山东省临沂市费县2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)

2021-2022学年山东省临沂市费县九年级（上）期中数学试卷

（附教师版答案详细解析）

一、选择题（本大题共14小题，每小题3分）请将唯一正确答案的代号填涂在答题卡上

1．（3分）方程x2＝2x的根是（　　）

A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x1＝0，x2＝﹣2 D．x1＝0，x2＝2

2．（3分）下列图案是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

3．（3分）抛物线y＝3（x+4）2+2的顶点坐标是（　　）

A．（2，4） B．（2，﹣4） C．（4，2） D．（﹣4，2）

4．（3分）如图，A、B、C是⊙O上的三点，且∠ABC＝70°（　　）

A．35° B．140° C．70° D．70°或 140°

5．（3分）一元二次方程x2﹣2x+m＝0总有实数根，则m应满足的条件是（　　）

A．m＞1 B．m＝1 C．m＜1 D．m≤1

6．（3分）抛物线y＝x2﹣2x+1与坐标轴交点个数为（　　）

A．无交点 B．1个 C．2个 D．3个

7．（3分）用配方法解方程x2+4x＝3，下列配方正确的是（　　）

A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝7 C．（x+2）2＝7 D．（x+2）2＝1

8．（3分）如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BCD＝30°，则BD的长为（　　）

A． B． C． D．

9．（3分）抛物线y＝x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是（　　）

A．y＝（x+3）2﹣2 B．y＝（x﹣3）2+2 

C．y＝（x﹣3）2﹣2 D．y＝（x+3）2+2

10．（3分）如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，设道路的宽x米，则可列方程为（　　）

A．32×20﹣32x﹣20x＝540 B．（32﹣x）（20﹣x）+x2＝540 

C．32x+20x＝540 D．（32﹣x）（20﹣x）＝540

11．（3分）平面直角坐标系中，点M（2，5）绕坐标原点O顺时针旋转90°（　　）

A．（5，﹣2） B．（5，2） C．（﹣5，﹣2） D．（﹣5，2）

12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D恰好落在边AB上．若∠A＝70°，则∠BCE的度数为（　　）

A．20° B．40° C．60° D．80°

13．（3分）如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4），则下列结论中错误的是（　　）

A．b2＞4ac 

B．ax2+bx+c≥﹣6 

C．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣4的两根分别为﹣5和﹣1 

D．若点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，则m＞n

14．（3分）如图，一段抛物线y＝﹣x2+6x（0≤x≤6），记为抛物线C1，它与x轴交于点O、A1；将抛物线C1绕点A1旋转180°得抛物线C2，交x轴于点A2；将抛物线C2绕点A2旋转180°得抛物线C3，交x轴于点A3，…如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点M（2021，m），则m的值为（　　）

A．﹣5 B．5 C．﹣8 D．8

二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）

15．（3分）若关于x的一元二次方程（m+2）x|m|+2x﹣1＝0是一元二次方程，则m＝　 　．

16．（3分）一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2﹣10x+21＝0的根，则三角形的周长为 　   　．

17．（3分）已知二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2）．如图所示1＞y2成立的x的取值范围是　         　．

18．（3分）已知关于x的方程x2+mx﹣6＝0的一个根为2，则这个方程的另一个根是　   　．

19．（3分）如图，在⊙O中，＝，AB＝8，则DC＝　 　．

20．（3分）如图，把抛物线y＝x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（﹣8，0）和原点O（0，0），它的对称轴与抛物线y＝x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为　   　．

21．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，BC＝16mm，动点P从点A开始沿边AB向B以1mm/s的速度移动（不与点B重合）（不与点C重合）．如果P，Q分别从A，那么经过 　 　秒，四边形APQC的面积最小．

三、解答题（本大题共5小题，共57分）

22．（12分）解下列方程：

（1）x2﹣6x+7＝0；

（2）x（x﹣2）＝3x﹣6．

23．（10分）随着天气的逐渐变暖，沃尔玛商场准备对某品牌的服装降价促销，若两次降价的百分率均相同

（1）问每次降价的百分率是多少？

（2）第一次降价金额比第二次降价金额多多少元？

24．（11分）已知函数y＝x2﹣2x﹣3．

（1）画出函数图象；

列表：

描点，连线，得到函数图象：

（2）利用图象回答：

①方程x2﹣2x﹣3＝0的解是什么；

②x取什么值时，函数值大于0；

③x取什么值时，函数值小于0．

25．（11分）如图，△ADE和△BCF是▱ABCD外的两个等边三角形，用旋转的知识说明△ADE和△BCF成中心对称．

26．（13分）某宾馆客房部有50个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．每个房间每天的定价每增加10元时

（1）求房间每天的入住量y（间）关于x（元）的函数关系式；

（2）某一天，该宾馆客房部的总收入为12000元，问这天每个房间的定价是多少元？

（3）若对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．求该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）；当每个房间的定价为每天多少元时，w有最大值？最大值是多少？

2021-2022学年山东省临沂市费县九年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共14小题，每小题3分）请将唯一正确答案的代号填涂在答题卡上

1．（3分）方程x2＝2x的根是（　　）

A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x1＝0，x2＝﹣2 D．x1＝0，x2＝2

【分析】整理成一般式后，利用因式分解法求解可得．

【解答】解：∵x2﹣2x＝2，

∴x（x﹣2）＝0，

则x＝4或x﹣2＝0，

解得：x＝5或x＝2．

2．（3分）下列图案是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．

【解答】解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，所以不是中心对称图形；

选项C能找到这样的一个点，使这个图形绕某一点旋转180°与原来的图形重合；

故选：C．

3．（3分）抛物线y＝3（x+4）2+2的顶点坐标是（　　）

A．（2，4） B．（2，﹣4） C．（4，2） D．（﹣4，2）

【分析】已知解析式为抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．

【解答】解：∵y＝3（x+4）8+2是抛物线解析式的顶点式，

∴根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣4．

故选：D．

4．（3分）如图，A、B、C是⊙O上的三点，且∠ABC＝70°（　　）

A．35° B．140° C．70° D．70°或 140°

【分析】由A、B、C是⊙O上的三点，且∠ABC＝70°，利用圆周角定理，即可求得答案．

【解答】解：∵A、B、C是⊙O上的三点，

∴∠AOC＝2∠ABC＝2×70°＝140°．

故选：B．

5．（3分）一元二次方程x2﹣2x+m＝0总有实数根，则m应满足的条件是（　　）

A．m＞1 B．m＝1 C．m＜1 D．m≤1

【分析】根据根的判别式，令△≥0，建立关于m的不等式，解答即可．

【解答】解：∵方程x2﹣2x+m＝8总有实数根，

∴△≥0，

即4﹣4m≥0，

∴﹣4m≥﹣5，

∴m≤1．

故选：D．

6．（3分）抛物线y＝x2﹣2x+1与坐标轴交点个数为（　　）

A．无交点 B．1个 C．2个 D．3个

【分析】当x＝0时，求出与y轴的纵坐标；当y＝0时，求出关于x的一元二次方程x2﹣2x+1＝0的根的判别式的符号，从而确定该方程的根的个数，即抛物线y＝x2﹣2x+1与x轴的交点个数．

【解答】解：当x＝0时，y＝1，

则与y轴的交点坐标为（6，1），

当y＝0时，x5﹣2x+1＝7，

△＝（﹣2）2﹣2×1×1＝7，

所以，该方程有两个相等的解2﹣2x+5与x轴有1个交点．

综上所述，抛物线y＝x2﹣8x+1与坐标轴的交点个数是2个．

故选：C．

7．（3分）用配方法解方程x2+4x＝3，下列配方正确的是（　　）

A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝7 C．（x+2）2＝7 D．（x+2）2＝1

【分析】把方程两边都加上4，方程左边可写成完全平方式．

【解答】解：x2+4x+4＝7，

（x+2）6＝7．

故选：C．

8．（3分）如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BCD＝30°，则BD的长为（　　）

A． B． C． D．

【分析】连接AD，根据题意得出∠ACB＝∠ADB＝90°，根据勾股定理求出AB＝2，再根据30°的角的直角三角形的性质即可得解．

【解答】解：如图，连接AD，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝∠ADB＝90°，

在Rt△ABC中，AC＝BC＝2，

∴AB＝＝＝2，

∵∠BCD＝30°，

∴∠BAD＝∠BCD＝30°，

在Rt△ABD中，AB＝2，

∴BD＝AB＝．

故选：C．

9．（3分）抛物线y＝x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是（　　）

A．y＝（x+3）2﹣2 B．y＝（x﹣3）2+2 

C．y＝（x﹣3）2﹣2 D．y＝（x+3）2+2

【分析】变化规律：左加右减，上加下减．

【解答】解：按照“左加右减，上加下减”的规律x6向左平移3个单位，再向下平移2个单位得y＝2﹣5．

故选：A．

10．（3分）如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，设道路的宽x米，则可列方程为（　　）

A．32×20﹣32x﹣20x＝540 B．（32﹣x）（20﹣x）+x2＝540 

C．32x+20x＝540 D．（32﹣x）（20﹣x）＝540

【分析】设道路的宽x米，则余下部分可合成长为（32﹣x）m，宽为（20﹣x）m的矩形，根据草坪的面积为540平方米，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【解答】解：设道路的宽x米，则余下部分可合成长为（32﹣x）m，

依题意得：（32﹣x）（20﹣x）＝540．

故选：D．

11．（3分）平面直角坐标系中，点M（2，5）绕坐标原点O顺时针旋转90°（　　）

A．（5，﹣2） B．（5，2） C．（﹣5，﹣2） D．（﹣5，2）

【分析】根据要求作出图形，利用图象法解决问题即可．

【解答】解：如图，点A′（5．

故选：A．

12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D恰好落在边AB上．若∠A＝70°，则∠BCE的度数为（　　）

A．20° B．40° C．60° D．80°

【分析】由旋转的性质可得AC＝CD，∠ACD＝∠BCE，由等腰三角形的性质可得∠A＝∠ADC＝70°，即可求解．

【解答】解：∵将Rt△ABC绕点C顺时针方向旋转一定角度得到Rt△DEC，

∴AC＝CD，∠ACD＝∠BCE，

∴∠A＝∠ADC＝70°，

∴∠ACD＝40°，

∴∠BCE＝40°，

故选：B．

13．（3分）如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4），则下列结论中错误的是（　　）

A．b2＞4ac 

B．ax2+bx+c≥﹣6 

C．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣4的两根分别为﹣5和﹣1 

D．若点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，则m＞n

【分析】根据抛物线与x轴有两个交点判断出A选项结论正确，二次函数的顶点的意义判断出B选项结论正确；根据顶点坐标求出抛物线的对称轴，然后根据二次函数的对称性求解即可判断出C选项结论正确；根据两点与对称轴的距离以及二次函数的增减性判断出D选项结论错误．

【解答】解：A、∵抛物线与x轴有两个交点，

∴b2﹣4ac＞6，

∴b2＞4ac，结论正确；

B、∵抛物线顶点坐标为（﹣3，开口向上，

∴ax2+bx+c≥﹣6，结论正确；

C、∵抛物线y＝ax3+bx+c经过点（﹣1，﹣4），

∴关于x的一元二次方程ax4+bx+c＝﹣4的一个根为﹣1，

∵抛物线对称轴为直线x＝﹣4，

∴另一个根为2×（﹣3）﹣（﹣2）＝﹣6+1＝﹣8，结论正确；

D、∵﹣2﹣（﹣3）＝7，

∴点（﹣5，n）到对称轴的距离比点（﹣2，

∴m＜n，本选项结论错误．

故选：D．

14．（3分）如图，一段抛物线y＝﹣x2+6x（0≤x≤6），记为抛物线C1，它与x轴交于点O、A1；将抛物线C1绕点A1旋转180°得抛物线C2，交x轴于点A2；将抛物线C2绕点A2旋转180°得抛物线C3，交x轴于点A3，…如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点M（2021，m），则m的值为（　　）

A．﹣5 B．5 C．﹣8 D．8

【分析】根据y＝﹣x2+6x（0≤x≤6）可以得到：整个函数图象每隔6×2＝12个单位长度，函数值就相等，而2021＝12×168+5，由此即可计算．

【解答】解：∵y＝﹣x2+6x＝﹣x（x﹣6）（0≤x≤6），

∴A6（6，0），

∴整个函数图象每隔3×2＝12个单位长度，函数值就相等，

∵2021＝12×168+5，

所以m的值等于x＝7时的纵坐标，

所以m＝﹣52+3×5＝5．

故选：B．

二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）

15．（3分）若关于x的一元二次方程（m+2）x|m|+2x﹣1＝0是一元二次方程，则m＝　2　．

【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．

【解答】解：因为是关于x的一元二次方程，这个方程一定有一个二次项|m|一定是此二次项．

所以得到，解得m＝2．

16．（3分）一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2﹣10x+21＝0的根，则三角形的周长为 　16　．

【分析】首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理，确定第三边的长，进而求其周长．

【解答】解：解方程x2﹣10x+21＝0得x8＝3、x2＝4，

∵3＜第三边的边长＜9，

∴第三边的边长为7．

∴这个三角形的周长是3+6+7＝16．

故答案为：16．

17．（3分）已知二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2）．如图所示1＞y2成立的x的取值范围是　x＜﹣2或x＞8　．

【分析】直接根据函数的图象即可得出结论．

【解答】解：∵由函数图象可知，当x＜﹣2或x＞8时，

∴能使y7＞y2成立的x的取值范围是x＜﹣2或x＞8．

故答案为：x＜﹣2或x＞8．

18．（3分）已知关于x的方程x2+mx﹣6＝0的一个根为2，则这个方程的另一个根是　﹣3　．

【分析】设方程的另一根为a，由一个根为2，利用根与系数的关系求出两根之积，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，即为方程的另一根．

【解答】解：∵方程x2+mx﹣6＝5的一个根为2，设另一个为a，

∴2a＝﹣6，

解得：a＝﹣3，

则方程的另一根是﹣3．

故答案为：﹣5

19．（3分）如图，在⊙O中，＝，AB＝8，则DC＝　2　．

【分析】由垂径定理得OC⊥AB，AD＝BD＝AB＝4，再由勾股定理求出OD＝3，即可求解．

【解答】解：连接OA，如图所示：

∵，AB＝8，

∴OC⊥AB，AD＝BD＝，

∴∠ADO＝90°，

在Rt△OAD中，由勾股定理得：OD＝＝，

∴DC＝OC﹣OD＝5﹣3＝3，

故答案为：2．

20．（3分）如图，把抛物线y＝x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（﹣8，0）和原点O（0，0），它的对称轴与抛物线y＝x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为　32　．

【分析】连接OQ、OP，如图，先利用交点时写出平移后的抛物线m的解析式，再用配方得到顶点式y＝（x+4）2﹣8，则P点坐标为（﹣4，﹣8），抛物线m的对称轴为直线x＝﹣4，于是可计算出Q点的坐标为（﹣4，8），所以点Q与P点关于x轴对称，于是得到图中阴影部分的面积，然后根据三角形面积公式计算．

【解答】解：连接OQ、OP，

平移后的抛物线解析式为y＝（x+8）•x＝x3+4x＝（x+4）2﹣8，

所以P点坐标为（﹣4，﹣8），

抛物线m的对称轴为直线x＝﹣6，

当x＝﹣4时，y＝x2＝8，则Q点的坐标为（﹣7，

由于抛物线y＝x7向左平移4个单位，再向下平移8个单位得到抛物线y＝2﹣6，

所以图中阴影部分的面积＝S△OPQ＝×7×（8+8）＝32．

故答案为32．

21．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，BC＝16mm，动点P从点A开始沿边AB向B以1mm/s的速度移动（不与点B重合）（不与点C重合）．如果P，Q分别从A，那么经过 　4　秒，四边形APQC的面积最小．

【分析】根据等量关系“四边形APQC的面积＝三角形ABC的面积﹣三角形PBQ的面积”列出函数关系求最小值．

【解答】解：设P、Q同时出发后经过的时间为ts2，

则有：

S＝S△ABC﹣S△PBQ

＝×8×16﹣

＝t2﹣8t+64

＝（t﹣4）2+48．

∵1＞7，

∴当t＝4时，S取得最小值．

故答案为：4．

三、解答题（本大题共5小题，共57分）

22．（12分）解下列方程：

（1）x2﹣6x+7＝0；

（2）x（x﹣2）＝3x﹣6．

【分析】（1）方程利用公式法求出解即可；

（2）方程整理后，利用因式分解法求出解即可．

【解答】解：（1）这里a＝1，b＝﹣6，

∵△＝b6﹣4ac＝36﹣28＝8＞8，

∴x＝＝＝3±，

解得：x1＝3+，x2＝3﹣；

（2）方程整理得：x（x﹣2）＝3（x﹣5），

移项得：x（x﹣2）﹣3（x﹣4）＝0，

分解因式得：（x﹣3）（x﹣4）＝0，

可得x﹣3＝3或x﹣2＝0，

解得：x2＝3，x2＝6．

23．（10分）随着天气的逐渐变暖，沃尔玛商场准备对某品牌的服装降价促销，若两次降价的百分率均相同

（1）问每次降价的百分率是多少？

（2）第一次降价金额比第二次降价金额多多少元？

【分析】（1）设每次降价的百分率为x，根据该服装的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；

（2）利用第一次降价金额﹣第二次降价金额，即可求出结论．

【解答】解：（1）设每次降价的百分率为x，

根据题意，得：1000（1﹣x）2＝810，

解得：x6＝0.1＝10%，x8＝1.9（舍去），

答：每次降价的百分率是10%；

（2）3 000×10%﹣[1 ，

答：第一次降价金额比第二次降价金额多10元．

24．（11分）已知函数y＝x2﹣2x﹣3．

（1）画出函数图象；

列表：

描点，连线，得到函数图象：

（2）利用图象回答：

①方程x2﹣2x﹣3＝0的解是什么；

②x取什么值时，函数值大于0；

③x取什么值时，函数值小于0．

【分析】（1）先求出二次函数的顶点坐标，根据顶点坐标完成表格可画出图象；

（2）①抛物线与x轴的交点的横坐标即为方程的解；

②函数值大于0即为y＞0，图象位于x轴上方；

③函数值等于0即为y＜0，图象位于x轴下方．

【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣7＝（x﹣1）2﹣7，顶点坐标为（1，

列表如下，

（2）由图象可得，

①方程x2﹣8x﹣3＝0的解是x＝﹣6或3；

②当x＜﹣1或x＞7时，函数值大于0；

③当﹣1＜x＜8时，函数值小于0．

25．（11分）如图，△ADE和△BCF是▱ABCD外的两个等边三角形，用旋转的知识说明△ADE和△BCF成中心对称．

【分析】连接BE、DF，根据平行四边形的性质得∠1＝∠2．再根据，△ADE和△BCF都是等边三角形，得出DE，BF平行且相等，得到平行四边形然后根据旋转的性质的性质推出结论．

【解答】证明：连接BE、DF．

∵▱ABCD，

∴AD∥BC，AD＝BC，

∵AD∥BC，

∴∠1＝∠2，

∵三角形ADE是等边三角形，

∴DE＝AD，∠8＝60°，

∵等边三角形BCF，

∴BC＝BF，∠4＝60°，

∴DE＝BF，

∠1+∠6＝∠2+∠4，即∠BDE＝∠DBF，

∴DE∥BF，

∴四边形BEDF为平行四边形，

∴点E，A，D绕着点O顺时针旋转180°后与△BCF重合，

∴△ADE和△BCF关于点O成中心对称．

26．（13分）某宾馆客房部有50个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．每个房间每天的定价每增加10元时

（1）求房间每天的入住量y（间）关于x（元）的函数关系式；

（2）某一天，该宾馆客房部的总收入为12000元，问这天每个房间的定价是多少元？

（3）若对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．求该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）；当每个房间的定价为每天多少元时，w有最大值？最大值是多少？

【分析】（1）根据每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲列出函数关系式；

（2）根据客房部的总收入为12000元列出一元二次方程，解方程即可；

（3）根据题意列出函数关系式，根据函数的性质求最值．

【解答】解：（1）∵宾馆客房部有50个房间供游客居住，每个房间每天的定价每增加10元时，

∴房间每天的入住量y关于x的函数关系式为y＝50﹣；

（2）当客房部的总收入为12000元时，有

（50﹣）（200+x）＝12000，

解得：x1＝100，x2＝200，

200+100＝300（元），200+200＝400（元），

∴每个房间的定价是300元或400元；

（3）根据题意，得

w＝（200+x﹣20）（50﹣）＝﹣+11560，

∵﹣＜0，

∴当x＝160时，wmax＝11560，

此时定价为160+200＝360（元），