江苏省常州市教育会业水平监测2021-2022学年中考数学押题卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项

1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1．某班组织了针对全班同学关于“你最喜欢的一项体育活动”的问卷调查后，绘制出频数分布直方图，由图可知，下列结论正确的是（   ）

A．最喜欢篮球的人数最多 B．最喜欢羽毛球的人数是最喜欢乒乓球人数的两倍

C．全班共有50名学生 D．最喜欢田径的人数占总人数的10 %

2．如图所示，在平面直角坐标系中A（0，0），B（2，0），△AP1B是等腰直角三角形，且∠P1=90°，把△AP1B绕点B顺时针旋转180°，得到△BP2C；把△BP2C绕点C顺时针旋转180°，得到△CP3D，依此类推，则旋转第2017次后，得到的等腰直角三角形的直角顶点P2018的坐标为（　　）

A．（4030，1） B．（4029，﹣1）

C．（4033，1） D．（4035，﹣1）

3．如图，正方形被分割成四部分，其中I、II为正方形，III、IV为长方形，I、II的面积之和等于III、IV面积之和的2倍，若II的边长为2，且I的面积小于II的面积，则I的边长为（    ）

A．4 B．3 C． D．

4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝1，则cosB的值为（　　）

A． B． C． D．

5．当ab＞0时，y＝ax2与y＝ax+b的图象大致是（　　）

A． B． C． D．

6．如图，将含60°角的直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转45°度后得到△AB′C′，点B经过的路径为弧BB′，若∠BAC=60°，AC=1，则图中阴影部分的面积是（ ）

A． B． C． D．π

7．如图，中，，且，设直线截此三角形所得阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象为下列选项中的　　

A． B． C． D．

8．根据《九章算术》的记载中国人最早使用负数，下列负数中最大的是（    ）

A．-1 B．- C． D．–π

9．有以下图形：平行四边形、矩形、等腰三角形、线段、菱形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有（　　）

A．5个    B．4个    C．3个    D．2个

10．如图，⊙O的半径为6，直径CD过弦EF的中点G，若∠EOD＝60°，则弦CF的长等于（   ）

A．6 B．6 C．3 D．9

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点处，当△为直角三角形时，BE的长为     .

12．已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是______．

13．如图，在平行四边形 ABCD 中，AB＝6，AD＝9，∠BAD 的平分线交BC 于点 E，交 DC 的延长线于点 F，BG⊥AE，垂足为 G，BG＝4，则△CEF 的周长为____．

14．用48米长的竹篱笆在空地上,围成一个绿化场地,现有两种设计方案,一种是围成正方形的场地;另一种是围成圆形场地.现请你选择,围成________(圆形、正方形两者选一)场在面积较大.

15．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD=________.

16．已知扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则扇形的面积是_____．

17．某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是绿灯的概率为____．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18．（10分）体育老师为了解本校九年级女生1分钟“仰卧起坐”体育测试项目的达标情况，从该校九年级136名女生中，随机抽取了20名女生，进行了1分钟仰卧起坐测试，获得数据如下：

收集数据：抽取20名女生的1分钟仰卧起坐测试成绩（个）如下：

  38      46      42      52      55        43       59      46      25       38

  35      45      51      48      57        49       47       53     58       49

（1）整理、描述数据：请你按如下分组整理、描述样本数据，把下列表格补充完整：

（说明：每分钟仰卧起坐个数达到49个及以上时在中考体育测试中可以得到满分）

（2）分析数据：样本数据的平均数、中位数、满分率如下表所示：

得出结论：①估计该校九年级女生在中考体育测试中1分钟“仰卧起坐”项目可以得到满分的人数为　   　；

②该中心所在区县的九年级女生的1分钟“仰卧起坐”总体测试成绩如下：

请你结合该校样本测试成绩和该区县总体测试成绩，为该校九年级女生的1分钟“仰卧起坐”达标情况做一下评估，并提出相应建议．

19．（5分）如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，E是弧的中点，AE与BC交于点F，∠C=2∠EAB．

求证：AC是⊙O的切线；已知CD=4，CA=6，求AF的长．

20．（8分）如图，过点A（2，0）的两条直线，分别交y轴于B，C，其中点B在原点上方，点C在原点下方，已知AB=.

求点B的坐标；若△ABC的面积为4，求的解析式．

21．（10分）某蔬菜加工公司先后两次收购某时令蔬菜200吨，第一批蔬菜价格为2000元/吨，因蔬菜大量上市，第二批收购时价格变为500元/吨，这两批蔬菜共用去16万元．

（1）求两批次购蔬菜各购进多少吨？

（2）公司收购后对蔬菜进行加工，分为粗加工和精加工两种：粗加工每吨利润400元，精加工每吨利润800元．要求精加工数量不多于粗加工数量的三倍．为获得最大利润，精加工数量应为多少吨？最大利润是多少？

22．（10分）为了提高服务质量，某宾馆决定对甲、乙两种套房进行星级提升，已知甲种套房提升费用比乙种套房提升费用少3万元，如果提升相同数量的套房，甲种套房费用为625万元，乙种套房费用为700万元．

（1）甲、乙两种套房每套提升费用各多少万元？

（2）如果需要甲、乙两种套房共80套，市政府筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于甲、乙种套房星级提升，市政府对两种套房的提升有几种方案？哪一种方案的提升费用最少？

（3）在（2）的条件下，根据市场调查，每套乙种套房的提升费用不会改变，每套甲种套房提升费用将会提高a万元（a＞0），市政府如何确定方案才能使费用最少？

23．（12分）列方程解应用题：

为宣传社会主义核心价值观，某社区居委会计划制作1200个大小相同的宣传栏．现有甲、乙两个广告公司都具备制作能力，居委会派出相关人员分别到这两个广告公司了解情况，获得如下信息：

信息一：甲公司单独制作完成这批宣传栏比乙公司单独制作完成这批宣传栏多用10天；

信息二：乙公司每天制作的数量是甲公司每天制作数量的1.2倍．

根据以上信息，求甲、乙两个广告公司每天分别能制作多少个宣传栏？

24．（14分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点D在上，点E在弦AB上（E不与A重合），且四边形BDCE为菱形．

（1）求证：AC=CE；

（2）求证：BC2﹣AC2=AB•AC；

（1）已知⊙O的半径为1．

①若=，求BC的长；

②当为何值时，AB•AC的值最大？

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、C

【解析】

【分析】观察直方图，根据直方图中提供的数据逐项进行分析即可得.

【详解】观察直方图，由图可知：

A. 最喜欢足球的人数最多，故A选项错误；

B. 最喜欢羽毛球的人数是最喜欢田径人数的两倍，故B选项错误；

C. 全班共有12+20+8+4+6=50名学生，故C选项正确；

D. 最喜欢田径的人数占总人数的=8 %，故D选项错误，

故选C.

【点睛】本题考查了频数分布直方图，从直方图中得到必要的信息进行解题是关键.

2、D

【解析】
根据题意可以求得P1，点P2，点P3的坐标，从而可以发现其中的变化的规律，从而可以求得P2018的坐标，本题得以解决．

【详解】

解：由题意可得，
点P1（1，1），点P2（3，-1），点P3（5，1），
∴P2018的横坐标为：2×2018-1=4035，纵坐标为：-1，
即P2018的坐标为（4035，-1），
故选：D．

【点睛】

本题考查了点的坐标变化规律，解答本题的关键是发现各点的变化规律，求出相应的点的坐标．

3、C

【解析】
设I的边长为x，根据“I、II的面积之和等于III、IV面积之和的2倍”列出方程并解方程即可．

【详解】

设I的边长为x

根据题意有

解得或（舍去）

故选：C．

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的应用，能够根据题意列出方程是解题的关键．

4、A

【解析】

∵在Rt△ABC中,∠C=90°，AB=4，AC=1，

∴BC== ，

则cosB== ，

故选A

5、D

【解析】
∵ab＞0，∴a、b同号．当a＞0，b＞0时，抛物线开口向上，顶点在原点，一次函数过一、二、三象限，没有图象符合要求；

当a＜0，b＜0时，抛物线开口向下，顶点在原点，一次函数过二、三、四象限，B图象符合要求．

故选B．

6、A

【解析】

试题解析：如图，

∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AC=1，

∴BC=ACtan60°=1×=，AB=2

∴S△ABC=AC•BC=．

根据旋转的性质知△ABC≌△AB′C′，则S△ABC=S△AB′C′，AB=AB′．

∴S阴影=S扇形ABB′+S△AB′C′-S△ABC

=

=．

故选A．

考点：1.扇形面积的计算；2.旋转的性质．

7、D

【解析】
Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，所以很容易求得∠AOB=∠A=45°；再由平行线的性质得出∠OCD=∠A，即∠AOD=∠OCD=45°，进而证明OD=CD=t；最后根据三角形的面积公式，解答出S与t之间的函数关系式，由函数解析式来选择图象．

【详解】

解：∵Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，

∴∠AOB=∠A=45°，

∵CD⊥OB，

∴CD∥AB，

∴∠OCD=∠A，

∴∠AOD=∠OCD=45°，

∴OD=CD=t，

∴S△OCD=×OD×CD=t2（0≤t≤3），即S=t2（0≤t≤3）．

故S与t之间的函数关系的图象应为定义域为[0，3]，开口向上的二次函数图象；

故选D．

【点睛】

本题主要考查的是二次函数解析式的求法及二次函数的图象特征，解答本题的关键是根据三角形的面积公式，解答出S与t之间的函数关系式，由函数解析式来选择图象．

8、B

【解析】
根据两个负数，绝对值大的反而小比较．

【详解】

解：∵− ＞−1＞− ＞−π，

∴负数中最大的是−．

故选：B．

【点睛】

本题考查了实数大小的比较，解题的关键是知道正数大于0，0大于负数，两个负数，绝对值大的反而小．

9、C

【解析】

矩形，线段、菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；

等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．

共3个既是轴对称图形又是中心对称图形．

故选C．

10、B

【解析】
连接DF，根据垂径定理得到 , 得到∠DCF=∠EOD=30°，根据圆周角定理、余弦的定义计算即可．

【详解】

解：连接DF，

∵直径CD过弦EF的中点G，

∴，

∴∠DCF=∠EOD=30°，

∵CD是⊙O的直径，
∴∠CFD=90°，
∴CF=CD•cos∠DCF=12× = ，

故选B．

【点睛】

本题考查的是垂径定理的推论、解直角三角形，掌握平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、1或．

【解析】
当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．
连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=1，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．
②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形．

【详解】

当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：

①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．
连结AC，
在Rt△ABC中，AB=1，BC=4，
∴AC==5，
∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，
∴∠AB′E=∠B=90°，
当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，
∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，
∴EB=EB′，AB=AB′=1，
∴CB′=5-1=2，
设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，
在Rt△CEB′中，
∵EB′2+CB′2=CE2，
∴x2+22=（4-x）2，解得，
∴BE=；
②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．
此时ABEB′为正方形，∴BE=AB=1．
综上所述，BE的长为或1．
故答案为：或1．

12、1或2

【解析】
先根据非负数的性质列式求出x、y的值，再分x的值是腰长与底边两种情况讨论求解．

【详解】

根据题意得，x-5=0，y-7=0，

解得x=5，y=7，

①5是腰长时，三角形的三边分别为5、5、7，三角形的周长为1．

②5是底边时，三角形的三边分别为5、7、7，

能组成三角形，5+7+7=2；

所以，三角形的周长为：1或2；

故答案为1或2．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质，绝对值与算术平方根的非负性，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0求出x、y的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．

13、8

【解析】

试题解析：∵在▱ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分线交BC于点E，

∴∠BAF=∠DAF，

∵AB∥DF，

∴∠BAF=∠F，

∴∠F=∠DAF，

∴△ADF是等腰三角形，AD=DF=9；

∵AD∥BC，

∴△EFC是等腰三角形，且FC=CE．

∴EC=FC=9-6=3，

∴AB=BE．

∴在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，BG=4

可得：AG=2，

又∵BG⊥AE，

∴AE=2AG=4，

∴△ABE的周长等于16，

又∵▱ABCD，

∴△CEF∽△BEA，相似比为1：2，

∴△CEF的周长为8

14、圆形

【解析】
根据竹篱笆的长度可知所围成的正方形的边长，进而可计算出所围成的正方形的面积；根据圆的周长公式，可知所围成的圆的半径，进而将圆的面积计算出来，两者进行比较．

【详解】

围成的圆形场地的面积较大．理由如下：

设正方形的边长为a，圆的半径为R，

∵竹篱笆的长度为48米，

∴4a=48，则a=1．即所围成的正方形的边长为1；2π×R=48，

∴R=，即所围成的圆的半径为，

∴正方形的面积S1=a2=144，圆的面积S2=π×（）2=，

∵144＜，

∴围成的圆形场地的面积较大．

故答案为：圆形．

【点睛】

此题主要考查实数的大小的比较在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分时一定要联系实际，不能死学．

15、1

【解析】
首先连接BE，由题意易得BF=CF，△ACO∽△BKO，然后由相似三角形的对应边成比例，易得KO：CO=1：3，即可得OF：CF=OF：BF=1：1，在Rt△OBF中，即可求得tan∠BOF的值，继而求得答案．

【详解】

如图，连接BE，

∵四边形BCEK是正方形，

∴KF=CF=CK，BF=BE，CK=BE，BE⊥CK，

∴BF=CF，

根据题意得：AC∥BK，

∴△ACO∽△BKO，

∴KO：CO=BK：AC=1：3，

∴KO：KF=1：1，

∴KO=OF=CF=BF，

在Rt△PBF中，tan∠BOF==1，

∵∠AOD=∠BOF，

∴tan∠AOD=1．

故答案为1

【点睛】

此题考查了相似三角形的判定与性质，三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．

16、27π

【解析】

试题分析：设扇形的半径为r．则，解得r=9，∴扇形的面积==27π．故答案为27π．

考点：扇形面积的计算．

17、

【解析】
随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数，据此用绿灯亮的时间除以三种灯亮的总时间，求出抬头看信号灯时，是绿灯的概率为多少即可．

【详解】

抬头看信号灯时，是绿灯的概率为．

故答案为：．

【点睛】

此题主要考查了概率公式的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．（2）P（必然事件）=1．（3）P（不可能事件）=2．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、（1）补充表格见解析；（2）①61；②见解析.

【解析】
（1）根据所给数据分析补充表格即可.（2）①根据概率公式计算即可. ②根据平均数、中位数分别进行分析并根据分析结果给出建议即可.

【详解】

（1）补充表格如下：

（2）①估计该校九年级女生在中考体育测试中1分钟“仰卧起坐”项目可以得到满分的人数为136×≈61，

故答案为：61；

②从平均数角度看，该校女生1分钟仰卧起坐的平均成绩高于区县水平，整体水平较好；

从中位数角度看，该校成绩中等水平偏上的学生比例低于区县水平，该校测试成绩的满分率低于区县水平；

建议：该校在保持学校整体水平的同事，多关注接近满分的学生，提高满分成绩的人数．

【点睛】

本题考查的是统计表的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.

19、（1）证明见解析（2）2

【解析】
（1）连结AD，如图，根据圆周角定理，由E是的中点得到由于则，再利用圆周角定理得到则所以于是根据切线的判定定理得到AC是⊙O的切线；

先求出的长，用勾股定理即可求出.

【详解】

解：（1）证明：连结AD，如图，

∵E是的中点，∴

∵

∴

∵AB是⊙O的直径，∴

∴

∴ 即

∴AC是⊙O的切线；

（2）∵

∴

∵，

∴

【点睛】

本题考查切线的判定与性质，圆周角定理，属于圆的综合题，注意切线的证明方法，是高频考点.

20、（1）（0，3）；（2）．

【解析】
（1）在Rt△AOB中，由勾股定理得到OB=3，即可得出点B的坐标；

（2）由=BC•OA，得到BC=4，进而得到C（0，-1）．设的解析式为， 把A（2，0），C（0，-1）代入即可得到的解析式．

【详解】

（1）在Rt△AOB中，

∵，

∴，

∴OB=3，

∴点B的坐标是（0，3） ．

（2）∵=BC•OA，

∴BC×2=4，

∴BC=4，

∴C（0，-1）．

设的解析式为，

把A（2，0），C（0，-1）代入得：，

∴，

∴的解析式为是．

考点：一次函数的性质．

21、（1）第一次购进40吨，第二次购进160吨；（2）为获得最大利润，精加工数量应为150吨，最大利润是1．

【解析】
（1）设第一批购进蒜薹a吨，第二批购进蒜薹b吨．构建方程组即可解决问题．

（2）设精加工x吨，利润为w元，则粗加工（100-x）吨．利润w=800x+400（200﹣x）=400x+80000，再由x≤3（100-x），解得x≤150，即可解决问题．

【详解】

（1）设第一次购进a吨，第二次购进b吨，

，

解得 ，

答：第一次购进40吨，第二次购进160吨；

（2）设精加工x吨，利润为w元，

w=800x+400（200﹣x）=400x+80000，

∵x≤3（200﹣x），

解得，x≤150，

∴当x=150时，w取得最大值，此时w=1，

答：为获得最大利润，精加工数量应为150吨，最大利润是1．

【点睛】

本题考查了二元一次方程组的应用与一次函数的应用，解题的关键是熟练的掌握二元一次方程组的应用与一次函数的应用.

22、（1）甲：25万元；乙：28万元；（2）三种方案；甲种套房提升50套，乙种套房提升30套费用最少；（3）当a=3时，三种方案的费用一样，都是2240万元；当a＞3时，取m=48时费用最省；当0＜a＜3时，取m=50时费用最省.

【解析】

试题分析：（1）设甲种套房每套提升费用为x万元，根据题意建立方程求出其解即可；

（2）设甲种套房提升m套，那么乙种套房提升（80-m）套，根据条件建立不等式组求出其解就可以求出提升方案，再表示出总费用与m之间的函数关系式，根据一次函数的性质就可以求出结论；

（3）根据（2）表示出W与m之间的关系式，由一次函数的性质分类讨论就可以得出结论．

（1）设甲种套房每套提升费用为x万元，依题意，

得

解得：x=25

经检验：x=25符合题意，

x+3=28；

答：甲，乙两种套房每套提升费用分别为25万元，28万元．

（2）设甲种套房提升套，那么乙种套房提升(m-48)套，

依题意，得

解得：48≤m≤50

即m=48或49或50，所以有三种方案分别

是：方案一：甲种套房提升48套，乙种套房提升32套．

方案二：甲种套房提升49套，乙种套房提升1．

套方案三：甲种套房提升50套，乙种套房提升30套．

设提升两种套房所需要的费用为W.

所以当时，费用最少，即第三种方案费用最少.（3）在（2）的基础上有：

当a=3时，三种方案的费用一样，都是2240万元.

当a＞3时，取m=48时费用W最省.

当0＜a＜3时，取m=50时费用最省.

考点: 1.一次函数的应用；2.分式方程的应用；3.一元一次不等式组的应用．

23、甲广告公司每天能制作1个宣传栏，乙广告公司每天能制作2个宣传栏．

【解析】
设甲广告公司每天能制作x个宣传栏，则乙广告公司每天能制作1.2x个宣传栏，然后根据“甲公司单独制作完成这批宣传栏比乙公司单独制作完成这批宣传栏多用10天”列出方程求解即可．

【详解】

解：设甲广告公司每天能制作x个宣传栏，则乙广告公司每天能制作1.2x个宣传栏．

根据题意得：

解得：x=1．

经检验：x=1是原方程的解且符合实际问题的意义．

∴1.2x=1.2×1=2．

答：甲广告公司每天能制作1个宣传栏，乙广告公司每天能制作2个宣传栏．

【点睛】

此题考查了分式方程的应用，找出等量关系为两广告公司的工作时间的差为10天是解题的关键．

24、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（1）①BC=4；②

【解析】

分析：（1）由菱形知∠D=∠BEC，由∠A+∠D=∠BEC+∠AEC=180°可得∠A=∠AEC，据此得证；

（2）以点C为圆心，CE长为半径作⊙C，与BC交于点F，于BC延长线交于点G，则CF=CG=AC=CE=CD，证△BEF∽△BGA得，即BF•BG=BE•AB，将BF=BC-CF=BC-AC、BG=BC+CG=BC+AC代入可得；

（1）①设AB=5k、AC=1k，由BC2-AC2=AB•AC知BC=2k，连接ED交BC于点M，Rt△DMC中由DC=AC=1k、MC=BC=k求得DM==k，可知OM=OD-DM=1-k，在Rt△COM中，由OM2+MC2=OC2可得答案．②设OM=d，则MD=1-d，MC2=OC2-OM2=9-d2，继而知BC2=（2MC）2=16-4d2、AC2=DC2=DM2+CM2=（1-d）2+9-d2，由（2）得AB•AC=BC2-AC2，据此得出关于d的二次函数，利用二次函数的性质可得答案．

详解：（1）∵四边形EBDC为菱形，

∴∠D=∠BEC，

∵四边形ABDC是圆的内接四边形，

∴∠A+∠D=180°，

又∠BEC+∠AEC=180°，

∴∠A=∠AEC，

∴AC=CE；

（2）以点C为圆心，CE长为半径作⊙C，与BC交于点F，于BC延长线交于点G，则CF=CG，

由（1）知AC=CE=CD，

∴CF=CG=AC，

∵四边形AEFG是⊙C的内接四边形，

∴∠G+∠AEF=180°，

又∵∠AEF+∠BEF=180°，

∴∠G=∠BEF，

∵∠EBF=∠GBA，

∴△BEF∽△BGA，

∴，即BF•BG=BE•AB，

∵BF=BC﹣CF=BC﹣AC、BG=BC+CG=BC+AC，BE=CE=AC，

∴（BC﹣AC）（BC+AC）=AB•AC，即BC2﹣AC2=AB•AC；

（1）设AB=5k、AC=1k，

∵BC2﹣AC2=AB•AC，

∴BC=2k，

连接ED交BC于点M，

∵四边形BDCE是菱形，

∴DE垂直平分BC，

则点E、O、M、D共线，

在Rt△DMC中，DC=AC=1k，MC=BC=k，

∴DM=，

∴OM=OD﹣DM=1﹣k，

在Rt△COM中，由OM2+MC2=OC2得（1﹣k）2+（k）2=12，

解得：k=或k=0（舍），

∴BC=2k=4；

②设OM=d，则MD=1﹣d，MC2=OC2﹣OM2=9﹣d2，

∴BC2=（2MC）2=16﹣4d2，

AC2=DC2=DM2+CM2=（1﹣d）2+9﹣d2，

由（2）得AB•AC=BC2﹣AC2

=﹣4d2+6d+18

=﹣4（d﹣）2+，

∴当d=，即OM=时，AB•AC最大，最大值为，

∴DC2=，

∴AC=DC=，

∴AB=，此时．

点睛：本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握圆的有关性质、圆内接四边形的性质及菱形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质等知识点．