专题03 函数的奇偶性、对称性、周期性-2023年高考数学优拔尖核心压轴题（选择、填空题）（新高考地区专用）

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1.常见的与周期函数有关的结论如下：
(1)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
(2)如果f(x＋a)＝eq \f(1,f（x）)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
(3)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
2.函数奇偶性、对称性间关系：
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a 对称；一般的，若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝eq \f(a＋b,2)对称．
(2)若函数y＝f(x＋a)是奇函数，即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝0恒成立，则函数y＝f(x)关于点(a，0)中心对称；一般的，若对于R上的任意x都有f(a＋x)＋f(a－x)＝2b恒成立，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称.
3. 函数对称性、周期性间关系：
若函数有多重对称性，则该函数具有周期性且最小正周期为相邻对称轴距离的2倍，为相邻对称中心距离的2倍，为对称轴与其相邻对称中心距离的4倍．
(注：如果遇到抽象函数给出类似性质，可以联想y＝sinx，y＝csx的对称轴、对称中心和周期之间的关系)
4. 善于发现函数的对称性（中心对称、轴对称），有时需将对称性与函数的奇偶性相互转化.
【典型题示例】
例1 （2022·全国乙·理·T12） 已知函数的定义域均为R，且，．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】根据对称性和已知条件得到，从而得到，，然后根据条件得到的值，再由题意得到从而得到的值即可求解.
【解析】因为的图像关于直线对称，
所以，
因为，所以，即，
因为，所以，
代入得，即，
所以，
.
因为，所以，即，所以.
因为，所以，又因为，
联立得，，
所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，
所以
因为，所以.
所以
.
故选：D
例2 （2022·新高考Ⅱ卷·T8） 若函数的定义域为R，且，则（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】A
【分析】根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出．
【解析】因为，
令可得，，所以，
令可得，，即，
所以函数为偶函数，
令得，，即有，从而可知，，
故，即，所以函数的一个周期为．
因为，，，，，所以
一个周期内的．由于22除以6余4，
所以．
故选：A．
例3 （2021·新高考全国Ⅱ卷·8）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论.
【解析】因为函数为偶函数，则，可得，
因为函数为奇函数，则，所以，，
所以，，即，
故函数是以为周期的周期函数，
因为函数为奇函数，则，
故，其它三个选项未知.
故选：B.
例4 （2021·全国甲卷·理·12）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．
【解析】因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．
所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期．
所以．
故选：D．
例5 已知函数f (x)对任意的x∈R，都有f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋x))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－x))，函数f (x＋1)是奇函数，当－eq \f(1,2)≤x≤eq \f(1,2)时，f (x)＝2x，则方程f (x)＝－eq \f(1,2)在区间[－3,5]内的所有根之和为________.
【答案】4
【分析】由f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋x))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－x))对任意的x∈R恒成立，得f (x)关于直线x＝eq \f(1,2)对称，由函数
f (x＋1)是奇函数，f (x)关于点（1,0）中心对称，根据函数对称性、周期性间关系，知函数f (x)的周期为2，作出函数f (x)的图象即可.
【解析】因为函数f (x＋1)是奇函数，所以f (－x＋1)＝－f (x＋1)，又因为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋x))＝ f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－x))，所以f (1－x)＝f (x)，所以f (x＋1)＝－f (x)，即f (x＋2)＝－f (x＋1)＝f (x)， 所以 函数f (x)的周期为2，且图象关于直线x＝eq \f(1,2)对称．作出函数f (x)的图象如图所示，
由图象可得f (x)＝－eq \f(1,2)在区间[－3,5]内有8个零点，且所有根之和为eq \f(1,2)×2×4＝4.
例6 已知函数是上的奇函数，对任意，都有（2）成立，当，，，且时，都有，则下列结论正确的有
A．（1）（2）（3）
B．直线是函数图象的一条对称轴
C．函数在，上有5个零点
D．函数在，上为减函数
【分析】根据题意，利用特殊值法求出（2）的值，进而分析可得是函数的一条对称轴，函数是周期为4的周期函数和在区间，上为增函数，据此分析选项即可得答案．
【解答】解：根据题意，函数是上的奇函数，则；
对任意，都有（2）成立，当时，有（2），则有（2），
则有，即是函数的一条对称轴；
又由为奇函数，则，变形可得，则有，
故函数是周期为4的周期函数，
当，，，且时，都有，则函数在区间，上为增函数，
又由是上的奇函数，则在区间，上为增函数；
据此分析选项：
对于，，则（1）（2）（3）（4）（1）（3） （2）（4），
（1）（2）（3）（1）（2）（3）（4） （1）（2）（3）（2），正确；
对于，是函数的一条对称轴，且函数是周期为4的周期函数，则 是函数的一条对称轴，
又由函数为奇函数，则直线是函数图象的一条对称轴，正确；
对于，函数在，上有7个零点：分别为，，，0，2，4，6；错误；
对于，在区间，上为增函数且其周期为4，函数在，上为增函数，
又由为函数图象的一条对称轴，则函数在，上为减函数， 正确；
故选：．
例7 已知函数，，则关于x的方程的实数根之和为______；定义区间，，，长度均为，则解集全部区间长度之和为______．
【答案】①8 ②3
【分析】根据题意得以函数关于点对称，进而利用导数研究函数性质，作出简图，树形结合求解即可得关于x的方程的实数根之和；令整理得方程的实数根满足，再数形结合得解集为，最后根据定义求解区间长度的和即可.
【解析】因为，
所以函数关于点对称，
由于，
所以函数在上单调递减，
由于时，，，，，
，，，，，且时，.
故作出函数简图如图：
根据图像可知，函数与函数图像共有4个交点，且关于点对称，
所以的实数根之和为；
令，整理得，
由图像知方程有三个实数解，不妨设为，
所以由三次方程的韦达定理得，
由函数图像得解集为
所以全部区间长度之和为.
故答案为：；.
【巩固训练】
1．已知函数关于对称,则的解集为_____.
2．已知定义在上的函数满足，且的图象与的图象有四个交点，则这四个交点的横纵坐标之和等于___________.
3.已知函数满足，且时，，则（ ）
A．0B．1C．D．
4. 已知f(x)是定义域为R的函数，满足f(x＋1)＝f(x－3)，f(1＋x)＝f(3－x)，当0≤x≤2时，f(x)＝x2－x，则下列说法正确的是( )
A.函数f(x)的周期为4
B.函数f(x)图象关于直线x＝2对称
C.当0≤x≤4时，函数f(x)的最大值为2
D.当6≤x≤8时，函数f(x)的最小值为－eq \f(1,2)
5.已知定义在R上的奇函数，满足，且在区间[0，2]上是增函数，若方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根，则
6．(多选题)函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数，则( )
A.f(x)为奇函数 B.f(x)为周期函数
C.f(x＋3)为奇函数 D.f(x＋4)为偶函数
7.若定义在R上的函数满足，是奇函数，现给出下列4个论断：
①是周期为4的周期函数；②的图象关于点对称；
③是偶函数； ④的图象经过点；
其中正确论断的个数是______________.
8. (多选题)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝2－f(2－x)，且f(x)是偶函数，下列说法正确的是( )
A.f(x)的图象关于点(1，1)对称 B.f(x)是周期为4的函数
C.若f(x)满足对任意的x∈[0，1]，都有eq \f(f（x2）－f（x1）,x1－x2)0)
6．【答案】ABC
【解析】法一 由f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数知，函数f(x)的图象关于点(1，0)，(2，0)对称，所以f(－x)＋f(2＋x)＝0，f(－x)＋f(4＋x)＝0，所以f(2＋x)＝f(4＋x)，即f(x)＝f(2＋x)，所以f(x)是以2为周期的周期函数.又f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数，所以f(x)，f(x＋3)，f(x＋4)均为奇函数.故选ABC.
法二 由f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数知，函数f(x)的图象关于点(1，0)，(2，0)对称，所以f(x)的周期为2|2－1|＝2，所以f(x)与f(x＋2)，f(x＋4)的奇偶性相同，f(x＋1)与f(x＋3)的奇偶性相同，所以f(x)，f(x＋3)，f(x＋4)均为奇函数.故选ABC.
7.【答案】3
【解析】命题①：由，得：，
所以函数的周期为4，故①正确；
命题②：由是奇函数，知的图象关于原点对称，
所以函数的图象关于点对称，故②正确；
命题③：由是奇函数，得：，
又，
所以，
所以函数是偶函数，故③正确；
命题④：，
无法判断其值，故④错误.综上，正确论断的序号是：①②③.
8. 【答案】ABC
【解析】根据题意，f(x)的图象关于点(1，1)对称，A正确；又f(x)的图象关于y轴对称，所以f(x)＝f(－x)，则2－f(2－x)＝f(－x)，f(x)＝2－f(x＋2)，从而f(x＋2)＝2－f(x＋4)，所以f(x)＝f(x＋4)，B正确；由eq \f(f（x2）－f（x1）,x1－x2)