陕西师范大学附属中学、渭北中学等2022-2023学年高三上学期期初联考文科数学试题含答案

陕西师大附中渭北中学高2023届高三第一学期期初检测

数学（文科）试题

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．已知集合，则（    ）

A．     B．     C．     D．

2．已知复数z满足，则（    ）

A．2     B．3     C．     D．

3．算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一项伟大的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具．“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的．下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位、，上面一粒珠（简称上珠）代表，下面一粒珠（简称下珠）是，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小．现在从个位和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠，往上拨粒下珠，算盘表示的数为质数（除了和本身没有其它的约数）的概率是（    ）

A．     B．     C．     D．

4．已知空间中的两个不同的平面，直线平面，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件     B．必要不充分条件

C．充分必要条件       D．既不充分又不必要条件

5．如图，角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆O分别交于A，B两点，则（    ）

A．     B．     C．     D．

6．下列四个函数：①；②；③；④，其中定义域与值域相同的函数的个数为（    ）

A．1     B．2     C．3     D．4

7．在中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c．若的面积为，则（    ）

A．     B．     C．     D．

8．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．根据祖暅原理，对于D打印制造的零件，如果能找到另一个与其高相等，并在所有等高处的水平截面的面积均相等的几何体，就可以通过计算几何体的体积得到打印的零件的体积．现在要用3D打印技术制造一个高为2的零件，该零件的水平截面面积为S，随高度h的变化而变化，变化的关系式为，则该零件的体积为（    ）

A．     B．     C．     D．

9．若，则（    ）

A．图像关于直线对称     B．图像关于点对称

C．最小正周期为          D．在上单调递增

10．已知定义在R上的偶函数在区间上递减．若，则a，b，c的大小关系为（    ）

A．     B．     C．     D．

11．函数的部分图象如图所示，为了得到的图象，只需将函数的图象（    ）

A．向左平移个单位长度          B．向左平移个单位长度

C．向右平移个单位长度          D．向右平移个单位长度

12．如图，已知椭圆和双曲线在x轴上具有相同的焦点，设椭圆与双曲线的上半部分交于A，B两点，线段与双曲线交于点C．若，则椭圆的离心率是（    ）

A．     B．     C．     D．

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．近几年来移动支付越来越普遍，不同年龄段的人对移动支付的熟知程度不同．某学校兴趣小组为了了解移动支付在大众中的熟知度，要对15-75岁的人群进行随机抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、系统抽样和分层抽样，则最合适的抽样方法是__________．

14．已知向量满足，且，则__________．

15．已知关于x的不等式的解集为，则的取值范围为__________．

16．设函数，

①若，则的最小值为__________；

②若恰有2个零点，则实数a的取值范围是__________．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题考生根据要求作答．

17．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．

（1）求角B的大小；

（2）若点D为的中点，且，求的值．

18．为了推进分级诊疗，实现“基层首诊、双向转诊、急慢分治、上下联动”的诊疗模式，某城市自2021年起全面推行家庭医生签约服务．已知该城市居民约为1000万，从0岁到100岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图1所示．为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1000名年满18周岁的居民，各年龄段被访者签约率如图2所示．

（1）估计该城市年龄在50岁以上且已签约家庭医生的居民人数；

（2）据统计，该城市被访者的签约率约为44%．为把该城市年满18周岁居民的签约率提高到55%以上，应着重提高图2中哪个年龄段的签约率？并根据已有数据陈述理由．

19．如图，在四棱锥中，底面为菱形，其中，点M在线段上，且，N为的中点．

（1）求证：平面；

（2）若平面平面，求三棱锥的体积．

20．已知函数．

（1）定义的导函数为，的导函数为……以此类推，若，求实数a的值；

（2）若，证明：．

21．已知抛物线，O是坐标原点，F是C的焦点，M是C上一点，，．

（1）求抛物线C的标准方程；

（2）设点在C上，过Q作两条互相垂直的直线，分别交C于A，B两点（异于Q点）．

证明：直线恒过定点．

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写．

22．【选修4-4：坐标系与参数方程】

在平面直角坐标系中，曲线M的参数方程为（为参数，），直线的参数方程为（t为参数，)，直线，垂足为O．以O为坐标原点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．

（1）分别求出曲线M与直线的极坐标方程；

（2）设直线分别与曲线M交于A、C与B、D，顺次连接A、B、C、D四个点构成四边形，求．

23．【选修4-5：不等式选讲】

已知函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若，使得不等式成立，求实数a的取值范围．

陕西师大附中渭北中学高2023届高三第一学期期初检测

数学（文科）答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．分层抽样  14．  15．  16．①；②

三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23为选考题．考生根据要求作答）

17．【本题满分12分】

解：（1）∵．

∴由正弦定理可得，．

∴．

又∵，即．

∴．

又∵．

∴．

（2）∵在中，由余弦定理可得．

在中，由余弦定理可得．

∴，即．

∴在中，由正弦定理可得．

18．【本题满分12分】

（1）由图1知，该城市年龄在50-60岁，60-70岁，70-80岁，80岁以上的居民人数分别为：万，万，万，

万．

由图2知，该城市年龄在50岁以上且已签约家庭医生的居民人数：

万．

（2）由图1，图2可得：

年龄在10-20岁的人数为：万

年龄在20-30岁的人数为：万

所以，年龄在18-30岁的人数大于180万，小于230万，签约率为30.3%．

年龄在30-50岁的人数为：万，签约率为37.1%．

年龄在50岁以上的人数为：万，签约率超过55%，上升空间不大

由以上数据可知这个城市在3050岁这个年龄段的人数为370万，基数较其他年龄段是最大的，且签约率为37.1%，非常低，所以为把该地区满18周岁居民的签约率提高到55%以上，应着重提高30-50这个年龄段的签约率．

19．【本题满分12分】

解：（1）∵，N为的中点，∴，

∵底面为菱形，，

∴，∴，则，

∵，∴平面．

（2）∵，∴，∵平面平面，平面平面，∴平面平面，∴，

∴，

∵平面，∴平面，

∵，∴．

20．【本题满分12分】

解：（1）由题意得：，

，

∴的周期为4，

故．∵，∴．

（2）证明：当时，．

令，则，

∴在区间上递增，∴，∴．

∴，当且仅当时取等号．

令，则，当时，；当时，．

∴在区间上递增，在区间上递减．

∴，当且仅当时取等号．∴．

21．【本题满分12分】

解：（1）由，可得，

代入．解得或（舍），从而．

（2）由题意可得，直线的斜率不为0，设直线的方程为，

设，由，得，从而，

且．又，

，

∵，∴，

故，

整理得．即，

从而或，即或．

若，则，过定点，与Q点重合，不符合；

若，则，过定点．

综上，直线过异于Q点的定点．

【选做题】请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写．

22．【本题满分10分】

解：（1）由M的参数方程，可得，则，即，

∴曲线M的极坐标方程为：．

由题设知：的方程为为，故的极坐标方程为，又，

∴为且．

（2）由题设知：，

若，

联立与M：，可得，

联立与，可得，

∴．

∴．

23．【本题满分10分】

解：（1）当时，．

当时，，解得，此时；

当时，，解得，此时；

当时，，解得，此时．

因此，当时，不等式的解集为；

（2）当时，可化为，

所以，或，

即存在，使得或．

，因为，所以，则，

，因为，所以，所以，

因此，实数a的取值范围为．