2023届高考数学一轮复习作业利用导数解决函数的单调性问题北师大版（答案有详细解析）

这是一份2023届高考数学一轮复习作业利用导数解决函数的单调性问题北师大版（答案有详细解析），共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．(2021·南阳模拟)已知函数f (x)＝x2－5x＋2ln x，则函数f (x)的单调递增区间是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))和(1，＋∞)B．(0，1)和(2，＋∞)
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))和(2，＋∞)D．(1，2)
C [函数f (x)＝x2－5x＋2ln x的定义域是(0，＋∞)．
f ′(x)＝2x－5＋eq \f(2,x)＝eq \f(2x2－5x＋2,x)＝eq \f((x－2)(2x－1),x)，
令f ′(x)＞0，
解得0＜x＜eq \f(1,2)或x＞2，
故函数f (x)的单调递增区间是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))和(2，＋∞)．]
2．若函数f (x)＝2x3－3mx2＋6x在区间(1，＋∞)上为增函数，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，1]B．(－∞，1)
C．(－∞，2]D．(－∞，2)
C [f ′(x)＝6x2－6mx＋6，由已知条件知x∈(1，＋∞)时，f ′(x)≥0恒成立．设g(x)＝6x2－6mx＋6，则g(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立．
即m≤x＋eq \f(1,x)在(1，＋∞)上恒成立，
设h(x)＝x＋eq \f(1,x)，
则h(x)在(1，＋∞)上是增函数，
∴h(x)＞2，从而m≤2，故选C．]
3．函数f (x)＝x2＋xsin x的图像大致为( )

A B C D
A [函数f (x)的定义域为R，且f (－x)＝(－x)2＋(－x)sin(－x)＝x2＋xsin x＝f (x)，
则函数f (x)为偶函数，排除B．
又f ′(x)＝2x＋sin x＋xcs x＝(x＋sin x)＋x(1＋cs x)，
当x＞0时，x＋sin x＞0，x(1＋cs x)≥0，∴f ′(x)＞0，
即函数f (x)在(0，＋∞)上是增函数，故选A．]
4．已知函数f (x)＝sin x＋cs x－2x，a＝f (－π)，b＝f (2e)，c＝f (ln 2)，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＞c＞bB．a＞b＞c
C．b＞a＞cD．c＞b＞a
A [f ′(x)＝cs x－sin x－2＜0，即函数f (x)在R上是减函数，又－π＜ln 2＜2e，
∴f (－π)＞f (ln 2)＞f (2e)，即a＞c＞b，故选A．]
5．设f (x)，g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f ′(x)g(x)－f (x)g′(x)＜0，则当a＜x＜b时，有( )
A．f (x)g(x)＞f (b)g(b)B．f (x)g(a)＞f (a)g(x)
C．f (x)g(b)＞f (b)g(x)D．f (x)g(x)＞f (a)g(a)
C [令F(x)＝eq \f(f (x),g(x))，
则F′(x)＝eq \f(f ′(x)g(x)－f (x)g′(x),[g(x)]2)＜0，
所以F(x)在R上单调递减．又a＜x＜b，所以eq \f(f (a),g(a))＞eq \f(f (x),g(x))＞eq \f(f (b),g(b))．又f (x)＞0，g(x)＞0，
所以f (x)g(b)＞f (b)g(x)．]
6．已知函数f ′(x)是函数f (x)的导函数，f (1)＝eq \f(1,e)，对任意实数都有f (x)－f ′(x)＞0，设F(x)＝eq \f(f (x),ex)，则不等式F(x)＜eq \f(1,e2)的解集为( )
A．(－∞，1)B．(1，＋∞)
C．(1，e)D．(e，＋∞)
B [F′(x)＝eq \f(exf ′(x)－exf (x),(ex)2)＝eq \f(f ′(x)－f (x),ex)＜0，
∴F(x)是R上的减函数，
又F(1)＝eq \f(f (1),e)＝eq \f(1,e2)，
∴F(x)＜eq \f(1,e2)⇔F(x)＜F(1)⇔x＞1，故选B．]
二、填空题
7．若函数f (x)＝ax3＋3x2－x恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围是________．
(－3，0)∪(0，＋∞) [由题意知f ′(x)＝3ax2＋6x－1，由函数f (x)恰好有三个单调区间，得f ′(x)有两个不相等的零点，所以3ax2＋6x－1＝0需满足a≠0，且Δ＝36＋12a＞0，解得a＞－3且a≠0，所以实数a的取值范围是(－3，0)∪(0，＋∞)．]
8．若函数f (x)＝ln x－eq \f(1,2)ax2－2x存在单调递减区间，则实数a的取值范围是________．
(－1，＋∞) [f ′(x)＝eq \f(1,x)－ax－2＝eq \f(1－ax2－2x,x)，由题意知f ′(x)＜0有实数解，
∵x＞0，
∴ax2＋2x－1＞0有实数解．
当a≥0时，显然满足；
当a＜0时，只需Δ＝4＋4a＞0，
∴－1＜a＜0．
综上知a＞－1．]
9．定义在(0，＋∞)上的函数f (x)满足x2f ′(x)＋1＞0，f (1)＝4，则不等式f (x)＞eq \f(1,x)＋3的解集为________．
(1，＋∞) [由x2f ′(x)＋1＞0得f ′(x)＋eq \f(1,x2)＞0，
构造函数g(x)＝f (x)－eq \f(1,x)－3，
则g′(x)＝f ′(x)＋eq \f(1,x2)＞0，
即g(x)在(0，＋∞)上是增函数．
又f (1)＝4，则g(1)＝f (1)－1－3＝0，
从而g(x)＞0的解集为(1，＋∞)，
即f (x)＞eq \f(1,x)＋3的解集为(1，＋∞)．]
三、解答题
10．已知函数f (x)＝eq \f(ln x＋k,ex)(k为常数，e是自然对数的底数)，曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线与x轴平行．
(1)求k的值；
(2)求f (x)的单调区间．
[解] (1)由题意得f ′(x)＝eq \f(\f(1,x)－ln x－k,ex)，
又因为f ′(1)＝eq \f(1－k,e)＝0，故k＝1．
(2)由(1)知，f ′(x)＝eq \f(\f(1,x)－ln x－1,ex)，
设h(x)＝eq \f(1,x)－ln x－1(x＞0)，
则h′(x)＝－eq \f(1,x2)－eq \f(1,x)＜0，
即h(x)在(0，＋∞)上是减函数．
由h(1)＝0知，当0＜x＜1时，h(x)＞0，从而f ′(x)＞0；
当x＞1时，h(x)＜0，从而f ′(x)＜0．
综上可知，f (x)的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，＋∞)．
11．已知函数f (x)＝x3－ax－1．
(1)若f (x)在R上为增函数，求实数a的取值范围；
(2)若函数f (x)在(－1，1)上为单调减函数，求实数a的取值范围；
(3)若函数f (x)的单调递减区间为(－1，1)，求实数a的值；
(4)若函数f (x)在区间(－1，1)上不单调，求实数a的取值范围．
[解] (1)因为f (x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
所以f ′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，
即a≤3x2对x∈R恒成立．
因为3x2≥0，所以只需a≤0．
又因为a＝0时，f ′(x)＝3x2≥0，
f (x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0，即实数a的取值范围为(－∞，0]．
(2)由题意知f ′(x)＝3x2－a≤0在(－1，1)上恒成立，
所以a≥3x2在(－1，1)上恒成立，
因为当－1＜x＜1时，3x2＜3，所以a≥3，所以a的取值范围为[3，＋∞)．
(3)由题意知f ′(x)＝3x2－a，则f (x)的单调递减区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3a),3)，\f(\r(3a),3)))，
又f (x)的单调递减区间为(－1，1)，
所以eq \f(\r(3a),3)＝1，解得a＝3．
(4)由题意知：f ′(x)＝3x2－a，当a≤0时，f ′(x)≥0，此时f (x)在(－∞，＋∞)上为增函数，不合题意，故a＞0．
令f ′(x)＝0，解得x＝±eq \f(\r(3a),3)．
因为f (x)在区间(－1，1)上不单调，所以f ′(x)＝0在(－1，1)上有解，需0＜eq \f(\r(3a),3)＜1，得0＜a＜3，
所以实数a的取值范围为(0，3)．
1．已知a＝eq \f(2,e)，b＝eq \f(ln(3e),3)，c＝eq \f(ln 5＋1,5)，则( )
A．a＞b＞cB．c＞b＞a
C．a＞c＞bD．b＞a＞c
A [设f (x)＝eq \f(ln x＋1,x)，则f ′(x)＝－eq \f(ln x,x2)，
令f ′(x)＞0得ln x＜0，∴0＜x＜1，
所以f (x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．
又a＝f (e)，b＝f (3)，c＝f (5)，
且1＜e＜3＜5，
∴f (e)＞f (3)＞f (5)，即a＞b＞c，故选A．]
2．(2021·西安模拟)已知函数f (x)＝－eq \f(1,2)x2＋4x－3ln x在[t，t＋1]上不单调，则实数t的取值范围是________．
(0，1)∪(2，3) [f ′(x)＝－x＋4－eq \f(3,x)＝eq \f(－x2＋4x－3,x)，
令f ′(x)＝0得x＝1或x＝3，由题意知
t＜1＜t＋1或t＜3＜t＋1，
解得0＜t＜1或2＜t＜3，
故t的取值范围是(0，1)∪(2，3)．]
3．设函数f (x)＝aln x＋eq \f(x－1,x＋1)，其中a为常数．
(1)若a＝0，求曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线方程；
(2)讨论函数f (x)的单调性．
[解] (1)由题意知a＝0时，f (x)＝eq \f(x－1,x＋1)，x∈(0，＋∞)．
此时f ′(x)＝eq \f(2,(x＋1)2)，可得f ′(1)＝eq \f(1,2)．又f (1)＝0，
所以曲线y＝f (x)在(1，f (1))处的切线方程为x－2y－1＝0．
(2)函数f (x)的定义域为(0，＋∞)．
f ′(x)＝eq \f(a,x)＋eq \f(2,(x＋1)2)＝eq \f(ax2＋(2a＋2)x＋a,x(x＋1)2)．
当a≥0时，f ′(x)＞0，函数f (x)在(0，＋∞)上递增．
当a＜0时，令g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a，
由于Δ＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1)，
①当a＝－eq \f(1,2)时，Δ＝0，f ′(x)＝eq \f(－\f(1,2)(x－1)2,x(x＋1)2)≤0，
函数f (x)在(0，＋∞)上递减．
②当a＜－eq \f(1,2)时，Δ＜0，g(x)＜0，
f ′(x)＜0，函数f (x)在(0，＋∞)上递减．
③当－eq \f(1,2)＜a＜0时，Δ＞0．
设x1，x2(x1＜x2)是函数g(x)的两个零点，
则x1＝eq \f(－(a＋1)＋\r(2a＋1),a)，x2＝eq \f(－(a＋1)－\r(2a＋1),a)．
由x1＝eq \f(a＋1－\r(2a＋1),－a)＝eq \f(\r(a2＋2a＋1)－\r(2a＋1),－a)＞0，
所以x∈(0，x1)时，g(x)＜0，f ′(x)＜0，函数f (x)递减；
x∈(x1，x2)时，g(x)＞0，f ′(x)＞0，函数f (x)递增；
x∈(x2，＋∞)时，g(x)＜0，f ′(x)＜0，函数f (x)递减．
综上可得：
当a≥0时，函数f (x)在(0，＋∞)上递增；
当a≤－eq \f(1,2)时，函数f (x)在(0，＋∞)上递减；
当－eq \f(1,2)＜a＜0时，f (x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(－(a＋1)＋\r(2a＋1),a)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－(a＋1)－\r(2a＋1),a)，＋∞))上递减，
在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－(a＋1)＋\r(2a＋1),a)，\f(－(a＋1)－\r(2a＋1),a)))上递增．
1．f (x)是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f (x)＋x·f ′(x)＜0，且f (－3)＝0，则不等式f (x)＜0的解集为( )
A．(－3，0)∪(3，＋∞)B．(－3，0)∪(0，3)
C．(－∞，3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0，3)
D [设g(x)＝xf (x)，则g′(x)＝f (x)＋x·f ′(x)，
则当x＜0时，g′(x)＜0，g(x)在(－∞，0)上单调递减，
由f (x)是定义在R上的奇函数知g(x)＝xf (x)为偶函数，
∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增．
∵f (－3)＝0，∴g(3)＝g(－3)＝－3×f (－3)＝0．
当x＞0时，若f (x)＜0，则g(x)＜0，∴0＜x＜3，
当x＜0时，若f (x)＜0，则g(x)＞0，∴x＜－3．
∴不等式f (x)＜0的解集为(－∞，－3)∪(0，3)，故选D．]
2．已知函数f (x)＝(x－a)·ex－eq \f(1,2)ax2＋a(a－1)x(a∈R)，讨论f (x)的单调性．
[解] f ′(x)＝(x－a)ex＋ex－ax＋a(a－1)＝[x－(a－1)](ex－a)．
当a≤0时，ex－a＞0．当x∈(－∞，a－1)时，f ′(x)＜0，f (x)为减函数；当x∈(a－1，＋∞)时，f ′(x)＞0，f (x)为增函数．
当a＞0时，令f ′(x)＝0，
得x1＝a－1，x2＝ln a．
令g(a)＝a－1－ln a，
则g′(a)＝1－eq \f(1,a)＝eq \f(a－1,a)．
当a∈(0，1)时， g′(a)＜0，g(a)为减函数；
当a∈(1，＋∞)时，g′(a)＞0，g(a)为增函数．
∴g(a)min＝g(1)＝0，
∴a－1≥ln a(当且仅当a＝1时取“＝”)．
∴当0＜a＜1或a＞1时，x∈(－∞，ln a)，f ′(x)＞0，f (x)为增函数，x∈(ln a，a－1)，f ′(x)＜0，f (x)为减函数，x∈(a－1，＋∞)，f ′(x)＞0，f (x)为增函数．
当a＝1时，f ′(x)＝x(ex－1)≥0，f (x)在(－∞，＋∞)上为增函数．
综上所述，当a≤0时，f (x)在(－∞，a－1)上单调递减，在(a－1，＋∞)上单调递增；
当0＜a＜1或a＞1时，
f (x)在(ln a，a－1)上单调递减，在(－∞，ln a)和(a－1，＋∞)上单调递增；
当a＝1时，f (x)在(－∞，＋∞)上单调递增．