2020-2021学年24.1.2 垂直于弦的直径同步测试题

24.1.2 垂直于弦的直径（附解析）

一、单选题(共10个小题)

1．如图，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D ，且AB=6，OD=4，则DC的长为（        ）

A．1 B．2 C．2.5 D．5

2．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（　   　）

A．（4﹣）米 B．2米 C．3米 D．（4+）米

3．AB和CD是⊙O的两条平行弦，AB＝6，CD＝8，⊙O的半径为5，则AB与CD间的距离为（　 　）

A．1或7 B．7 C．1 D．3或4

4．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于C点，AB=12cm，AO=8cm，则OC长为（       ）cm

A．5 B．4 C．  D．

5．如图，⊙O的半径为10，弦AB＝16，M是弦AB上的动点，则OM不可能为（        ）

A．5 B．6 C．7 D．8

6．下列说法正确的是（　　   ）

①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦

②平分弦的直径平分弦所对的弧

③垂直于弦的直线必过圆心

④垂直于弦的直径平分弦所对的弧

A．②③ B．①③ C．②④ D．①④

7．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是（　   　）

A．第一块 B．第二块 C．第三块 D．第四块

8．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径如何？”这段话的意思是：如图，现有圆形木材，埋在墙壁里，不知木材大小，用锯子将它锯下来，深度CD为1寸，锯长AB为1尺（10寸），问圆材直径几寸？则该问题中圆的直径为（       ）

A．22寸 B．24寸 C．26寸 D．28寸

9．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，AC＝4，则OD的长为（　　  ）

A．1 B．1.5 C．2 D．2.5

10．已知⊙O的半径为13，弦AB∥CD，AB=24，CD=10，则四边形ACDB的面积是（　   　）

A．119 B．289 C．77或119 D．119或289

二、填空题(共10个小题)

11．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，AB=6，则⊙O半径为_______．

12．如图，已知⊙O 中，半径 OC 垂直于弦 AB，垂足为 D， 若 ，则 AB 的长是__________．

13．如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E， GB =5，EF =4，那么AD =__________．

14．如图，是⊙O的弦，长为8，是⊙O上一个动点（不与、重合），过点作于点，于点，则的长为________．

15．如图，两个同心圆的半径分别为2和4，矩形的边和分别是两圆的弦，则矩形面积的最大值是______．

16．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是_______．

17．如图所示一个圆柱体容器内装入一些水，截面AB在圆心O下方，若⊙O的直径为60cm，水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为_____cm．

18．已知⊙O的半径为5，为圆内的一点，，则过点P的弦长的最小值是________．

19．在直径为10m的的圆柱型油槽内注入一些油后，截面如图所示，液面宽AB=6m，如果继续向油槽内注油，使液面宽为8m，那么液面上升了__________m．

20．如图，在中，是弧的中点，作点关于弦的对称点，连接并延长交于点，过点作于点，若，则等于_________度．

三、解答题(共3个小题)

21．已知，如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝10，BE＝2，求⊙O的半径长．

22．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．

(1)求证：AC＝BD；

(2)连接OA、OC，若OA＝6，OC＝4，∠OCD＝60°，求AC的长．

23．如图，在半径为2的扇形中，，点C是弧上的一个动点（不与点A、B重合），，垂足分别为D、E．

(1)当时，求线段的长；

(2)在中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；

(3)在中是否存在度数保持不变的角？如果存在，请指出并求其度数，如果不存在，请说明理由．

24.1.2 垂直于弦的直径解析

1．

【答案】A

【详解】解：如图，连接AO，

∵半径与点D，

∴，

∵，

∴根据勾股定理，，

∴，

∴．

故选A．

2．

【答案】A

【详解】解：根据题意和圆的性质知点C为的中点，

连接OC交AB于D，则OC⊥AB，AD=BD=AB=3，

在Rt△OAD中，OA=4，AD=3，

∴OD===，

∴CD=OC﹣OD=4﹣，

即点到弦所在直线的距离是（4﹣）米，

故选：A．

3．

【答案】A

【详解】解：①当AB、CD在圆心两侧时；

过O作OE⊥CD交CD于E点，过O作OF⊥AB交AB于F点，连接OA、OC，如图所示：

∵半径r＝5，弦AB∥CD，且AB＝6，CD＝8，

∴OA＝OC＝5，CE＝DE＝4，AF＝FB＝3，E、F、O在一条直线上，

∴EF为AB、CD之间的距离

在Rt△OEC中，由勾股定理可得：

OE2＝OC2﹣CE2

∴OE3，

在Rt△OFA中，由勾股定理可得：

OF2＝OA2﹣AF2

∴OF4，

∴EF＝OE+OF＝3+4＝7，

AB与CD的距离为7；

②当AB、CD在圆心同侧时；

同①可得：OE＝3，OF＝4；

则AB与CD的距离为：OF﹣OE＝1；

综上所述：AB与CD间的距离为1或7．

故选：A.

4．

【答案】D

【详解】解： O为圆心的两个同心圆的圆心，大圆的弦AB与小圆相切于C点，

C点是AB的中点，即AC=BC==6；

并且OC⊥AB，在中，

由勾股定理得，

所以；AO=8cm，

所以，

所以OC=

故选：

5．

【答案】A

【详解】解：过O作OD⊥AB于D，连接OA，

∵OA=10，AB=16，

∴AD=AB=×16=8，

∴OD==6，

∴OD≤OM≤OA，即6≤OM≤10．

∴OM不可能为5，

故选：A．

6．

【答案】D

【详解】根据垂径定理及其推论进行判断．

【解答】解：根据垂径定理，

①正确；

②错误．平分弦（不是直径）的直径平分弦所对的弧；

③错误．垂直于弦且平分弦的直线必过圆心；

④正确．

故选：D．

7．

【答案】A

【详解】解：第一块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．

故选：A．

8．

【答案】C

【详解】解：设圆材的圆心为O，延长CD，交⊙O于点E，连接OA，如图所示：

由题意知：CE过点O，且，

则．

设圆形木材半径为r，

则，．

∵，

∴，

解得 ，

即⊙O的半径为13寸，

∴⊙O的直径为26寸．

故选：C．

9．

【答案】C

【详解】解：∵OD⊥BC，

∴CD＝BD，

∵OA＝OB，AC＝4

∴OD＝AC＝2．

故选C．

10．

【答案】D

【详解】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1，

∵AB=24cm，CD=10cm，

∴AE=12cm，CF=5cm，

∴OA=OC=13cm，

∴EO=5cm，OF=12cm，

∴EF=12-5=7cm；

∴四边形ACDB的面积

②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2，

∵AB=24cm，CD=10cm，

∴.AE=12cm，CF=5cm，

∵OA=OC=13cm，

∴EO=5cm，OF=12cm，

∴EF=OF+OE=17cm.

∴四边形ACDB的面积

∴四边形ACDB的面积为119或289.

故选D.

11．

【答案】

【详解】解：∵⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，AB=6，

∴BE=3，∠OEB=90°，

设OB=x，则OC=x，

∵CE=2，

∴OE=x-2，

∵在Rt△OBE中，，

∴，解得：，

∴，即⊙O的半径为，

故答案为：．

12．

【答案】8

【详解】解：∵OC为半径，OC⊥AB，

∴AB=2AD，

∵，

∴，

∴AB=2AD=8．

故答案为：8

13．

【答案】

【详解】如图，连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H，

则EH=FH=EF=2，

∵GB=5，

∴OF=OB=，

在△OHF中，勾股定理，得

OH=，

∵四边形ABCD是矩形，

∴四边形OADH也是矩形，

∴AD=OH=，

故答案为：．

14．

【答案】4

【详解】解：∵，，

∴，，

∴是的中位线，

∴．

故答案为：4．

15．

【答案】16

【详解】解：过点O作OP⊥AB于P并反向延长交CD于N，作OM⊥AD于点M，连接OA、OD

∴AO=2，OD=4，四边形APND和四边形PBCN为矩形，PN⊥CD，

∴OM=AP

根据垂径定理可得：点P和点N分别为AB和CD的中点，

∴S矩形APND=S矩形ABCD

∵△AOD的高OM等于矩形APND的宽，△AOD的底为矩形APND的长

∴S△AOD=S矩形APND=S矩形ABCD

∴S矩形ABCD最大时，S△AOD也最大

过点D作AO边上的高h，根据垂线段最短可得h≤OD（当且仅当OD⊥OA时，取等号）

∴S△AOD=AO·h≤AO·OD=×2×4=4

故S△AOD的最大值为4

∴S矩形ABCD的最大值为4÷=16

故答案为：16．

16．

【答案】

【详解】解：如图，连接OD，交AC于F，

∵D是的中点，

∴OD⊥AC，AF=CF，

∴∠DFE=90°，

∵OA=OB，AF=CF，

∴OF=BC，

∵AB是直径，

∴∠ACB=90°，

在△EFD和△ECB中，

，  ∴△EFD≌△ECB（AAS），

∴DF=BC，

∴OF=DF，

∵OD=3，

∴OF=1，AB=2OD=6，

∴BC=2，

∴．

故答案为：．

17．

【答案】12

【详解】解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：

∵AB＝48cm，

∴BD＝AB＝×48＝24（cm），

∵⊙O的直径为60cm，

∴OB＝OC＝30cm，

在Rt△OBD中，OD＝＝＝18（cm），

∴CD＝OC﹣OD＝30﹣18＝12（cm），

即水的最大深度为12cm，

故答案为：12．

18．

【答案】8

【详解】过P点作弦AB，使AB⊥OP，则AB为过P点的最短的弦，

连结OA，

∵OP⊥AB，

∴AP=BP，

在Rt△AOP中，OA=5，OP=3，

∴AP=，

∴AB=2AP=8．

故答案为：8．

19．

【答案】1或7

【详解】解：连接OA，作OG⊥AB于G，

∵AB=6m，

∴AG=AB=3m，

∵油槽直径为10m，

∴OA=5m，

∴OG=4m，即弦AB的弦心距是4m，

同理当油面宽AB为8m时，弦心距是3m，

∴当油面没超过圆心O时，油上升了1m；

当油面超过圆心O时，油上升了7m．

故答案为：1或7．

20．

【答案】18

【详解】设∠EBF=x,则∠BAE=2x,连接OC交AB于点G,连接OB,BC,OD,如下图所示

∵C是的中点,点O为圆心

∴OCAB（垂径定理）

又∵点C与点D关于弦AB对称

∴CDAB,且C,D,O三点共线，GD=GC

∴∠AGD=∠BGC=90°，GA=GB

故△AGD△BGC（SAS）

∴∠ADG=∠BCG=90°-2x

又∵OB=OC

∴∠OBC=∠OCB=∠ADC=90°-2x

又∵同弧

∠E=∠COB=180°-2∠OBC=180°-2（90°-2x）（在△OCB中）

∵BFAE

在△BEF中，∠E=90°-∠EBF=90°-x

故综上：180°-2（90°-2x）=90°-x

解得x=18°

故本题答案为：18

21．

【答案】⊙O的半径长为

【详解】连接OC

∵直径AB⊥CD

∴CE＝DE，∠OEC＝90°

∵CD＝10

∴CE＝DE＝5

设半径为x，则OC＝x，OE＝x－2

在Rt△OEC中，，

∴，

∴x＝

∴⊙O的半径长为．

22．

【答案】(1)见解析；(2)

【详解】（1）证明：过O作OH⊥CD于H，如图1所示：

∵OH⊥CD，

∴CH＝DH，AH＝BH，

∴AH﹣CH＝BH﹣DH，

∴AC＝BD；

（2）解：过O作OH⊥CD于H，连接OD，如图2所示：

则CH＝DH＝CD，

∵OC＝OD，∠OCD＝60°，

∴△OCD是等边三角形，

∴CD＝OC＝4，

∴CH＝2，

∴OH＝＝＝2，

∴AH＝＝＝2，

∴AC＝AH﹣CH＝2﹣2．

23．

【答案】(1)；(2)存在，中，的长度保持不变为

(3)存在，中，的度数保持不变为

【详解】（1）∵

∴

在中．

（2）存在，

连接

∵

∴，

∴

∴中，的长度保持不变为．

（3）存在，

连接

∵，

∴

同理：

∵

∴

∴

∴中，的度数保持不变为