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浙江省温州市平阳县新纪元学校等联考2021-2022学年七年级上学期期中测试数学试卷（直升）
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这是一份浙江省温州市平阳县新纪元学校等联考2021-2022学年七年级上学期期中测试数学试卷（直升），共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年浙江省温州市平阳县新纪元学校等联考七年级（上）期中数学试卷（直升）（附答案解析）
一、单选题（共10题，每题3分，共30分）
1．（3分）在研制新冠肺炎疫苗中，某细菌的直径大小为0.000000072毫米，用科学记数法表示这一数字为（ ）
A．7.2×10﹣7 B．7.2×10﹣8 C．7.2×10﹣9 D．0.72×10﹣9
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．3a+2b＝5ab B．（﹣2a）2＝﹣4a2
C．a3a4＝a12 D．（a+1）2＝a2+2a+1
3．（3分）已知10x＝m，10y＝n，则10x+y等于（ ）
A．2m+3n B．m2+n3 C．mn D．m2n3
4．（3分）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）
A．x（a﹣b）＝ax﹣bx
B．x2﹣1＝（x﹣1）（x+1）
C．x2﹣1+y2＝（x﹣1）（x+1）+y2
D．ax+bx+c＝x（a+b）+c
5．（3分）如果分式的值为0，则x的值为（ ）
A．1 B．±1 C． D．﹣1
6．（3分）如图，△ABC沿直线m向右平移2cm，得到△DEF，下列说法错误的是（ ）
A．AC∥DF B．AB＝DE C．CF＝2cm D．DE＝2cm
7．（3分）计算（﹣2x+1）（﹣3x2）的结果为（ ）
A．6x3+1 B．6x3﹣3 C．6x3﹣3x2 D．6x3+3x2
8．（3分）已知方程组的解满足x+y＝2，则k的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4
9．（3分）某煤厂原计划x天生产120吨煤，实际每天比原计划多生产3吨，因此提前2天完成生产任务，则根据题意，得方程（ ）
A．＝﹣3 B．＝﹣3
C．＝﹣3 D．＝﹣3
10．（3分）如图，下列条件中①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠2+∠5＝∠6；④∠DAB+∠2+∠3＝180°，能判断AD∥BC的是（ ）
A．①③④ B．①②④ C．①③ D．①②③④
二、填空题（共7题，每题3分，共21分）
11．（3分）计算：（﹣1）2018﹣（π﹣3.14）0+（）﹣2＝ ．
12．（3分）当x＝3时，分式的值等于 ．
13．（3分）分解因式：3x3﹣12x＝ ．
14．（3分）已知m+n＝2，mn＝﹣2，则（1﹣m）（1﹣n）＝ ．
15．（3分）如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，点D、C分别落在点D'、C'的位置处，若∠1＝58°，则∠EFB的度数是 ．
16．（3分）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．当S1+S2＝40时，则图3中阴影部分的面积S3＝ ．
17．（3分）如图1是一个消防云梯，其示意图如图2所示，此消防云梯由救援台AB，延展臂BC（B在C的左侧），伸展主臂CD，支撑臂EF构成，在操作过程中，救援台AB，车身GH及地面MN三者始终保持平行．当∠EFH＝65°，BC∥EF时，∠ABC＝ 度；如图3，为了参与另外一项高空救援工作，需要进行调整，使得延展臂BC与支撑臂EF所在直线互相垂直，且∠EFH＝68°，则这时∠ABC＝ 度．
三、解答题（共7题，共49分）
18．（6分）解方程或方程组：
（1）解方程组：；
（2）解方程．
19．（6分）如图，AB∥CD，∠B＝78°，∠D＝32°，求∠F的度数．
20．（6分）先化简，再求值：（x+1）2﹣（x+2）（x﹣2），其中x＝2．
21．（6分）先化简（+）÷（），然后再从﹣3、﹣2、﹣1、0、1选择一个合适的数作为a的值，代入后再求值．
22．（6分）仔细阅读下面倒题．解答问题：
例题：已知二次三项式，x2﹣4x+m分解因式后有一个因式是（x+3）．求另一个因式以及m的值．
解：方法：设另一个因式为（x+n），
得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n），
则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n．
∴，解得．
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．
仿照以上方法解答：已知二次三项式8x2﹣14x﹣a分解因式后有一个因式是（2x﹣3），求另一个因式以及a的值．
23．（8分）如图，已知AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥AC．
（1）DE与BC平行吗？请说明理由．
（2）若∠1与∠2互补，求∠BFH的度数．
24．（11分）目前，新型冠状病毒在我国虽可控可防，但不可松懈某校欲购置规格分别为300ml和500ml的甲、乙两种免洗手消毒液若干瓶，已知购买1瓶甲和1瓶乙免洗手消毒液需要32元，购买5瓶甲和3瓶乙免洗手消毒液需要120元．
（1）求甲、乙两种免洗手消毒液的单价．
（2）该校在校师生共1000人，平均每人每天都需使用10ml的免洗手消毒液，若校方采购甲、乙两免洗手消毒液共花费4000元，则这批消毒液可使用多少天？
（3）为节约成本，该校购买散装免洗手消毒液进行分装，现需将9.6L的免洗手消毒液全部装入最大容量分别为300ml和500ml的两种空瓶中（每瓶均装满），若分装时平均每瓶需损耗20ml，请问如何分装能使总损耗最小，求出此时需要的两种空瓶的数量．
2021-2022学年浙江省温州市平阳县新纪元学校等联考七年级（上）期中数学试卷（直升）
参考答案与试题解析
一、单选题（共10题，每题3分，共30分）
1．（3分）在研制新冠肺炎疫苗中，某细菌的直径大小为0.000000072毫米，用科学记数法表示这一数字为（ ）
A．7.2×10﹣7 B．7.2×10﹣8 C．7.2×10﹣9 D．0.72×10﹣9
【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000000072＝7.2×10﹣8．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要确定a的值以及n的值．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．3a+2b＝5ab B．（﹣2a）2＝﹣4a2
C．a3a4＝a12 D．（a+1）2＝a2+2a+1
【分析】根据合并同类项，积的乘方，同底数幂乘法，完全平方公式的运算法则逐一计算可得．
【解答】解：A、3a与2b不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、（﹣2a）2＝4a2，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、a3a4＝a7，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、（a+1）2＝a2+2a+1，原计算正确，故此选项符合题意，
故选：D．
【点评】本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握完全平方公式，合并同类项，积的乘方，同底数幂乘法运算法则．
3．（3分）已知10x＝m，10y＝n，则10x+y等于（ ）
A．2m+3n B．m2+n3 C．mn D．m2n3
【分析】利用同底数幂的乘法的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值即可．
【解答】解：∵10x＝m，10y＝n，
∴10x+y
＝10x•10y
＝mn，
故选：C．
【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，解答的关键是灵活运用同底数幂的乘法的法则．
4．（3分）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）
A．x（a﹣b）＝ax﹣bx
B．x2﹣1＝（x﹣1）（x+1）
C．x2﹣1+y2＝（x﹣1）（x+1）+y2
D．ax+bx+c＝x（a+b）+c
【分析】直接利用因式分解的定义分析得出答案．
【解答】解：A、x（a﹣b）＝ax﹣bx，是多项式乘以单项式，故此选项错误；
B、x2﹣1＝（x﹣1）（x+1），从左到右的变形是因式分解，故此选项正确；
C、x2﹣1+y2＝（x﹣1）（x+1）+y2，不符合因式分解的定义，故此选项错误；
D、ax+bx+c＝x（a+b）+c，不符合因式分解的定义，故此选项错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查了因式分解的意义，正确把握因式分解的意义是解题关键．
5．（3分）如果分式的值为0，则x的值为（ ）
A．1 B．±1 C． D．﹣1
【分析】要使分式的值为0，必须分式分子的值为0并且分母的值不为0．
【解答】解：由分子x2﹣1＝0解得：x＝±1．
而当x＝﹣1时分母3x+3＝﹣3+3＝0，分式没有意义．
当x＝1时，分母3x+3＝6≠0．
所以x＝1．故选A．
【点评】要注意分母的值一定不能为0，分母的值是0时分式没有意义．
6．（3分）如图，△ABC沿直线m向右平移2cm，得到△DEF，下列说法错误的是（ ）
A．AC∥DF B．AB＝DE C．CF＝2cm D．DE＝2cm
【分析】直接利用平移的性质解决判断．
【解答】解：∵△ABC沿直线m向右平移2cm得到△DEF，
∴AC∥DF，AB＝DE，CF＝AD＝BE＝2cm．
故选：D．
【点评】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；各组对应点的线段平行（或共线）且相等．
7．（3分）计算（﹣2x+1）（﹣3x2）的结果为（ ）
A．6x3+1 B．6x3﹣3 C．6x3﹣3x2 D．6x3+3x2
【分析】依据单项式乘多项式法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝6x3﹣3x2．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是单项式乘多项式，熟练掌握单项式乘多项式法则是解题的关键．
8．（3分）已知方程组的解满足x+y＝2，则k的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4
【分析】方程组两方程相加表示出x+y，代入x+y＝2中求出k的值即可．
【解答】解：，
①+②得：3（x+y）＝k+4，即x+y＝，
代入x+y＝2中，得：k+4＝6，
解得：k＝2．
故选：C．
【点评】此题考查了二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9．（3分）某煤厂原计划x天生产120吨煤，实际每天比原计划多生产3吨，因此提前2天完成生产任务，则根据题意，得方程（ ）
A．＝﹣3 B．＝﹣3
C．＝﹣3 D．＝﹣3
【分析】由原计划x天生产120吨煤，可得原计划每天生产的吨数；采用新技术，提前2天完成，可得实际每天生产的吨数，根据”采用新的技术，每天比原计划多生产3吨”，可列出分式方程．
【解答】解：∵原计划x天生产120吨煤，
∴原计划每天生产吨，采用新技术，提前2天完成，
∴实际每天生产的吨数为：，
根据题意得：，
故选：C．
【点评】本题为分式方程的基础应用题，根据等量关系：每天比原计划多生产3吨，可以列出分式方程．
10．（3分）如图，下列条件中①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠2+∠5＝∠6；④∠DAB+∠2+∠3＝180°，能判断AD∥BC的是（ ）
A．①③④ B．①②④ C．①③ D．①②③④
【分析】根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行分别进行分析即可．
【解答】解：①∵∠1＝∠2，
∴AD∥BC；
②∵∠3＝∠4，
∴AB∥CD；
③∵∠2+∠5＝∠6，∠1+∠5＝∠6，
∴∠1＝∠2，
∴AD∥BC；
④∵∠DAB+∠2+∠3＝180°，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∴AD∥BC；
可以判断AD∥BC的有①③④．
故选：A．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法，找出被截直线是解题关键．
二、填空题（共7题，每题3分，共21分）
11．（3分）计算：（﹣1）2018﹣（π﹣3.14）0+（）﹣2＝ 4 ．
【分析】首先计算乘方、零指数幂、负整数指数幂，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：（﹣1）2018﹣（π﹣3.14）0+（）﹣2
＝1﹣1+4
＝4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
12．（3分）当x＝3时，分式的值等于 3 ．
【分析】将x＝3代入，即可求解．
【解答】解：将x＝3代入，可得
＝＝3，
故答案为3．
【点评】本题考查分值的值，根据题意能够准确将x的值代入并计算是解题的关键．
13．（3分）分解因式：3x3﹣12x＝ 3x（x﹣2）（x+2） ．
【分析】注意将提取公因式与乘法公式综合应用，将整式提取公因式后再次利用公式分解．
【解答】解：3x3﹣12x
＝3x（x2﹣4）﹣﹣（提取公因式）
＝3x（x﹣2）（x+2）．
【点评】本题考查的是提公因式法与公式法分解因式的综合运用．分解因式时，有公因式的，先提公因式，再考虑运用何种公式法来分解．
14．（3分）已知m+n＝2，mn＝﹣2，则（1﹣m）（1﹣n）＝ ﹣3 ．
【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，变形后，将m+n与mn的值代入计算即可求出值．
【解答】解：∵m+n＝2，mn＝﹣2，
∴（1﹣m）（1﹣n）＝1﹣（m+n）+mn＝1﹣2﹣2＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．（3分）如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，点D、C分别落在点D'、C'的位置处，若∠1＝58°，则∠EFB的度数是 61° ．
【分析】根据折叠性质得出∠DED′＝2∠DEF，根据∠1的度数求出∠DED′，即可求出∠DEF的度数，进而根据平行线的性质得到答案．
【解答】解：由翻折的性质得：∠DED′＝2∠DEF，
∵∠1＝58°，
∴∠DED′＝180°﹣∠1＝122°，
∴∠DEF＝61°，
又∵AD∥BC，
∴∠EFB＝∠DEF＝61°．
故答案为：61°．
【点评】本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，邻补角定义的应用，熟记折叠的性质是解题的关键．
16．（3分）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．当S1+S2＝40时，则图3中阴影部分的面积S3＝ 20 ．
【分析】根据拼图可用a、b的代数式表示S1，S2；可知，当S1+S2＝40时，就是a2+b2﹣ab＝40，再利用a、b的代数式表示S3，变形后再整体代入计算即可求出答案．
【解答】解：由图可得，S1＝a2﹣b2，
S2＝a（a﹣b）+2b2﹣a2＝2b2﹣ab；
S3＝a2+b2﹣b（a+b）﹣a2＝（a2+b2﹣ab），
∵S1+S2＝a2+b2﹣ab＝40，
∴S3＝×40＝20．
故答案为：20．
【点评】本题考查了列代数式，完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提，理解a2+b2＝（a+b）2﹣2ab是解决问题的关键．
17．（3分）如图1是一个消防云梯，其示意图如图2所示，此消防云梯由救援台AB，延展臂BC（B在C的左侧），伸展主臂CD，支撑臂EF构成，在操作过程中，救援台AB，车身GH及地面MN三者始终保持平行．当∠EFH＝65°，BC∥EF时，∠ABC＝ 115 度；如图3，为了参与另外一项高空救援工作，需要进行调整，使得延展臂BC与支撑臂EF所在直线互相垂直，且∠EFH＝68°，则这时∠ABC＝ 158 度．
【分析】在图2中，延长CB，HG，相交于点K，由平行线的性质可得∠BKH＝∠EFH＝65°，再利用AB∥GH，可得∠ABK的度数，从而可求∠ABC的度数；
在图3中，延长BC，FE，相交于点P，则可得BP⊥EP，延长AB交FE的延长线于点Q，利用平行线的性质可求得∠Q＝∠EFH＝68°，再利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，从而求得∠ABC的度数．
【解答】解：在图2中，延长CB，HG，相交于点K，如图所示：
∵BC∥EF，∠EFH＝65°，
∴∠BKH＝∠EFH＝65°，
∵AB∥GH，
∴∠ABK＝∠BKH＝65°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ABK＝115°；
在图3中，延长BC，FE，相交于点P，则可得BP⊥EP，延长AB交FE的延长线于点Q，如图所示：
∵AB平行FH，∠EFH＝68°，
∴∠Q＝∠EFH＝68°，
∵延展臂BC与支撑臂EF所在直线互相垂直，
∴∠BPQ＝90°，
∴∠ABC＝∠BPQ+∠Q
＝90°+68°
＝158°，
故答案为：115，158．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是作出正确的辅助线．
三、解答题（共7题，共49分）
18．（6分）解方程或方程组：
（1）解方程组：；
（2）解方程．
【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1），
由②×2得：8x﹣2y＝﹣12③，
由①+③得：11x＝﹣11，
解得：x＝﹣1，
将x＝﹣1代入②得：﹣4﹣y＝﹣6，
解得：y＝2，
∴方程组的解为；
（2）去分母得：2x﹣3（x﹣3）＝0，
解得：x＝9，
经检验，x＝9 是原方程的解．
则原方程的解为：x＝9．
【点评】此题考查了解分式方程，以及解二元一次方程组，解分式方程利用了转化的思想，注意要检验．
19．（6分）如图，AB∥CD，∠B＝78°，∠D＝32°，求∠F的度数．
【分析】根据平行线的性质可得∠B＝∠1，再根据三角形外角的性质可得∠F＝∠1﹣∠D，进而可得答案．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠1＝78°，
∵∠D＝32°，
∴∠F＝∠1﹣∠D＝78°﹣32°＝46°．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，以及三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
20．（6分）先化简，再求值：（x+1）2﹣（x+2）（x﹣2），其中x＝2．
【分析】根据整式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案．
【解答】解：原式＝x2+2x+1﹣（x2﹣4）
＝x2+2x+1﹣x2+4
＝2x+5，
当x＝2时，
原式＝4+5
＝9．
【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
21．（6分）先化简（+）÷（），然后再从﹣3、﹣2、﹣1、0、1选择一个合适的数作为a的值，代入后再求值．
【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后从﹣3、﹣2、﹣1、0、1选择一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（+）÷（）
＝[]
＝（）
＝
＝，
∵a（a﹣1）≠0，a+2≠0，2a﹣3≠0，a+1≠0，
∴a≠±1，0，﹣2，，
∴a＝﹣3，
当a＝﹣3时，原式＝＝．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
22．（6分）仔细阅读下面倒题．解答问题：
例题：已知二次三项式，x2﹣4x+m分解因式后有一个因式是（x+3）．求另一个因式以及m的值．
解：方法：设另一个因式为（x+n），
得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n），
则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n．
∴，解得．
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．
仿照以上方法解答：已知二次三项式8x2﹣14x﹣a分解因式后有一个因式是（2x﹣3），求另一个因式以及a的值．
【分析】根据题意设另一个因式为（4x+b），关键多项式乘以多项式展开，合并同类项后得出8x2﹣14x﹣a＝（2x﹣3）（4x+b）＝8x2+（2b﹣12）x﹣3b，再得出方程组，最后求出方程组的解即可．
【解答】解：∵二次项系数为8，一个因式2x﹣3的一次项系数是2，则另一个因式的一次项系数为8÷2＝4，则可设另一个因式为（4x+b），
得8x2﹣14x﹣a＝（2x﹣3）（4x+b）＝8x2+（2b﹣12）x﹣3b，
∴，
解得：，
即8x2﹣14x+3＝（2x﹣3）（4x﹣1），
则另一个因式为4x﹣1，a＝﹣3．
【点评】本题考查了因式分解，多项式乘多项式，解二元一次方程组等知识点，能得出关于a、b的方程组是解此题的关键．
23．（8分）如图，已知AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥AC．
（1）DE与BC平行吗？请说明理由．
（2）若∠1与∠2互补，求∠BFH的度数．
【分析】（1）根据平行线的判定“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”可证得DE//BC；
（2）根据平行线的性质得到∠1＝∠DCB，根据平行线的判定定理得到FH∥DC，求得∠HFB＝∠CDB，根据垂直的定义即可得到结论．
【解答】解：（1）DE//BC．理由如下：
∵AC⊥BC，DE⊥AC，
∴DE∥BC；
（2）∵DE∥BC，
∴∠1＝∠DCB，
∵∠1与∠2互补，
∴∠1+∠2＝180°，
∴∠DCB+∠2＝180°，
∴FH∥DC，
∴∠HFB＝∠CDB，
∵CD⊥AB，
∴∠HFB＝∠CDB＝90°．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
24．（11分）目前，新型冠状病毒在我国虽可控可防，但不可松懈某校欲购置规格分别为300ml和500ml的甲、乙两种免洗手消毒液若干瓶，已知购买1瓶甲和1瓶乙免洗手消毒液需要32元，购买5瓶甲和3瓶乙免洗手消毒液需要120元．
（1）求甲、乙两种免洗手消毒液的单价．
（2）该校在校师生共1000人，平均每人每天都需使用10ml的免洗手消毒液，若校方采购甲、乙两免洗手消毒液共花费4000元，则这批消毒液可使用多少天？
（3）为节约成本，该校购买散装免洗手消毒液进行分装，现需将9.6L的免洗手消毒液全部装入最大容量分别为300ml和500ml的两种空瓶中（每瓶均装满），若分装时平均每瓶需损耗20ml，请问如何分装能使总损耗最小，求出此时需要的两种空瓶的数量．
【分析】（1）设甲种免洗手消毒液的单价为x元，乙种免洗手消毒液的单价为y元，根据“购买1瓶甲和1瓶乙免洗手消毒液需要32元，购买5瓶甲和3瓶乙免洗手消毒液需要120元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进甲种免洗手消毒液a瓶，乙种免洗手消毒液b瓶，根据总价＝单价×数量，即可得出关于a，b的二元一次方程，化简后可得出3a+5b＝1000，再利用使用时间＝购买消毒液的总量÷（学生人数×平均每人每天的使用量），即可求出结论；
（3）设分装300ml的免洗手消毒液m瓶，500ml的免洗手消毒液n瓶，根据散装消毒液的总量＝每瓶的容量×分装的瓶数+平均每瓶的损耗×分装的瓶数，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出m，n的值，取（m+n）的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设甲种免洗手消毒液的单价为x元，乙种免洗手消毒液的单价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：甲种免洗手消毒液的单价为12元，乙种免洗手消毒液的单价为20元．
（2）设购进甲种免洗手消毒液a瓶，乙种免洗手消毒液b瓶，
依题意得：12a+20b＝4000，
化简得：3a+5b＝1000，
∴（天）．
答：这批消毒液可使用10天．
（3）设分装300ml的免洗手消毒液m瓶，500ml的免洗手消毒液n瓶，
依题意得：300m+500n+20（m+n）＝9600，
∴化简得：m＝30﹣n．
∵m，n均为正整数，
∴或．
∵要使分装时总损耗20（m+n）最小，
∴，
即分装时需300ml的空瓶4瓶，500ml的空瓶16瓶，才能使总损耗最小．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
2021-2022学年浙江省温州市平阳县新纪元学校等联考七年级（上）期中数学试卷（直升）（附答案解析）
一、单选题（共10题，每题3分，共30分）
1．（3分）在研制新冠肺炎疫苗中，某细菌的直径大小为0.000000072毫米，用科学记数法表示这一数字为（ ）
A．7.2×10﹣7 B．7.2×10﹣8 C．7.2×10﹣9 D．0.72×10﹣9
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．3a+2b＝5ab B．（﹣2a）2＝﹣4a2
C．a3a4＝a12 D．（a+1）2＝a2+2a+1
3．（3分）已知10x＝m，10y＝n，则10x+y等于（ ）
A．2m+3n B．m2+n3 C．mn D．m2n3
4．（3分）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）
A．x（a﹣b）＝ax﹣bx
B．x2﹣1＝（x﹣1）（x+1）
C．x2﹣1+y2＝（x﹣1）（x+1）+y2
D．ax+bx+c＝x（a+b）+c
5．（3分）如果分式的值为0，则x的值为（ ）
A．1 B．±1 C． D．﹣1
6．（3分）如图，△ABC沿直线m向右平移2cm，得到△DEF，下列说法错误的是（ ）
A．AC∥DF B．AB＝DE C．CF＝2cm D．DE＝2cm
7．（3分）计算（﹣2x+1）（﹣3x2）的结果为（ ）
A．6x3+1 B．6x3﹣3 C．6x3﹣3x2 D．6x3+3x2
8．（3分）已知方程组的解满足x+y＝2，则k的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4
9．（3分）某煤厂原计划x天生产120吨煤，实际每天比原计划多生产3吨，因此提前2天完成生产任务，则根据题意，得方程（ ）
A．＝﹣3 B．＝﹣3
C．＝﹣3 D．＝﹣3
10．（3分）如图，下列条件中①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠2+∠5＝∠6；④∠DAB+∠2+∠3＝180°，能判断AD∥BC的是（ ）
A．①③④ B．①②④ C．①③ D．①②③④
二、填空题（共7题，每题3分，共21分）
11．（3分）计算：（﹣1）2018﹣（π﹣3.14）0+（）﹣2＝ ．
12．（3分）当x＝3时，分式的值等于 ．
13．（3分）分解因式：3x3﹣12x＝ ．
14．（3分）已知m+n＝2，mn＝﹣2，则（1﹣m）（1﹣n）＝ ．
15．（3分）如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，点D、C分别落在点D'、C'的位置处，若∠1＝58°，则∠EFB的度数是 ．
16．（3分）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．当S1+S2＝40时，则图3中阴影部分的面积S3＝ ．
17．（3分）如图1是一个消防云梯，其示意图如图2所示，此消防云梯由救援台AB，延展臂BC（B在C的左侧），伸展主臂CD，支撑臂EF构成，在操作过程中，救援台AB，车身GH及地面MN三者始终保持平行．当∠EFH＝65°，BC∥EF时，∠ABC＝ 度；如图3，为了参与另外一项高空救援工作，需要进行调整，使得延展臂BC与支撑臂EF所在直线互相垂直，且∠EFH＝68°，则这时∠ABC＝ 度．
三、解答题（共7题，共49分）
18．（6分）解方程或方程组：
（1）解方程组：；
（2）解方程．
19．（6分）如图，AB∥CD，∠B＝78°，∠D＝32°，求∠F的度数．
20．（6分）先化简，再求值：（x+1）2﹣（x+2）（x﹣2），其中x＝2．
21．（6分）先化简（+）÷（），然后再从﹣3、﹣2、﹣1、0、1选择一个合适的数作为a的值，代入后再求值．
22．（6分）仔细阅读下面倒题．解答问题：
例题：已知二次三项式，x2﹣4x+m分解因式后有一个因式是（x+3）．求另一个因式以及m的值．
解：方法：设另一个因式为（x+n），
得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n），
则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n．
∴，解得．
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．
仿照以上方法解答：已知二次三项式8x2﹣14x﹣a分解因式后有一个因式是（2x﹣3），求另一个因式以及a的值．
23．（8分）如图，已知AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥AC．
（1）DE与BC平行吗？请说明理由．
（2）若∠1与∠2互补，求∠BFH的度数．
24．（11分）目前，新型冠状病毒在我国虽可控可防，但不可松懈某校欲购置规格分别为300ml和500ml的甲、乙两种免洗手消毒液若干瓶，已知购买1瓶甲和1瓶乙免洗手消毒液需要32元，购买5瓶甲和3瓶乙免洗手消毒液需要120元．
（1）求甲、乙两种免洗手消毒液的单价．
（2）该校在校师生共1000人，平均每人每天都需使用10ml的免洗手消毒液，若校方采购甲、乙两免洗手消毒液共花费4000元，则这批消毒液可使用多少天？
（3）为节约成本，该校购买散装免洗手消毒液进行分装，现需将9.6L的免洗手消毒液全部装入最大容量分别为300ml和500ml的两种空瓶中（每瓶均装满），若分装时平均每瓶需损耗20ml，请问如何分装能使总损耗最小，求出此时需要的两种空瓶的数量．
2021-2022学年浙江省温州市平阳县新纪元学校等联考七年级（上）期中数学试卷（直升）
参考答案与试题解析
一、单选题（共10题，每题3分，共30分）
1．（3分）在研制新冠肺炎疫苗中，某细菌的直径大小为0.000000072毫米，用科学记数法表示这一数字为（ ）
A．7.2×10﹣7 B．7.2×10﹣8 C．7.2×10﹣9 D．0.72×10﹣9
【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000000072＝7.2×10﹣8．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要确定a的值以及n的值．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．3a+2b＝5ab B．（﹣2a）2＝﹣4a2
C．a3a4＝a12 D．（a+1）2＝a2+2a+1
【分析】根据合并同类项，积的乘方，同底数幂乘法，完全平方公式的运算法则逐一计算可得．
【解答】解：A、3a与2b不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、（﹣2a）2＝4a2，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、a3a4＝a7，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、（a+1）2＝a2+2a+1，原计算正确，故此选项符合题意，
故选：D．
【点评】本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握完全平方公式，合并同类项，积的乘方，同底数幂乘法运算法则．
3．（3分）已知10x＝m，10y＝n，则10x+y等于（ ）
A．2m+3n B．m2+n3 C．mn D．m2n3
【分析】利用同底数幂的乘法的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值即可．
【解答】解：∵10x＝m，10y＝n，
∴10x+y
＝10x•10y
＝mn，
故选：C．
【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，解答的关键是灵活运用同底数幂的乘法的法则．
4．（3分）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）
A．x（a﹣b）＝ax﹣bx
B．x2﹣1＝（x﹣1）（x+1）
C．x2﹣1+y2＝（x﹣1）（x+1）+y2
D．ax+bx+c＝x（a+b）+c
【分析】直接利用因式分解的定义分析得出答案．
【解答】解：A、x（a﹣b）＝ax﹣bx，是多项式乘以单项式，故此选项错误；
B、x2﹣1＝（x﹣1）（x+1），从左到右的变形是因式分解，故此选项正确；
C、x2﹣1+y2＝（x﹣1）（x+1）+y2，不符合因式分解的定义，故此选项错误；
D、ax+bx+c＝x（a+b）+c，不符合因式分解的定义，故此选项错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查了因式分解的意义，正确把握因式分解的意义是解题关键．
5．（3分）如果分式的值为0，则x的值为（ ）
A．1 B．±1 C． D．﹣1
【分析】要使分式的值为0，必须分式分子的值为0并且分母的值不为0．
【解答】解：由分子x2﹣1＝0解得：x＝±1．
而当x＝﹣1时分母3x+3＝﹣3+3＝0，分式没有意义．
当x＝1时，分母3x+3＝6≠0．
所以x＝1．故选A．
【点评】要注意分母的值一定不能为0，分母的值是0时分式没有意义．
6．（3分）如图，△ABC沿直线m向右平移2cm，得到△DEF，下列说法错误的是（ ）
A．AC∥DF B．AB＝DE C．CF＝2cm D．DE＝2cm
【分析】直接利用平移的性质解决判断．
【解答】解：∵△ABC沿直线m向右平移2cm得到△DEF，
∴AC∥DF，AB＝DE，CF＝AD＝BE＝2cm．
故选：D．
【点评】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；各组对应点的线段平行（或共线）且相等．
7．（3分）计算（﹣2x+1）（﹣3x2）的结果为（ ）
A．6x3+1 B．6x3﹣3 C．6x3﹣3x2 D．6x3+3x2
【分析】依据单项式乘多项式法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝6x3﹣3x2．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是单项式乘多项式，熟练掌握单项式乘多项式法则是解题的关键．
8．（3分）已知方程组的解满足x+y＝2，则k的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4
【分析】方程组两方程相加表示出x+y，代入x+y＝2中求出k的值即可．
【解答】解：，
①+②得：3（x+y）＝k+4，即x+y＝，
代入x+y＝2中，得：k+4＝6，
解得：k＝2．
故选：C．
【点评】此题考查了二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9．（3分）某煤厂原计划x天生产120吨煤，实际每天比原计划多生产3吨，因此提前2天完成生产任务，则根据题意，得方程（ ）
A．＝﹣3 B．＝﹣3
C．＝﹣3 D．＝﹣3
【分析】由原计划x天生产120吨煤，可得原计划每天生产的吨数；采用新技术，提前2天完成，可得实际每天生产的吨数，根据”采用新的技术，每天比原计划多生产3吨”，可列出分式方程．
【解答】解：∵原计划x天生产120吨煤，
∴原计划每天生产吨，采用新技术，提前2天完成，
∴实际每天生产的吨数为：，
根据题意得：，
故选：C．
【点评】本题为分式方程的基础应用题，根据等量关系：每天比原计划多生产3吨，可以列出分式方程．
10．（3分）如图，下列条件中①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠2+∠5＝∠6；④∠DAB+∠2+∠3＝180°，能判断AD∥BC的是（ ）
A．①③④ B．①②④ C．①③ D．①②③④
【分析】根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行分别进行分析即可．
【解答】解：①∵∠1＝∠2，
∴AD∥BC；
②∵∠3＝∠4，
∴AB∥CD；
③∵∠2+∠5＝∠6，∠1+∠5＝∠6，
∴∠1＝∠2，
∴AD∥BC；
④∵∠DAB+∠2+∠3＝180°，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∴AD∥BC；
可以判断AD∥BC的有①③④．
故选：A．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法，找出被截直线是解题关键．
二、填空题（共7题，每题3分，共21分）
11．（3分）计算：（﹣1）2018﹣（π﹣3.14）0+（）﹣2＝ 4 ．
【分析】首先计算乘方、零指数幂、负整数指数幂，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：（﹣1）2018﹣（π﹣3.14）0+（）﹣2
＝1﹣1+4
＝4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
12．（3分）当x＝3时，分式的值等于 3 ．
【分析】将x＝3代入，即可求解．
【解答】解：将x＝3代入，可得
＝＝3，
故答案为3．
【点评】本题考查分值的值，根据题意能够准确将x的值代入并计算是解题的关键．
13．（3分）分解因式：3x3﹣12x＝ 3x（x﹣2）（x+2） ．
【分析】注意将提取公因式与乘法公式综合应用，将整式提取公因式后再次利用公式分解．
【解答】解：3x3﹣12x
＝3x（x2﹣4）﹣﹣（提取公因式）
＝3x（x﹣2）（x+2）．
【点评】本题考查的是提公因式法与公式法分解因式的综合运用．分解因式时，有公因式的，先提公因式，再考虑运用何种公式法来分解．
14．（3分）已知m+n＝2，mn＝﹣2，则（1﹣m）（1﹣n）＝ ﹣3 ．
【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，变形后，将m+n与mn的值代入计算即可求出值．
【解答】解：∵m+n＝2，mn＝﹣2，
∴（1﹣m）（1﹣n）＝1﹣（m+n）+mn＝1﹣2﹣2＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．（3分）如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，点D、C分别落在点D'、C'的位置处，若∠1＝58°，则∠EFB的度数是 61° ．
【分析】根据折叠性质得出∠DED′＝2∠DEF，根据∠1的度数求出∠DED′，即可求出∠DEF的度数，进而根据平行线的性质得到答案．
【解答】解：由翻折的性质得：∠DED′＝2∠DEF，
∵∠1＝58°，
∴∠DED′＝180°﹣∠1＝122°，
∴∠DEF＝61°，
又∵AD∥BC，
∴∠EFB＝∠DEF＝61°．
故答案为：61°．
【点评】本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，邻补角定义的应用，熟记折叠的性质是解题的关键．
16．（3分）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．当S1+S2＝40时，则图3中阴影部分的面积S3＝ 20 ．
【分析】根据拼图可用a、b的代数式表示S1，S2；可知，当S1+S2＝40时，就是a2+b2﹣ab＝40，再利用a、b的代数式表示S3，变形后再整体代入计算即可求出答案．
【解答】解：由图可得，S1＝a2﹣b2，
S2＝a（a﹣b）+2b2﹣a2＝2b2﹣ab；
S3＝a2+b2﹣b（a+b）﹣a2＝（a2+b2﹣ab），
∵S1+S2＝a2+b2﹣ab＝40，
∴S3＝×40＝20．
故答案为：20．
【点评】本题考查了列代数式，完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提，理解a2+b2＝（a+b）2﹣2ab是解决问题的关键．
17．（3分）如图1是一个消防云梯，其示意图如图2所示，此消防云梯由救援台AB，延展臂BC（B在C的左侧），伸展主臂CD，支撑臂EF构成，在操作过程中，救援台AB，车身GH及地面MN三者始终保持平行．当∠EFH＝65°，BC∥EF时，∠ABC＝ 115 度；如图3，为了参与另外一项高空救援工作，需要进行调整，使得延展臂BC与支撑臂EF所在直线互相垂直，且∠EFH＝68°，则这时∠ABC＝ 158 度．
【分析】在图2中，延长CB，HG，相交于点K，由平行线的性质可得∠BKH＝∠EFH＝65°，再利用AB∥GH，可得∠ABK的度数，从而可求∠ABC的度数；
在图3中，延长BC，FE，相交于点P，则可得BP⊥EP，延长AB交FE的延长线于点Q，利用平行线的性质可求得∠Q＝∠EFH＝68°，再利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，从而求得∠ABC的度数．
【解答】解：在图2中，延长CB，HG，相交于点K，如图所示：
∵BC∥EF，∠EFH＝65°，
∴∠BKH＝∠EFH＝65°，
∵AB∥GH，
∴∠ABK＝∠BKH＝65°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ABK＝115°；
在图3中，延长BC，FE，相交于点P，则可得BP⊥EP，延长AB交FE的延长线于点Q，如图所示：
∵AB平行FH，∠EFH＝68°，
∴∠Q＝∠EFH＝68°，
∵延展臂BC与支撑臂EF所在直线互相垂直，
∴∠BPQ＝90°，
∴∠ABC＝∠BPQ+∠Q
＝90°+68°
＝158°，
故答案为：115，158．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是作出正确的辅助线．
三、解答题（共7题，共49分）
18．（6分）解方程或方程组：
（1）解方程组：；
（2）解方程．
【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1），
由②×2得：8x﹣2y＝﹣12③，
由①+③得：11x＝﹣11，
解得：x＝﹣1，
将x＝﹣1代入②得：﹣4﹣y＝﹣6，
解得：y＝2，
∴方程组的解为；
（2）去分母得：2x﹣3（x﹣3）＝0，
解得：x＝9，
经检验，x＝9 是原方程的解．
则原方程的解为：x＝9．
【点评】此题考查了解分式方程，以及解二元一次方程组，解分式方程利用了转化的思想，注意要检验．
19．（6分）如图，AB∥CD，∠B＝78°，∠D＝32°，求∠F的度数．
【分析】根据平行线的性质可得∠B＝∠1，再根据三角形外角的性质可得∠F＝∠1﹣∠D，进而可得答案．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠1＝78°，
∵∠D＝32°，
∴∠F＝∠1﹣∠D＝78°﹣32°＝46°．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，以及三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
20．（6分）先化简，再求值：（x+1）2﹣（x+2）（x﹣2），其中x＝2．
【分析】根据整式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案．
【解答】解：原式＝x2+2x+1﹣（x2﹣4）
＝x2+2x+1﹣x2+4
＝2x+5，
当x＝2时，
原式＝4+5
＝9．
【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
21．（6分）先化简（+）÷（），然后再从﹣3、﹣2、﹣1、0、1选择一个合适的数作为a的值，代入后再求值．
【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后从﹣3、﹣2、﹣1、0、1选择一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（+）÷（）
＝[]
＝（）
＝
＝，
∵a（a﹣1）≠0，a+2≠0，2a﹣3≠0，a+1≠0，
∴a≠±1，0，﹣2，，
∴a＝﹣3，
当a＝﹣3时，原式＝＝．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
22．（6分）仔细阅读下面倒题．解答问题：
例题：已知二次三项式，x2﹣4x+m分解因式后有一个因式是（x+3）．求另一个因式以及m的值．
解：方法：设另一个因式为（x+n），
得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n），
则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n．
∴，解得．
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．
仿照以上方法解答：已知二次三项式8x2﹣14x﹣a分解因式后有一个因式是（2x﹣3），求另一个因式以及a的值．
【分析】根据题意设另一个因式为（4x+b），关键多项式乘以多项式展开，合并同类项后得出8x2﹣14x﹣a＝（2x﹣3）（4x+b）＝8x2+（2b﹣12）x﹣3b，再得出方程组，最后求出方程组的解即可．
【解答】解：∵二次项系数为8，一个因式2x﹣3的一次项系数是2，则另一个因式的一次项系数为8÷2＝4，则可设另一个因式为（4x+b），
得8x2﹣14x﹣a＝（2x﹣3）（4x+b）＝8x2+（2b﹣12）x﹣3b，
∴，
解得：，
即8x2﹣14x+3＝（2x﹣3）（4x﹣1），
则另一个因式为4x﹣1，a＝﹣3．
【点评】本题考查了因式分解，多项式乘多项式，解二元一次方程组等知识点，能得出关于a、b的方程组是解此题的关键．
23．（8分）如图，已知AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥AC．
（1）DE与BC平行吗？请说明理由．
（2）若∠1与∠2互补，求∠BFH的度数．
【分析】（1）根据平行线的判定“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”可证得DE//BC；
（2）根据平行线的性质得到∠1＝∠DCB，根据平行线的判定定理得到FH∥DC，求得∠HFB＝∠CDB，根据垂直的定义即可得到结论．
【解答】解：（1）DE//BC．理由如下：
∵AC⊥BC，DE⊥AC，
∴DE∥BC；
（2）∵DE∥BC，
∴∠1＝∠DCB，
∵∠1与∠2互补，
∴∠1+∠2＝180°，
∴∠DCB+∠2＝180°，
∴FH∥DC，
∴∠HFB＝∠CDB，
∵CD⊥AB，
∴∠HFB＝∠CDB＝90°．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
24．（11分）目前，新型冠状病毒在我国虽可控可防，但不可松懈某校欲购置规格分别为300ml和500ml的甲、乙两种免洗手消毒液若干瓶，已知购买1瓶甲和1瓶乙免洗手消毒液需要32元，购买5瓶甲和3瓶乙免洗手消毒液需要120元．
（1）求甲、乙两种免洗手消毒液的单价．
（2）该校在校师生共1000人，平均每人每天都需使用10ml的免洗手消毒液，若校方采购甲、乙两免洗手消毒液共花费4000元，则这批消毒液可使用多少天？
（3）为节约成本，该校购买散装免洗手消毒液进行分装，现需将9.6L的免洗手消毒液全部装入最大容量分别为300ml和500ml的两种空瓶中（每瓶均装满），若分装时平均每瓶需损耗20ml，请问如何分装能使总损耗最小，求出此时需要的两种空瓶的数量．
【分析】（1）设甲种免洗手消毒液的单价为x元，乙种免洗手消毒液的单价为y元，根据“购买1瓶甲和1瓶乙免洗手消毒液需要32元，购买5瓶甲和3瓶乙免洗手消毒液需要120元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进甲种免洗手消毒液a瓶，乙种免洗手消毒液b瓶，根据总价＝单价×数量，即可得出关于a，b的二元一次方程，化简后可得出3a+5b＝1000，再利用使用时间＝购买消毒液的总量÷（学生人数×平均每人每天的使用量），即可求出结论；
（3）设分装300ml的免洗手消毒液m瓶，500ml的免洗手消毒液n瓶，根据散装消毒液的总量＝每瓶的容量×分装的瓶数+平均每瓶的损耗×分装的瓶数，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出m，n的值，取（m+n）的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设甲种免洗手消毒液的单价为x元，乙种免洗手消毒液的单价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：甲种免洗手消毒液的单价为12元，乙种免洗手消毒液的单价为20元．
（2）设购进甲种免洗手消毒液a瓶，乙种免洗手消毒液b瓶，
依题意得：12a+20b＝4000，
化简得：3a+5b＝1000，
∴（天）．
答：这批消毒液可使用10天．
（3）设分装300ml的免洗手消毒液m瓶，500ml的免洗手消毒液n瓶，
依题意得：300m+500n+20（m+n）＝9600，
∴化简得：m＝30﹣n．
∵m，n均为正整数，
∴或．
∵要使分装时总损耗20（m+n）最小，
∴，
即分装时需300ml的空瓶4瓶，500ml的空瓶16瓶，才能使总损耗最小．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
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