专题1.40 线段的垂直平分线（知识讲解）-2022-2023学年八年级数学上册基础知识专项讲练（浙教版）

这是一份专题1.40 线段的垂直平分线（知识讲解）-2022-2023学年八年级数学上册基础知识专项讲练（浙教版），共14页。学案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题等内容，欢迎下载使用。
专题1.40 线段的垂直平分线（知识讲解）【学习目标】1、会准确说出线段垂直平分线性质定理及其逆定理，并用几何语言表达其性质；2、能运用线段垂直平分线的性质解决有关问题；3、能灵活应用性质定理及判定定理进行相关的解题训练. 【要点梳理】知识要点一：线段垂直平分线定理：线段的垂直平分线的性质定理:线段的垂直平分线上的到这条线段两个端点的距离相等。 ①如图，直线l垂直平分线段AB，P1、P2、P3是l上的点.试说明P1A= P1B.证明：∵直线l⊥AB，∴∠P1CA=∠P1CB.又CA=CB，P1C= P1C，∴△P1CA≌△P1CB (SAS).∴P1A= P1B.几何语言叙述：  ∵直线l垂直平分AB，P是直线l上任意一点;∴PA=PB.知识要点二：线段垂直平分线判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.如图，在△PAB中，如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上？请证明这个结论？点P在线段AB的垂直平分线上证明：作PC⊥AB，垂足为C，则∠ACP=∠BCP=90°，在Rt△PAC和Rt△PBC中，PA=PB，PC=PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL).∴AC=BC.∴PC是AB的垂直平分线，即点P在线段AB的垂直平分线上.线段垂直平分线性质的逆定理：几何语言叙述： ∵PA=PB;∴P点在AB的垂直平分线上.【典型例题】类型一、垂直平分线的性质1．如图，△ABC中，∠A=∠ABC，DE垂直平分BC，交BC于点D，交AC于点E．（1）若AB=5，BC=8，求△ABE的周长；       （2）若BE=BA，求∠C的度数．      【答案】（1）13（2）36°【分析】（1）由等边对等角可知AC=BC=8，由线段垂直平分线的性质可知CE=BE,进而可求△ABE的周长；（2）由BE=CE可知∠C=∠CBE，由外角性质可得∠BEA=2∠C，由BE=BA可证∠A=∠BEA=2∠C，然后利用三角形内角和等于180°列式求解即可.（1）解：∵△ABC中，∠A=∠ABC∴AC=BC=8∵DE垂直平分BC，EB=EC又∵AB=5，∴△ABE的周长为：AB+AE+EB=AB+(AE+EC)=AB+AC=5+8=13（2）解：∵EB=EC ∴∠C=∠CBE∵∠AEB=∠C+∠CBE∴∠BEA=2∠C∵BE=BA∴∠AEB=∠A又∵AC=BC∴ ∠CBA=∠A=2∠C∵ ∠CBA+∠A+∠C=180°∴5∠C=180°∴∠C=36°【点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点.熟练掌握线段垂直平分线的性质是解（1）的关键，利用等腰三角形的判定与性质和三角形外角的性质得出∠A=2∠C是解（2）的关键.【变式1】 如图，△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于D，E两点，垂足分别是M，N.(1)  若△ADE的周长是10，求BC的长；(2) 若∠BAC＝100°，求∠DAE的度数．【答案】（1）BC＝10.（2）20°.【分析】（1）由AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，垂足分别是M、N，根据线段垂直平分线的性质，可得AD=BD，AE=EC，继而可得△ADE的周长等于BC的长；（2）由∠BAC=100゜，可求得∠B+∠C的度数，又由AD=BD，AE=EC，即可求得∠BAD+∠CAE的度数，继而求得答案．解：(1)因为AB，AC的垂直平分线分别交BC于D，E两点，垂足分别是M，N，所以AD＝BD，AE＝CE.因为△ADE的周长是10，所以AD＋DE＋AE＝BD＋DE＋CE＝BC＝10，即BC＝10.(2)因为∠BAC＝100°，所以∠B＋∠C＝180°－∠BAC＝80°.因为AD＝BD，AE＝CE，所以∠BAD＝∠B，∠CAE＝∠C，所以∠BAD＋∠CAE＝80°，所以∠DAE＝∠BAC－(∠BAD＋∠CAE)＝100°－80°＝20°.【点拨】本题考查的知识点是线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，解题关键是注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．【变式2】 如图所示，中，为的中点交的平分线于于，求证：．【分析】连接EB、EC，过点E作交AB延长线于G，根据线段垂直平分线求出BE=CE，根据角平分线性质求出EF=EG，证出Rt△BGE≌Rt△CFE即可得BG=CF，求出△AFE≌△AGE，推出AF=AG，即可得出答案．证明：连接EB、EC，过点E作交AB延长线于G，   ∵为的中点∴DE是BC的垂直平分线，∴BE=CE，∵AE平分∠BAC，EG⊥AB，EF⊥AC，∴∠BGE=∠EFC=90°，EF=EG，在Rt△BGE和Rt△CFE中 ∴Rt△BGE≌Rt△CFE（HL），∴BG=CF，∵AE平分∠BAC，EG⊥AB，EF⊥AC，∴∠AFE=∠AGE=90°，∠FAE=∠GAE，在△AFE和△AGE中 ∴△AFE≌△AGE，∴AF=AG，∵BG=CF，∴（AB+AC）=（AG-BG+AF+CF）=（AF+AF）=AF，即AF=（AB+AC）．【点拨】本题考查全等三角形的性质和判定，角平分线性质，线段垂直平分线性质的应用，能综合运用性质进行推理是解题的关键，题目比较典型，难度适中．类型二、垂直平分线的判定2．如图，AB=AC,MB=MC，直线AM是线段BC的垂直平分线吗？   【答案】是，理由见分析.【分析】根据线段的垂直平分线的定义，分别证明A、M在线段BC的垂直平分线上即可解决问题．解：直线AM是线段BC的垂直平分线，理由如下：∵AB=AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上，∵MB=MC，∴点M在线段BC的垂直平分线上，∴直线AM是线段BC的垂直平分线．【点拨】本题考查线段的垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的判定方法，属于中考常考题型．举一反三：【变式1】如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E， （1）若∠BAC=50°，求∠EDA的度数；（2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．【答案】（1）65° （2）证明见分析【分析】（1）由题意可得∠EAD=∠BAC=25°，再根据∠AED=90°，利用直角三角形两锐角互余即可求得答案；（2）由于DE⊥AB，易得∠AED=90°=∠ACB，而AD平分∠BAC，易知∠DAE=∠DAC，又因为AD=AD，利用AAS可证△AED≌△ACD，那么AE=AC，DE=DC，根据线段垂直平分线的判定定理即可得证.解：（1）∵AD平分∠BAC，∠BAC=50°，∴∠EAD=∠BAC=25°，∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，∴∠ADE=90°-∠EAD=90°-25°=65°； （2）∵DE⊥AB，∴∠AED=90°=∠ACB，又AD平分∠BAC，∴∠DAE=∠DAC，又∵AD=AD，∴△AED≌△ACD，∴AE=AC，DE=DC∴点A在线段CE的垂直平分线上，点D在线段CE的垂直平分线上，∴直线AD是线段CE的垂直平分线.【点拨】本题考查了直角三角形两锐角互余、三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的判定等，熟练掌握相关的性质定理与判定定理是解题的关键.【变式2】  如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D．求证：OE是线段CD的垂直平分线. 【分析】证△EDO和△ECO全等，推出OD=OC，根据线段垂直平分线性质得出即可． 证明：∵点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C，D，∴DE=CE，∠EDO=∠ECO=90°，在Rt△ODE与Rt△OCE中， ∴Rt△ODE≌Rt△OCE，∴OD=OC，∵DE=EC，∴OE是线段CD的垂直平分线．【点拨】本题主要考查角平分线的性质，线段垂直平分线性质，全等三角形的判定与性质的应用，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等的知识是解答此题的关键，难度适中．类型三、垂直平分线的应用3．作图题.如图，小河边有两个村庄A、B，要在河边建一自来水厂P，向A村B村供水．（1）若要使厂部到A、B两村的距离相等，则厂部P应选在哪里？在图①中画出；（2）若要使厂部到A、B两村的输水管长度之和最小，则厂部P应选在什么地方？在图②中画出．（保留作图痕迹，不写作法，但要写结论）【分析】（1）在图①中连接AB正确画出AB的垂直平分线得，指出AB的垂直平分线与河岸的交点C即为厂部P的位置；（2）在图②中正确作出点A关于河岸的对称点A'，连接A'B，指出线段A'B与河岸的交点P即为厂部的位置．解：（1）如图①所示：点C即为所求；（2）如图②所示：点C即为所求．．【点拨】此题主要考查了作图与应用设计，关键是掌握在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．举一反三：【变式1】 如图，两条公路OA与OB相交于点O，在∠AOB的内部有两个小区C与D，现要修建一个市场P，使市场P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两个小区C、D的距离相等．（1）市场P应修建在什么位置？（请用文字加以说明）（2）在图中标出点P的位置（要求：用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出结论）．【分析】（1）直接利用角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质分析得出答案；（2）直接利用角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法得出答案．解：（1）点P应修建在∠AOB的角平分线和线段CD的垂直平分线的交点处；（2）如图所示：点P即为所求．【点拨】此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质是解题关键．【变式2】 已知：B−O−A是一条公路，河流OP恰好经过桥O平分∠AOB．（1）如果要从P处移动到公路上路径最短，除图中所示PM外，还可以选择PN，求作这条路径，两条路径的关系是______，理由是___________．（2）河流下游处有一点Q，如果要从P点出发，到达公路OA上的点C后再前往点Q，请你画出一条最短路径，表明点C的位置．（3）D点在公路OB上，O点到D点的距离与C点相等，作出△CDP，求证：△CDP为等腰三角形．【答案】（1）对称；点到直线的距离，垂线段最短．（2）画图见分析．（3）证明见分析．【分析】（1）过点P作OA的垂线即可得；（2）作点P关于OA的对称点P′，连接P′Q，与OA的交点即为所求点C；（3）过点C作OQ的垂线，交OB于点D，依据中垂线和角平分线的性质证明即可得．解：（1）线段PN为所求．（2）P→C→Q路径最短，点C即为所求．（3）如图，△CDP即为所求．由题意得：OC=OD，∠AOQ=∠BOQ，OP=OP，∴△COP≌△DOP（SAS），∴CP=DP，∴△CDP为等腰三角形．【点拨】本题主要考查作图-应用与设计作图，解题的关键是掌握垂线的尺规作图与中垂线、角平分线的性质及等腰三角形的判定．类型四、垂直平分线的应用4.如图，点和点在内部．（1）请你作出点，使点到点和点的距离相等，且到两边的距离也相等（保留作图痕迹，不写作法）；（2）请说明作图理由．【分析】（1）由垂直平分线性质可知点到点和点的距离相等即点P在MN的垂直平分线，由角平分线的性质可知两边的距离相等，即点P在∠AOB的角平分线上.分别作出MN的垂直平分线和∠AOB的角平分线，它们的交点即为所求.（2）根据作法即可说出理由.解：（1）如图，作∠AOB的角平分线与线段MN的垂直平分线交于P点，即点到点和点的距离相等，且到两边的距离也相等；（2）理由：角的平分线上的点到角的两边的距离相等、直平分线上的点到线段两端点的距离相等．【点拨】本题考查的是复杂作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握基本作图的一般步骤、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质是解题的关键．举一反三：【变式1】 如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．(1)用尺规作图作AB边上的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E．(保留作图痕迹，不要求写作法和证明)(2)连接BD，求证：DE＝CD．【答案】（1）作图见分析；（2）证明见分析.【分析】（1）分别以A、B为圆心，以大于AB的长度为半径画弧，过两弧的交点作直线，交AC于点D，AB于点E，直线DE就是所要作的AB边上的中垂线；（2）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=BD，再根据等边对等角的性质求出∠DBA=∠A=30°，然后求出∠DBC=30°，从而得到BD平分∠ABC，再根据角平分线的性质即可得．解：（1）如图，DE为所作；（2）如图，∵DE垂直平分AB，∴DA=DB，∴∠DBA=∠A=30°，∵∠ABC=90°﹣∠A=60°，∴∠CBD=30°，即BD平分∠ABC，而DE⊥AB，DC⊥BC，∴DE=DC．【点拨】本题考查了线段垂直平分线的作法、线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质、角平分线的性质，熟练掌握作图方法以及相关性质是解题的关键.【变式2】 如图，已知△ABC，AB＜BC，请用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC＝BC（保留作图痕迹，不写作法）【分析】作的垂直平分线交与，则，所以.解：如图，以为圆心，大于长度为半径作弧交于两点，连接交点作直线交与点.【点拨】本题考查垂直平分线的性质和尺规作图法.解题的关键是熟悉垂直平分线的性质：线段中垂线上的点到线段两端点的距离相等.