11有理数的乘方及混合运算（提高）知识讲解学案

有理数的乘方及混合运算（提高）

【学习目标】

1．理解有理数乘方的定义；

2. 掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算；

3. 进一步掌握有理数的混合运算.

【要点梳理】

要点一、有理数的乘方

定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)．

即有：.在中，叫做底数， n叫做指数.

要点诠释：                                                            

（1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果．

（2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．

（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写． 

要点二、乘方运算的符号法则

（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即 ．

要点诠释：

(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．

(2)任何数的偶次幂都是非负数．

要点三、有理数的混合运算

有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．

要点诠释：

 (1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算；

 （2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行．

(3)在运算过程中注意运算律的运用．

【典型例题】

类型一、有理数的乘方

1.（2016•虞城县一模）下列各数：①﹣12；②﹣（﹣1）2；③﹣13；④（﹣1）2，其中结果等于﹣1的是（　　）

A．①②③   B．①②④     C．②③④   D．①②③④

【思路点拨】原式各项计算得到结果，即可作出判断．

【答案】A．

【解析】解：①﹣12=﹣1，符合题意；②﹣（﹣1）2=﹣1，符合题意；③﹣13=﹣1，符合题意；④（﹣1）2=1，不符合题意．

故选A．

【总结升华】注意与的意义的区别．（n为正整数），（n为正整数）．

举一反三：

【变式1】比较(-5)3与-53的异同．

【答案】相同点：它们的结果相同，指数相同；

不同点：(-5)3表示-5的3次方，即(-5)×(-5)×(-5)＝-125，而-53表示5的3次方的相反数，即-53＝-(5×5×5)．因此，它们的底数不同，表示的意义不同．

【变式2】（2015•杭州模拟）若n为正整数，（﹣1）2n=（　　）

　 A．1 B． ﹣1 C． 2n D． 不确定

【答案】A．

因为n为正整数，2n一定是偶数，所以（﹣1）2n=1.

类型二、乘方运算的符号法则

2．不做运算，判断下列各运算结果的符号．

(-2)7，(-3)24，(-1.0009)2009，，-(-2)2010

【答案与解析】根据乘方的符号法则判断可得：

 (-2)7运算的结果是负；(-3)24运算的结果为正；(-1.0009)2009运算的结果是负；运算的结果是正；-(-2)2010运算的结果是负．

【总结升华】 “一看底数，二看指数”，当底数是正数时，结果为正；当底数是0，指数不为０时，结果是0；当底数是负数时，再看指数，若指数为偶数，结果为正；若指数是奇数，结果为负．

举一反三：

【变式】当n为奇数时，           ．

【答案】0

类型三、有理数的混合运算

3.计算：

（1）-(-3)2+(-2)3÷[(-3)-(-5)]

（2）[73-6×(-7)2-(-1)10]÷(-214-24+214)

（3）；

（4）

【答案与解析】（1）-(-3)2+(-2)3÷[(-3)-(-5)]

＝-9+(-8)÷(-3+5)

＝-9+(-8)÷2

＝-9+(-4)＝-13

（2） [73-6×(-7)2-(-1)10]÷(-214-24+214)

＝(7×72-6×72-1)÷(-214+214-24)

        ＝[72×(7-6)-1]÷(-24)

        ＝(49-1)÷(-24)

        ＝-2

（3）有绝对值的先去掉绝对值，然后再按混合运算.

原式

（4）将带分数化为假分数，小数化为分数后再进行运算.

【总结升华】有理数的混合运算，确定运算顺序是关键，细心计算是运算正确的前提．

举一反三：

【变式】计算：（1）

（2）

（3）

（4）

【答案】（1）原式  

或原式=（1-1+）（2-9）

（2）原式

(3) 原式=-32-3+66-9=22

(4) 原式

4.计算：

【答案与解析】逆用分配律可得：

【总结升华】灵活运用运算律，简化运算.另外有

举一反三：

【变式1】计算：

【答案】原式

=

【变式2】计算：

【答案】

类型四、探索规律

5.（2015•滕州市校级二模）求1+2+22+23+…+22013的值，可令S=1+2+22+23+…+22013，则2S=2+22+23+…+22014，因此2S﹣S=22014﹣1．仿照以上推理，计算出1+5+52+53+…+52014=　         　．

【答案】

解：设S=1+5+52+53+…+52014，

则5S=5+52+53+…+52015，

5S﹣S=（5+52+53+…+52015）﹣（1+5+52+53+…+52014）=52015﹣1，

所以，S=．

【总结升华】根据题目信息，设S=1+5+52+53+…+52014，表示出5S=5+52+53+…+52015，然后相减求出S即可．

举一反三：

【变式】观察下面三行数：

①-3，9，-27，81，-243，729，…

②0，12，-24，84，-240，732，…

③-1，3，-9，27，-81，243，…

(1)第①行数按什么规律排列?

(2)第②③行数与第①行数分别有什么关系?

(3)取每行数的第10个数，计算这三个数的和．

【答案】 (1)第①行数的规律是：-3，(-3)2，(-3)3，(-3)4，…；

(2)第②行数是第①行数相应的数加3，即：-3+3，(-3)2+3，(-3)3+3，(-3)4+3，…；第③行数是第①行数相应的数的，即，，，，…；

(3)每行数中的第10个数的和是：59049+59052+19683＝137784．