专题1.4.3 异分母分式的加减【知识讲解】（含解析）-【 课堂】2022-2023学年八年级数学上册 知识讲练一本全（湘教版）

这是一份专题1.4.3 异分母分式的加减【知识讲解】（含解析）-【 课堂】2022-2023学年八年级数学上册 知识讲练一本全（湘教版），共4页。学案主要包含了学习目标，知识梳理，典型例题等内容，欢迎下载使用。
1．让学生进一步熟练掌握求最简公分母的方法．
2．能根据异分母分式的加减法则进行计算．
3．在学习过程中体会从分数到分式的类比的方法，培养乐于探究、合作学习的习惯．
【知识梳理】
eq \a\vs4\al(知识模块一 异分母分式的加减法)
归纳：类似地，异分母的分式相加减时，要先通分，即把各个分式的分子、分母同乘一个适当的整式，化成同分母分式，然后再加减．
异分母的分式加减法步骤：
(1)确定最简公分母；
(2)通分(即将各分式的分子分母各乘一个适当的式子，化成同分母分式)；
(3)利用同分母的分式加减法则(即分母不变，分子相加减)计算；
(4)最后结果要化成最简分式．
eq \a\vs4\al(知识模块二 整式与分式的加减运算)
方法总结：对于一般的分式混合运算来讲，其运算顺序与整式混合运算一样，是先乘方，再乘除，最后算加减，如果遇到括号要先算括号里面的．在此基础上，有时也应该根据具体问题的特点，灵活应变，注意方法．
【典型例题】
【类型一】 分母是单项式
例1.计算：(1)eq \f(3,2x)－eq \f(1,3y)； (2)eq \f(1,a)－eq \f(1,2ab)＋eq \f(a,bc).
解析：(1)小题的最简公分母是6xy，(2)小题的最简公分母是2abc，通分后再根据同分母分式相加减的法则进行计算．
解：(1)eq \f(3,2x)－eq \f(1,3y)＝eq \f(9y,6xy)－eq \f(2x,6xy)＝eq \f(9y－2x,6xy)；
(2)eq \f(1,a)－eq \f(1,2ab)＋eq \f(a,bc)＝eq \f(2bc,2abc)－eq \f(c,2abc)＋eq \f(2a2,2abc)＝eq \f(2bc－c＋2a2,2abc).
方法总结：异分母分式相加减，先通分，再转化为同分母分式相加减．
【类型二】 分母是多项式
例2. 计算：(1)eq \f(x,x2－4)－eq \f(2,x2＋4x＋4)； (2)eq \f(a2－4,a＋2)＋a＋2； (3)eq \f(m,m－n)－eq \f(n,m＋n)＋eq \f(2mn,m2－n2).
解析：依据分式的加减法法则，(1)、(3)中先找出最简公分母分别为(x－2)(x＋2)2、(m＋n)(m－n)，再通分，然后运用同分母分式加减法法则运算；(2)中把后面的加数a＋2看成分母为1的式子进行通分．
解：(1)原式＝eq \f(x,（x＋2）（x－2）)－eq \f(2,（x＋2）2)
＝eq \f(x（x＋2）,（x＋2）2（x－2）)－eq \f(2（x－2）,（x＋2）2（x－2）)
＝eq \f(x（x＋2）－2（x－2）,（x＋2）2（x－2）)＝eq \f(x2＋4,（x＋2）2（x－2）)；
(2)原式＝eq \f(a2－4＋（a＋2）2,a＋2)＝eq \f(2a（a＋2）,a＋2)＝2a；
(3)原式＝eq \f(m（m＋n）,（m＋n）（m－n）)－eq \f(n（m－n）,（m＋n）（m－n）)＋eq \f(2mn,（m＋n）（m－n）)＝eq \f(m2＋2mn＋n2,（m＋n）（m－n）)＝eq \f(m＋n,m－n).
方法总结：分母是多项式时，应先因式分解，目的是为了找最简公分母以便通分．对于整式与分式的加减运算，可以将整式的每一项的分母看成1，再通分，也可以把整式的分母整体看成1，再进行通分运算．
【类型三】分式的混合运算
例3.计算：(1)(eq \f(x2－4x＋4,x2－4)－eq \f(x,x＋2))÷eq \f(x－1,x＋2)； (2)eq \f(a－5,2a－6)÷(eq \f(16,a－3)－a－3)．
解：(1)原式＝[eq \f(（x－2）2,（x－2）（x＋2）)－eq \f(x,x＋2)]÷eq \f(x－1,x＋2)
＝(eq \f(x－2,x＋2)－eq \f(x,x＋2))÷eq \f(x－1,x＋2)＝eq \f(－2,x＋2)×eq \f(x＋2,x－1)
＝－eq \f(2,x－1)；
(2)原式＝eq \f(a－5,2a－6)÷(eq \f(16,a－3)－eq \f(a2－9,a－3))
＝eq \f(a－5,2（a－3）)÷eq \f(（5＋a）（5－a）,a－3)
＝eq \f(a－5,2（a－3）)·eq \f(a－3,（5＋a）（5－a）)
＝－eq \f(1,10＋2a).
方法总结：对于一般的分式混合运算来讲，其运算顺序与整式混合运算一样，是先乘方，再乘除，最后算加减，如果遇到括号要先算括号里面的．在此基础上，有时也应该根据具体问题的特点，灵活应变，注意方法．
【类型四】先化简，再根据所给字母的值求分式的值
例4.先化简，再求值：(eq \f(1,x－y)＋eq \f(1,x＋y))÷eq \f(2x,x2＋2xy＋y2)，其中x＝1，y＝－2.
解析：化简时，先把括号内通分，把除法转化为乘法，把多项式因式分解，再约分，最后代值计算．
解：原式＝eq \f(2x,（x－y）（x＋y）)·eq \f(（x＋y）2,2x)＝eq \f(x＋y,x－y)，
当x＝1，y＝－2时，原式＝eq \f(1＋（－2）,1－（－2）)＝－eq \f(1,3).
方法总结：分式的化简求值，其关键步骤是分式的化简．要熟悉混合运算的计算顺序，式子化到最简再代值计算．
【类型五】 先化简，再自选字母的值求分式的值
例5.先化简，再选择使原式有意义而你喜欢的数代入求值：eq \f(2x＋6,x2－4x＋4)·eq \f(x－2,x2＋3x)－eq \f(1,x－2).
解析：先把分式化简，再选数代入，x取除－3、0和2以外的任何数．
解：原式＝eq \f(2（x＋3）,（x－2）2)·eq \f(x－2,x（x＋3）)－eq \f(1,x－2)
＝eq \f(2,x（x－2）)－eq \f(1,x－2)
＝eq \f(2－x,x（x－2）)
＝－eq \f(1,x).
当x＝1时，原式＝－1.(x取除－3、0和2以外的任何数)
方法总结：取喜爱的数代入求值时，要注意所选择的值一定满足分式分母不为0，这包括原式及化简过程中的每一步的分式都有意义．
【类型六】 整体代入求值
例6. 已知实数a满足a2＋2a－8＝0，求eq \f(1,a＋1)－eq \f(a＋3,a2－1)·eq \f(a2－2a＋1,（a＋1）（a＋3）)的值．
解析：首先把分式分子、分母能因式分解的先因式分解，进行约分，然后进行减法运算，最后整体代值计算．
解：eq \f(1,a＋1)－eq \f(a＋3,a2－1)·eq \f(a2－2a＋1,（a＋1）（a＋3）)＝eq \f(1,a＋1)－eq \f(a＋3,（a＋1）（a－1）)·eq \f(（a－1）2,（a＋1）（a＋3）)＝eq \f(1,a＋1)－eq \f(a－1,（a＋1）2)＝eq \f(2,（a＋1）2)＝eq \f(2,a2＋2a＋1).
因为a2＋2a－8＝0，所以a2＋2a＝8，eq \f(2,a2＋2a＋1)＝eq \f(2,8＋1)＝eq \f(2,9).
方法总结：利用“整体代入”思想化简求值时，先把要求值的代数式化简，然后将已知条件变换成适合所求代数式的形式，再整体代入即可．
【类型七】运用分式解决实际问题
例7. 有一客轮往返于重庆和武汉之间，第一次往返航行时，长江的水流速度为a千米/小时；第二次往返航行时，正遇上长江汛期，水流速度为b千米/小时(b＞a)．已知该船在两次航行中，静水速度都为v千米/小时，问该船两次往返航行所花时间是否相等，若你认为相等，请说明理由；若你认为不相等，请分别表示出两次航行所花的时间，并指出哪次时间更短些？
解析：重庆和武汉之间的路程一定，可设其为s，所用时间＝顺流时间＋逆流时间，注意顺流速度＝静水速度＋水流速度；逆流速度＝静水速度－水流速度，把相关数值代入，比较即可．
解：设两次航行的路程都为s.
第一次所用时间为：eq \f(s,v＋a)＋eq \f(s,v－a)＝eq \f(2vs,v2－a2)，第二次所用时间为：eq \f(s,v＋b)＋eq \f(s,v－b)＝eq \f(2vs,v2－b2)，
∵b＞a，∴b2＞a2， ∴v2－b2＜v2－a2. ∴eq \f(2vs,v2－b2)＞eq \f(2vs,v2－a2).
∴第一次的时间要短些．
方法总结：①运用分式解决实际问题时，用分式表示实际问题中的量是解决问题的关键．②比较分子相同的两个分式的大小，分母大的反而小．