高考数学(理数)二轮复习专题14《小题(12+4)专项》练习06 (含答案详解)

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小题专项训练6　解三角形一、选择题1．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b,2asin B＝b，则A等于(　　)A．　 B．　　C．　 D．【答案】C【解析】由2asin B＝b及正弦定理，得2sin Asin B＝sin B，故sin A＝.又△ABC为锐角三角形，则A＝.2．(四川模拟)△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，则角B的值为(　　)A．　 B．　　C．或　 D．或【答案】C【解析】由余弦定理cos B＝结合已知可得cos B＝，则cos B＝.由tan B有意义，可知B≠，则cos B≠0，所以sin B＝，则B＝或.故选C．3．如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为(　　)A．50 m　 B．50 mC．25 m　 D． m【答案】A【解析】由正弦定理得＝，所以AB＝＝＝50(m)．4．(吉林四平模拟)在△ABC中，D为AC边上一点，若BD＝3，CD＝4，AD＝5，AB＝7，则BC＝(　　)A．2　 B．2　　C．　 D．【答案】D【解析】如图，∠ADB＋∠CDB＝180°，则cos ∠ADB＝－cos ∠CDB，即＝－，解得BC＝.故选D．5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c＝2a，bsin B－asin A＝asin C，则sin B为(　　)A．　 B．　　C．　　　　 D．【答案】A【解析】由bsin B－asin A＝asin C，可得b2－a2＝ac，又c＝2a，得b＝a.∵cos B＝＝＝，∴sin B＝＝.6．(江西南昌模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos 2A＝sin A，bc＝2，则△ABC的面积为(　　)A．　 B．　　C．1　 D．2【答案】B【解析】由cos 2A＝sin A，得1－2sin2A＝sin A，解得sin A＝(负值舍去)．又bc＝2，得S△ABC＝bcsin A＝.7．若△ABC的三个内角满足＝，则A＝(　　)A．　 B．　　C．　 D．或【答案】B【解析】由＝及结合正弦定理，得＝，整理得b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝＝.由A为三角形的内角，知A＝.8．(河南开封一模)已知锐角三角形ABC，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2＝a(a＋c)，则的取值范围是(　　)A．(0,1)　 B．C．　 D．【答案】C【解析】由b2＝a(a＋c)及余弦定理，得c－a＝2acos B．由正弦定理，得sin C－sin A＝2sin Acos B．∵A＋B＋C＝π，∴sin(A＋B)－sin A＝2sin Acos B，∴sin(B－A)＝sin A．∵△ABC是锐角三角形，∴B－A＝A，即B＝2A.∴＜A＜，则＝sin A∈.9．△ABC中，三边长a，b，c满足a3＋b3＝c3，那么△ABC的形状为(　　)A．锐角三角形　 B．直角三角形 C．钝角三角形　　　 　 D．以上均有可能【答案】A【解析】由题意可知c边最大，即c>a，c>b，则a2c＋b2c>a3＋b3＝c3，则a2＋b2－c2>0.由余弦定理得cos C>0，∴0<C<.∴△ABC为锐角三角形．10．设a，b，c分别是△ABC的角A，B，C所对的边，若＝1 009tan C，且a2＋b2＝mc2，则m＝(　　)A．1 008　　　 B．1 009 C．2 018　 D．2 019【答案】D【解析】由＝1 009tan C，得＋＝×，即＋＝×，＝.根据正、余弦定理，得＝×，即＝2 018，则＝2 019，所以m＝2 019.11．(贵州模拟)在锐角三角形ABC中，已知a，b，c分别是角A，B，C的对边，且b＝2asin B，a＝4，则△ABC面积的最大值为(　　)A．2　 B．4　　C．8　 D．16【答案】B【解析】由b＝2asin B结合正弦定理得sin B＝2sin Asin B，由锐角三角形知sin B≠0，所以sin A＝，则cos A＝.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，即16＝b2＋c2－bc，所以16≥2bc－bc＝bc，当b＝c时等号成立．所以S＝bcsin A≤×16×＝4，即△ABC面积的最大值为4.故选B．12．(辽宁沈阳五校联考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sin A－sin B＝sin C，3b＝2a,2≤a2＋ac≤18.设△ABC的面积为S，p＝a－S，则p的最大值是(　　)A．　　　　 B． C．　　 D．【答案】C【解析】在△ABC中，由sin A－sin B＝sin C及正弦定理，得c＝3a－3b.再根据3b＝2a，2≤a2＋ac≤18，得a＝c,1≤a≤3.由余弦定理，得b2＝＝a2＋a2－2a·acos B，解得cos B＝，∴sin B＝，则S＝acsin B＝a2.∴p＝a－S＝a－a2.根据二次函数的图象可知，当a＝时，p取得最大值.二、填空题13．△ABC的三内角A，B，C的对边边长分别为a，b，c，若a＝b，A＝2B，则cos B＝________.　【答案】【解析】由a＝b及正弦定理，得sin A＝sin B，即＝.又A＝2B，所以＝，得cos B＝.14．已知△ABC中，AC＝4，BC＝2，∠BAC＝60°，AD⊥BC于D，则的值为________．【答案】6【解析】在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos∠BAC，即28＝16＋AB2－4AB，解得AB＝6，则cos∠ABC＝＝.所以BD＝AB·cos∠ABC＝，CD＝BC－BD＝，则＝6.15．在距离塔底分别为80 m,160 m,240 m 的同一水平面上的A，B，C处，依次测得塔顶的仰角分别为α，β，γ.若α＋β＋γ＝90°，则塔高为________m.【答案】80【解析】设塔高为h m，依题意得tan α＝，tan β＝，tan γ＝.∵α＋β＋γ＝90°，∴tan(α＋β)tan γ＝1.∴·tan γ＝1.代入解得h＝80，即塔高为80 m.16．在△ABC中，角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，S是△ABC的面积，若2Ssin A<(·)sin B，则下列结论：①a2<b2＋c2；②c2>a2＋b2；③cos Bcos C>sin Bsin C；④△ABC是钝角三角形．其中正确结论的序号是________．【答案】①②④【解析】∵2Ssin A<(·)sin B，∴2×bc·sin Asin A<cacos Bsin B，∴bcsin Asin A<acsin Bcos B．由正弦定理得bsin A＝asin B>0，∴cos B>sin A>0，∴A，B均是锐角．而cos B＝sin(90°－B)，∴sin(90°－B)>sin A，即90°－B>A，则A＋B<90°.∴C>90°.△ABC是钝角三角形．由余弦定理得cos C＝<0，cos A＝>0，即有c2>a2＋b2，a2<b2＋c2，①②④正确；cos Bcos C－sin Bsin C＝cos(B＋C)＝－cos A<0，③错误．综上，正确的是①②④.