专题16 运用同构求值-2023年高考数学优拔尖核心压轴题（选择、填空题）（新高考地区专用）

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专题16 运用同构求值【方法点拨】含有指对运算的方程称之为超越方程，遇到相关的求值问题,可考虑”同构”,其关键是对已知等式进行变形，使其“结构相同”，然后构造函数利用函数的单调性，最终利用两方程“同解”来求解.【典型题示例】例1   (2022·新高考I·22改编)已知函数和，存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标分别为，则           ．【答案】2【分析】由“等高”得，即，这样就建立间的等量关系，为达到“减元”之目的，需在纷杂的关系中，梳理出、两组关系，发现“指对同现”想“同构”，从而得到，，代入求解即得解.【解析】令得所以函数在上为减函数，在上为增函数，且.令得所以函数在上为减函数，在上为增函数，且.故函数和有相同的最小值1如下图所示，当直线过函数和的交点时，满足题意，此时，故由，得即一方面，而所以又因为，，且在上为减函数所以，所以另一方面，由，同理可得所以再由和得据果移项得，所以综上，.例2    (2022·四川·成都·二检)已知函数的零点为，则      . 【答案】1【分析】“据果变形”， 由题意得 ，所以，观察期结构特征，对右侧实施变形，设即可.【解析】由题意得: ∴设在上单增故有，即∴.例3      (2022·江苏七市三模)已知函数的零点为，的零点为，则A． B． C． D．【答案】BCD【解析】，则，显然单增，故等价于，则，故A错误；因为单增，且，故，则故，则B正确；，则C正确；D.，因为，故，则，而，则，故D正确.例4  已知实数，满足，，则______.【答案】【分析】由已知条件考虑将两个等式转化为统一结构形式，令，得到，研究函数的单调性，求出关系，即可求解.【解析一】实数，满足，，，，则，，所以在单调递增，而，.【解析二】对两边取自然对数得：，对两边取自然对数得：    （※）为使两式结构相同，将（※）进一步变形为：设，则所以在单调递增，的解只有一个.∴， ∴点评:两种解法实质相同，其关键是对已知等式进行变形，使其“结构相同”，然后构造函数，利用函数的单调性，利用是同一方程求解.例5    已知实数a，b满足，，则a＋3b＝       ．【答案】16【解析】令，则 ，代入可化为，即设，则，在上单增故只有一个零点所以，即，所以.例6    已知实数满足，，则            （     ）A.112           B.28             C.7           D.4【答案】，，即，设，则，且易知其为定义在（0，+∞）上的单增函数故，即，选B.例6    已知实数满足，，则（     ）A.0           B.2            C.4           D.6【答案】B【解析】设，则，则，且，故为定义在R上的单增函数，且所以，即，选B. 【巩固训练】1.已知、分别是方程、的根，则＋的值是          .2.已知实数x、y满足，则的值是          .3.方程的根是          .4.已知实数a，b(0，2)，且满足，则a＋b的值为_______．5.设方程的根为，方程的根为，则=           .6.已知a3－3a2＋5a＝1，b3－3b2＋5b＝5，那么a＋b的值是          .7. 若满足2x+=5， 满足2x+2(x－1)=5， +＝  (     )A.      B.3        C.     D.4                【答案或提示】1.【答案】－1【提示】设，则，单增.由，得代入得，即，得＋＝－1.2.【答案】2020【提示】两边取自然对数得设，则易得其为上的单增奇函数所以，故.3.【答案】【分析】利用“同构”构造函数，再利用函数的单调性.【解析】原方程可化为设，易得其为上的单增奇函数所以，即为所求.4.【答案】2【分析】将化为：，设，则在上递增，由，得a＋b的值.【解析】由，化简为：，即，设，则在上递增，因为a，b(0，2)，所以2-b(0，2)，且，所以，即.5.【答案】46.【答案】2【解析】由题意知a3－3a2＋5a－3＝－2，b3－3b2＋5b－3＝2，设f (x)＝x3－3x2＋5x－3，则f (a)＝－2，f (b)＝2.因为f (x)图象的对称中心为(1,0)，所以a＋b＝2.点评：本题的难点在于发现函数的对称性，对于三次函数f (x)y＝ax3＋bx2＋cx＋d其对称中心为(x0，f (x0))，其中f ″(x0)＝0.7. 【答案】C