专题2.3 二次函数与一元二次不等式- 2022-2023学年高一数学阶段性复习精选精练（人教A版2019必修第一册）

专题2.3 二次函数与一元二次不等式

一、一元二次不等式的相关概念

1、定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式

2、一般形式：ax2＋bx＋c>0（≥0），ax2＋bx＋c<0（≤0），（其中a≠0，a，b，c均为常数）

3、一元二次不等式的解集

使某一个一元二次不等式成立的x的值，叫作这个一元二次不等式的解；

一元二次不等式的所有解组成的集合，叫作这个一元二次不等式的解集；

将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形。

二、一元二次函数的零点

一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．

三、二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系

对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.

四、解一元二次不等式的步骤

第一步：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；

第二步：写出相应的方程，计算判别式：

①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）；

②时，求根；

③时，方程无解

第三步：根据不等式，写出解集.

五、含参数的一元二次不等式讨论依据

1、对二次项系数进行大于0，小于0，等于0分类讨论；

2、当二次项系数不等于0时，再对判别式进行大于0，小于0，等于0的分类讨论；

3、当判别式大于0时，再对两根的大小进行讨论，最后确定出解集。

题型一  不含参数不等式

【例1】的解集为（    ）

A．        B．或        C．        D．

【答案】B

【解析】因为时，解得或，

所以的解集为或.故选：B.

【例题2】不等式的解集是（    ）

A．R        B．        C．或        D．

【答案】B

【解析】由题意得所求，令，为开口向上的抛物线，

，

所以恒成立，

所以不成立，故的解集为.故选：B

【例题3】求下列不等式的解集：

（1）；    （2）；    （3）；

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】（1），解得：

不等式解集为：.

（2），整理得：，即

解得：，不等式解集为：.

（3），整理得：

，故不等式再实数范围内无解

不等式解集为：.

题型二： 解含参数不等式

【例1】解关于的不等式：

【解析】方程的解为，，

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为.

【例题2】解关于x的不等式

【答案】答案不唯一，具体见解析

【解析】关于x的不等式，可化为

（1）当时，，解得．

（2）当，所以

所以方程的两根为-1和，

当，即时，不等式的解集为或}，

当，即时，不等式的解集为．

当，即时，不等式的解集为或}．

（3）当时，

因为方程的两根为—1和，

又因为，所以．

即不等式的解集是，

综上所述：当时，不等式的解集为

当时，不等式的解集为

当时，不等式的解集为或

当时，不等式的解集为

当时，不等式的解集为或}.

【例题3】设关于x的一元二次不等式与的解集分别为与，则不等式的解集为（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】B

【解析】的解集为，

则的解集为R.

的解集为，

则的解集为，

转化为

所以不等式的解集为.故选：B.

题型三： 参数不等式参数范围问题

【例1】关于的不等式的解集为空集，则实数k的取值范围是（    ）

A．        B．        C．或        D．

【答案】A

【解析】因不等式的解集为空集，

则当时，不成立，因此，满足题意，

当时，必有，解得，

综上得，所以实数k的取值范围是：.故选：A

【例题2 】已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（    ）

A．或     B．     C．或     D．

【答案】B

【解析】由题意得，即，

所以，即，解得．故选：B

【例题3】若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】C

【解析】不等式，即，

当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有3个整数，

这3个整数只能是4，5，6，故；

当时，不等式解集为，此时不符合题意；

当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有3个整数，

这3个整数只能是0，1，2，故；

故实数m的取值范围为．故选：C

题型四  一元二次不等式恒成立问题以及存在使成立问题

【例1】已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】A

【解析】当时，该不等式为，成立；

当时，要满足关于的不等式对任意恒成立，

只需，解得，

综上所述，的取值范围是，故选：A.

【例题2】若不等式在上有解，则a的取值范围是（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】B

【解析】解：因为，所以不等式化为，

又在上单调递减，所以当时，有最小值．所以a的取值范围是．故选：B．

一、单选题

1．若关于x的不等式在区间内有解，则实数a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

2．若关于x的不等式的解集是R，则m的取值范围是（       ）

A．（1，+∞） B．（0，1） C．（1，1） D．[1，+∞）

3．不等式对一切恒成立，则实数a的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

4．关于x的方程恰有一根在区间内，则实数m的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

5．关于的不等式 的解集中恰有个整数，则实数的取值范围是（　　）

A．  B．

C．  D．

6．若不等式的解集是，则不等式的解集是（　）

A． B．

C． D．

7．若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

8．不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

9．已知不等式的解集为，则不等式的解集为（       ）

A． B．{或} C． D．或

10．已知不等式的解集为，则不等式的解集为（       ）

A． B． C． D．

11．关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

12．已知，关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（       ）

A．             B．

C．  D．

13．已知函数，如果不等式的解集为，那么不等式的解集为（       ）

A． B．

C． D．

14．已知函数的定义域为区间[m，n]，其中，若f（x）的值域为[-4，4]，则的取值范围是（       ）

A．[4，4] B．[2，8] C．[4，8] D．[4，8]

15．若对任意实数，不等式恒成立，则实数a的最小值为（       ）

A． B． C． D．

二、多选题

16．已知关于的不等式的解集为或，则下列结论中，正确结论的序号是（       ）

A． B．不等式的解集为

C．不等式的解集为或 D．

17．已知，关于x的不等式的解集可能是（       ）

A． B．

C． D．

18．已知关于x的不等式的解集为，则（       ）

A．

B．不等式的解集是

C．

D．不等式的解集为

19．若不等式的解集为，则下列说法正确的是（       ）

A． B．

C．关于的不等式解集为 D．关于的不等式解集为

20．已知关于x的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（       ）

A． B．

C． D．

21．下列结论错误的是（       ）

A．若函数对应的方程没有根，则不等式的解集为R；

B．不等式在R上恒成立的条件是且；

C．若关于x的不等式的解集为R，则；

D．不等式的解为.

三、填空题

22．若关于x的一元二次不等式对于一切实数x都成立，则实数k的取值范围为__________.

23．关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为___________.

24．方程的两根都大于，则实数的取值范围是_____．

25．若函数在上的最小值为．则____．

26．如果关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为_______.