2020-2021学年自行车里的数学教案设计

自行车里的数学问题

教学内容: 义务教育课程标准实验数学教科书第66～67页。

教学目标:

1、通过观察自行车前进时链条与前后齿轮的运动特点，发现并得出前后齿

轮齿数与转数之间的比例关系，能够综合运用圆、比例及排列组合等知识解决实际问题。

2、通过经历“提出问题——分析问题——建立数学模型——求解”的问题解决过程，使学生在活动中能够通过现象发现本质，得到规律性的结论。

3、培养学生应用数学的意识，激发学习数学的兴趣。

教学重点：对总齿数一定的情况下，“前齿轮转的圈数×前齿轮的齿数=后齿轮转的圈数×后齿轮的齿数”关系的发现过程。

教学难点：自行车前进过程中前后轮之间的比例关系的运用。

教学准备：

教师：1、准备两辆不同的自行车（一辆是普通自行车，另一辆是变速自行车，倒摆在教室合适的位置上）

2、齿轮学具、图片、课件。

3、把研究变速自行车速度的表印发给每个小组。

学生：请学生观察自行车，了解自行车的结构和行进的基本道理，收集一些自行车的相关数据，每个学生准备一个计算器。

教学过程：

一、导入新课

教师先把两辆不同的自行车摆在教室合适的位置

1、谈话：同学们，课前你们已经了解了有关自行车的知识，请同学们把你了解到的知识和同学们分享。教师结合教室里的两辆自行车和课前准备的图片进行说明。 揭示课题并板书：自行车里的数学。

2、师：还有哪些我们没有研究过的或者是你感兴趣的问题吗?

    学生提出问题后，老师根据学生的回答选出“蹬一圈，自行车至少能走多远？”作为要研究的数学问题

（设计意图：直接把自行车当作教具，直接操作等创意的做法，将会很有效的吸引学生的注意力，学生学习兴趣高涨，探究欲望强烈，再以“蹬一圈，自行车至少能走多远？”作为研究的突破口，拉开学习的序幕。这种建立在熟悉基础上的持续思考，会给学生留下深刻的印象。）

二、小组合作、探究新知

1、研究普通自行车的速度与内在结构的关系。

老师把不能变速的自行车倒翻过来放在讲台上，演示自行车后轮转动的过程，并告诉学生有关的数据：“前齿轮的齿数是28 个，后齿轮的齿数是14个，车轮外直径是70厘米，蹬一圈，这辆自行车至少前进多少厘米？”

“如何解决这个问题呢？”引导学生以小组为单位，讨论研究解决问题的方案。学生可能会提出两种方案：

一是通过直接测量来解决问题。（生上讲台演示）

二是通过车轮的周长乘后齿轮转的圈数来计算。

学生发现：测量的这种方法是可以解决问题，但是会出现比较大的误差。第

二种解决问题的方法可以得到比较准确的结果。但是在解决中不知道蹬一

圈，后轮转多少周，应该通过怎样的计算才能得到？

师：第二种方法可以得到比较准确的结果，但是又出现了“后轮转几圈”

这个新的问题。下面我们的任务就是要通过研究找到新问题的解决方法。

    （设计意图：将学习方法的学习渗透在研究问题的过程中，运用学生的评价引导学生全面的认识测量方法，同时提出更好的解决问题的方法。）

2、合作研究、寻找计算的方法。

   ①明确自行车是如何前进的。

师：请同学摇动自行车的脚踏板并观察思考，为什么脚一蹬，自行车就会向前走?（学生汇报）

师：我们同学都关注到了前后齿轮在转动时的关系，请同学们再看一段自行车向前行进的录像，进一步加深体会。(播放录像)   

（设计意图：录像辅助学生在头脑中建立并形成自行车前后轮之间关系的表象，促进学生空间想象能力的生成，使学生明确自行车是怎样向前行进的。）

师边看录像边说明：自行车是由链条带动齿轮向前行进。链条上的孔与前后齿轮的每个齿对应，也就是我们同学观察到的前齿轮向前转动几个齿，后齿轮同样向前转动几个齿。

   追问：通过对自行车前后齿轮之间关系的了解，蹬一圈，自行车向前行进了多少，解决问题的关键是要知道什么?

   估计学生会说：只要知道后齿轮转动的圈数就可以了。

②锁定目标，观察理解转速。

   师：前齿轮转动一圈，后齿轮转动多少圈?前齿轮的齿数与转动的圈数，后齿轮的齿数与转动的圈数之间具有什么样的关系呢?请同学们在研究的基础上进行独立的思考，然后将自己的想法在小组中进行交流。

出示合作研究提纲：

A、借助自行车和齿轮学具，研究前齿轮的齿数与转动的圈数，

后齿轮的齿数与转动的圈数之间的关系。

  B、记录下研究的方法与研究的结果。

  C、将小组的研究成果与全班进行交流。

（设计意图：建立在独立思考基础上的小组讨论交流，使小组合作学习有更高的价值。四人小组展开活动，使小组中的每个成员都有讲述自己方法的机会，并对其他同学的做法，充分发表自己的看法。）

③学生汇报研究的成果。

生1：我们组在使用齿轮学具的时候，在开始旋转的齿轮上作了个标记，方便在数齿数的时候清楚，不会出错。我们将前轮转动了1周，共转了28个齿，后轮有14个齿，后轮转动了两周，发现转动的总齿数是相等的。

生2：我们组用比的形式记录了研究的情况，

    前齿轮有28个齿，后齿轮有14个齿

    前后齿轮齿数的比是  28：14 = 2 ：1   前后齿轮转数的比是  1：2

    前齿轮转动1周，后齿轮只有转动2周才和前齿轮转的齿数相等。

 师：我们同学在研究问题的时候都考虑的非常细致，你们非常棒。结

合上面几组实验的成果，找到后轮转几圈的计算方法了吗?

（设计意图：学生想到如果只凭观察是数不清的，要通过更精确的方法找出答案。学生根据“链条间的孔与前后两个齿轮的每个齿对应，前齿轮转过一个齿，后齿轮也一定转过一个齿”，判断出：后齿轮转的圈数：前齿轮转的圈数=前齿轮的齿数：后齿轮的齿数，解决了这个关键问题，从而理清了解决问题的思路）

引导学生回答：由于前后齿轮转动的总齿数是相同的，所以只要知道前齿轮转动的总数，就可以利用总齿数除以后齿轮的齿数得到后轮转动的圈数。

学生：齿轮与转数之间成反比的关系，所以我们只要找到前齿轮与后齿轮齿数的比，就可以解决后轮转几圈的问题了。

师追问：我们同学从不同的角度分析了如何得到后轮转数的方法。这辆

自行车的前齿轮有28个齿，后齿轮有14个齿，如果前齿轮转动2圈，后齿

轮转动几圈，怎样计算呢?

方法1：28×2÷14  用转动总圈数除以后齿轮的齿数得到后齿轮转动圈数。

方法2：28÷14×2  前齿轮的齿数是后齿轮齿数的2倍，由于转数和齿数成

反比的关系，后齿轮的转数也就是前齿轮转数的2倍。

   3、建立数学模型

根据刚才我们得到的结论，你知道如果前齿轮转一圈，后齿轮转几圈吗？

学生经过讨论得到如果前齿轮转一圈，后齿轮转的圈数=前齿轮的齿数：后齿轮的齿数

因为：蹬一圈自行车至少走的距离 = 后车轮的周长×后齿轮转的圈数

所以：蹬一圈自行车至少走的距离＝车轮的周长×（前齿轮的齿数∶后齿轮的齿数）

4、练习

①前齿轮的齿数是48 ，后齿轮的齿数是19，车轮直径是71厘米，蹬一圈，这辆自行车至少前进多少厘米？

②前齿轮的齿数是26 ，后齿轮的齿数是16，车轮直径是66厘米，要想前进336.765米，至少要蹬几圈？

（设计意图：练习1同研究的问题相似，目的是巩固学习的成果；练习2是在前面问题基础上的延伸，目的是使学生在使用研究成果的过程中得到拓展，能够触类旁通，达到“举一反三”的境界。）

三、变速自行车的研究

1、认识变速自行车。

教师向学生介绍停放在班里变速车，并说明变速的原理，问学生：能变出多少种不同的速度呢？怎样计算？小组讨论，合作完成下表

估计学生有些是进行了一一的搭配，找到可以组合成的11种不同的速度(1)=≈3.43  (2) =3  (3)=≈2.86  (4) =≈2.67

(5)=2.5   (6)==2.4   (7)=≈2.22   (8)=2

(9)=2  (10)=≈1.71  (11)=≈1.67   (12)=≈1.43

提问：你能发现什么？

（意图：让学生通过用计算器计算，比较变速自行车各种齿轮组合的速度、用力情况和使用方法。这是设计制造变速自行车的道理。）

2、提出问题：蹬同样的圈数，哪种组合使自行车走得最远呢?   

    估计学生会发现：同一辆车，要想走得远后齿轮转的圈数就要多，前齿轮的齿数与后齿轮齿数之间的倍数越大越好。发现前齿轮齿数48和后齿轮齿数14的组合，自行车走得最远。当前、后齿轮齿数比值较小时，前、后齿轮转动的圈数差不多，后齿轮带动的后车轮前进的距离较短，所以车速较慢，而骑车人就较省力。选择前、后齿轮齿数比值较小的组合，这样会较省力，但速度慢。

    师小结并板书

（设计意图：把解决问题方法的学习向学习知识一样的进行，当学生有了巧妙的方法后，及时的选择恰当时机进行巩固。呈现学生“收集数据—建立数学模型—代入数据、求解—解决问题”的过程。最后通过一个问题“蹬同样的圈数，哪种组合使自行车走的最远”，引导学生对各种速度的产生进行深入的解释）

四、学以致用

[问题]一辆变速自行车有2个前齿轮，分别有46和38个齿，有4个后齿轮，分别有20、16、14、12个齿，车轮直径66 cm。小明从家到学校有一段平路和不是很陡的上坡路，平路1000米，上坡路800米(如下图)，小明如何使用变速车比较合理?小明骑车走这段平路至少蹬多少圈?

（意图：这里我设计了一个稍为综合的问题，让学生运用所学知识来提高学生的分析判断能力和应用水平。）

五、总结

通过这节课的学习，谈谈你的收获和体会。

 师：今天，我们研究的自行车里的数学问题，主要涉及的是自行车中传动系统的知识，其实自行车中还有很多值得研究的问题，如：车轮滚动摩擦等，在我们今后的学习中还会学习到。

（设计意图：课的结束不是问题的结束而是问题的延伸，老师点明“我们研究的只是自行车中某一部分的知识，还有许多值得研究的问题存在”以新的问题作为发展，这种由“问题始一解决一发展新问题一再解决一再发现新问题”的问题解决过程，形成了一个良性的循环，为学生的可持续发展奠定了坚实的基础）

六、板书设计

自行车里的数学问题

蹬一圈自行车走的距离＝车轮的周长×（前齿轮的齿数∶后齿轮的齿数）

当前、后齿轮齿数比值较大时，车速较快，而骑车人就较费力。

当前、后齿轮齿数比值较小时，车速较慢，而骑车人就较省力。