安徽宣城市宣州区第六中学2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份安徽宣城市宣州区第六中学2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试卷（含答案），共24页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年安徽省宣城六中九年级（上）第一次月考数学试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）与2022和为0的数是　　
A． B．2022 C．0 D．
2．（4分）根据地区生产总值统一核算结果，2021年全省生产总值约43000亿元，比上年增长，两年平均增长，43000亿元用科学记数法表示为　　元．
A． B． C． D．
3．（4分）如图，，，，则的度数为　　

A． B． C． D．
4．（4分）直角三角形两直角边是方程的两根，则它的斜边为　　
A．8 B．7 C．6 D．
5．（4分）如图，正方形边长为12，里面有2个小正方形，各边的顶点都在大正方形的边上的对角线或边上，它们的面积分别是，，则　　

A．68 B．72 C．64 D．70
6．（4分）方程的根是　　
A．， B．， C．， D．，
7．（4分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是　　
A． B． C．且 D．且
8．（4分）如图，直角坐标系中，点的坐标为，点是轴上任意动点，绕点旋转得，则动点总在下列哪条直线上　　

A． B． C． D．
9．（4分）如图，中，，，且则，的值为　　

A．24 B． C． D．
10．（4分）如图，矩形中，，，是的中点，线段在上左右滑动，若，则的最小值是　　

A．5 B． C．6 D．
二.填空题（本大共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）关于的方程的解是　　．
12．（5分）因式分解：　　．
13．（5分）如图，在平行四边形中，点在上，且平分，若，，则平行四边形的面积为 　　．

14．（5分）如图，在中，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点．若点到的距离为1，则为的 　　（从中线，角平分线，高线中选一个），则的周长为 　　．

三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：．
16．（8分）《孙子算经》里有题，请你解答：今有人盗库绢，不知所失几何．但闻草中分绢，人得六匹，盈六匹；人得七匹，不足七匹．问人、绢各几何？
题意为：有盗贼窃去库存的绸缎，不知究竟窃去多少．有人在草丛中听到这帮盗贼分赃的清况，如果每个盗贼分6匹，就多出6匹；如果每个盗贼分得7匹，就缺少7匹．盗贼有几人？失窃的绸缎有几匹？
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，正方形顶点叫格点，连接两个网格格点的线段叫网格线段，点固定在格点上．
（1）若是图中能用网格线段表示的最大无理数，则　　．
（2）请你画出顶点在格点上边长为的所有菱形（包含正方形），你画出的菱形面积为　　．

18．（8分）观察以下等式：观察下列等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，

按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式：　　；
（2）写出你猜想的第个等式：　　用含的式子表示，并证明这个结论？
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）（1）如图，以线段，为邻边，用尺规作图画出平行四边形（保留作图痕迹），并说明它是平行四边形的判定方法？
（2）连接，，若，，求的值（要有必要的过程）．

20．（10分）如图，在中，的角平分线交于点，，．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若，且，求四边形的面积．

六、（本题满分12分）
21．（12分）某校为了解学生的身体素质情况，在全校进行了一次体质健康测试，1分钟仰卧起坐是其中的一个测试项目．测试结束后，学校随机从男生、女生中各抽取20人的仰卧起坐成绩（单位：次）进行统计、分析，过程如下：
收集数据
男生：37 29 47 50 38 44 33 15 25 37 39 40 19 40 50 30 30 40 46 26
女生：30 12 30 45 14 50 40 33 36 28 48 26 30 37 18 30 47 24 50 38
【整理数据】
成绩次




男生
2
5
8

女生
3

5
5
【分析数据】
统计量
平均数
中位数
众数
方差
男生
35.75

40
90.99（精确到
女生
33.3
31.5

122.91
【应用数据】
（1）填空：　　，　　，　　，　　；
（2）若男生共有240人参加测试，请估计男生测试成绩大于40次的人数；
（3）有人认为，男生成绩比女生成绩更好些（不考虑男女差异），你认为理由是什么．
七.（本题满分12分）
22．（12分）超市销售某种商品，每件盈利50元，平均每天可达到30件．为尽快减少库存，现准备降价以促进销售，经调查发现：一件商品每降价1元平均每天可多售出2件．
（1）当一件商品降价5元时，每天销售量可达到 　　件，每天共盈利 　　元；
（2）在上述条件不变，销售正常情况下，每件商品降价多少元时超市每天盈利可达到2100元？
（3）在上述条件不变，销售正常情况下，超市每天盈利最高可以达到元，请你利用学过的△判别式，或利用暑假预习函数配方法，求出的值？
八、（本题满分14分）
23．（14分）四边形为矩形，是延长线上的一点．

（1）若，如图1，求证：四边形为平行四边形；
（2）若，点是上的点，，于点，如图2，求证：是等腰直角三角形．
（3）在上面（2）的情形下，如图2，且，，求出此时的长度？

2022-2023学年安徽省宣城六中九年级（上）第一次月考数学试卷（解析版）
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）与2022和为0的数是　　
A． B．2022 C．0 D．
【分析】互为相反数的两个数相加为0，求解．
【解答】解：，
故选：．
2．（4分）根据地区生产总值统一核算结果，2021年全省生产总值约43000亿元，比上年增长，两年平均增长，43000亿元用科学记数法表示为　　元．
A． B． C． D．
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1，据此即可求解．
【解答】解：43000亿．
故选：．
3．（4分）如图，，，，则的度数为　　

A． B． C． D．
【分析】根据等腰三角形的性质得出，进而利用平行线的性质解答即可．
【解答】解：，，
，
，
，
故选：．
4．（4分）直角三角形两直角边是方程的两根，则它的斜边为　　
A．8 B．7 C．6 D．
【分析】根据根与系数的关系，求出两根之积与两根之和的值，再根据勾股定理列出直角三角形三边之间的关系式，然后将此式化简为两根之积与两根之和的形式，最后代入两根之积与两根之和的值进行计算．
【解答】解：设直角三角形的斜边为，两直角边分别为与．
直角三角形两直角边是方程的两根，
，．
根据勾股定理可得：，
．
故选：．
5．（4分）如图，正方形边长为12，里面有2个小正方形，各边的顶点都在大正方形的边上的对角线或边上，它们的面积分别是，，则　　

A．68 B．72 C．64 D．70
【分析】根据正方形的对角线平分一组对角线可知图中三角形都是等腰直角三角形，根据正方形的对角线等于边长的倍求出，然后求出两个小正方形的边长，再根据正方形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：如图，由正方形的性质，，

所以，四个角所在的三角形都是等腰直角三角形，
正方形的边长为12，
，
两个小正方形的边长分别为，，
．
故选：．
6．（4分）方程的根是　　
A．， B．， C．， D．，
【分析】利用因式分解法求解即可．
【解答】解：，
，
则，
或，
解得，，
故选：．
7．（4分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是　　
A． B． C．且 D．且
【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到且△，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得且△，
解得且．
故选：．
8．（4分）如图，直角坐标系中，点的坐标为，点是轴上任意动点，绕点旋转得，则动点总在下列哪条直线上　　

A． B． C． D．
【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后利用全等三角形全等，可以表示出点的坐标，然后代入各个选项中的函数解析式，即可判断哪个选项是正确的，本题得以解决．
【解答】解：作轴于点，
设点的坐标为，
由题意可知，，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
点，点，
，，
，，
，
点的坐标为，
将代入时，，故选项符合题意；
将代入时，，故选项不符合题意；
将代入时，，故选项不符合题意；
将代入时，，故选项不符合题意；
故选：．

9．（4分）如图，中，，，且则，的值为　　

A．24 B． C． D．
【分析】延长交于点，过点作于，过点作于，利用证明得，从而得出是中点，且，再根据三角形面积公式以及勾股定理分别求出、的长即可求解．
【解答】解：如图，延长交于点，过点作于，过点作于，

，，
，
又，，
，
，
又，
，，
，
，
在中，，，
，
，，
，
，
的值，
故选：．
10．（4分）如图，矩形中，，，是的中点，线段在上左右滑动，若，则的最小值是　　

A．5 B． C．6 D．
【分析】利用已知可以得出，长度不变，求出最小时即可得出四边形周长的最小值，利用轴对称得出，位置，即可求出．
【解答】解：如图，作关于的对称点，在上截取，然后连接交于，在上截取，此时的值最小，

，，
四边形是平行四边形，
，
，
，，为边的中点，
，，
由勾股定理得：
即的最小值为．
故选：．
二.填空题（本大共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）关于的方程的解是　1　．
【分析】通过去分母，移项、合并同类项解方程即可．
【解答】解：，
去分母，得，
移项、合并同类项，得．
故答案是：1．
12．（5分）因式分解：　　．
【分析】直接去括号，再利用完全平方公式分解因式得出答案．
【解答】解：原式
．
故答案为：．
13．（5分）如图，在平行四边形中，点在上，且平分，若，，则平行四边形的面积为 　32　．

【分析】过点作于，根据直角三角形中30度角所对的边等于斜边的一半求出的长，再根据角平分的定义以及平行四边形的性质得出，从而得出，即可求解．
【解答】解：如图，过点作于，

，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
又平分，
，
，
，
平行四边形的面积，
故答案为：32．
14．（5分）如图，在中，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点．若点到的距离为1，则为的 　角平分线　（从中线，角平分线，高线中选一个），则的周长为 　　．

【分析】根据角平分线的作图步骤可知，为的平分线，过点作于点，由角平分线的性质可得，设，则，，可证，则，即，求出的值，即可得，，的长，进而可得出答案．
【解答】解：由作图步骤可知，为的平分线，
为的角平分线．
过点作于点，

则，
设，则，，
，，
，
，
即，
解得，
经检验是原方程的解，
，，
的周长为．
故答案为：角平分线；．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：．
【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则以及零指数幂的性质、立方根的性质、二次根式的混合运算法则化简，进而得出答案．
【解答】解：原式

．
16．（8分）《孙子算经》里有题，请你解答：今有人盗库绢，不知所失几何．但闻草中分绢，人得六匹，盈六匹；人得七匹，不足七匹．问人、绢各几何？
题意为：有盗贼窃去库存的绸缎，不知究竟窃去多少．有人在草丛中听到这帮盗贼分赃的清况，如果每个盗贼分6匹，就多出6匹；如果每个盗贼分得7匹，就缺少7匹．盗贼有几人？失窃的绸缎有几匹？
【分析】设盗贼有人，则失窃的绸缎有匹，可得：，即可解得盗贼有13人，失窃的绸缎有84匹．
【解答】解：设盗贼有人，则失窃的绸缎有匹，
根据题意得：，
解得，
，
答：盗贼有13人，失窃的绸缎有84匹．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，正方形顶点叫格点，连接两个网格格点的线段叫网格线段，点固定在格点上．
（1）若是图中能用网格线段表示的最大无理数，则　　．
（2）请你画出顶点在格点上边长为的所有菱形（包含正方形），你画出的菱形面积为　　．

【分析】（1）借助网格得出最大的无理数，进而求出即可；
（2）利用菱形的性质结合网格得出答案即可．
【解答】解：（1）；
故答案为：；

（2）如图所示，菱形面积为5，菱形面积为4．
故答案为：5或4．

18．（8分）观察以下等式：观察下列等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，

按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式：　　；
（2）写出你猜想的第个等式：　　用含的式子表示，并证明这个结论？
【分析】（1）根据材料中的规律可得结论；
（2）分析所给的等式，不难得出第个等式的形式，再把等式左右两边进行整理即可证明其正确性．
【解答】解：（1）写出第6个等式：；
故答案为：；
（2）写出你猜想的第个等式：，
证明：左边

右边，
．
故答案为：．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）（1）如图，以线段，为邻边，用尺规作图画出平行四边形（保留作图痕迹），并说明它是平行四边形的判定方法？
（2）连接，，若，，求的值（要有必要的过程）．

【分析】（1）根据作图痕迹利用平行四边形的判定解答即可；
（2）根据勾股定理解答即可．
【解答】解：（1）如图：

依据：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（2）如图：

设高，，则，




．
20．（10分）如图，在中，的角平分线交于点，，．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若，且，求四边形的面积．

【分析】（1）根据，判定四边形是平行四边形，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到，可得，即可证明；
（2）根据得到菱形是正方形，根据对角线求出边长，再根据面积公式计算即可．
【解答】解：（1）四边形是菱形，理由是：
，，
四边形是平行四边形，
平分，
，
，
，
，
，
平行四边形是菱形；
（2），
四边形是正方形，
，
，
四边形的面积为．
六、（本题满分12分）
21．（12分）某校为了解学生的身体素质情况，在全校进行了一次体质健康测试，1分钟仰卧起坐是其中的一个测试项目．测试结束后，学校随机从男生、女生中各抽取20人的仰卧起坐成绩（单位：次）进行统计、分析，过程如下：
收集数据
男生：37 29 47 50 38 44 33 15 25 37 39 40 19 40 50 30 30 40 46 26
女生：30 12 30 45 14 50 40 33 36 28 48 26 30 37 18 30 47 24 50 38
【整理数据】
成绩次




男生
2
5
8

女生
3

5
5
【分析数据】
统计量
平均数
中位数
众数
方差
男生
35.75

40
90.99（精确到
女生
33.3
31.5

122.91
【应用数据】
（1）填空：　5　，　　，　　，　　；
（2）若男生共有240人参加测试，请估计男生测试成绩大于40次的人数；
（3）有人认为，男生成绩比女生成绩更好些（不考虑男女差异），你认为理由是什么．
【分析】（1）将男女生成绩重新排列，再根据中位数和众数的定义求解即可；
（2）用总人数乘以男生成绩超过40次的人数所占比例即可；
（3）从平均数、中位数、方差的意义求解即可．
【解答】解：（1）男生：15、19、25、26、29、30、30、33、37、37、38、39、40、40、40、44、46、47、50、50，
女生：12、14、18、24、26、28、30、30、30、30、33、36、37、38、40、45、47、48、50、50，
，，男生成绩的中位数，女生成绩的众数，
故答案为：5、7、37.5、30；
（2）估计男生测试成绩大于40次的人数为（人；
（3）男生的平均成绩大于女生，而且男生成绩的中位数大于女生、方差小于女生，即男生高分人数多且成绩稳定．
七.（本题满分12分）
22．（12分）超市销售某种商品，每件盈利50元，平均每天可达到30件．为尽快减少库存，现准备降价以促进销售，经调查发现：一件商品每降价1元平均每天可多售出2件．
（1）当一件商品降价5元时，每天销售量可达到 　40　件，每天共盈利 　　元；
（2）在上述条件不变，销售正常情况下，每件商品降价多少元时超市每天盈利可达到2100元？
（3）在上述条件不变，销售正常情况下，超市每天盈利最高可以达到元，请你利用学过的△判别式，或利用暑假预习函数配方法，求出的值？
【分析】（1）降价1元，可多售出2件，降价5元，可多售出件，盈利的钱数原来的盈利降低的钱数；
（2）根据日盈利每件商品盈利的钱数（原来每天销售的商品件数降价的钱数），列出方程求解即可；
（3）根据题意列出方程，利用根的判别式进行判断即可．
【解答】解：（1）降价5元，销售量达到件，
当天盈利：（元；
故答案为：40，1800；
（2）根据题意，得：，
解得：或，
该商场为了尽快减少库存，
降的越多，越吸引顾客，
选，
答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元；
（3）根据题意可得，
整理得到：．
则△，
解得．
故超市每天盈利最高可以达到2112.5元．
八、（本题满分14分）
23．（14分）四边形为矩形，是延长线上的一点．

（1）若，如图1，求证：四边形为平行四边形；
（2）若，点是上的点，，于点，如图2，求证：是等腰直角三角形．
（3）在上面（2）的情形下，如图2，且，，求出此时的长度？
【分析】（1）先由四边形是矩形，是延长线上的一点证明，再证明，即可证明四边形为平行四边形；
（2）先证明四边形是正方形，再证明，得，，则，即可证明是等腰直角三角形；
（3）先根据勾股定理求出的值，再求得，则，，再求得，即可求得．
【解答】（1）证明：四边形是矩形，是延长线上的一点，
，，，
，，
，
，
四边形为平行四边形．
（2）证明：四边形是矩形，，
四边形是正方形，
，，
，，
于点，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
是等腰直角三角形．
（3）解：，，
，
，，
，
，，
，且，
，
，
，
的长度为．