高考数学(理数)二轮复习专题11《创新题型与数学文化》练习 (含答案详解)

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专题复习检测A卷1．《张邱建算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著．书中有如下问题：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里．问日行几何？”其意思是：“现有一匹马，行走的速度逐渐变慢，每天走的里程是前一天的一半，连续行走7天，共走700里路，问每天走的里数为多少？”则该马第4天走的里数为(　　)A．　 B．　　C．　 D．【答案】C【解析】依题意，马每天走的里程形成一个等比数列，设其首项为a1，公比为q，则q＝.又S7＝＝700，解得a1＝，从而a4＝×3＝.故选C．2．设集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{0,1,2,3}，定义A*B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A*B中元素的个数是(　　)A．7　 B．10　　C．25　 D．52【答案】B【解析】因为A＝{－1,0,1}，B＝{0,1,2,3}，所以A∩B＝{0,1}，A∪B＝{－1,0,1,2,3}．由x∈A∩B，可知x可取0,1；由y∈A∪B，可知y可取－1,0,1,2,3.所以A*B中的元素共有2×5＝10个．3．(贵州贵阳适应性考试)我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争．小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，则输出的n的值为(　　)A．20　 B．25　　C．30　 D．35【答案】B【解析】方法一：执行程序框图，n＝20，m＝80，S＝60＋＝86≠100；n＝21，m＝79，S＝63＋＝89≠100；n＝22，m＝78，S＝66＋＝92≠100；n＝23，m＝77，S＝69＋＝94≠100；n＝24，m＝76，S＝72＋＝97≠100；n＝25，m＝75，S＝75＋＝100，退出循环．所以输出的n＝25.方法二：设大和尚有x个，小和尚有y个，则解得根据程序框图可知，n的值即大和尚的人数，所以n＝25.4．设向量a与b的夹角为θ，定义a与b的“向量积”：a×b是一个向量，它的模|a×b|＝|a|·|b|·sin θ，若a＝(－，－1)，b＝(1，)，则|a×b|＝(　　)A．　 B．2　　C．2　 D．4【答案】B【解析】根据题意，可求得＝2，＝2，a·b＝－2，则cos θ＝＝－，所以θ＝，故＝··sin θ＝2×2×＝2.5．已知x为实数，[x]表示不超过实数x的最大整数，则函数f(x)＝x－[x]在R上为(　　)A．奇函数　　　　B．偶函数C．增函数　　　　D．周期函数【答案】D【解析】当0≤x<1时，[x]＝0，f(x)＝x－[x]＝x－0＝x；当1≤x<2时，[x]＝1，f(x)＝x－[x]＝x－1；当2≤x<3时，[x]＝2，f(x)＝x－[x]＝x－2；当3≤x<4时，[x]＝3，f(x)＝x－[x]＝x－3；…；当－1≤x<0时，[x]＝－1，f(x)＝x－[x]＝x＋1；当－2≤x<－1时，[x]＝－2，f(x)＝x－[x]＝x＋2；…所以可作出函数f(x)的图象如图所示．由图象可知，f(x)在R上为周期函数．故选D．6．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图方法，发现了“黄金分割”．“黄金分割”是工艺美术、建筑、摄影等许多艺术门类中审美的要素之一，它表现了恰到好处的和谐，其比值为≈0.618，这一比值也可以表示为m＝2sin 18°.若m2＋n＝4，则＝(　　)A．1　　 B．2　　C．4　 D．8【答案】B【解析】由题设n＝4－m2＝4－4sin218°＝4(1－sin218°)＝4cos218°，＝＝＝＝2.故选B．7．《九章算术》中，将如图所示的几何体称为刍甍，底面ABCD为矩形，且EF∥底面ABCD，EF到平面ABCD的距离为h，BC＝a，AB＝b，EF＝c，则＝2时，＝(　　)A．1　 B．　　C．　　　 D．【答案】A【解析】由题意，VE－ABD＝VF－BCD＝×a·b·h＝abh，＝，所以VB－DEF＝ach，VB－CDEF＝VB－DEF＋VB－CDF＝(c＋b)ah，＝＝2，所以c＝b，＝1.8．(山东青岛模拟)七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的，如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是________．【答案】【解析】不妨设小正方形的边长为1，则两个小等腰直角三角形的三边长为1,1，，两个大等腰直角三角形的三边长为2,2,2，即最大正方形的边长为2，则较大等腰直角三角形的三边长为，，2，故所求概率p＝1－＝.9．规定记号“Δ”表示一种运算，即aΔb＝＋a＋b，a，b∈R.若1Δk＝3，则函数f(x)＝kΔx的值域是________．【答案】[1，＋∞)【解析】由1Δk＝3，得＋1＋k＝3，解得k＝1，所以f(x)＝＋1＋x(x≥0)，f(x)在[0，＋∞)内是增函数，故f(x)≥1，即f(x)的值域为[1，＋∞)．10．(黑龙江哈尔滨模拟)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中“方田”章给出了计算弧田面积时所用的经验公式，即弧田面积＝×(弦×矢＋矢2)．弧田(如图)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”指圆弧顶到弦的距离(等于半径长与圆心到弦的距离之差)，现有圆心角为，半径为6米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积是________平方米．(结果保留根号)【答案】9＋【解析】如图，由题意可得∠AOB＝，OA＝6.所以在Rt△AOD中，∠AOD＝，∠DAO＝，OD＝AO＝×6＝3，可得CD＝6－3＝3.由AD＝AO·sin＝6×＝3，可得AB＝2AD＝2×3＝6.所以弧田面积S＝(弦×矢＋矢2)＝×(6×3＋32)＝9＋(平方米)．B卷11．定义：若数列{an}对任意的正整数n，都有|an＋1|＋|an|＝d(d为常数)，则称{an}为“绝对和数列”，d叫作“绝对公和”．在“绝对和数列”{an}中，a1＝2，“绝对公和”为3，则其前2 019项的和S2019的最小值为(　　)A．－3 022　 B．3 022C．－3 025　 D．3 035【答案】C【解析】依题意，要使其前2 019项的和S2 019的值最小，只需每一项都取最小值即可．因为|an＋1|＋|an|＝3，所以有－a3－a2＝－a5－a4＝…＝－a2 019－a2 018＝3，即a3＋a2＝a5＋a4＝…＝a2 019＋a2 018＝－3，所以S2 019的最小值为2＋×(－3)＝－3 025.故选C．12．(辽宁大连模拟)甲、乙、丙、丁、戊和己6人围坐在一张正六边形的小桌前，每边各坐一人．已知：①甲与乙正面相对；②丙与丁不相邻，也不正面相对．若己与乙不相邻，则以下选项正确的是(　　)A．若甲与戊相邻，则丁与己正面相对B．甲与丁相邻C．戊与己相邻D．若丙与戊不相邻，则丙与己相邻【答案】D【解析】由题意可得到甲、乙位置的示意图如图(1)，因此，丙和丁的座位只可能是1和2,3和4,4和3,2和1，由己和乙不相邻可知，己只能在1或2，故丙和丁只能在3和4,4和3，示意图如图(2)和图(3)，由此可排除B，C两项．对于A项，若甲与戊相邻，则己与丁可能正面相对，也可能不正面相对，排除A．对于D项，若丙与戊不相邻，则戊只能在丙的对面，则己与丙相邻，正确．故选D．13．(辽宁抚顺模拟)已知函数f(x)，若在其定义域内存在实数x满足f(－x)＝－f(x)，则称函数f(x)为“局部奇函数”．若函数f(x)＝4x－m·2x－3是定义在R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是(　　)A．(－∞，2]　 B．[－，)C．[－2，]　 D．[－2，＋∞)【答案】D【解析】根据“局部奇函数”的定义可知，方程f(－x)＝－f(x)有解即可，即4－x－m·2－x－3＝－(4x－m·2x－3)有解．∴4－x＋4x－m(2－x＋2x)－6＝0有解，即(2－x＋2x)2－m(2－x＋2x)－8＝0有解即可．设t＝2－x＋2x，则t＝2－x＋2x≥2.∴方程等价为t2－mt－8＝0在t≥2时有解．设g(t)＝t2－mt－8，∵函数g(t)的图象恒过定点(0，－8)，∴要使函数g(t)＝0在[2，＋∞)上有解，只需g(2)≤0，即m≥－2.故选D．14．已知函数f(x)＝x2－x＋m－，g(x)＝－log2x，min{p，q}表示p，q中的最小值，设函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}(x>0)，则当函数h(x)有三个零点时，实数m的取值范围为________．【答案】【解析】在同一直角坐标系中，作出函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象如图所示．当函数h(x)有三个零点时，y＝f(x)与x轴有两个交点且都在区间(0,1)内，则需解得<m<.所以实数m的取值范围是.15．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，从外表看，六根等长的正四棱柱分成三组，经90°榫卯起来，如图．若正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内(容器壁的厚度忽略不计)，则该球形容器的表面积的最小值为________．【答案】41π【解析】表面积最小的球形容器可以看成长、宽、高分别为2,1,6的长方体的外接球．设其半径为R，则(2R)2＝22＋12＋62＝41，所以该球形容器的表面积的最小值为4πR2＝41π.