高考数学(理数)二轮复习专题7 第2讲《不等式选讲》练习 (含答案详解)

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专题复习检测A卷1．“ab≥0”是“|a－b|＝|a|－|b|”的(　　)A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件C．充要条件　 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当ab≥0，a<b时，|a－b|≠|a|－|b|，故条件不充分．当|a－b|＝|a|－|b|时，则a，b同号且|a|≥|b|.故条件必要．综上，“ab≥0”是“|a－b|＝|a|－|b|”的必要不充分条件．2．若不等式|x－1|＋|x＋m|≤4的解集非空，则实数m的取值范围是(　　)A．[－5，－3]　 B．[－3,5]C．[－5,3]　 D．[3,5]【答案】C【解析】∵|x－1|＋|x＋m|≥|1＋m|，∴|1＋m|≤4，解得－5≤m≤3.故选C．3．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(　　)A．　 B．2　　C．2　 D．4【答案】C【解析】∵＋＝，∴a>0，b>0.∴＋≥2(当且仅当b＝2a时取等号)．∴≥2，解得ab≥2，即ab的最小值为2.4．设a，b，c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是(　　)A．(a＋3)2<2a2＋6a＋11B．a2＋≥a＋C．|a－b|＋≥2D．－<－【答案】C【解析】(a＋3)2－(2a2＋6a＋11)＝－a2－2<0，故A恒成立；在B项中不等式的两侧同时乘以a2，得a4＋1≥a3＋a⇔(a4－a3)＋(1－a)≥0⇔a3(a－1)－(a－1)≥0⇔(a－1)2(a2＋a＋1)≥0，所以B项中的不等式恒成立；对C项中的不等式，当a>b时，恒成立，当a<b时，不恒成立；由不等式<恒成立，知D项中的不等式恒成立．故选C．5．已知x，y，z，a∈R且x2＋4y2＋z2＝6，则使不等式x＋2y＋3z≤a恒成立的a的最小值为(　　)A．6　 B．　　C．8　 D．2【答案】B【解析】由x2＋4y2＋z2＝6，利用柯西不等式可得(x＋2y＋3z)2≤(x2＋4y2＋z2)(12＋12＋32)＝66.所以x＋2y＋3z≤，当且仅当＝＝时等号成立．再由不等式x＋2y＋3z≤a恒成立，可得a≥，即a的最小值为.6．不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集为________．【答案】(－∞，－3]∪[2，＋∞)【解析】|x－1|＋|x＋2|≥5的几何意义是数轴上到1与－2的距离之和大于等于5的点对应的实数，所以不等式的解为x≤－3或x≥2.7．若关于x的不等式|ax－2|＜3的解集为，则a＝________.【答案】－3【解析】依题意可得－3＜ax－2＜3，即－1＜ax＜5，而－＜x＜，即－1＜－3x＜5，所以a＝－3.8．若a，b，c均为正实数且a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值为________．【答案】【解析】方法一：(＋＋)2＝a＋b＋c＋2＋2＋2≤a＋b＋c＋(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)＝3，当且仅当a＝b＝c时取等号成立，即＋＋≤.方法二：柯西不等式：(＋＋)2＝(1×＋1×＋1×)2≤(12＋12＋12)(a＋b＋c)＝3，即＋＋≤.9．(江苏)设x∈R，解不等式|x|＋|2x－1|＞2.【解析】|x|＋|2x－1|＝∵|x|＋|2x－1|＞2，∴或或解得x＜－或x＞1.∴不等式的解集为.B卷10．(湖南长沙模拟)已知函数f(x)＝(x＋1)2.(1)证明：f(x)＋|f(x)－2|≥2；(2)当x≠－1时，求y＝＋[f(x)]2的最小值．【解析】(1)证明：∵f(x)＝(x＋1)2≥0，∴f(x)＋|f(x)－2|＝|f(x)|＋|2－f(x)|≥|f(x)＋[2－f(x)]|＝|2|＝2.(2)当x≠－1时，f(x)＝(x＋1)2＞0，∴y＝＋[f(x)]2＝＋＋[f(x)]2≥3·＝，当且仅当＝＝[f(x)]2，即x＝－1±时取等号．∴y＝＋[f(x)]2的最小值为.11．(江西上饶三模)已知函数f(x)＝|x＋2|.(1)解不等式2f(x)<4－|x－1|；(2)已知m＋n＝1(m>0，n>0)，若不等式|x－a|－f(x)≤＋恒成立，求实数a的取值范围．【解析】(1)不等式2f(x)<4－|x－1|等价于2|x＋2|＋|x－1|<4，即或或解得－<x≤－2或－2<x<－1或∅.∴原不等式的解集为.(2)∵|x－a|－f(x)＝|x－a|－|x＋2|≤|x－a－x－2|＝|a＋2|，∴|x－a|－f(x)的最大值是|a＋2|.又m＋n＝1(m>0，n>0)，∴＋＝(m＋n)＝＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当m＝n＝时等号成立．∴＋的最小值为4.要使|x－a|－f(x)≤＋恒成立，则|a＋2|≤4，解得－6≤a≤2.∴实数a的取值范围是[－6,2]．12．(四川成都模拟)已知函数f(x)＝4－|x|－|x－3|.　(1)求不等式f≥0的解集；(2)若p，q，r为正实数，且＋＋＝4，求3p＋2q＋r的最小值．【解析】(1)由f＝4－－≥0，得＋≤4.当x<－时，－x－－x＋≤4，解得－2≤x<－；当－≤x≤时，x＋－x＋≤4恒成立；当x>时，x＋＋x－≤4，解得<x≤2.综上，f≥0的解集为[－2,2]．(2)令a1＝，a2＝，a3＝.由柯西不等式，得·(a＋a＋a)≥2＝9，即(3p＋2q＋r)≥9.∵＋＋＝4，∴3p＋2q＋r≥，当且仅当＝＝＝，即p＝，q＝，r＝时取等号．∴3p＋2q＋r的最小值为.