=0
解：因式分解，得
（x-2）（x+1）=0
于是得 x-2=0 或 x+1=0
X1 = 2，x2 = -1
另外可介绍十字交叉法 x2-x-6=0化为(x-3)(x+2)=0
21.2.4一元二次方程的根与系数的关系
X1+X2= - ba X1X2= ca
21.3 实际问题与一元二次方程 应用题
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图像和性质
22.1.1 二次函数
一般地，形如y= ax2+bx+c （a,b,c都是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式得二次项系数、一次项系数和常数项。
22.1.2 二次函数y= ax2的图像和性质
实际上，二次函数的图像都是抛物线，它们的开口或者向上或者向下。一般地，二次函数y= ax2+bx+c的图像叫做抛物线y= ax2+bx+c。
Y轴式抛物线y= x2的对称轴，抛物线y= x2与它的对称轴的交点（0,0）叫做抛物线y= x2的顶点，它是抛物线y= x2的最低点。
实际上每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点。顶点是抛物线的最低点或最高点。
一般地，抛物线y= ax2的对称轴是y轴，顶点是原点。当a＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a＜0时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点。对于抛物线y= ax2，|a|越大，抛物线开口越小。
如果a＞0，当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大；如果a＜0，当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小。
22.1.3 二次函数 y=a(x-h)2+k的图象和性质
一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与y= ax2的形状相同，位置不同，把抛物线y= ax2向上（下）向左（右）平移，可以得到抛物线y=a(x-h)2+k。平移的方向、距离要根据h，k的值来决定。
抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点：
（1）当a＞0时开口向上；当a＜0时开口向下。
（2）对称轴是x=h。
（3）顶点是（h,k）。
把抛物线y=2x2向上平移1个长度单位，就得到抛物线y=2x2+1。
把抛物线y=2x2向下平移1个长度单位，就得到抛物线y=2x2-1。
抛物线y=-12（x+1）2-1的开口向下，对称轴是x=-1，顶点是（-1，-1）。
把抛物线y=-12x2向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，就得到抛物线
y=-12（x+1）2-1。
22.1.4 二次函数y= ax2+bx+c的图象和性质
抛物线y= ax2+bx+c的对称轴是x= - b2a ，顶点是（- b2a ，4ac−b24a）
二次函数y= ax2+bx+c的图象：
如果a＞0，当x＜- b2a时，y随x的增大而减小，当x＞- b2a时，y随x的增大而增大。如果a小于0，当x＜- b2a时，y随x的增大而增大，当x＞- b2a时，y随x的增大而减小。
归纳
求二次函数的解析式y= ax2+bx+c，需要求出a,b,c的值
由已知条件（如二次函数图像上三个点的坐标）列出关于a,b,c的方程组，求出a,b,c的值，就可以写出二次函数的解析式。
22.2 二次函数与一元二次方程
归纳
一般地，从二次函数y= ax2+bx+c的图象可得如下结论：
（1）如果抛物线y= ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点得横坐标是x0，那么当x= x0时，函数值是0，因此x= x0是方程ax2+bx+c=0的一个根。
（2）二次函数y= ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根。
第二十三章 旋转
23.1 图形的旋转
把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。如果图形上的点P经过旋转变为点P’，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。
旋转的性质：
对应点到旋转中心的距离相等。
对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
旋转前、后的图形全等。
选择不同的旋转中心、不同的旋转角旋转同一个图案，会出现不同的效果。
23.2 中心对称
23.2.1 中心对称
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心（简称中心）。这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点。
归纳
中心对称的性质：
中心对称的两个图形，对称点所连接线断都经过对称中心，而且被对称中心所平分。
中心对称的两个图形是全等图形。
23.2.2 中心对称图形
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。
23.2.3 关于原点对称的点的坐标
归纳
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x,y)关于原点的对称点为P’(-x,-y)。
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.1 圆
在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。
圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
大于半圆的弧叫做优弧；小于半圆的弧叫做劣弧。
能够重合的两个圆叫做等圆，容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，同圆或等圆的半径相等。在同圆或等圆中，能够相互重合的弧叫做等弧。
24.1.2 垂直于铉的直径
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴。
垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所在的两条弧。
进一步，我们就得到推论：
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
24.1.3弧、弦、圆心角
圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心。
我们把顶点在圆心的角叫做圆心角。
关于圆心角、弦、弧之间关系的定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
同样，还可以得到：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等。
24.1.4 圆周角
它的顶点在圆上，并且两边都与圆相交，我们把这样的角叫做圆周角。
圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
同弧或等弧所对的圆周角相等
半圆（或直径）所对的圆周角是直径，90°的圆周角所对的弦是直径。
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。
圆内接四边形的对角互补。
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.1 点和圆的位置关系
点在圆外d＞r 点在圆上d=r 点在圆内d＜r
不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。
P94页介绍了反证法。由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法。（课本上的例子要理解）
24.2.2 直线和圆的位置关系
直线和圆有两个公共点，这时我们就说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线。
直线和圆只有一个公共点，这时我们就说直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。
直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离。
相交d＜r 相切d=r 相离d＞r
切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的性质定理：
圆的切线垂直于过切点的半径。
过圆外一点P有两条直线PA，PB分别与⊙O相切。经过圆外一点的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长。
切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。
24.3 正多边形和圆
各边相等、各角也相等的多边形是正多边形。
我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。
24.4 弧长和扇形面积公式
对于n°的圆心角所对的弧长 l= nΠR180。
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围城的图形叫做扇形。
S扇形 = nΠR2360 S扇形 = lR2
圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体，我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。
沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形。
第二十五章 概率初步
25.1 随机事件与概率
25.1.1 随机事件
在一定条件下，有些事件必然会发生，这样的事件称为必然事件。相反的，有些事件必然不会发生，这样的事件称为不可能事件。必然事件与不可能事件统称确定性事件。
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件。
25.1.2 概率
一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P（A）。
当A为必然事件时，P（A）=1
当A为不可能事件时，P（A）=0
归纳
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P（A）= mn。
25.2 用列举法求概率
把所有可能出现的结果都列出来。 （列表法、树状图）
25.3 用频率估计概率
概率是针对大量重复试验而言的，大量重复试验反应的规律并非在每一次试验中都发生。
九年级 下册
第二十六章 反比例函数
由s=vt可知，在路程s一定的前提下，平均速度v与运行时间t成反比例。从函数角度看，平均速度v随运行时间t的变化的规律，可表示为v = st（s为常数），这类函数就是本章要研究的反比例函数。
26.1 反比例函数
26.1.1 反比例函数
一般地，形如y=kx(k为常数，k≠0)的函数，叫做反比例函数，其中x是自变量，y是函数。自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。
26.1.2 反比例函数的图象和性质
归纳
一般地，反比例函数y=kx 的图象是双曲线，它具有以下性质：
（1）当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小。
（2）当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大。
26.2 实际问题与反比例函数
考察应用题
第二十七章 相似
27.1 图像的相似
同一张底版洗出的不同尺寸的照片，以及排版印刷时使用不同字号排出的相同文字，都给我们以形状相同的形象。我们把形状相同的图形叫做相似图形。
两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比。
由相似多边形的定义可知，相似多边形的对应角相等，对应边成比例。
27.2 相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定
在ΔABC和ΔA’B’C’中，如果∠A=∠A’， ∠B=∠B’， ∠C=∠C’， ABA'B'=BCB'C'=ACA'C' =k，即三个角分别相等，三条边成比例，我们就说ΔABC与ΔA’B’C’相似，相似比为k。相似用符号“∽”表示，读作“相似于”，ΔABC与ΔA’B’C’相似记作“ΔABC∽ΔA’B’C’”。
平行线分线段的基本事实：
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
三条边成比例的两个三角形相似。
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
两角分别相等的两个三角形相似。
判定三角形相似的定理：
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
三条边成比例的两个三角形相似。
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
两角分别相等的两个三角形相似。
由相似三角形的条件可知，如果两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例，那么这两个直角三角形相似。
27.2.2 相似三角形的性质
相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比。
一般地，我们有：
相似三角形对应线段的比等于相似比。
相似三角形的面积比等于相似比的平方。
27.2.3 相似三角形应用举例
利用相似求高度、宽度、距离等
27.3 位似
位似图形
如图，在直角坐标系中有两点，A（6，3），B（6，0）。以原点O为位似中心，相似比为1/3，把线段AB缩小。观察对应点之间坐标的变化。
A，B对应点为A’（2，1），B’（2，0）；A’’（-2，-1），B’’（-2，0）。
一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点（x,y）对应的位似图形上的点的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）。
第二十八章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数
在RTΔABC中:
∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，
记作sinA，即sinA = ∠A的对边斜边 = ac
Sin30°=12 Sin45°=22 Sin60°=32
∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，
记作cosA，即cosA = ∠A的邻边斜边 = bc
cos30°=32 cos 45°=22 cos 60°=12
∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，
记作tanA，即tanA = ∠A的对边∠A的邻边 = ab
tan30°=33 tan 45°=1 tan 60°=3
28.2 解直角三角形及其应用
28.2.1 解直角三角形
一般地，在直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角。由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。
28.2.2 应用举例
例 热气球探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120m，这栋楼有多高（结果取整数）？
第二十九章 投影与视图
29.1 投影
一般地，用光线照射物体，在某个平面（底面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投射所在的平面叫做投影面。
影子既与物体的形状有关，也与光线的照射方式有关。
由平行光线形成的投影叫做平行投影（如日影）。
由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影（如物体在灯泡发出的光照射下形成的影子）。
投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影。
归纳
当物体的某个平面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同。
29.2 三视图
主视图（由前向后看）
俯视图（由上向下看）
左视图（由左向右看）
主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等。
正对着物体看，物体左右之间的
水平距离、前后之间的水平距离、上
下之间的数值距离，分别对应这里
所说的长、宽、高。
