河北省石家庄新世纪外国语校2021-2022学年中考数学模试卷含解析

这是一份河北省石家庄新世纪外国语校2021-2022学年中考数学模试卷含解析，共18页。

2021-2022中考数学模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1．如图，△ABC中，AB>AC，∠CAD为△ABC的外角，观察图中尺规作图的痕迹，则下列结论错误的是（ ）

A．∠DAE=∠B B．∠EAC=∠C C．AE∥BC D．∠DAE=∠EAC
2．下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．线段 B．等边三角形 C．正方形 D．平行四边形
3．直线AB、CD相交于点O，射线OM平分∠AOD，点P在射线OM上（点P与点O不重合），如果以点P为圆心的圆与直线AB相离，那么圆P与直线CD的位置关系是（　）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定
4．如图，将△ABE向右平移2cm得到△DCF，如果△ABE的周长是16cm，那么四边形ABFD的周长是（　 　  ）

A．16cm B．18cm C．20cm D．21cm
5．如图是棋盘的一部分，建立适当的平面直角坐标系，已知棋子“车”的坐标为（-2,1），棋子“马”的坐标为（3，-1），则棋子“炮”的坐标为（ ）

A．（1，1） B．（2，1） C．（2，2） D．（3，1）
6．已知常数k＜0，b＞0，则函数y=kx+b，的图象大致是下图中的（　　）
A． B．
C． D．
7．已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是（ ）
A．20cm2 B．20πcm2 C．10πcm2 D．5πcm2
8．等腰三角形底角与顶角之间的函数关系是（　　）
A．正比例函数 B．一次函数 C．反比例函数 D．二次函数
9．如图，直线a∥b，点A在直线b上，∠BAC=100°，∠BAC的两边与直线a分别交于B、C两点，若∠2=32°，则∠1的大小为（　　）

A．32° B．42° C．46° D．48°
10．如图，已知⊙O的半径为5，AB是⊙O的弦，AB=8，Q为AB中点，P是圆上的一点（不与A、B重合），连接PQ，则PQ的最小值为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．8
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11．下面是“利用直角三角形作矩形”尺规作图的过程．
已知：如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°．
求作：矩形ABCD．
小明的作法如下：
如图2，（1）分别以点A、C为圆心，大于AC同样长为半径作弧，两弧交于点E、F；
（2）作直线EF，直线EF交AC于点O；
（3）作射线BO，在BO上截取OD，使得OD=OB；
（4）连接AD，CD．
∴四边形ABCD就是所求作的矩形．
老师说，“小明的作法正确．”
请回答，小明作图的依据是：__________________________________________________.

12．已知点A（4，y1），B（，y2），C（-2，y3）都在二次函数y=（x-2）2-1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 .
13．已知反比例函数，在其图象所在的每个象限内，的值随的值增大而减小，那么它的图象所在的象限是第__________象限．
14．计算的结果是_____
15．函数y=中自变量x的取值范围是___________．
16．安全问题大于天，为加大宣传力度，提高学生的安全意识，乐陵某学校在进行防溺水安全教育活动中，将以下几种在游泳时的注意事项写在纸条上并折好，内容分别是：①互相关心；②互相提醒；③不要相互嬉水；④相互比潜水深度；⑤选择水流湍急的水域；⑥选择有人看护的游泳池．小颖从这6张纸条中随机抽出一张，抽到内容描述正确的纸条的概率是_____．
17．如图，数轴上不同三点对应的数分别为，其中，则点表示的数是__________．

三、解答题（共7小题，满分69分）
18．（10分）如图，在正方形中，点是对角线上一个动点（不与点重合），连接过点作，交直线于点．作交直线于点，连接．

（1）由题意易知，，观察图，请猜想另外两组全等的三角形 ； ；
（2）求证：四边形是平行四边形；
（3）已知，的面积是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
19．（5分）有一个n位自然数能被x0整除，依次轮换个位数字得到的新数能被x0+1整除，再依次轮换个位数字得到的新数能被x0+2整除，按此规律轮换后， 能被x0+3整除，…，能被x0+n﹣1整除，则称这个n位数是x0的一个“轮换数”．
例如：60能被5整除，06能被6整除，则称两位数60是5的一个“轮换数”；
再如：324能被2整除，243能被3整除，432能被4整除，则称三位数324是2个一个“轮换数”．
（1）若一个两位自然数的个位数字是十位数字的2倍，求证这个两位自然数一定是“轮换数”．
（2）若三位自然数是3的一个“轮换数”，其中a=2，求这个三位自然数．
20．（8分）某班为了解学生一学期做义工的时间情况，对全班50名学生进行调查，按做义工的时间（单位：小时），将学生分成五类： 类（ ），类（），类（），类（），类（），绘制成尚不完整的条形统计图如图11.

根据以上信息，解答下列问题： 类学生有 人，补全条形统计图；类学生人数占被调查总人数的 %；从该班做义工时间在的学生中任选2人，求这2人做义工时间都在 中的概率．
21．（10分）如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，交⊙O于点P，OA=5，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C.
（1）求证：AB=AC；
（2）若，求⊙O的半径.

22．（10分）如图，在⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，在AB的延长线上有点E，且EF=ED．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若tanA=，探究线段AB和BE之间的数量关系，并证明；
（3）在（2）的条件下，若OF=1，求圆O的半径．

23．（12分）在一节数学活动课上，王老师将本班学生身高数据（精确到1厘米）出示给大家，要求同学们各自独立绘制一幅频数分布直方图，甲绘制的如图①所示，乙绘制的如图②所示，经王老师批改，甲绘制的图是正确的，乙在数据整理与绘图过程中均有个别错误．写出乙同学在数据整理或绘图过程中的错误（写出一个即可）；
甲同学在数据整理后若用扇形统计图表示，则159.5﹣164.5这一部分所对应的扇形圆心角的度数为　 　；该班学生的身高数据的中位数是　 　；假设身高在169.5﹣174.5范围的5名同学中，有2名女同学，班主任老师想在这5名同学中选出2名同学作为本班的正、副旗手，那么恰好选中一名男同学和一名女同学当正，副旗手的概率是多少？
24．（14分）2019年8月．山西龙城将迎来全国第二届青年运动会，盛会将至，整个城市已经进入了全力准备的状态．太职学院足球场作为一个重要比赛场馆．占地面积约24300平方米．总建筑面积4790平方米，设有2476个座位，整体建筑简洁大方，独具特色．2018年3月15日该场馆如期开工，某施工队负责安装该场馆所有座位，在安装完476个座位后，采用新技术，效率比原来提升了．结来比原计划提前4天完成安装任务．求原计划每天安装多少个座位．




参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1、D
【解析】
解：根据图中尺规作图的痕迹，可得∠DAE=∠B，故A选项正确，
∴AE∥BC，故C选项正确，
∴∠EAC=∠C，故B选项正确，
∵AB＞AC，∴∠C＞∠B，∴∠CAE＞∠DAE，故D选项错误，
故选D．
【点睛】
本题考查作图—复杂作图；平行线的判定与性质；三角形的外角性质．
2、B
【解析】
根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】
解：A、线段，是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、等边三角形，是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、正方形，是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、平行四边形，不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3、A
【解析】
根据角平分线的性质和点与直线的位置关系解答即可．
【详解】
解：如图所示；

∵OM平分∠AOD，以点P为圆心的圆与直线AB相离，
∴以点P为圆心的圆与直线CD相离，
故选：A．
【点睛】
此题考查直线与圆的位置关系，关键是根据角平分线的性质解答．
4、C
【解析】
试题分析：已知，△ABE向右平移2cm得到△DCF，根据平移的性质得到EF=AD=2cm，AE=DF，又因△ABE的周长为16cm，所以AB+BC+AC=16cm，则四边形ABFD的周长=AB+BC+CF+DF+AD=16cm+2cm+2cm=20cm．故答案选C．
考点：平移的性质.
5、B
【解析】
直接利用已知点坐标建立平面直角坐标系进而得出答案．
【详解】
解：根据棋子“车”的坐标为（-2,1），建立如下平面直角坐标系：

∴棋子“炮”的坐标为（2，1），
故答案为：B．
【点睛】
本题考查了坐标确定位置，正确建立平面直角坐标系是解题的关键．
6、D
【解析】
当k＜0，b＞0时，直线经过一、二、四象限，双曲线在二、四象限，由此确定正确的选项．
【详解】
解：∵当k＜0，b＞0时，直线与y轴交于正半轴，且y随x的增大而减小，
∴直线经过一、二、四象限，双曲线在二、四象限．
故选D．
【点睛】
本题考查了一次函数、反比例函数的图象与性质．关键是明确系数与图象的位置的联系．
7、C
【解析】
圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入,圆锥的侧面积=2π×2×5÷2=10π．
故答案为C
8、B
【解析】
根据一次函数的定义，可得答案．
【详解】
设等腰三角形的底角为y，顶角为x，由题意，得
x+2y=180，
所以，y=﹣x+90°，即等腰三角形底角与顶角之间的函数关系是一次函数关系，
故选B．
【点睛】
本题考查了实际问题与一次函数，根据题意正确列出函数关系式是解题的关键.
9、D
【解析】
根据平行线的性质与对顶角的性质求解即可.
【详解】
∵a∥b，
∴∠BCA=∠2，
∵∠BAC=100°，∠2=32°
∴∠CBA=180°-∠BAC-∠BCA=180°-100°-32°=48°.
∴∠1=∠CBA=48°.
故答案选D.
【点睛】
本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练的掌握平行线的性质与对顶角的性质.
10、B
【解析】
连接OP、OA，根据垂径定理求出AQ，根据勾股定理求出OQ，计算即可．
【详解】
解：
由题意得，当点P为劣弧AB的中点时，PQ最小，
连接OP、OA，
由垂径定理得，点Q在OP上，AQ=AB=4，
在Rt△AOB中，OQ==3，
∴PQ=OP-OQ=2，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理的推论是解题的关键．

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11、到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；对角线互相平分的四边形为平行四边形；有一个角为90°的平行四边形为矩形
【解析】
先利用作法判定OA=OC，OD=OB，则根据平行四边形的判定方法判断四边形ABCD为平行四边形，然后根据矩形的判定方法判断四边形ABCD为矩形．
【详解】
解：由作法得EF垂直平分AC，则OA=OC，
而OD=OB，
所以四边形ABCD为平行四边形，
而∠ABC=90°，
所以四边形ABCD为矩形．
故答案为到线段两段点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；对角线互相平分的四边形为平行四边形；有一个内角为90°的平行四边形为矩形．
【点睛】
本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
12、y3>y1>y2.
【解析】
试题分析：将A,B,C三点坐标分别代入解析式，得：y1=3,y2=5-4,y3=15,∴y3>y1>y2.
考点：二次函数的函数值比较大小.
13、【解析】
直接利用反比例函数的增减性进而得出图象的分布．
【详解】
∵反比例函数y（k≠0），在其图象所在的每个象限内，y的值随x的值增大而减小，∴它的图象所在的象限是第一、三象限．
故答案为：一、三．
【点睛】
本题考查了反比例的性质，正确掌握反比例函数图象的分布规律是解题的关键．
14、
【解析】
【分析】根据二次根式的运算法则进行计算即可求出答案．
【详解】
=
=，
故答案为.
【点睛】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则.
15、x≥﹣且x≠1
【解析】
试题解析：根据题意得：
解得：x≥﹣且x≠1.
故答案为：x≥﹣且x≠1.
16、
【解析】
根据事件的描述可得到描述正确的有①②③⑥，即可得到答案.
【详解】
∵共有6张纸条，其中正确的有①互相关心；②互相提醒；③不要相互嬉水；⑥选择有人看护的游泳池，共4张，
∴抽到内容描述正确的纸条的概率是，
故答案为：．
【点睛】
此题考查简单事件的概率的计算，正确掌握事件的概率计算公式是解题的关键.
17、1
【解析】
根据两点间的距离公式可求B点坐标，再根据绝对值的性质即可求解．
【详解】
∵数轴上不同三点A、B、C对应的数分别为a、b、c，a=-4，AB=3，
∴b=3+（-4）=-1，
∵|b|=|c|，
∴c=1．
故答案为1．
【点睛】
考查了实数与数轴，绝对值，关键是根据两点间的距离公式求得B点坐标．

三、解答题（共7小题，满分69分）
18、（1）；（2）见解析；（3）存在，2
【解析】
（1）利用正方形的性质及全等三角形的判定方法证明全等即可；
（2）由（1）可知，则有，从而得到，最后利用一组对边平行且相等即可证明；
（3）由（1）可知，则，从而得到是等腰直角三角形，则当最短时，的面积最小，再根据AB的值求出PB的最小值即可得出答案．
【详解】
解：（1）四边形是正方形，
，
，
，
，
，
在和中，




在和中，
，

故答案为；
（2）证明：由（1）可知，
，



四边形是平行四边形.
（3）解：存在，理由如下：



是等腰直角三角形，
最短时，的面积最小，
当时，最短，此时，
的面积最小为.
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定，掌握全等三角形的判定方法和平行四边形的判定方法是解题的关键．
19、 (1)见解析；(2) 201，207，1
【解析】
试题分析：（1）先设出两位自然数的十位数字，表示出这个两位自然数，和轮换两位自然数即可；
（2）先表示出三位自然数和轮换三位自然数，再根据能被5整除，得出b的可能值，进而用4整除，得出c的可能值，最后用能被3整除即可．
试题解析：
（1）设两位自然数的十位数字为x，则个位数字为2x，
∴这个两位自然数是10x+2x=12x，
∴这个两位自然数是12x能被6整除，
∵依次轮换个位数字得到的两位自然数为10×2x+x=21x
∴轮换个位数字得到的两位自然数为21x能被7整除，
∴一个两位自然数的个位数字是十位数字的2倍，这个两位自然数一定是“轮换数”．
（2）∵三位自然数是3的一个“轮换数”，且a=2，
∴100a+10b+c能被3整除，
即：10b+c+200能被3整除，
第一次轮换得到的三位自然数是100b+10c+a能被4整除，
即100b+10c+2能被4整除，
第二次轮换得到的三位自然数是100c+10a+b能被5整除，
即100c+b+20能被5整除，
∵100c+b+20能被5整除，
∴b+20的个位数字不是0，便是5，
∴b=0或b=5，
当b=0时，
∵100b+10c+2能被4整除，
∴10c+2能被4整除，
∴c只能是1，3，5，7，9；
∴这个三位自然数可能是为201，203，205，207，209，
而203，205，209不能被3整除，
∴这个三位自然数为201，207，
当b=5时，∵100b+10c+2能被4整除，
∴10c+502能被4整除，
∴c只能是1，5，7，9；
∴这个三位自然数可能是为251，1，257，259，
而251，257，259不能被3整除，
∴这个三位自然数为1，
即这个三位自然数为201，207，1．
【点睛】此题是数的整除性，主要考查了3的倍数，4的倍数，5的倍数的特点，解本题的关键是用5的倍数求出b的值．
20、（1）5；（2）36%；（3）.
【解析】
试题分析：（1）根据：数据总数-已知的小组频数=所求的小组频数，进行求解，然后根据所求数据补全条形图即可；
（2）根据：小组频数= ，进行求解即可；
（3）利用列举法求概率即可.
试题解析：
（1）E类：50-2-3-22-18＝5（人），故答案为：5；
补图如下：

（2）D类：1850×100%＝36%，故答案为：36%；
（3）设这5人为
有以下10种情况：
其中，两人都在 的概率是： .
21、（1）证明见解析；（2）1．
【解析】
（1）由同圆半径相等和对顶角相等得∠OBP=∠APC，由圆的切线性质和垂直得∠ABP+∠OBP=90°和∠ACB+∠APC=90°，则∠ABP=∠ACB，根据等角对等边得AB=AC；
（2）设⊙O的半径为r，分别在Rt△AOB和Rt△ACP中根据勾股定理列等式，并根据AB=AC得52﹣r2=（2）2﹣（5﹣r）2，求出r的值即可．
【详解】
解：（1）连接OB，∵OB=OP，∴∠OPB=∠OBP，∵∠OPB=∠APC，
∴∠OBP=∠APC，∵AB与⊙O相切于点B，∴OB⊥AB，∴∠ABO=90°，
∴∠ABP+∠OBP=90°，∵OA⊥AC，∴∠OAC=90°，∴∠ACB+∠APC=90°，∴∠ABP=∠ACB，
∴AB=AC；
（2）设⊙O的半径为r，在Rt△AOB中，AB2=OA2﹣OB2=52﹣r2，
在Rt△ACP中，AC2=PC2﹣PA2，AC2=（2）2﹣（5﹣r）2，
∵AB=AC，∴52﹣r2=（2）2﹣（5﹣r）2，解得：r=1，
则⊙O的半径为1．

【点睛】
本题考查了圆的切线的性质，圆的切线垂直于经过切点的半径；并利用勾股定理列等式，求圆的半径；此类题的一般做法是：若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系；简记作：见切点，连半径，见垂直．
22、（1）答案见解析；（2）AB=1BE；（1）1．
【解析】
试题分析：（1）先判断出∠OCF+∠CFO=90°，再判断出∠OCF=∠ODF，即可得出结论；
（2）先判断出∠BDE=∠A，进而得出△EBD∽△EDA，得出AE=2DE，DE=2BE，即可得出结论；
（1）设BE=x，则DE=EF=2x，AB=1x，半径OD=x，进而得出OE=1+2x，最后用勾股定理即可得出结论．
试题解析：（1）证明：连结OD，如图．∵EF=ED，∴∠EFD=∠EDF．∵∠EFD=∠CFO，∴∠CFO=∠EDF．∵OC⊥OF，∴∠OCF+∠CFO=90°．∵OC=OD，∴∠OCF=∠ODF，∴∠ODC+∠EDF=90°，即∠ODE=90°，∴OD⊥DE．∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；
（2）线段AB、BE之间的数量关系为：AB=1BE．证明如下：
∵AB为⊙O直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADO=∠BDE．∵OA=OD，∴∠ADO=∠A，∴∠BDE=∠A，而∠BED=∠DEA，∴△EBD∽△EDA，∴．∵Rt△ABD中，tanA==，∴=，
∴AE=2DE，DE=2BE，∴AE=4BE，∴AB=1BE；
（1）设BE=x，则DE=EF=2x，AB=1x，半径OD=x．∵OF=1，∴OE=1+2x．
在Rt△ODE中，由勾股定理可得：（x）2+（2x）2=（1+2x）2，∴x=﹣（舍）或x=2，∴圆O的半径为1．

点睛：本题是圆的综合题，主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出△EBD∽△EDA是解答本题的关键．
23、 (1) 乙在整理数据时漏了一个数据，它在169.5﹣﹣174.5内；（答案不唯一）；（2）120°；（3）160或1；（4）.
【解析】
（1）对比图①与图②，找出图②中与图①不相同的地方；（2）则159.5﹣164.5这一部分的人数占全班人数的比乘以360°；（3）身高排序为第30和第31的两名同学的身高的平均数；（4）用树状图法求概率.
【详解】
解：（1）对比甲乙的直方图可得：乙在整理数据时漏了一个数据，它在169.5﹣﹣174.5内；（答案不唯一）
（2）根据频数分布直方图中每一组内的频数总和等于总数据个数；
将甲的数据相加可得10+15+20+10+5=60；
由题意可知159.5﹣164.5这一部分所对应的人数为20人，
所以这一部分所对应的扇形圆心角的度数为20÷60×360=120°，
故答案为120°；
（3）根据中位数的求法，将甲的数据从小到大依次排列，
可得第30与31名的数据在第3组，由乙的数据知小于162的数据有36个，则这两个只能是160或1．
故答案为160或1；
（4）列树状图得：

P（一男一女）==．
24、原计划每天安装100个座位．
【解析】
根据题意先设原计划每天安装x个座位，列出方程再求解.
【详解】
解：设原计划每天安装个座位，采用新技术后每天安装个座位，
由题意得：．
解得：．
经检验：是原方程的解．
答：原计划每天安装100个座位．
【点睛】
此题重点考查学生对分式方程的实际应用，掌握分式方程的解法是解题的关键.