2022年山东省济南市章丘区中考数学模拟试卷（三）(含答案)

这是一份2022年山东省济南市章丘区中考数学模拟试卷（三）(含答案)，共33页。

2022年山东省济南市章丘区中考数学模拟试卷（三）
一．选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每个小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（4分）2的绝对值的倒数是（　　）
A．﹣2 B． C．2 D．±2
2．（4分）在下面的四个几何体中，主视图是三角形的是（　　）
A．圆锥 B．正方体
C．三棱柱 D．圆柱
3．（4分）面对2020年突如其来的新冠疫情，党和国家及时采取“严防严控”措施，并对新冠患者全部免费治疗．据统计共投入约21亿元资金．21亿用科学记数法可表示为（　　）
A．0.21×108 B．2.1×108 C．2.1×109 D．0.21×1010
4．（4分）如图，直线a∥b，直角三角形ABC的顶点B在直线a上，∠C＝90°，∠β＝55°，则∠α的度数为（　　）

A．15° B．25° C．35° D．55°
5．（4分）下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
6．（4分）如图，数轴（单位长度为1）上有三个点A，B，C，若点A，B表示的数互为相反数，则图中点C对应的数是（　　）

A．﹣2 B．0 C．1 D．4
7．（4分）化简：（1+）÷的结果为（　　）
A． B． C． D．
8．（4分）2022年冬奥会吉祥物为“冰墩墩”，冬残奥会吉祥物为“雪容融”．如图，现有三张正面印有吉祥物的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同，其中两张正面印有冰墩墩图案，一张正面印有雪容融图案，将三张卡片正面向下洗匀，从中随机一次性抽取两张卡片，则抽出的两张都是冰墩墩卡片的概率是（　　）

A． B． C． D．
9．（4分）已知函数y＝kx（k≠0）中y随x的增大而增大，那么它和函数在同一直角坐标平面内的大致图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
10．（4分）如图，小强从热气球上的A点测量一栋高楼顶部的仰角∠DAB＝30°，测量这栋高楼底部的俯角∠DAC＝60°，热气球与高楼的水平距离为AD＝15米，则这栋高楼的高BC为（　　）米．

A．45 B．60 C．75 D．90
11．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（　　）
①AD平分∠BAC；②∠ADC＝60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABD＝1：3．

A．4 B．3 C．2 D．1
12．（4分）如图，抛物线y＝﹣2x2+4x与x轴的另一个交点为A，现将抛物线向右平移m（m＞2）个单位长度，所得抛物线与x轴交于C，D，与原抛物线交于点P，设△PCD的面积为S，则用m表示S正确的是（　　）

A．（m2﹣4） B．m2﹣2 C．（4﹣m2） D．2﹣m2
二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
13．（4分）分解因式：x2﹣9y2＝　 　．
14．（4分）如图，⊙O与正方形ABCD各边相切，若随机向正方形内投一粒米（将米粒看成一个点），则米粒落在阴影部分的概率是　 　．

15．（4分）如图，正八边形的两条对角线AC、BE相交于点P，∠CPE的度数为 　 　．

16．（4分）已知﹣1是方程x2+bx﹣3＝0的一个根，则另一个根是 　 　．
17．（4分）2021年5月15日07时18分，“天问一号”火星探测器成功登陆火星表面，开启了中国人自主探测火星之旅．已知华氏温度f（℉）与摄氏温度c（℃）之间的关系满足如表：
摄氏（单位℃）
…
﹣10
0
10
20
30
…
华氏（单位℉）
…
14
32
50
68
86
…
若火星上的平均温度大约为﹣55℃，则此温度换算成华氏温度约为 　 　℉．
18．（4分）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，函数y＝与y＝（a＞b＞0）在第一象限的图象分别为曲线C1，C2，点P为曲线C1上的任意一点，过点P作y轴的垂线交C2于点A，作x轴的垂线交C2于点B，则阴影部分的面积S△AOB＝　 　．（结果用a，b表示）

三．解答题（本大题共9小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算：（﹣2017）0﹣sin30°++2﹣1．
20．（6分）解不等式组，并写出所有整数解．（不画数轴）
21．（6分）如图，在▱ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．求证：DE＝BF．

22．（8分）某校八年级全体同学参加了“我为抗疫出份力”的爱心捐款活动，随机抽查了部分同学捐款的情况，统计数据如图1和图2所示．
（1）本次抽查的学生人数是 　 　；众数是 　 　；中位数是 　 　；图2中B类捐款的扇形圆心角度数为 　 　．
（2）补全条形统计图．
（3）该校八年级有1000名学生，请估计该校八年级学生总共捐款多少元？

23．（8分）如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上任意一点，连接AD，AG，GD．
（1）求证：∠ADC＝∠AGD；
（2）若BE＝2，CD＝8，求圆O的半径．

24．（10分）山地自行车越来越受到大众的喜爱，某车行经销了某品牌的A、B两型车，其经销的A型车去年销售总额为5万元，今年每辆车的销售价将比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%．其中A，B两种型号车的进货和销售价格如下表：

A型车
B型车
进货价格（元）
1100
1400
销售价格（元）
今年的销售价格
2000
试问：
（1）今年A型车每辆售价多少元？
（2）该车行计划新进一批A型车和B型车共60辆（见上表），要使这批车获利不少于33000元，A型车至多进多少辆？
25．（10分）如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与反比例函数y＝（k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B两点．

（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）点P在反比例函数第三象限的图象上，使得△PAB的面积最小，求满足条件的P点坐标及△PAB面积的最小值；
（3）设点M为x轴上一点，点N在双曲线上，以点A，B，M，N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出N点坐标；若不能，请说明理由．

26．（12分）如图，△ABC与△ACD为正三角形，点O为射线CA上的动点，作射线OM与射线BC相交于点E，将射线OM绕点O逆时针旋转60°，得到射线ON，射线ON与射线CD相交于点F．
（1）如图1，点O与点A重合时，点E，F分别在线段BC，CD上，求证：△OEC≌△OFD；
（2）如图2，当点O在CA的延长线上时，E，F分别在线段BC的延长线和线段CD的延长线上，请证明：OC+CE＝CF；
（3）点O在线段AC上，若AB＝6，BO＝2，当CF＝1时，请求出BE的长．

27．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0）和B（3，0），点D为线段BC上一点，过点D作y轴的平行线交抛物线于点E，连结BE．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当△BDE为直角三角形时，求线段DE的长度；
（3）在抛物线上是否存在这样的点P，使得∠ACP＝45°，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．


2022年山东省济南市章丘区中考数学模拟试卷（三）
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每个小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（4分）2的绝对值的倒数是（　　）
A．﹣2 B． C．2 D．±2
【分析】先求出2的绝对值是2，再求2的倒数即可．
【解答】解：2的绝对值是2，
2的倒数是，
故选：B．
【点评】本题考查了倒数和绝对值，掌握正数的绝对值等于它本身，乘积为1的两个数互为倒数是解题的关键．
2．（4分）在下面的四个几何体中，主视图是三角形的是（　　）
A．圆锥 B．正方体
C．三棱柱 D．圆柱
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：A．该圆锥主视图是等腰三角形，故A符合题意；
B．该正方体主视图是正方形，故B不符合题意；
C．该三棱柱的主视图是矩形，故C不符合题意；
D．该圆柱主视图是矩形，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
3．（4分）面对2020年突如其来的新冠疫情，党和国家及时采取“严防严控”措施，并对新冠患者全部免费治疗．据统计共投入约21亿元资金．21亿用科学记数法可表示为（　　）
A．0.21×108 B．2.1×108 C．2.1×109 D．0.21×1010
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数的绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：21亿＝2100000000＝2.1×109．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
4．（4分）如图，直线a∥b，直角三角形ABC的顶点B在直线a上，∠C＝90°，∠β＝55°，则∠α的度数为（　　）

A．15° B．25° C．35° D．55°
【分析】首先过点C作CE∥a，可得CE∥a∥b，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得答案．
【解答】解：过点C作CE∥a，
∵a∥b，
∴CE∥a∥b，
∴∠BCE＝∠α，∠ACE＝∠β＝55°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠α＝∠BCE＝∠ABC﹣∠ACE＝35°．
故选：C．

【点评】此题考查了平行线的性质．此题比较简单，注意掌握辅助线的作法，注意掌握两直线平行，内错角相等定理的应用．
5．（4分）下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义进行判断，即可求出答案．
【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后和原图形重合．
6．（4分）如图，数轴（单位长度为1）上有三个点A，B，C，若点A，B表示的数互为相反数，则图中点C对应的数是（　　）

A．﹣2 B．0 C．1 D．4
【分析】关键：是找出原点位置．理解相反数在数轴上的几何意义，即两数分布在原点的左右两侧，一正一负，且等距．点A到点B之间共六格，所以原点在点A右边的第3格（也可以说是在点B左边第3格）．
【解答】解：因为点A，点B表示的数互为相反数，所以原点在线段AB中间，即在点A右边的第3格，得出点C在原点的右边第1格，所以点C对应的数是1．
故选：C．
【点评】本题考查相反数在数轴上与原点的位置关系，相反数是在原点两侧且等距．
7．（4分）化简：（1+）÷的结果为（　　）
A． B． C． D．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【解答】解：原式＝•
＝．
故选：C．
【点评】此题考查了分式的混合运算，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式．
8．（4分）2022年冬奥会吉祥物为“冰墩墩”，冬残奥会吉祥物为“雪容融”．如图，现有三张正面印有吉祥物的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同，其中两张正面印有冰墩墩图案，一张正面印有雪容融图案，将三张卡片正面向下洗匀，从中随机一次性抽取两张卡片，则抽出的两张都是冰墩墩卡片的概率是（　　）

A． B． C． D．
【分析】画出树状图，共有6个等可能的结果，小明同学抽出的两张卡片都是冰墩墩卡片的结果有2个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：两张正面印有冰墩墩图案的卡片分别记为A1、A2，正面印有雪容融图案的卡片记为B，
根据题意画树状图如下：

共有6个等可能的结果，小明同学抽出的两张卡片都是冰墩墩卡片的结果有2个，
则P（抽出的两张卡片都是冰墩墩卡片）＝＝．
故选：A．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
9．（4分）已知函数y＝kx（k≠0）中y随x的增大而增大，那么它和函数在同一直角坐标平面内的大致图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】首先由“y＝kx（k≠0）中y随x的增大而增大”判定k＞0，然后根据k的符号来判断函数所在的象限．
【解答】解：∵函数y＝kx（k≠0）中y随x的增大而增大，
∴k＞0，该函数图象经过第一、三象限；
∴函数的图象经过第一、三象限；
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的图象特点：
①反比例函数y＝的图象是双曲线；
②当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；
③当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．
10．（4分）如图，小强从热气球上的A点测量一栋高楼顶部的仰角∠DAB＝30°，测量这栋高楼底部的俯角∠DAC＝60°，热气球与高楼的水平距离为AD＝15米，则这栋高楼的高BC为（　　）米．

A．45 B．60 C．75 D．90
【分析】在直角△ABD与直角△ACD中，根据三角函数即可求得BD和CD，即可求解．
【解答】解：∵AD⊥BC，垂足为D，
在Rt△ABD中，
∵∠BAD＝30°，AD＝15m，
∴BD＝AD•tan30°＝15×＝15（m），
在Rt△ACD中，
∵∠CAD＝60°，AD＝15m，
∴CD＝AD•tan60°＝15×＝45（m），
∴BC＝15+45＝60（m）．
故选：B．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用﹣仰角与俯角问题，一般三角形的计算，常用的方法是利用作高线转化为直角三角形的计算．
11．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（　　）
①AD平分∠BAC；②∠ADC＝60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABD＝1：3．

A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】先根据三角形内角和计算出∠BAC＝60°，再利用基本作图对①进行判断；利用∠BAD＝∠CAD＝30°得到∠ADC＝60°，则可对②进行判断；利用∠B＝∠BAD得到DA＝DB，根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可对③进行判断．利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式即可得出两个三角形的面积之比．
【解答】解：由作法得，AD平分∠BAC，所以①正确；
∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝∠CAD＝60°＝30°，
∴∠ADC＝90°﹣∠CAD＝60°，所以②正确；
∵∠B＝∠BAD，
∴DA＝DB，
∴点D在AB的垂直平分线上，所以③正确；
∵如图，在直角△ACD中，∠CAD＝30°，
∴CD＝AD，
∴BC＝CD+BD＝AD+AD＝AD，S△DAC＝AC•CD＝AC•AD．
∴S△ABC＝AC•BC＝AC•AD＝AC•AD，
∴S△DAC：S△ABC＝AC•AD：AC•AD＝1：3，
∴S△DAC：S△ABD＝1：2．故④错误．
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图﹣基本作图．解题时需要熟悉等腰三角形的判定与性质．
12．（4分）如图，抛物线y＝﹣2x2+4x与x轴的另一个交点为A，现将抛物线向右平移m（m＞2）个单位长度，所得抛物线与x轴交于C，D，与原抛物线交于点P，设△PCD的面积为S，则用m表示S正确的是（　　）

A．（m2﹣4） B．m2﹣2 C．（4﹣m2） D．2﹣m2
【分析】先求出A的坐标，设P关于x＝1的对称点为Q，且设P的横坐标为x1，Q的横坐标为x2，根据题意可知x1+x2＝2，x1﹣x2＝m，从而求出x1与x2的表达式，
【解答】解：抛物线的对称轴为：x＝1，
令y＝0代入y＝﹣2x2+4x，
∴0＝﹣2x2+4x，
∴x＝0或x＝2，
∴A（2，0）
∴OA＝2，
设P关于x＝1的对称点为Q，且设P的横坐标为x1，Q的横坐标为x2，
∴，
∵抛物线向右平移m（m＞2）个单位长度，
∴PQ＝m，
∴x1﹣x2＝m，
∴
解得：x1＝，x2＝
把x1＝代入y＝﹣2x2+4x
∴y＝2﹣＜0
∴在△PCD中，CD边上的高为：﹣2，
∵OA＝CD＝2，
∴S△PCD＝×2×（）＝﹣2
故选：B．

【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是求出P的坐标，然后根据三角形面积公式即可求出△PCD的面积，本题属于中等题型．
二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
13．（4分）分解因式：x2﹣9y2＝　（x﹣3y）（x+3y）　．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：原式＝（x﹣3y）（x+3y）．
故答案为：（x﹣3y）（x+3y）．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式分解因式是解题关键．
14．（4分）如图，⊙O与正方形ABCD各边相切，若随机向正方形内投一粒米（将米粒看成一个点），则米粒落在阴影部分的概率是　　．

【分析】求得阴影部分的面积后除以正方形的面积即可求得概率．
【解答】解：设圆O的半径为a，则正方形ABCD的边长为2a．
由题意可得，阴影部分的面积＝正方形的面积﹣圆的面积
＝（2a）2﹣πa2
＝4a2﹣πa2
＝（4﹣π）a2，
∴米粒落在阴影部分的概率是＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了几何概率，熟练掌握正方形与圆的面积公式是解题的关键．
15．（4分）如图，正八边形的两条对角线AC、BE相交于点P，∠CPE的度数为 　67.5°　．

【分析】根据正八边形的内角和求出∠ABC，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠BAC，计算即可．
【解答】解：∵八边形ABCDEFGH是正八边形，
∴∠ABC＝（8﹣2）×180°÷8＝135°，BA＝BC，∠ABE＝90°，
∴∠BAC＝（180°﹣135°）÷2＝22.5°，
∴∠EPC＝∠APB＝90°﹣∠BAC＝67.5°，
故答案为：67.5°．
【点评】本题考查的是正多边形和圆的有关计算，掌握正多边形的内角的求法是解题的关键．
16．（4分）已知﹣1是方程x2+bx﹣3＝0的一个根，则另一个根是 　3　．
【分析】由方程的系数，利用根与系数的关系可得出两根之积为﹣3，再结合方程的一根为﹣1，即可求出方程的另一个根．
【解答】解：∵a＝1，c＝﹣3，
∴方程的两根之积为＝＝﹣3，
∵方程的一个根为﹣1，
∴方程的另一个根为（﹣3）÷（﹣1）＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于是解题的关键．
17．（4分）2021年5月15日07时18分，“天问一号”火星探测器成功登陆火星表面，开启了中国人自主探测火星之旅．已知华氏温度f（℉）与摄氏温度c（℃）之间的关系满足如表：
摄氏（单位℃）
…
﹣10
0
10
20
30
…
华氏（单位℉）
…
14
32
50
68
86
…
若火星上的平均温度大约为﹣55℃，则此温度换算成华氏温度约为 　﹣67　℉．
【分析】根据表格中“摄氏（单位℃）”与“华氏（单位℉）”之间的变化关系得出函数关系式，再将c＝﹣55℃代入计算即可．
【解答】解：由表格中两个变量的变化关系可得，
f＝32+18×＝32+1.8c，
当c＝﹣55时，f＝32+1.8×（﹣55）＝﹣67（℉），
故答案为：﹣67．
【点评】本题考查函数的表示方法，理解表格中两个变量的变化关系是正确解答的关键．
18．（4分）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，函数y＝与y＝（a＞b＞0）在第一象限的图象分别为曲线C1，C2，点P为曲线C1上的任意一点，过点P作y轴的垂线交C2于点A，作x轴的垂线交C2于点B，则阴影部分的面积S△AOB＝　a﹣　．（结果用a，b表示）

【分析】设B（m，），A（，n），则P（m，n），阴影部分的面积S△AOB＝矩形的面积﹣三个直角三角形的面积可得结论．
【解答】解：设B（m，），A（，n），则P（m，n），
∵点P为曲线C1上的任意一点，
∴mn＝a，
∴阴影部分的面积S△AOB＝mn﹣b﹣b﹣（m﹣）（n﹣）
＝mn﹣b﹣（mn﹣b﹣b+）
＝mn﹣b﹣mn+b﹣
＝a﹣．
故答案为：a﹣．
【点评】本题考查了反比例函数的系数k的几何意义，矩形的面积，反比例函数图象上点的坐标特征等知识，本题利用参数表示三角形和矩形的面积并结合mn＝a可解决问题．
三．解答题（本大题共9小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算：（﹣2017）0﹣sin30°++2﹣1．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、零指数幂的性质等知识分别化简，进而计算得出答案．
【解答】解：原式＝1﹣+2+
＝3．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
20．（6分）解不等式组，并写出所有整数解．（不画数轴）
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出整数解即可．
【解答】解：，
解不等式①得：x≥﹣1，
解不等式②得：x＜3，
∴不等式组的解集为：﹣1≤x＜3，
∴不等式组的整数解为：﹣1，0，1，2．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
21．（6分）如图，在▱ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．求证：DE＝BF．

【分析】证出∠ADE＝∠CBF，AD＝CB，由AAS证△ADE≌△CBF,再根据全等三角形的性质即可得解．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CBF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED＝∠CFB＝90°，
在△ADE和△CBF中，
,
∴△ADE≌△CBF（AAS）,
∴DE＝BF．
【点评】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定．熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．
22．（8分）某校八年级全体同学参加了“我为抗疫出份力”的爱心捐款活动，随机抽查了部分同学捐款的情况，统计数据如图1和图2所示．
（1）本次抽查的学生人数是 　50　；众数是 　10　；中位数是 　12.5　；图2中B类捐款的扇形圆心角度数为 　115.2°　．
（2）补全条形统计图．
（3）该校八年级有1000名学生，请估计该校八年级学生总共捐款多少元？

【分析】（1）根据捐款20元的人数和所占的百分比，可以计算出本次共抽查的学生人数；结合条形统计图，根据众数，中位数的定义可得结果；用360°×B类捐款所占比例可得B类捐款的扇形圆心角度数；
（2）根据（1）的结论计算出捐款10元的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）根据条形统计图中的数据，可以得到七年级800名学生共捐款多少元．
【解答】解：（1）本次共抽查学生：7÷14%＝50（人），
由条形统计图可得，捐款金额的众数是10元，中位数是（10+15）÷2＝12.5（元），
捐款10元的学生有：50﹣9﹣14﹣7﹣4＝16（人），
补全的条形统计图如右图所示：

由条形统计图可得，捐款金额的众数是10元，中位数是（10+15）÷2＝12.5（元），
B类捐款的扇形圆心角度数为：360°×＝115.2°；
故答案为：50，10，12.5，115.2°；
（2）如上图所示：
（3）×（5×9+10×16+15×14+20×7+25×4）×1000
＝×655×1000
＝13100（元），
即估计七年级1000名学生共捐款13100元．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
23．（8分）如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上任意一点，连接AD，AG，GD．
（1）求证：∠ADC＝∠AGD；
（2）若BE＝2，CD＝8，求圆O的半径．

【分析】（1）连接AC，根据垂径定理求出＝，根据圆周角定理得出∠ACD＝∠ADC和∠AGD＝∠ACD即可；
（2）连接OC，根据垂径定理求出CE＝DE＝4，根据勾股定理得出关于R的方程，再求出方程的解即可．
【解答】（1）证明：连接AC，

∵AB⊥CD，AB过圆心O，
∴＝，
∴∠ACD＝∠ADC，
由圆周角定理得：∠AGD＝∠ACD，
∴∠ADC＝∠AGD；

（2）解：连接OC，

∵AB⊥CD，AB过圆心O，CD＝8，
∴CE＝DE＝4，
设⊙O的半径为R，则OC＝OB＝R，
由勾股定理得：OC2＝CE2+OE2，
∴R2＝42+（R﹣2）2，
解得：R＝5，
即⊙O的半径是5．
【点评】本题考查了圆周角定理，勾股定理和垂径定理，能熟记垂径定理是解此题的关键，注意：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的每一条弧．
24．（10分）山地自行车越来越受到大众的喜爱，某车行经销了某品牌的A、B两型车，其经销的A型车去年销售总额为5万元，今年每辆车的销售价将比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%．其中A，B两种型号车的进货和销售价格如下表：

A型车
B型车
进货价格（元）
1100
1400
销售价格（元）
今年的销售价格
2000
试问：
（1）今年A型车每辆售价多少元？
（2）该车行计划新进一批A型车和B型车共60辆（见上表），要使这批车获利不少于33000元，A型车至多进多少辆？
【分析】（1）设今年A型车每辆售价x元，则去年售价每辆为（x+400）元，由卖出的数量相同建立方程求出其解即可；
（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60﹣a）辆，获利不少于33000元，由条件表示出33000与a之间的关系式，进而得出答案．
【解答】解：（1）设今年A型车每辆售价x元，则去年售价每辆为（x+400）元，由题意，得：
＝，
解得：x＝1600．
经检验，x＝1600是原方程的根．
答：今年A型车每辆售价1600元；

（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60﹣a）辆，由题意，得
（1600﹣1100）a+（2000﹣1400）（60﹣a）≥33000，
解得：a≤30，
故要使这批车获利不少于33000元，A型车至多进30辆．
【点评】本题考查了列分式方程解实际问题的运用以及一元一次不等式的应用，得出正确不等关系是解题关键．
25．（10分）如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与反比例函数y＝（k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B两点．

（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）点P在反比例函数第三象限的图象上，使得△PAB的面积最小，求满足条件的P点坐标及△PAB面积的最小值；
（3）设点M为x轴上一点，点N在双曲线上，以点A，B，M，N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出N点坐标；若不能，请说明理由．

【分析】（1）将点A坐标代入解析式可求a的值和反比例函数解析式，联立方程组可求点B坐标；
（2）当直线AB平移与双曲线第三象限的图象只有一个交点P时，此时△PAB的面积有最小值，由根的判别式可求点P坐标，由等腰直角三角形的性质可求PH的长，即可求解；
（3）分三种情况讨论，利用平行四边形的性质列出等式可求解．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣x+4的图象与反比例函数y＝（k为常数，且k≠0）的图象交与A（1，a）．
∴a＝﹣1+4，k＝1•a，
∴a＝3，k＝3，
∴点A坐标为（1，3），反比例函数的表达式为y＝，
联立方程组可得：，
解得：或，
∴点B（3，1）；
（2）如图，将直线AB平移，当与双曲线第三象限的图象只有一个交点P时，此时△PAB的面积有最小值，

设平移的直线解析式为y＝﹣x+b，
由题意可得：﹣x+b＝，
∴x2﹣bx+3＝0，
∵两图象只有一个交点，
∴△＝b2﹣4×3＝0，
∴b＝±2，
∵直线y＝﹣x+b与y轴交在负半轴，
∴b＝﹣2，
∴平移后的解析式为y＝﹣x﹣2，
∴﹣x﹣2＝，
∴x＝﹣，
∴y＝﹣，
∴点P（﹣，﹣），
过点P作PH⊥AB于H，设直线y＝﹣x+4与x轴交于点D，与y轴交于点C，设直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点E，与y轴交于点F，
∴点C（0，4），点D（4，0），点E（﹣2，0），点F（0，﹣2），
∴CO＝DO＝4，EO＝FO＝2，
∴CD＝4，EF＝2，△COD和△EOF是等腰直角三角形，
∴点O到EF的距离为，点O到CD的距离为2，
∴PH＝+2，
∵点A坐标为（1，3），点B（3，1），
∴AB＝＝2，
∴△PAB面积的最小值＝×2×（+2）＝2+4；
（3）以点A，B，M，N为顶点的四边形能为平行四边形，
设点M（m，0），点N（a，b），
当AB为边时，若四边形ABNM是平行四边形，
∴AN与BM互相平分，
∴，
∴b＝﹣2，
∴a＝＝﹣，
∴点N（﹣，﹣2），
若四边形ABMN是平行四边形，
∴AM与BN互相平分，
∴＝，
∴b＝2，
∴a＝，
∴点N（，2），
当AB为对角线时，若四边形AMBN是平行四边形时，
∴AB与MN互相平分，
∴，
∴b＝4，
∴a＝，
∴点N（，4），
∴点N的坐标为（﹣，﹣2）或（，﹣2）或（，4）．
【点评】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求解析式，一元二次方程的应用，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
26．（12分）如图，△ABC与△ACD为正三角形，点O为射线CA上的动点，作射线OM与射线BC相交于点E，将射线OM绕点O逆时针旋转60°，得到射线ON，射线ON与射线CD相交于点F．
（1）如图1，点O与点A重合时，点E，F分别在线段BC，CD上，求证：△OEC≌△OFD；
（2）如图2，当点O在CA的延长线上时，E，F分别在线段BC的延长线和线段CD的延长线上，请证明：OC+CE＝CF；
（3）点O在线段AC上，若AB＝6，BO＝2，当CF＝1时，请求出BE的长．

【分析】（1）利用SAS证明△AEC≌△AFD即可得出结论；
（2）过点O作OH∥BC，交CF于H，可知△COH是等边三角形，再利用ASA证明△OHF≌△OCE，从而解决问题；
（3）作BH⊥AC于H，当点O在线段AH上，点F在线段CD上时，利用ASA证明△ONE≌△OCF，得CF＝NE，OC＝CN，从而得出BE的长；当点O在线段CH上，点E在线段BC上时，同理可得答案．
【解答】（1）证明：∵△ABC与△ACD为正三角形，
∴AB＝AC＝BC＝AD＝CD，∠BAC＝∠BCA＝∠ADC＝∠DAC＝60°，
∵将射线OM绕点O逆时针旋转60°，
∴AE＝AF，∠EAF＝60°，
∴∠BAC＝∠CAD＝∠EAF＝60°，
∴∠EAC＝∠DAF，且AC＝AD，AE＝AF，
在△AEC与△AFD中，
，
∴△AEC≌△AFD（SAS），
（2）CE+CO＝CF，
如图，过点O作OH∥BC，交CF于H，

∴∠HOC＝∠BCA＝60°，∠OHC＝∠HCE＝60°，
∴△COH是等边三角形，
∴OC＝CH＝OH，
∵∠EOF＝∠COH＝∠CHO＝∠BCA＝60°，
∴∠COE＝∠FOH，∠OCE＝∠OHF＝120°，OH＝OC，
在△OHF与△OCE中，
，
∴△OHF≌△OCE（ASA），
∴CE＝FH，
∵CF＝CH+FH，
∴CF＝CO+CE；
（3）作BH⊥AC于H，
∵AB＝6，AH＝CH＝3，
∴BH＝AH＝3，
当点O在线段AH上，点F在线段CD上时，

∵OB＝2，
∴OH＝＝1，
∴OC＝3+1＝4，
过点O作ON∥AB，交BC于N，
∴△ONC是等边三角形，
∴ON＝OC＝CN＝4，∠NOC＝∠EOF＝60°＝∠ONC＝∠OCF，
∴∠NOE＝∠COF，ON＝OC，∠ONC＝∠OCF，
在△ONE与△OCF中，
，
∴△ONE≌△OCF（ASA），
∴CF＝NE，
∴CO＝CE+CF，
∵OC＝4，CF＝1，
∴CE＝3，
∴BE＝6﹣3＝3，
当点O在线段CH上，点E在线段BC上时，

同法可证：OC＝CE+CF，
∵OC＝CH﹣OH＝3﹣1＝2，CF＝1，
∴CE＝1，
∴BE＝6﹣1＝5，
综上所述，满足条件的BE的值为：3或5．
【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造等边三角形是解题的关键．
27．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0）和B（3，0），点D为线段BC上一点，过点D作y轴的平行线交抛物线于点E，连结BE．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当△BDE为直角三角形时，求线段DE的长度；
（3）在抛物线上是否存在这样的点P，使得∠ACP＝45°，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）利用分类讨论的方法分两种情况①点B为直角顶点，②点E为直角顶点讨论解答，设D（m，m﹣3），则点E（m，﹣m2+4m﹣3），用m的代数式表示出DE的长度，利用已知条件列出方程，解方程即可求得结论；
（3）在抛物线上存在点P，使得∠ACP＝45°，延长CP交x轴于点F，利用△AFC∽△ACB求得线段AF的长，利用待定系数法求得直线CP的解析式，与抛物线解析式联立，解方程组即可求得结论．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0）和B（3，0），
∴，
解得：．
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x﹣3．
（2）令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3）．
设直线BC的解析式为y＝kx+n，
∴，
解得：．
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3．
∵点D为线段BC上一点，
∴设D（m，m﹣3），则点E（m，﹣m2+4m﹣3），
∴DE＝（﹣m2+4m﹣3）﹣（m﹣3）＝﹣m2+3m．
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴OB＝OC＝3．
∴∠OBC＝∠OCB＝45°．
∵DE∥y轴，
∴∠EDB＝∠OCB＝45°，
∴点D不可能是直角的顶点．
①当点B为直角的顶点时，设DE交x轴于点F，

∵∠BDE＝45°，∠EBD＝90°，
∴∠DEB＝45°．
∴△BED为等腰直角三角形．
∴EF＝FD＝DE．
∵DF＝3﹣m．
∴3﹣m＝（﹣m2+3m）．
解得：m＝2或3（m＝3不合题意，舍去）．
∴m＝2．
∴DE＝﹣22+3×2＝﹣4+6＝2．
②当点E为直角顶点时，此时边EB在x轴上，点E与点A重合，
∴m＝1．
∴DE＝﹣12+3×1＝﹣1+3＝2．
综上，当△BDE为直角三角形时，线段DE的长度为2．
（3）在抛物线上存在点P，使得∠ACP＝45°，理由：
∵A（1，0），
∴OA＝1．
∴ABOB﹣OA＝2．
∴AC＝＝．
延长CP交x轴于点F，如图，

由（2）知：∠OBC＝∠OCB＝45°，
∴∠AFC+∠FCB＝45°．
∵∠ACP＝45°，
∴∠ACB+∠FCB＝∠ACP＝45°．
∴∠AFC＝∠ACB．
∵∠FAC＝∠CAB，
∴△AFC∽△ACB．
∴．
∴．
∴AF＝5．
∴OF＝OA+AF＝6，
∴F（6，0）．
设直线CF的解析式为y＝dx+e，
∴，
解得：．
∴直线FC的解析式为y＝x﹣3．
∴，
解得：，．
∴点P的坐标为（，﹣）．
【点评】本题是一道二次函数的综合题，主要考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数图象的性质，一次函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
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