专题3.8 《勾股定理》全章复习与巩固（知识讲解）-八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版）

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专题3.8 《勾股定理》全章复习与巩固（知识讲解）
（说明：本专题涉及到二次根式的知识，建议学习第四章《实数》后进行复习或选择性进行复习）
【学习目标】
1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；
2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；
3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题.
【要点梳理】
要点一、勾股定理
1.勾股定理：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：）
2.勾股定理的应用
勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：
（1）已知直角三角形的两边，求第三边；
（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；
（3）求作长度为的线段.
要点二、勾股定理的逆定理
1.原命题与逆命题
如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.
2.勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.
应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：
（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为；
（2）验证与是否具有相等关系，若，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形，反之，则不是直角三角形.
3.勾股数
满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.
常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.
如果()是勾股数，当t为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.
观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：
1.较小的直角边为连续奇数；
2.较长的直角边与对应斜边相差1.
3.假设三个数分别为，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等）
要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系
区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；
联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.
【典型例题】
类型一、运用勾股定理及逆定理求值或证明
1、已知：中，，，BC边上的高，求BC．
【答案】4或14
【分析】分情况讨论，如图所示：利用勾股定理分别求出的长，从而得出的长度．
解：①∵在Rt△ABD中，

∴BD＝，
在Rt△ADC中，CD＝，
故BC＝BD＋CD＝14；
②在Rt△ABD中，

BD＝，
在Rt△ADC中，CD＝，
故BC＝BD−CD＝4，
∴BC的长为或4或14．
【点拨】此题考查了勾股定理，求解关键是利用勾股定理分别求出BD和CD，注意不要漏解．
举一反三：
【变式1】已知如图，在中，，D在CB的延长线上．
求证：（1）；
（2） 若D在CB上，结论如何，试证明你的结论．

【答案】（1）见详解；（2），理由见详解
【分析】
（1）过点A作AE⊥BC于E，根据等腰三角形三线合一的性质可得BE＝CE，利用勾股定理列式表示出DE2、CE2，然后相减即可得解；
（2）根据（1）的求解思路列式整理即可．
解：（1）证明：如图，过点A作AE⊥BC于E，
∵AB＝AC，
∴BE＝CE，
在Rt△ADE中，AD2−AE2＝DE2，
在Rt△ACE中，AC2−AE2＝CE2，
两式相减得，AD2−AC2＝DE2−CE2＝（DE−CE）（DE＋CE）＝（DE−BE）CD＝BD•CD，
即AD2−AB2＝BD•CD；

（2）结论为：AB2−AD2＝BD•CD．
证明如下：与（1）同理可得，AD2−AE2＝DE2，AC2−AE2＝CE2，
∵点D在CB上，
∴AB＞AD，即：AC＞AD，
∴AC2−AD2＝CE2−DE2＝（CE−DE）（CE＋DE）＝（BE−DE）（CE＋DE）＝BD•CD，
∴AC2−AD2＝BD•CD，
即AB2−AD2＝BD•CD．

【点拨】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．
【变式2】如图和都是等腰直角三角形，，，顶点在的斜边上，求证：．

【分析】连结BD，易证，即BD=AE、AC=BC．又可证明出∠ADB=90∘，再结合勾股定理即可得到所要证明的等式是成立的．
解：证明：如图，连结BD ，

∵，
∴．
∴在△EAC和△DBC中，，
∴．       
∴ ．
又∵，
∴ ．
∴ 在中，，
∴．
∵ 在中，，
∴ ．
【点拨】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理．灵活应用全等三角形的判定和性质是解题关键．
2、如图，是一块草坪，已知AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求这块草坪的面积．

【答案】216平方米
【分析】连接AC，根据勾股定理计算AC，根据勾股定理的逆定理判定三角形ABC是直角三角形，根据面积公式计算即可．
解：连接AC，∵AD＝12，CD＝9，∠ADC＝90°，

∴AC==15，
∵AB＝39，BC＝36，AC=15
∴，
∴∠ACB=90°，
∴这块空地的面积为：==216（平方米），
故这块草坪的面积216平方米．
【点拨】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理并灵活运用是解题的关键．
举一反三：
【变式1】“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，你能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
【答案】西北或东南
【分析】根据路程＝速度×时间分别求得PQ、PR的长，再进一步根据勾股定理的逆定理可以证明三角形PQR是直角三角形，从而求解．
解：如图，根据题意，得
PQ＝16×1.5＝24（海里），PR＝12×1.5＝18（海里），QR＝30（海里）．
∵242+182＝302，
即PQ2+PR2＝QR2，
∴∠QPR＝90°．
由“远航号”沿东北方向航行可知，∠QPS＝45°，则∠SPR＝45°，即“海天”号沿西北或东南方向航行．

【点拨】此题考查勾股定理逆定理的应用，主要是能够根据勾股定理的逆定理得到直角三角形．
【变式2】如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝60°，AD＝1，BC＝2，求AB、CD的长．

【答案】AB＝2－2，CD＝4－.
【分析】此题为几何题，看题目只是一个四边形，要求两条未知边，那肯定要添辅助线.过点D作DH⊥BA延长线于H，作DM⊥BC于M.构建矩形HBMD.利用矩形的性质和解直角三角形来求AB、CD的长度.
解：
如图，过点D作DH⊥BA延长线于H，作DM⊥BC于点M.
∵∠B＝90°，
∴四边形HBMD是矩形.
∴HD＝BM，BH＝MD，∠ABM＝∠ADC＝90°，
又∵∠C＝60°，
∴∠ADH＝∠MDC＝30°，
∴在Rt△AHD中，AD＝1，∠ADH＝30°，则AH＝AD＝，DH＝.
∴MC＝BC－BM＝BC－DH＝2－＝.
∴在Rt△CMD中，CD＝2MC＝4－，DM＝×CD＝.
∴AB＝BH－AH＝DM－AH＝－＝
【点拨】本题考查了勾股定理和矩形的判定与性质.此题的关键是根据题意作出辅助线，构建矩形.
类型二、勾股定理与方程思想
3、如图，在矩形ABCD中，将沿对角线BD折叠，点A落在点E处，连接DE，BE，BE与CD交于点F．
(1)请你利用尺规作图，在图中作出E，F的位置，并标上字母（要求保留作图痕迹，不要求写作法）；
(2)连接CE，若，，求的面积．

【答案】(1)见分析；(2)40
【分析】
（1）过A点作AO⊥BD于O，延长AO到E使OE=OA，然后连接BE交CD于F；
（2）先根据矩形的性质得到AB∥CD，AB=CD=16，BC=AD=8，再根据折叠的性质得到∠FBD=∠ABD，则接着证明∠FDB=∠FBD得到FD=FB，设FD=x，则FB=x，FC=16-x，利用勾股定理列出方程，解方程求出x，然后根据三角形面积公式求解．
(1)如图，点E、F为所作；

(2)如图，

∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，AB=CD=16，BC=AD=8，
∴∠FDB=∠ABD，
∵△ABD沿对角线BD折叠得到△EBD，
∴∠FBD=∠ABD，
∴∠FDB=∠FBD，
∴FD=FB，
设FD=x，则FB=x，FC=16-x，
在Rt△BCF中，（16-x）2+82=x2，
解得x=10，
∴DF=10，
∴△BDF的面积=×DF×BC=×10×8=40．
【点拨】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了矩形的性质和折叠的性质．
举一反三：
【变式1】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线A－C－B－A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
(1)若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求此时t的值；
(2)若点P恰好在∠BAC的平分线上，求t的值．

【答案】(1)(2)
【分析】
（1）连接PB，在Rt△ABC中，根据勾股定理得AC=6，由于AP＝PB＝t，则PC＝8-t，在Rt△PCB中，根据勾股定理得，进行计算即可得；
（2）由题意得，PC＝t-8 ， PB ＝14-t，过点P作PE⊥AB，由于AP平分∠BAC，且∠ACB＝90°得PC＝PE，根据HL得Rt△ACP≌Rt△AEP，即可得AC＝AE＝8， BE＝2，在 Rt△PEB中，根据勾股定理得，进行计算即可得．
(1)解：如图所示，连接PB，

∵在Rt△ABC中，AB＝10，BC＝6，
∴
由于AP＝PB＝t，
则PC＝8-t，
在Rt△PCB中，根据勾股定理得：


解得，
即此时t的值为．
(2)解：由题意得，PC＝t-8 ， PB ＝14-t，
如图所示，过点P作PE⊥AB，

由于AP平分∠BAC，且∠ACB＝90°，
∴ PC＝PE，
在Rt△ACP与Rt△AEP中，
   
∴Rt△ACP≌Rt△AEP（HL），
∴AC＝AE＝8， BE＝2，
在 Rt△PEB中，根据勾股定理得，
，

解得：，
∴当点P在∠BAC的平分线上时，t的值为．
【点拨】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握这些知识点．
【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，动点P从点B出发沿射线BC以3cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．
(1)求BC边的长；
(2)当△ABP为直角三角形时，求t的值；
(3)当△ABP为等腰三角形时，请直接写出此时t的值．

【答案】(1)3cm(2)t=1或(3)t=或2或
【分析】
（1）根据题意，在△ABC中，利用勾股定理求解即可；
（2）由题意可知，分两种情况：①；②，代值求解即可；
（3）由题意可知，分三种情况：①；②；③，分别结算求解即可．
(1)解：∵在△ABC中，，，，
∴BC=；
(2)解：由题意可知，分两种情况：①；②，
设BP=3tcm，∠B≠90°：
①当∠APB=90°时，易知点P与点C重合，
∴BP = BC，即3t=3，
∴；
②当∠PAB=90°时，如下图所示：

∴CP=BP－BC=（3t－3）cm，
∵AC2＋CP2=AP2=BP2－AB2，即42＋（3t－3）2=（3t）2－52，解得：t=，
综上所述：当为直角三角形时，t=1或；
(3)解：由题意可知，分三种情况：①；②；③，
①当时，如图所示：

；
②当时，如图所示：

根据等腰三角形“三线合一”可知，是边上的中线，
，
；
③当时，如图所示：

设，则，
在中，，，，，则由勾股定理可得，即，解得，
，
，
综上所述：t=或2或．
【点拨】本题考查三角形中的动点问题，涉及到勾股定理求线段长、三角形为直角三角形的讨论和三角形为等腰三角形的讨论等知识，熟练掌握相关知识点及分类情况是解决问题的关键．
类型三、勾股定理与折叠问题
4、如图，由△ABC中，，，．按如图所示方式折叠，使点B、C重合，折痕为DE，求出AE和AD的长．
,
【答案】 ；
【分析】在中由于，，，所以根据勾股定理可求出的长，由折叠可知，ED垂直平分BC，E为BC中点，BD＝CD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出AE的长，设BD＝CD＝x，则AD＝12−x．在中，由 即可求出x的值，故可得出结论．
解：在中由于，，，
由勾股定理得：，
∴BC＝12，
∵由折叠可知，ED垂直平分BC，
∴E为BC中点，BD＝CD，
∴AE＝BC＝（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）．
设BD＝CD＝x，则AD＝12−x．
在中，，
即92＋(12−x)2＝x2，解得，
∴．
【点拨】本题考查的是图形折叠的性质，熟知图形折叠不变性的性质及勾股定理是解答此题的关键．
举一反三：
【变式1】如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，现将直角边AB沿直线BD对折，使点A恰好落在斜边BC上，且与重合，求BD的长．

【答案】cm
【分析】根据勾股定理得到（cm），根据折叠的性质得到=AB=8cm，，，根据勾股定理即可得到结论．
解：∵∠A=90°，AB=8cm，AC=6cm，
∴（cm），
∵将直角边AB沿直线BD进行对折，使点A刚好落在斜边BC上，
∴=8cm，，，
∴=10-8=2（cm），
∵，
∴（6-AD）2=22+AD2，
∴AD=，
∴BD=（cm），
故BD的长为cm．
【点拨】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，熟记性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．
【变式2】如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，BC=10cm，AB=8cm，求EF的长

【答案】5
【分析】根据折叠的性质得到AF=AD，DE=EF，根据勾股定理计算即可．
解：∵四边形ABCD是长方形 ，BC=10cm，AB=8cm
∴AD=BC=10cm，AB=CD=8cm
又∵AF为AD折叠所得   
∴AF=AD=10cm，
∴BF2=AF2-AB2=36
∴BF=6cm
∴FC=BC-BF=4
设CE长为x cm，则DE长为（8-x）cm，则EF长为（8-x）cm．
在RT△CEF中，
x2+42=(8-x)2
解得：x=3
∴CE=3cm
∴EF=8-3=5cm
故EF的长为5cm．
【点拨】本题考查的是翻转变换的性质，勾股定理的应用，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
类型四、勾股定理与最值问题
5、如图，在中，，，，是上一点，且，是边上一点，将沿折叠，使点落在点处，连接，求的最小值．

【答案】．
解：如解图，以为圆心，长为半径作圆，
∵，∴点在的一段弧上运
动，连接，交于点，此时最小．
∵，，，，
∴，∴，
∴．
∴的最小值为．

举一反三：
【变式1】如图，在中，，，，平分交于点，，分别是，上的动点，求的最小值．

【答案】当、、共线，且点与重合时，的值最小，最小值为
【分析】在AB上取点F′，使AF′=AF，过点C作CH⊥AB，垂足为H．因为EF+CE=EF′+EC，推出当C、E、F′共线，且点F′与H重合时，FE+EC的值最小．
解：如图所示：在上取点，使，过点作，垂足为．

在中，依据勾股定理可知．
，
，
∴当、、共线，且点与重合时，的值最小，最小值为．
【点拨】本题主要考查的是轴对称的性质、勾股定理的应用、垂线段最短等知识，解题的关键是学利用对称，解决最短问题．
【变式2】阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：∠MBN＝30°，点A为射线BM上一点，且AB＝4，点C为射线BN上动点，连接AC，以AC为边在AC右侧作等边三角形ACD，连接BD．当AC⊥BN时，求BD的长．
小明发现：以AB为边在左侧作等边三角形ABE，连接CE，能得到一对全等的三角形，再利用∠EBC＝90°，从而将问题解决（如图1）．
请回答：
(1)在图1中，小明得到的全等三角形是△　 　≌△　 　；BD的长为 　 　．
(2)动点C在射线BN上运动，当运动到AC时，求BD的长；
(3)动点C在射线BN上运动，求△ABD周长最小值．

【答案】(1)ABD，ACE，；(2)BD的长为；(3)＋4．
【分析】
（1）根据SAS可证△ABD≌△ACE，得出BD＝CE，利用勾股定理求出CE即可得出BD的长度；
（2）作AH⊥BC于点H，以AB为边在左侧作等边△ABE，连接CE，求出BH，HC即BC的长度，再利用勾股定理即可求出CE的长度，由（1）知BD＝CE，据此得解；
（3）作AH⊥BC于点H，以AB为边在左侧作等边△ABE，延长EB至F，使BF＝EB，连接AF交BN于C'，连接EC'，此时BD＋AC'有最小值即为AF，此时△ABD周长＝AF＋AB最小，求出AF即可．
(1)解：∵△ACD和△ABE是等边三角形，
∴∠EAB＝∠DAC＝60°，AD＝AC，
∴∠EAB＋∠BAC＝∠DAC＋∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，
在△ABD和△AEC中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，
∵AB＝4，∠MBN＝30°，
∴AC＝2，
∴BC＝，
∴BD＝CE＝，
故答案为：ABD，ACE，；
(2)解：如下图，作AH⊥BC于点H，以AB为边在左侧作等边△ABE，连接CE，

∵AB＝4，∠MAN＝30°，
∴AH＝2，BH＝，
∵AC＝，
∴HC＝ ，
∴BC＝BH＋HC＝＋＝，
∴CE＝，
由（1）可知BD＝CE，
∴此时BD的长为；
(3)解：如图，以AB为边在左侧作等边△ABE，延长EB至F，使BF＝EB，连接AF交BN于C'，连接EC'，

∵EC'＝FC'＝BD，
∴此时BD＋AC'有最小值即为AF，
∴此时△ABD周长＝AD＋BD+AB＝AF＋AB最小，
作AG⊥BE于G，
∴AG∥BN，
∴∠BAG＝30°，
∴BG＝AB＝2，AG＝，
∴GF＝BG＋BF＝2＋4＝6，
由勾股定理得AF＝，
∴此时△ABD周长为：＋4．
【点拨】本题主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理等，作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．
类型五、勾股定理与逆定理实际运用
6、如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10km至C港．
（1）求A，C两港之间的距离（结果保留到0.1km，参考数据：≈1.414，≈1.732）；
（2）确定C港在A港的什么方向．

【答案】（1）A、C两地之间的距离为14.1km;（2）C港在A港北偏东15°的方向上．
【分析】
（1）根据方位角的定义可得出∠ABC=90°，再根据勾股定理可求得AC的长为14.1.
（2）由（1）可知△ABC为等腰直角三角形，从而得出∠BAC=45°，求出∠CAM=15°，所而确定C港在A港的什么方向.
解：（1）由题意可得，∠PBC=30°，∠MAB=60°，∴∠CBQ=60°，∠BAN=30°，∴∠ABQ=30°，∴∠ABC=90°．
∵AB=BC=10，∴AC==≈14.1．
答：A、C两地之间的距离为14.1km．
（2）由（1）知，△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，∴∠CAM=15°，
∴C港在A港北偏东15°的方向上．
【点拨】本题考查了方位角的概念及勾股定理及其逆定理，正确理解方位角是解题的关键.
举一反三：
【变式1】小明和同桌小聪在课后复习时，对课本“目标与评定”中的一道思考题，进行了认真的探索．
【思考题】如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？

（1）请你将小明对“思考题”的解答补充完整：
解：设点B将向外移动x米，即BB1=x，
则B1C=x+0.7，A1C=AC﹣AA1=
而A1B1=2.5，在Rt△A1B1C中，由得方程 ，
解方程得x1= ，x2= ，
∴点B将向外移动 米．
（2）解完“思考题”后，小聪提出了如下两个问题：
【问题一】在“思考题”中，将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”，那么该题的答案会是0.9米吗？为什么？
【问题二】在“思考题”中，梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？
请你解答小聪提出的这两个问题．
【答案】（1）；0.8，﹣2.2（舍去）；0.8．（2）①不会是0.9米，理由见分析②有可能．理由见分析
解：（1）；0.8，﹣2.2（舍去）；0.8．
（2）①不会是0.9米，理由如下：
若AA1=BB1=0.9，则A1C=2.4﹣0.9=1.5，B1C=0.7+0.9=1.6，1.52+1.62=4.81，2.52=6.25，
∵，∴该题的答案不会是0.9米．
②有可能．理由如下：
设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x米，
则有，解得：x=1.7或x=0（舍去）．
∴当梯子顶端从A处下滑1.7米时，点B向外也移动1.7米，即梯子顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等．
分析：（1）直接把B1C、A1C、A1B1的值代入进行解答即可．
（2）把（1）中的0.4换成0.9可知原方程不成立；设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x米代入（1）中方程，求出x的值符合题意
【变式2】如图，台风中心位于点O处，并沿东北方向（北偏东45°），以40千米/小时的速度匀速移动，在距离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响，在点O的正东方向，距离60千米的地方有一城市A．
（1）问：A市是否会受到此台风的影响，为什么？
（2）在点O的北偏东15°方向，距离80千米的地方还有一城市B，问：B市是否会受到此台风的影响？若受到影响，请求出受到影响的时间；若不受到影响，请说明理由．

【答案】（1）A市不会受到此台风的影响,理由见分析；（2）B市会受到此台风的影响，影响时间约为1．5小时．
试题分析：（1）过点A作AD⊥OD于点D，可求得AD的长为60km，由60＞50可知，不会受到台风影响；
（2）过点B作BG⊥OC于点G，可求得BG的长，由离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响，即可知会受到影响，然后由勾股定理求得受影响的范围长，即可求得影响的时间．
解：（1）作AD⊥OC，

∵由题意得：∠DOA=45°，OA=60km，
∴AD=DO=60÷=60km，
∵60＞50，
∴A市不会受到此台风的影响；
（2）作BG⊥OC于G，
∵由题意得：∠BOC=30°，OB=80km，
∴BG=OB=40km，
∵40＜50，
∴会受到影响，
如图：BE=BF=50km，
∴EG==30km，
∴EF=2EG=60km，
∵风速为40km/h，
∴60÷40=1．5小时，
∴影响时间约为1．5小时．
【点拨】解直角三角形的应用-方向角问题．
7、如图，小明准备把一支笔放入铅笔盒，竖放时笔的顶端E比铅笔盒的宽还要长，斜着放入时笔的顶端F与铅笔盒的边缘距离为，求铅笔盒的宽的长度．

【答案】铅笔盒的宽的长度为．
【分析】设铅笔盒的宽的长度为，则笔长，然后根据勾股定理列方程解答即可．
解：设铅笔盒的宽的长度为，则笔长，
由题意得，
解得．
答：铅笔盒的宽的长度为．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，弄清题意、根据勾股定理列出方程是解答本题的关键．
举一反三：
【变式1】一艘船由港沿北偏东60°方向航线10至港，然后再沿北偏西30°方向航行10至港．
（1）求，两港之间的距离；
（2）确定港在港的什么方向？（画出示意图，并解答）
【答案】（1）；（2）港在港的北偏东15°方向上
【分析】
（1）由方位角的概念可以推出∠ABC=，利用勾股定理可求出AC的长度，即可解答.
（2）易得△ABC是等腰直角三角形，则∠CAB=，进而可以求得∠3.
解：（1）根据题意，画图如下：

由题意可得：，，；
又，；
（2），，是等腰直角三角形，
，．
所以港在港的北偏东15°方向上．
【点拨】此题主要考查方位角和勾股定理，正确认识方位角和熟练利用勾股定理解直角三角形是解题的关键.
【变式2】如图，书桌上的一种新型台历和一块主板AB、一个架板AC和环扣（不计宽度，记为点A）组成，其侧面示意图为△ABC，测得AC⊥BC，AB=5cm，AC=4cm，现为了书写记事方便，须调整台历的摆放，移动点C至C′，当∠C′=30°时，求移动的距离即CC′的长（或用计算器计算，结果取整数，其中 =1.732，   =4.583）

【答案】5cm
试题分析：过点A′作A′D⊥BC′，垂足为D，先在△ABC中，由勾股定理求出BC=3cm，再解Rt△A′DC′，得出A′D=2cm，C′D=2cm，在Rt△A′DB中，由勾股定理求出BD=cm，然后根据CC′=C′D+BD﹣BC，将数据代入，即可求出CC′的长．
解：过点A′作A′D⊥BC′，垂足为D．
在△ABC中，∵AC⊥BC，AB=5cm，AC=4cm，∴BC=3cm．
当动点C移动至C′时，A′C′=AC=4cm．在△A′DC′中，∵∠C′=30°，∠A′DC′=90°，
∴A′D=A′C′=2cm，C′D=A′D=2cm．
在△A′DB中，∵∠A′DB=90°，A′B=5cm，A′D=2cm，∴BD==cm，
∴CC′=C′D+BD﹣BC=2+﹣3，∵=1.732， =4.583，∴CC′=2×1.732+4.583﹣3≈5．
故移动的距离即CC′的长约为5cm．

考点：解直角三角形的应用．