济宁市高中学段校2022年中考数学最后一模试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项:

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5μm（1μm=0.000001m）的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它们含有大量的有毒、有害物质，对人体健康和大气环境质量有很大危害．2.5μm用科学记数法可表示为（   ）

A． B． C． D．

2．下列计算正确的是（　　）

A．﹣= B． =±2

C．a6÷a2=a3 D．（﹣a2）3=﹣a6

3．若关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是（　　）

A．a≥1 B．a＞1 C．a≥1且a≠4 D．a＞1且a≠4

4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°, BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D，若AC=9，则AE的值是 （ ）

A． B． C．6 D．4

5．下列各运算中，计算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

6．的倒数是（    ）

A． B．3 C． D．

7．4的平方根是（ ）

A．16 B．2 C．±2 D．±

8．为丰富学生课外活动，某校积极开展社团活动，开设的体育社团有：A：篮球，B：排球，C：足球，D：羽毛球，E：乒乓球．学生可根据自己的爱好选择一项，李老师对八年级同学选择体育社团情况进行调查统计，制成了两幅不完整的统计图（如图），则以下结论不正确的是（　　）

A．选科目E的有5人

B．选科目A的扇形圆心角是120°

C．选科目D的人数占体育社团人数的

D．据此估计全校1000名八年级同学，选择科目B的有140人

9．下列计算，结果等于a4的是（　　）

A．a+3a    B．a5﹣a    C．（a2）2    D．a8÷a2

10．如图，在四边形ABCD中，如果∠ADC=∠BAC，那么下列条件中不能判定△ADC和△BAC相似的是（　　）

A．∠DAC=∠ABC B．AC是∠BCD的平分线 C．AC2=BC•CD D．

11．学校小组名同学的身高（单位：）分别为：，，，，，则这组数据的中位数是（   ）．

A． B． C． D．

12．设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两根，则x12+x22=（ ）

A．6    B．8    C．10    D．12

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）

13．如图，在平面直角坐标系中，已知C（1，），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，要使△DEF的面积是△ABC面积的5倍，则点F的坐标为_____．

14．如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，点P从点B出发，沿B－C－D向终点D匀速运动，设点P走过的路程为x，△ABP的面积为S，能正确反映S与x之间函数关系的图象是(      )

A． B． C． D．

15．分式方程=1的解为_____

16．若一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是         ．

17．2017年7月27日上映的国产电影《战狼2》，风靡全国．剧中“犯我中华者，虽远必诛”鼓舞人心，彰显了祖国的强大实力与影响力，累计票房56.8亿元．将56.8亿元用科学记数法表示为_____元．

18．分解因式：4a2﹣1＝_____．

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

19．（6分）如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=CD，CE⊥AD，垂足为E，求证：AE=CE．

20．（6分）如图，以AB边为直径的⊙O经过点P，C是⊙O上一点，连结PC交AB于点E，且∠ACP=60°，PA=PD．试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；若点C是弧AB的中点，已知AB=4，求CE•CP的值．

21．（6分）如图，在Rt△ABC中，，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE.求证：CE=AD；当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明理由；若D为AB中点，则当=______时，四边形BECD是正方形.

22．（8分）服装店准备购进甲乙两种服装，甲种每件进价80元，售价120元；乙种每件进价60元，售价90元，计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件.

（1）若购进这100件服装的费用不得超过7500，则甲种服装最多购进多少件？

（2）在（1）条件下，该服装店在5月1日当天对甲种服装以每件优惠a（0<a<20）元的价格进行优惠促销活动，乙种服装价格不变，那么该服装店应如何调整进货方案才能获得最大利润？

23．（8分）如图，已知BD是△ABC的角平分线，点E、F分别在边AB、BC上，ED∥BC，EF∥AC．求证：BE=CF．

24．（10分）△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN=∠B．

如图（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形．如图（2），将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论．在图（2）中，若AB=AC=10，BC=12，当△DEF的面积等于△ABC的面积的时，求线段EF的长．

25．（10分）为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念,某市政部门招标一工程队负责在山脚下修建一座水库的土方施工任务．该工程队有两种型号的挖掘机,已知3台型和5台型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台型和7台型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米．每台型挖掘机一小时的施工费用为300元,每台型挖掘机一小时的施工费用为180元．分别求每台型, 型挖掘机一小时挖土多少立方米?若不同数量的型和型挖掘机共12台同时施工4小时,至少完成1080立方米的挖土量,且总费用不超过12960元．问施工时有哪几种调配方案,并指出哪种调配方案的施工费用最低,最低费用是多少元?

26．（12分）随着地铁和共享单车的发展，“地铁+单车”已经成为很多市民出行的选择．李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E中的某一站出地铁，再骑共享单车回家．设他出地铁的站点与文化宫距离为x(单位：千米)，乘坐地铁的时间(单位：分钟)是关于x的一次函数，其关系如下表：

 (1)求关于x的函数表达式；李华骑单车的时间(单位：分钟)也受x的影响，其关系可以用来描述.请问：李华应选择在哪一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短？并求出最短时间.

27．（12分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边AB，AD上，且∠ECF＝45°，CF的延长线交BA的延长线于点G，CE的延长线交DA的延长线于点H，连接AC，EF．，GH．

（1）填空：∠AHC　   　∠ACG；（填“＞”或“＜”或“＝”）

（2）线段AC，AG，AH什么关系？请说明理由；

（3）设AE＝m，

①△AGH的面积S有变化吗？如果变化．请求出S与m的函数关系式；如果不变化，请求出定值．

②请直接写出使△CGH是等腰三角形的m值．

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1、C

【解析】

试题分析：大于0而小于1的数用科学计数法表示，10的指数是负整数，其绝对值等于第一个不是0的数字前所有0的个数．

考点：用科学计数法计数

2、D

【解析】
根据二次根式的运算法则,同类二次根式的判断，开算术平方根，同底数幂的除法及幂的乘方运算．

【详解】

A. 不是同类二次根式，不能合并，故A选项错误；

B.=2≠±2，故B选项错误；

C. a6÷a2=a4≠a3，故C选项错误；

D. (−a2)3=−a6，故D选项正确．

故选D.

【点睛】

本题主要考查了二次根式的运算法则，开算术平方根，同底数幂的除法及幂的乘方运算，熟记法则是解题的关键.

3、C

【解析】

试题分析：分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为非负数及分式方程分母不为1求出a的范围即可．

解：去分母得：2（2x﹣a）=x﹣2，

解得：x=，

由题意得：≥1且≠2，

解得：a≥1且a≠4，

故选C．

点睛：此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为1．

4、C

【解析】
由角平分线的定义得到∠CBE=∠ABE，再根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，则∠A=∠ABE，可得∠CBE=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得到BE=2EC，即AE=2EC，由AE+EC=AC=9，即可求出AC．

【详解】

解：∵BE平分∠ABC，

∴∠CBE=∠ABE，

∵ED垂直平分AB于D，

∴EA=EB，

∴∠A=∠ABE，

∴∠CBE=30°，

∴BE=2EC，即AE=2EC，

而AE+EC=AC=9，

∴AE=1．

故选C．

5、D

【解析】
利用同底数幂的除法法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则以及完全平方公式即可判断．

【详解】

A、，该选项错误；

B、，该选项错误；

C、，该选项错误；

D、，该选项正确；

故选：D．

【点睛】

本题考查了同底数幂的乘法、除法法则，幂的乘方法则以及完全平方公式，正确理解法则是关键．

6、A

【解析】
解：的倒数是．

故选A．

【点睛】

本题考查倒数，掌握概念正确计算是解题关键．

7、C

【解析】

试题解析：∵（±2）2=4，

∴4的平方根是±2，

故选C．

考点：平方根.

8、B

【解析】
A选项先求出调查的学生人数，再求选科目E的人数来判定，

B选项先求出A科目人数，再利用×360°判定即可，

C选项中由D的人数及总人数即可判定，

D选项利用总人数乘以样本中B人数所占比例即可判定．

【详解】

解：调查的学生人数为：12÷24%=50（人），选科目E的人数为：50×10%=5（人），故A选项正确，

选科目A的人数为50﹣（7+12+10+5）=16人，选科目A的扇形圆心角是×360°=115.2°，故B选项错误，

选科目D的人数为10，总人数为50人，所以选科目D的人数占体育社团人数的，故C选项正确，

估计全校1000名八年级同学，选择科目B的有1000×=140人，故D选项正确；

故选B．

【点睛】

本题主要考查了条形统计图及扇形统计图，解题的关键是读懂统计图，从统计图中找到准确信息．

9、C

【解析】
根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘进行计算即可．

【详解】

A．a+3a=4a，错误；

B．a5和a不是同类项，不能合并，故此选项错误；

C．（a2）2=a4，正确；

D．a8÷a2=a6，错误．

故选C．

【点睛】

本题主要考查了同底数幂的乘除法，以及幂的乘方，关键是正确掌握计算法则．

10、C

【解析】
结合图形，逐项进行分析即可.

【详解】

在△ADC和△BAC中，∠ADC=∠BAC，

如果△ADC∽△BAC，需满足的条件有：①∠DAC=∠ABC或AC是∠BCD的平分线；

②，

故选C．

【点睛】

本题考查了相似三角形的条件，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.

11、C

【解析】
根据中位数的定义进行解答

【详解】

将5名同学的身高按从高到矮的顺序排列：159、156、152、151、147，因此这组数据的中位数是152.故选C.

【点睛】

本题主要考查中位数，解题的关键是熟练掌握中位数的定义：一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序依次排列，处在中间位置的一个数（或最中间两个数据的平均数）称为中位数.

12、C

【解析】

试题分析：根据根与系数的关系得到x1+x2=2，x1•x2=﹣3，再变形x12+x22得到（x1+x2）2﹣2x1•x2，然后利用代入计算即可．

解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两根是x1、x2，

∴x1+x2=2，x1•x2=﹣3，

∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=22﹣2×（﹣3）=1．

故选C．

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）

13、（，）

【解析】
根据相似三角形的性质求出相似比，根据位似变换的性质计算即可．

【详解】

解：∵△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，要使△DEF的面积是△ABC面积的5倍，

则△DEF的边长是△ABC边长的倍，

∴点F的坐标为（1×，×），即（，），

故答案为：（，）．

【点睛】

本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．

14、C

【解析】
分出情况当P点在BC上运动，与P点在CD上运动，得到关系，选出图象即可

【详解】

由题意可知，P从B开始出发，沿B—C—D向终点D匀速运动，则

当0＜x≤2，s=x

当2＜x≤3，s=1

所以刚开始的时候为正比例函数s=x图像，后面为水平直线，故选C

【点睛】

本题主要考查实际问题与函数图像，关键在于读懂题意，弄清楚P的运动状态

15、x=0.1

【解析】

分析：方程两边都乘以最简公分母，化为整式方程，然后解方程，再进行检验．

详解：方程两边都乘以2（x2﹣1）得，

8x+2﹣1x﹣1=2x2﹣2，

解得x1=1，x2=0.1，

检验：当x=0.1时，x﹣1=0.1﹣1=﹣0.1≠0，

当x=1时，x﹣1=0，

所以x=0.1是方程的解，

故原分式方程的解是x=0.1．

故答案为：x=0.1

点睛：本题考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．

16、：k＜1．

【解析】
∵一元二次方程有两个不相等的实数根，

∴△==4﹣4k＞0，

解得：k＜1，

则k的取值范围是：k＜1．

故答案为k＜1．

17、5.68×109

【解析】

试题解析：科学记数法的表示形式为的形式，其中 为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，是正数；当原数的绝对值<1时，是负数．

56.8亿

故答案为

18、（2a+1）（2a﹣1）

【解析】
有两项，都能写成完全平方数的形式，并且符号相反，可用平方差公式展开．

【详解】

4a2﹣1＝（2a+1）（2a﹣1）．

故答案为：（2a+1）（2a-1）.

【点睛】

此题考查多项式因式分解，根据多项式的特点选择适合的分解方法是解题的关键.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

19、证明见解析.

【解析】
过点B作BF⊥CE于F，根据同角的余角相等求出∠BCF=∠D，再利用“角角边”证明△BCF和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=CE，再证明四边形AEFB是矩形，根据矩形的对边相等可得AE=BF，从而得证.

【详解】

证明：如图，过点B作BF⊥CE于F，

∵CE⊥AD，

∴∠D+∠DCE=90°，

∵∠BCD=90°，

∴∠BCF+∠DCE=90°

∴∠BCF=∠D，

在△BCF和△CDE中,

∴△BCF≌△CDE(AAS)，

∴BF=CE，

又∵∠A=90°，CE⊥AD，BF⊥CE，

∴四边形AEFB是矩形，

∴AE=BF，

∴AE=CE.

20、（1）PD是⊙O的切线．证明见解析.（2）1.

【解析】

试题分析：（1）连结OP，根据圆周角定理可得∠AOP=2∠ACP=120°，然后计算出∠PAD和∠D的度数，进而可得∠OPD=90°，从而证明PD是⊙O的切线；

（2）连结BC，首先求出∠CAB=∠ABC=∠APC=45°，然后可得AC长，再证明△CAE∽△CPA，进而可得，然后可得CE•CP的值．

试题解析：（1）如图，PD是⊙O的切线．

证明如下：

连结OP，∵∠ACP=60°，∴∠AOP=120°，∵OA=OP，∴∠OAP=∠OPA=30°，∵PA=PD，∴∠PAO=∠D=30°，∴∠OPD=90°，∴PD是⊙O的切线．

（2）连结BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，又∵C为弧AB的中点，∴∠CAB=∠ABC=∠APC=45°，∵AB=4，AC=Absin45°=．∵∠C=∠C，∠CAB=∠APC，∴△CAE∽△CPA，∴，∴CP•CE=CA2=（）2=1．

考点：相似三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；直线与圆的位置关系；探究型．

21、（1）详见解析；(2)菱形；（3）当∠A=45°，四边形BECD是正方形．

【解析】
(1)先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；

(2)求出四边形BECD是平行四边形，求出CD=BD，根据菱形的判定推出即可；

(3)求出∠CDB=90°，再根据正方形的判定推出即可．

【详解】

(1)∵DE⊥BC，

∴∠DFP=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠DFB=∠ACB，

∴DE//AC，

∵MN//AB，

∴四边形ADEC为平行四边形，

∴CE=AD；

(2)菱形，理由如下：

在直角三角形ABC中，

∵D为AB中点，

∴BD=AD，

∵CE=AD，

∴BD=CE，

∴MN//AB，

∴BECD是平行四边形，

∵∠ACB=90°，D是AB中点，

∴BD=CD，（斜边中线等于斜边一半）

∴四边形BECD是菱形；

(3)若D为AB中点，则当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，

理由：∵∠A=45°，∠ACB=90°，

∴∠ABC=45°，

∵四边形BECD是菱形，

∴DC=DB，

∴∠DBC=∠DCB=45°，

∴∠CDB=90°，

∵四边形BECD是菱形，

∴四边形BECD是正方形，

故答案为45°.

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定、正方形的判定，直角三角形斜边中线的性质等，综合性较强，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.

22、（1）甲种服装最多购进75件,（2）见解析.

【解析】
（1）设甲种服装购进x件，则乙种服装购进（100-x）件，然后根据购进这100件服装的费用不得超过7500元，列出不等式解答即可；

（2）首先求出总利润W的表达式，然后针对a的不同取值范围进行讨论，分别确定其进货方案．

【详解】

（1）设购进甲种服装x件，由题意可知：80x+60（100-x）≤7500，解得x≤75

答：甲种服装最多购进75件,

（2）设总利润为W元，

W=（120-80-a）x+（90-60）（100-x）

即w=（10-a）x+1．

①当0＜a＜10时，10-a＞0，W随x增大而增大，

∴当x=75时，W有最大值，即此时购进甲种服装75件，乙种服装25件；

②当a=10时，所以按哪种方案进货都可以；

③当10＜a＜20时，10-a＜0，W随x增大而减小．

当x=65时，W有最大值，即此时购进甲种服装65件，乙种服装35件．

【点睛】

本题考查了一元一次方程的应用，不等式的应用，以及一次函数的性质，正确利用x表示出利润是关键．

23、证明见解析．

【解析】

试题分析：先利用平行四边形性质证明DE=CF，再证明EB=ED，即可解决问题．

试题解析：∵ED∥BC，EF∥AC，∴四边形EFCD是平行四边形，∴DE=CF，∵BD平分∠ABC，∴∠EBD=∠DBC，∵DE∥BC，∴∠EDB=∠DBC，∴∠EBD=∠EDB，∴EB=ED，∴EB=CF．

考点：平行四边形的判定与性质．

24、（1）△ABD，△ACD，△DCE（2）△BDF∽△CED∽△DEF，证明见解析；（3）4.

【解析】
（1）根据等腰三角形的性质以及相似三角形的判定得出△ADE∽△ABD∽△ACD∽△DCE，同理可得：△ADE∽△ACD．△ADE∽△DCE．

（2）利用已知首先求出∠BFD=∠CDE，即可得出△BDF∽△CED，再利用相似三角形的性质得出，从而得出△BDF∽△CED∽△DEF．

（3）利用△DEF的面积等于△ABC的面积的，求出DH的长，从而利用S△DEF的值求出EF即可

【详解】

解：（1）图（1）中与△ADE相似的有△ABD，△ACD，△DCE．

（2）△BDF∽△CED∽△DEF，证明如下：

∵∠B+∠BDF+∠BFD=30°，∠EDF+∠BDF+∠CDE=30°，

又∵∠EDF=∠B，

∴∠BFD=∠CDE．

∵AB=AC，

∴∠B=∠C．

∴△BDF∽△CED．

∴．

∵BD=CD，

∴，即．

又∵∠C=∠EDF，

∴△CED∽△DEF．

∴△BDF∽△CED∽△DEF． 

（3）连接AD，过D点作DG⊥EF，DH⊥BF，垂足分别为G，H．

∵AB=AC，D是BC的中点，

∴AD⊥BC，BD=BC=1．

在Rt△ABD中，AD2=AB2﹣BD2，即AD2=102﹣3，

∴AD=2．

∴S△ABC=•BC•AD=×3×2=42，

S△DEF=S△ABC=×42=3．

又∵•AD•BD=•AB•DH，

∴．

∵△BDF∽△DEF，

∴∠DFB=∠EFD． 

∵DH⊥BF，DG⊥EF，

∴∠DHF=∠DGF．

又∵DF=DF，

∴△DHF≌△DGF（AAS）．

∴DH=DG=．

∵S△DEF=·EF·DG=·EF·=3，

∴EF=4．

【点睛】

本题考查了和相似有关的综合性题目，用到的知识点有三角形相似的判定和性质、等腰三角形的性质以及勾股定理的运用，灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，解答时，要仔细观察图形、选择合适的判定方法，注意数形结合思想的运用．

25、（1）每台型挖掘机一小时挖土30立方米,每台型挖据机一小时挖土15立方米；

（2）共有三种调配方案．方案一: 型挖据机7台,型挖掘机5台；方案二: 型挖掘机8台,型挖掘机4台；方案三: 型挖掘机9台,型挖掘机3台．当A型挖掘机7台, 型挖掘机5台的施工费用最低,最低费用为12000元．

【解析】

分析：（1）根据题意列出方程组即可；

（2）利用总费用不超过12960元求出方案数量，再利用一次函数增减性求出最低费用．

详解：(1)设每台型,型挖掘机一小时分别挖土立方米和立方米,根据题意,得

解得

所以,每台型挖掘机一小时挖土30立方米,每台型挖据机一小时挖土15立方米．

(2)设型挖掘机有台,总费用为元,则型挖据机有台．根据题意,得

，

因为，解得，

又因为,解得,所以．

所以,共有三种调配方案．

方案一:当时, ,即型挖据机7台,型挖掘机5台；

方案二:当时, ,即型挖掘机8台,型挖掘机4台；

方案三:当时, ,即型挖掘机9台,型挖掘机3台．

,由一次函数的性质可知,随的减小而减小,

当时，，

此时型挖掘机7台, 型挖掘机5台的施工费用最低,最低费用为12000元．

点睛：本题考查了二元一次方程组和一次函数增减性，解答时先根据题意确定自变量取值范围，再应用一次函数性质解答问题．

26、 (1) y1＝2x＋2；(2) 选择在B站出地铁，最短时间为39.5分钟．

【解析】
（1）根据表格中的数据，运用待定系数法，即可求得y1关于x的函数表达式；（2）设李华从文化宫回到家所需的时间为y，则y=y1+y2=x2-9x+80，根据二次函数的性质，即可得出最短时间．

【详解】

(1)设y1=kx+b,将(8,18),(9,20),代入

y1=kx+b,得：

解得

所以y1关于x的函数解析式为y1=2x+2.

(2)设李华从文化宫回到家所需的时间为y,则

y=y1+y2=2x+2+x2-11x+78=x2-9x+80=(x-9)2+39.5.

所以当x=9时,y取得最小值,最小值为39.5,

答:李华应选择在B站出地铁,才能使他从文化宫回到家所需的时间最短,最短时间为39.5分钟.

【点睛】

本题主要考查了二次函数的应用，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值最小值，在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．

27、（1）=；（2）结论：AC2＝AG•AH．理由见解析；（3）①△AGH的面积不变．②m的值为或2或8﹣4．.

【解析】
（1）证明∠DAC=∠AHC+∠ACH=43°，∠ACH+∠ACG=43°，即可推出∠AHC=∠ACG；

（2）结论：AC2=AG•AH．只要证明△AHC∽△ACG即可解决问题；

（3）①△AGH的面积不变．理由三角形的面积公式计算即可；

②分三种情形分别求解即可解决问题.

【详解】

（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝CB＝CD＝DA＝4，∠D＝∠DAB＝90°∠DAC＝∠BAC＝43°，

∴AC＝，

∵∠DAC＝∠AHC+∠ACH＝43°，∠ACH+∠ACG＝43°，

∴∠AHC＝∠ACG．

故答案为＝．

（2）结论：AC2＝AG•AH．

理由：∵∠AHC＝∠ACG，∠CAH＝∠CAG＝133°，

∴△AHC∽△ACG，

∴，

∴AC2＝AG•AH．

（3）①△AGH的面积不变．

理由：∵S△AGH＝•AH•AG＝AC2＝×（4）2＝1．

∴△AGH的面积为1．

②如图1中，当GC＝GH时，易证△AHG≌△BGC，

可得AG＝BC＝4，AH＝BG＝8，

∵BC∥AH，

∴,

∴AE＝AB＝．

如图2中，当CH＝HG时，

易证AH＝BC＝4，

∵BC∥AH，

∴＝1，

∴AE＝BE＝2．

如图3中，当CG＝CH时，易证∠ECB＝∠DCF＝22.3．

在BC上取一点M，使得BM＝BE，

∴∠BME＝∠BEM＝43°，

∵∠BME＝∠MCE+∠MEC，

∴∠MCE＝∠MEC＝22.3°，

∴CM＝EM，设BM＝BE＝m，则CM＝EMm，

∴m+m＝4，

∴m＝4（﹣1），

∴AE＝4﹣4（﹣1）＝8﹣4，

综上所述，满足条件的m的值为或2或8﹣4．

【点睛】

本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．