专题02+函数的奇偶性与单调性-2023年高考数学优拔尖核心压轴题（选择、填空题）

这是一份专题02+函数的奇偶性与单调性-2023年高考数学优拔尖核心压轴题（选择、填空题），共15页。学案主要包含了方法点拨，典型题示例，巩固训练，答案或提示等内容，欢迎下载使用。
专题02  函数的奇偶性与单调性【方法点拨】1. 若函数f(x)为偶函数，则f(x)＝f(|x|)，其作用是将“变量化正”，从而避免分类讨论．2. 以具体的函数为依托，而将奇偶性、单调性内隐于函数解析式去求解参数的取值范围，是函数的奇偶性、单调性的综合题的一种重要命题方式，考查学生运用知识解决问题的能力，综合性强，体现能力立意，具有一定难度.【典型题示例】例1   （2022·江苏新高考基地高三第一次联考·19改编）已知函数为奇函数，且存在m∈[－1，1]，使得不等式成立，则x的取值范围是           ．【答案】[－2,2]【解析】求得a=2，且f(x)为R上的增函数，可化为f(x2)＋x2≤2－mx－f(mx－2)由f(x)为奇函数，得2－mx－f(mx－2)= 2－mx＋f(2－mx)令F(x)=f(x)＋x，则F(x2)≤F(2－mx)，故有x2≤2－mx，即x2＋mx－2≤0令G(x)= x2＋mx－2因为存在m∈[－1，1]，使G(x)= x2＋mx－2≤0故G(－1)= x2－x－2≤0或G(1)= x2＋x－2≤0解之得－2≤x≤2.例2    已知函数f(x)＝x3－2x＋ex－，其中e是自然对数的底数，在f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是________.【答案】 【分析】直接发现函数的单调性、奇偶性，将移项，运用奇偶性再将负号移入函数内，逆用单调性脱“f”．【解析】　∵f(－x)＝(－x)3＋2x＋e－x－ex＝－f(x)且x∈R，∴f(x)是奇函数∵函数f(x)＝x3－2x＋ex－，∴f′(x)＝3x2－2＋ex＋≥3x2－2＋2≥0(当且仅当x＝0时取等号)，∴f(x)在R上单调递增.，由f(a－1)＋f(2a2)≤0，得f(2a2)≤f(1－a).所以2a2≤1－a，解之得－1≤a≤.所以实数a的取值范围是.例3   已知函数（为自然对数的底数），若，则实数 的取值范围为         ．  【答案】 【分析】本题是例2的进一步的延拓，其要点是需对已知函数适当变形，构造出一个具有奇偶性、单调性的函数,其思维能力要求的更高，难度更大.【解析】令，易知是奇函数且在上单调递增由得即由是奇函数得，故由在上单调递增，得，即，解得，故实数的取值范围为.例4    已知函数．若存在使得不等式成立，则实数的取值范围是________．【答案】【分析】令，判断函数的奇偶性与单调性，从而将不等式转化为，分离参数可得，令，，利用对勾函数的单调性可得，结合题意即可求解的取值范围．【解析】函数，若存在使得不等式成立，令，，所以，为奇函数．不等式，即，即，所以，因为在上为增函数，在上为增函数，所以在上为增函数，由奇函数的性质可得在上为增函数，所以不等式等价于，分离参数可得，令，，由对勾函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增，（1），（4），所以，，所以由题意可得，即实数的取值范围是．故答案为：．例5   已知函数，若，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】函数，故关于直线对称，且在，上单减，函数的图象如下：      ，且恒成立，，即，当时，不等式化为：，即，解得，即；当时，不等式化为：，即，解得或，即或；综上，时，实数的取值范围是，，．故选：．例6   已知函数，，则t的取值范围是       ．【答案】【分析】将已知按照“左右形式相当，一边一个变量”的原则，移项变形为，易知是奇函数，故进一步变为（#），故下一步需构造函数，转化为研究的单调性，而单增，故（#）可化为，即，解之得.例7    (2022·江苏南通期末·8)已知函数，，，,则（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【分析】分析可知函数在上为增函数，推导出函数的图象关于直线对称，则函数在上为减函数，可得出，利用函数在上的单调性可得出、、的大小关系.【解析】令，其中，则，因为函数、均为上的增函数，故函数也为上的增函数，当时，，此时，故函数在上为增函数，因为故函数的图象关于直线对称，则函数在上为减函数，所以，，，则，即，，则，则，即，因此，.故选：B.                        【巩固训练】1．若函数为偶函数，则实数=        2.设函数，则使得成立的的取值范围是（    ）．A． B．C． D．3.已知函数，则满足的实数x的取值范围是        ．4. 已知函数，若，则实数的取值范围__________.5.已知函数，若，则实数的取值范围是__________.6.已知函数，，若，，，则、、的大小关系为（    ）A． B． C． D．7. （多选题）关于函数下列结论正确的是（    ）A．图像关于轴对称 B．图像关于原点对称C．在上单调递增 D．恒大于08.已知函数，则关于的不等式的解集为（    ）.A． B．C． D．9.已知函数.若存在m∈(1,4)使得不等式成立，则实数的取值范围是A.             B.          C.           D. 10. 已知函数，则关于x不等式的解集为（    ）A.  B.  C.  D. 11. 已知，若恒成立，则实数的取值范围___．12.已知，若恒成立，则实数的取值范围_     __．13. 已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．14.已知函数，若不等式对任意均成立，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．    【答案或提示】1．【答案】1【解析】奇函数，，.2. 【答案】B【解析】偶函数，且在单增，转化为，解得或.3.【答案】（2,3）【解析】奇函数，且单减，转化为，解得.4. 【答案】【解析】设，则奇函数，且单增，而，由得即，故，解之得.5.【答案】【解析】在上单调递增，在上单调递增，且，在R上单调递增，因此由得，故答案为：6. 【答案】A【解析】，该函数的定义域为，，所以，函数为偶函数，当时，，任取，，则，，所以，，，，即，所以，函数在上单调递增，，，则，即.故选：A.7. 【答案】ACD8. 【答案】C【解析】构造函数，由于，所以，所以的定义域为.，所以为奇函数， .当时，都为增函数，所以当时，递增，所以在上为增函数. 由，得，即，所以，解得.所以不等式的解集为.故选：C9. 【答案】C【解析】设，则为定义在的奇函数所以关于点对称又所以当时，，在上单增故在上也单增因为可化为所以因为为的奇函数，所以又因为存在m∈(1,4)使得不等式成立，分参得易得，所以，故选C.10.【答案】A【分析】根据题意可判断函数为奇函数且在上单调递增，进而根据奇偶性与单调性解不等式即可.【解析】函数的定义域为，，所以函数为奇函数，因为，所以函数在上单调递增，所以，所以，即，解得 所以不等式的解集为故选：A11.【答案】【分析】先分析的奇偶性和单调性，则等价于，所以，可转化为，即，求即得解【解析】因为，所以是上的奇函数，，，所以是上的增函数，等价于，所以，所以，令，则，因为且定义域为，所以是上的偶函数，所以只需求在上的最大值即可.当时，，，则当时，；当时，；所以在上单调递增，在上单调递减，可得：，即.故答案为：.12.【答案】【分析】先分析的奇偶性和单调性，则等价于，所以，可转化为，即，求即得解【解析】因为，所以是上的奇函数，，，所以是上的增函数，等价于，所以，所以，令，则，因为且定义域为，所以是上的偶函数，所以只需求在上的最大值即可.当时，，，则当时，；当时，；所以在上单调递增，在上单调递减，可得：，即.故答案为：.13.【答案】D【分析】构造函数，判断函数的奇偶性与单调性，将所求不等式转化为，即，再利用函数单调性解不等式即可.【解析】，令，则，可得是奇函数，又，又利用基本不等式知当且仅当，即时等号成立；当且仅当，即时等号成立；故，可得是单调增函数，由得，即，即对恒成立.当时显然成立；当时，需，得，综上可得，故选：D.14.【答案】A【分析】由题设，构造，易证为奇函数，利用导数可证为增函数，结合题设不等式可得，即对任意均成立，即可求的范围.【解析】由题设，令，∴，∴为奇函数，又，即为增函数，∵，即，∴，则，∴对任意均成立，又，当且仅当时等号成立，∴，即.故选：A