专题1.34 三角形全等判定方法4-斜边+直角边（知识讲解）-2022-2023学年八年级数学上册基础知识专项讲练（浙教版）

这是一份专题1.34 三角形全等判定方法4-斜边+直角边（知识讲解）-2022-2023学年八年级数学上册基础知识专项讲练（浙教版），共14页。学案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题，问题探究等内容，欢迎下载使用。
专题1.34 三角形全等判定方法4-斜边+直角边（知识讲解）【学习目标】1．理解和掌握判定直角三角形全等的一种特殊方法——“斜边，直角边”（即“HL”）.2．能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形的特殊方法判定两个直角三角形全等. 【要点梳理】要点一、判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.要点二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.特别说明：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.【典型例题】类型一、用HL证明三角形全等1、 已知：BA⊥BD，FD⊥BD，AB＝CD，AC＝CF，求证：AC⊥FC．【分析】根据BA⊥BD，FD⊥BD，，再根据条件证明出，得出，得出，即可得到．解：BA⊥BD，FD⊥BD，，AB＝CD，AC＝CF，，，，，，．【点拨】本题考查了三角形形全等的判定及性质，三角形内角和，平角，解题的关键是证明．举一反三：【变式1】 如图，在△ABC中∠ABC=45°，AD⊥BC于点D，点E为AD上的一点，且BE=AC，延长BE交AC于点F，连接FD．(1)求证：△BED≌△ACD；(2)若FC=c，FB=b，求的值．(用含a，b的式子表示)【答案】(1)见分析(2)【分析】（1）利用得，又BE=AC，，因此可以通过HL定理证明；（2）作于点，作于点，由可得，利用即可求解．(1)证明：在△ABC中∠ABC=45°，AD⊥BC，，，，在和中，，，即．(2)解：如图所示，作DG⊥BE于点G，作DH⊥AC于点H，由（1）知，，，，．【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，以及三角形的面积公式，解题的关键是正确作出辅助线，由可得．【变式2】如图，已知、相交于点，，于点，于点，．（1）求证：；（2）试猜想与的大小关系，并说明理由．【答案】（1）证明见分析；（2），理由见分析．【分析】（1）由题意易得，，然后根据“HL”判定即可；（2）由（1）可得，进而可证，然后问题可求解．解：（1）证明：，即：，，，，在和中：，，；（2）解：，理由如下：，，在和中：，，，，．【点拨】本题主要考查直角三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．类型二、全等性质与HL综合2、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD=DF．(1)求证：CF=EB；(2)若AB=14，AF=8，求CF的长．【答案】(1)见详解(2)3【分析】（1）利用角平分线的性质可得，再利用“HL”证明，再利用全等三角形的性质求解；（2）利用“HL“证明，可得，设，则 ，，即可建立方程求解．(1)证明：∵于点E，∴．又∵AD平分，，∴ ，在和中， ，∴，∴；(2)解：在和中， ，∴，∴，设，则，，∴，解得 ，故．【点拨】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，在图形中找到正确的全等三角形以及熟悉直角三角形全等的性质与判定是关键．举一反三：【变式1】 如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC．AD，BC交于点O．求证：OC＝OD．【分析】根据HL证明Rt△ABD和Rt△BAC全等，进而利用AAS证明△AOC和△BOD全等解答即可．解：证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD，∴∠C＝∠D＝90°．在Rt△ABD和Rt△BAC中，，∴Rt△ABD≌Rt△BAC（HL），∴BD＝AC，在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（AAS），∴OC＝OD．【点拨】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据HL证明Rt△ABD和Rt△BAC全等．【变式2】如图①，点A，B，C，D在同一直线上，AB=CD，作EC⊥AD于点C，FB⊥AD于点B，且AE=DF.   求证:EF平分线段BC 【分析】根据HL可证Rt△ACE≌Rt△DBF得到EC=BF，进而通过证明△BFG≌△CEG可得结论．证明：∵AB=CD∴AC=BD∵EC⊥AD，FB⊥AD∴∠ACE=∠DBF=90°在Rt△ACE和Rt△DBF中 ∴Rt△ACE≌Rt△DBF（HL）∴EC=BF在△BFG和△CEG中 ∴△BFG≌△CEG（AAS）∴BG=CG即EF平分线段BC【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．类型三、全等三角形判定的灵活选择3、如图所示，在人教版八年级上册数学教材P53的数学活动中有这样一段描述：（1）D为△ABC外一点，若AD＝CD，AB＝CB，则我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，试猜想筝形的角、对角线有什么性质？然后选择其中一条性质用全等三角形的知识证明你的猜想．（2）知识拓展：如果D为△ABC内一点，BD平分∠ABC，且AD＝CD，试证明：AB＝CB．【分析】（1）根据已知条件可证得△ADB≌△CDB，利用全等三角形的性质可得∠BAD＝∠BCD，∠ADO＝∠CDO，继而证得△AOD≌△COD，由此可得结论；（2）过点D分别作DE⊥AB，DF⊥ACA，垂足分别为E，F，然后由角平分线的性质得DE＝DF，根据直角三角形全等的判定与性质可得结论．解：（1）猜想BD⊥AC，∠BAD＝∠BCD．∵AD＝CD，AB＝CB，在△ADB和△BCD中，∴△ADB≌△CDB（SSS），∴∠BAD＝∠BCD，∠ADO＝∠CDO，在△AOD和△ODC中，，∴△AOD≌△COD（SAS），∴∠AOD＝∠COD，而∠AOD＋∠COD＝180°，∴∠DOC＝90°，∴BD⊥AC．（2）如图，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥ACA，垂足分别为E，F，∵BD平分∠ABC，∴DE＝DF，∵AD＝AD，∴Rt△BDE≌Rt△BDF（HL），∴BE＝BF，∵ED＝FD，AD＝CD，∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL），∴AE＝CF，∴BE＋AE＝CF＋BF，即AB＝CB．【点拨】此题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解决此题关键．举一反三：【变式1】 在学习了“等边对等角”定理后，某数学兴趣小组的同学继续探究了同一个三角形中边与角的数量关系，得到了一个正确的结论：“在同一个三角形中，较长的边所对的角较大”，简称：“在同一个三角形中，大边对大角”．即，如图：当 AB＞AC时，∠C＞∠B．该兴趣小组的同学在此基础上对等腰三角形“三线合一”性质的一般情况，继续进行了深入的探究，请你补充完整：　　　　　　（1）在△ABC中，AD是BC边上的高线．①如图1，若AB=AC，则∠BAD=∠CAD；②如图2，若AB≠AC，当AB＞AC时，∠BAD       ∠CAD．（填“>”，“<”，“=”）证明：∵ AD是BC边上的高线，∴∠ADB=∠ADC=90°．∴ ∠BAD=90°-∠B，∠CAD=90°-∠C．∵AB＞AC，∴         （在同一个三角形中，大边对大角）．∴∠BAD      ∠CAD．（2）在△ABC中，AD是BC边上的中线．①如图1，若AB=AC，则∠BAD=∠CAD；②如图3，若AB≠AC，当AB＞AC时，∠BAD       ∠CAD．（填“>”，“<”，“=”）证明：【答案】（1）①见分析，②∠B<∠C，>；（2）①见分析；②＜【分析】（1）①由HL证明Rt△ABD≌Rt△ACD可得结论；②由AB＞AC得∠C＞∠B即可得出结论；（2）①由SSS证明△ABD≌△ACD可得结论；②作辅助线证明△，得，∠，证得∠，即可得到结论．解：（1）①证明：∵AD是BC边上的高线∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△ADB和Rt△ADC中 ∴Rt△ABD≌Rt△ACD∴∠BAD=∠CAD；②证明：∵ AD是BC边上的高线，∴∠ADB=∠ADC=90°．∴ ∠BAD=90°-∠B，∠CAD=90°-∠C．∵AB＞AC，∴ ∠B<∠C（在同一个三角形中，大边对大角）．∴∠BAD  >  ∠CAD．故答案为：∠B<∠C，>；（2）①证明：∵AD是BC边上的中线∴BD=CD在△ABD和△ACD中 ∴△ABD≌△ACD∴∠BAD=∠CAD②如图，延长AD至点E，使AD=ED，连接BE，∵AD是△ABC的BC边上的中线，∴在△BDE和△CDA中，∴△∴，∠，又，则∴∠∴∠．故答案为：＜．【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，作出辅助线构造全等三角形是解答此题的关键．【变式2】【问题探究】小敏在学习了Rt△ABC的性质定理后，继续进行研究．（1）（i）她发现图①中，如果∠A＝30°，BC与AB存在特殊的数量关系是　   　；（ii）她将△ABC沿AC所在的直线翻折得△AHC，如图②，此时她证明了BC和AB的关系；请根据小敏证明的思路，补全探究的证明过程；猜想：如果∠A＝30°，BC与AB存在特殊的数量关系是　   　；证明：△ABC沿AC所在的直线翻折得△AHC，（2）如图③，点E、F分别在四边形ABCD的边BC、CD上，且∠B＝∠D＝90°，连接AE、AF、EF，将△ABE、△ADF折叠，折叠后的图形恰好能拼成与△AEF完全重合的三角形，连接AC，若∠EAF＝30°，AB2＝27，则△CEF的周长为　   　．【答案】（1）（i）BC＝AB；（ii）BC＝AB；（2）6【分析】（1）（i）在AB上截取BD＝BC，可证△BCD是等边三角形，CD＝BD，∠BDC＝∠BCD＝60°，可得BD＝AD＝CD＝BC，可得结论；（ii）由折叠的性质可得AB＝AH，∠BAC＝∠HAC＝30°，BC＝CH，可证△ABH是等边三角形，可得AB＝BH＝2BC；（2）由折叠的性质可得AB＝AD，BE+DF＝EF，∠BAD＝2∠EAF＝60°，由“HL”可证Rt△ABC≌Rt△ADC，可得∠BAC＝∠DAC＝30°，BC＝CD，由直角三角形的性质可求BC＝3，即可求解．解：（1）（i）BC＝AB，理由如下：在AB上截取BD＝BC，∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，∴∠B＝60°，且BD＝BC，∴△BCD是等边三角形，∴CD＝BD，∠BDC＝∠BCD＝60°，∴∠ACD＝30°＝∠A，∴AD＝CD，∴BD＝AD＝BC，∴BC＝AB；（ii）∵将△ABC沿AC所在的直线翻折得△AHC，∴△ABC≌△AHC，∴AB＝AH，∠BAC＝∠HAC＝30°，BC＝CH，∴∠BAH＝60°，且AB＝AH，∴△ABH是等边三角形，∴AB＝BH，∴BC＝BH＝AB；（2）∵将△ABE、△ADF折叠，折叠后的图形恰好能拼成与△AEF完全重合的三角形，∴AB＝AD，BE+DF＝EF，∠BAD＝2∠EAF＝60°，∵AB＝AD，AC＝AC，∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），∴∠BAC＝∠DAC＝30°，BC＝CD，∵AB2＝27，∴AB＝3，∵tan∠BAC＝，∴BC＝3＝CD，∴△CEF的周长＝EC+CF+EF＝EC+CF+BE+DF＝BC+CD＝6．故答案为：6．【点拨】本题考查折叠的性质、等边三角形的性质和全等三角形的判定（HL）和性质，解题的关键是掌握折叠的性质、等边三角形的性质和全等三角形的判定（HL）和性质.