第24章圆-【人教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（广西）

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第24章圆-【人教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（广西）
一．选择题（共22小题）
1．（2022•柳州）如图，圆锥底面圆的半径AB＝4，母线长AC＝12，则这个圆锥的侧面积为（　　）

A．16π B．24π C．48π D．96π
2．（2022•河池）如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，∠ABC＝25°，OC的延长线交PA于点P，则∠P的度数是（　　）

A．25° B．35° C．40° D．50°
3．（2022•贵港）下列命题为真命题的是（　　）
A．＝a
B．同位角相等
C．三角形的内心到三边的距离相等
D．正多边形都是中心对称图形
4．（2022•贵港）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是⊙O的直径，点P在⊙O上，若∠ACB＝40°，则∠BPC的度数是（　　）

A．40° B．45° C．50° D．55°
5．（2022•梧州）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC，∠BAC＝36°，在上取点D（不与点A，B重合），连接BD，AD，则∠BAD+∠ABD的度数是（　　）

A．60° B．62° C．72° D．73°
6．（2022•广西）如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，∠BAC＝α，将△ABC绕点A逆时针旋转2α，得到△AB′C′，连接B′C并延长交AB于点D，当B′D⊥AB时，的长是（　　）

A．π B．π C．π D．π
7．（2022•贺州）某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成．某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是6cm，高是6cm；圆柱体底面半径是3cm，液体高是7cm．计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为（　　）

A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
8．（2021•梧州）在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（0，﹣5），若在x轴正半轴上有一点C，使∠ACB＝30°，则点C的横坐标是（　　）
A．3+4 B．12 C．6+3 D．6
9．（2021•梧州）若扇形的半径为3，圆心角为60°，则此扇形的弧长是（　　）
A．π B．π C．π D．2π
10．（2021•桂林）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接AC，BC，则∠C的度数是（　　）

A．60° B．90° C．120° D．150°
11．（2021•贵港）如图，点A，B，C，D均在⊙O上，直径AB＝4，点C是的中点，点D关于AB对称的点为E，若∠DCE＝100°，则弦CE的长是（　　）

A．2 B．2 C． D．1
12．（2021•贺州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，点O在AB上，OB＝2，以OB为半径的⊙O与AC相切于点D，交BC于点E，则CE的长为（　　）

A． B． C． D．1
13．（2021•贺州）如图，在边长为2的等边△ABC中，D是BC边上的中点，以点A为圆心，AD为半径作圆与AB，AC分别交于E，F两点，则图中阴影部分的面积为（　　）

A． B． C． D．
14．（2021•柳州）如图所示，点A，B，C对应的刻度分别为1，3，5，将线段CA绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时，记为点A′，则此时线段CA扫过的图形的面积为（　　）

A．4 B．6 C． D．
15．（2021•柳州）往水平放置的半径为13cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度AB＝24cm，则水的最大深度为（　　）

A．5cm B．8cm C．10cm D．12cm
16．（2020•梧州）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点O在对角线BD上，以OB为半径作⊙O交BC于点E，连接DE，若DE是⊙O的切线，此时⊙O的半径为（　　）

A．2 B． C． D．
17．（2020•贺州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠AOC＝∠ABC，AC＝2，则的长度是（　　）

A． B． C．2π D．
18．（2020•梧州）如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，连接CF，∠C＝30°，CF＝2，则OG的长是（　　）

A．1 B． C．2 D．2
19．（2020•广西）如图，已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形，BD平分∠ABC，DH⊥AB于点H，DH＝，∠ABC＝120°，则AB+BC的值为（　　）

A． B． C．2 D．
20．（2020•贵港）如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠ACB＝130°，则∠α的度数为（　　）

A．100° B．110° C．120° D．130°
21．（2020•柳州）如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BOC＝70°，则∠A的度数为（　　）

A．35° B．40° C．55° D．70°
22．（2020•桂林）如图，AB是⊙O的弦，AC与⊙O相切于点A，连接OA，OB，若∠O＝130°，则∠BAC的度数是（　　）

A．60° B．65° C．70° D．75°
二．填空题（共13小题）
23．（2022•柳州）如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB＝60°，则∠ACB的度数是 　 　°．

24．（2022•贵港）如图，在▱ABCD中，AD＝AB，∠BAD＝45°，以点A为圆心、AD为半径画弧交AB于点E，连接CE，若AB＝3，则图中阴影部分的面积是 　 　．

25．（2022•梧州）如图，四边形ABCD是⊙O的内接正四边形，分别以点A，O为圆心，取大于OA的定长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交⊙O于点E，F．若OA＝1，则，AE，AB所围成的阴影部分面积为 　 　．

26．（2022•玉林）如图，在5×7网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是△ABC的外心，在不添加其他字母的情况下，则除△ABC外把你认为外心也是O的三角形都写出来 　 　．

27．（2022•玉林）数学课上，老师将如图边长为1的正方形铁丝框变形成以A为圆心，AB为半径的扇形（铁丝的粗细忽略不计），则所得扇形DAB的面积是 　 　．

28．（2021•河池）如图，圆锥的底面半径为2，母线长为6，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角是 　 　．

29．（2021•河池）如图，在平面直角坐标系中，以M（2，3）为圆心，AB为直径的圆与x轴相切，与y轴交于A，C两点，则点B的坐标是 　 　．

30．（2021•贵港）如图，圆锥的高是4，它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，则圆锥的侧面积是 　 　（结果保留π）．

31．（2021•广西）如图，从一块边长为2，∠A＝120°的菱形铁片上剪出一个扇形，这个扇形在以A为圆心的圆上（阴影部分），且圆弧与BC，CD分别相切于点E，F，将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半径是 　 　．

32．（2020•梧州）如图，已知⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，的长是，则阴影部分的面积是　 　．

33．（2020•百色）如图，正方形ABCD的边长为2．以点A为圆心，AB为半径画，则图中阴影部分的面积是　 　．

34．（2020•贵港）如图，在扇形OAB中，点C在上，∠AOB＝90°，∠ABC＝30°，AD⊥BC于点D，连接AC，若OA＝2，则图中阴影部分的面积为　 　．

35．（2020•河池）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E都在⊙O上，∠1＝55°，则∠2＝　 　°．

三．解答题（共7小题）
36．（2021•贺州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AB上的一点，以AD为直径的⊙O与BC相切于点E，连接AE，DE．
（1）求证：AE平分∠BAC；
（2）若∠B＝30°，求的值．

37．（2021•玉林）如图，⊙O与等边△ABC的边AC，AB分别交于点D，E，AE是直径，过点D作DF⊥BC于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）连接EF，当EF是⊙O的切线时，求⊙O的半径r与等边△ABC的边长a之间的数量关系．

38．（2020•贺州）如图，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上的一点，点C在⊙O上，BC＝BD，AE⊥CD交DC的延长线于点E，AC平分∠BAE．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CD＝6，求⊙O的直径．

39．（2020•玉林）如图，AB是⊙O的直径，点D在直径AB上（D与A，B不重合），CD⊥AB，且CD＝AB，连接CB，与⊙O交于点F，在CD上取一点E，使EF＝EC．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若D是OA的中点，AB＝4，求CF的长．

40．（2020•广西）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为直径的⊙O交BC于点E，点D为AC的中点，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若CE＝1，OA＝，求∠ACB的度数．

41．（2020•贵港）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，且AD＝BD，⊙O是△ACD的外接圆，AE是⊙O的直径．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若AB＝2，AD＝3，求直径AE的长．

42．（2020•河池）如图，AB是⊙O的直径，AB＝6，OC⊥AB，OC＝5，BC与⊙O交于点D，点E是的中点，EF∥BC，交OC的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）CG∥OD，交AB于点G，求CG的长．


第24章圆-【人教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（广西）
参考答案与试题解析
一．选择题（共22小题）
1．（2022•柳州）如图，圆锥底面圆的半径AB＝4，母线长AC＝12，则这个圆锥的侧面积为（　　）

A．16π B．24π C．48π D．96π
【解答】解：弧AA′的长，就是圆锥的底面周长，即2π×4＝8π，
所以扇形的面积为×8π×12＝48π，
即圆锥的侧面积为48π，
故选：C．
2．（2022•河池）如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，∠ABC＝25°，OC的延长线交PA于点P，则∠P的度数是（　　）

A．25° B．35° C．40° D．50°
【解答】解：∵∠ABC＝25°，
∴∠AOP＝2∠ABC＝50°，
∵PA是⊙O的切线，
∴PA⊥AB，
∴∠PAO＝90°，
∴∠P＝90°﹣∠AOP＝90°﹣50°＝40°，
故选：C．
3．（2022•贵港）下列命题为真命题的是（　　）
A．＝a
B．同位角相等
C．三角形的内心到三边的距离相等
D．正多边形都是中心对称图形
【解答】解：A．当a＜0时，原式＝﹣a，故原命题为假命题，此选项不符合题意；
B．当两直线平行时，同位角才相等，故原命题为假命题，此选项不符合题意；
C．三角形的内心为三角形内切圆的圆心，故到三边的距离相等，故原命题为真命题，此选项符合题意；
D．三角形不是中心对称图形，故原命题为假命题，此选项不符合题意，
故选：C．
4．（2022•贵港）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是⊙O的直径，点P在⊙O上，若∠ACB＝40°，则∠BPC的度数是（　　）

A．40° B．45° C．50° D．55°
【解答】解：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ACB+∠CAB＝90°，
∵∠ACB＝40°，
∴∠CAB＝90°﹣40°＝50°，
由圆周角定理得：∠BPC＝∠CAB＝50°，
故选：C．
5．（2022•梧州）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC，∠BAC＝36°，在上取点D（不与点A，B重合），连接BD，AD，则∠BAD+∠ABD的度数是（　　）

A．60° B．62° C．72° D．73°
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∵四边形ADBC是圆内接四边形，
∴∠D+∠C＝180°，
∴∠D＝180°﹣∠C＝108°，
∴∠BAD+∠ABD＝180°﹣∠D＝72°，
故选：C．
6．（2022•广西）如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，∠BAC＝α，将△ABC绕点A逆时针旋转2α，得到△AB′C′，连接B′C并延长交AB于点D，当B′D⊥AB时，的长是（　　）

A．π B．π C．π D．π
【解答】解：∵CA＝CB，CD⊥AB，
∴AD＝DB＝AB′．
∴∠AB′D＝30°，
∴α＝30°，
∵AC＝4，
∴AD＝AC•cos30°＝4×＝2，
∴，
∴的长度l＝＝π．
故选：B．

7．（2022•贺州）某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成．某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是6cm，高是6cm；圆柱体底面半径是3cm，液体高是7cm．计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为（　　）

A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【解答】解：如图：

∵圆锥的圆锥体底面半径是6cm，高是6cm，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴△CDE也是等腰直角三角形，即CD＝DE，
由已知可得：液体的体积为π×32×7＝63π（cm3），圆锥的体积为π×62×6＝72π（cm3），
∴计时结束后，圆锥中没有液体的部分体积为72π﹣63π＝9π（cm3），
设计时结束后，“沙漏”中液体的高度AD为xcm，则CD＝DE＝（6﹣x）cm，
∴π•（6﹣x）2•（6﹣x）＝9π，
∴（6﹣x）3＝27，
解得x＝3，
∴计时结束后，“沙漏”中液体的高度为3cm，
故选：B．
8．（2021•梧州）在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（0，﹣5），若在x轴正半轴上有一点C，使∠ACB＝30°，则点C的横坐标是（　　）
A．3+4 B．12 C．6+3 D．6
【解答】解：如图，以AB为边向右作等边△ABD，以D为圆心，DA为半径作⊙D交x的正半轴于C，连接CA，CB，此时∠ACB＝∠ADB＝30°满足条件．

过点D作DJ⊥AB于J，DK⊥OC于K，则四边形OJDK是矩形，
∵A（0，1），B（0，﹣5），
∴AB＝6，
∵DA＝DB＝AB＝6，DJ⊥AB，
∴AJ＝JB＝3，
∴DJ＝OK＝＝＝3，
∴OJ＝DK＝2，
在Rt△DCK中，CK＝＝＝4，
∴OC＝OK+KC＝3+4，
∴点C的横坐标为3+4，
故选：A．
9．（2021•梧州）若扇形的半径为3，圆心角为60°，则此扇形的弧长是（　　）
A．π B．π C．π D．2π
【解答】解：∵一个扇形的半径长为3，且圆心角为60°，
∴此扇形的弧长为＝π．
故选：B．
10．（2021•桂林）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接AC，BC，则∠C的度数是（　　）

A．60° B．90° C．120° D．150°
【解答】解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
故选：B．
11．（2021•贵港）如图，点A，B，C，D均在⊙O上，直径AB＝4，点C是的中点，点D关于AB对称的点为E，若∠DCE＝100°，则弦CE的长是（　　）

A．2 B．2 C． D．1
【解答】解：连接AD、AE、OD、OC、OE，过点O作OH⊥CE于点H，

∵∠DCE＝100°，
∴∠DAE＝180°﹣∠DCE＝80°，
∵点D关于AB对称的点为E，
∴∠BAD＝∠BAE＝40°，
∴∠BOD＝∠BOE＝80°，
∵点C是的中点，
∴∠BOC＝∠COD＝40°，
∴∠COE＝∠BOC+∠BOE＝120°，
∵OE＝OC，OH⊥CE，
∴EH＝CH，∠OEC＝∠OCE＝30°，
∵直径AB＝4，
∴OE＝OC＝2，
∴EH＝CH＝，
∴CE＝2．
故选：A．
12．（2021•贺州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，点O在AB上，OB＝2，以OB为半径的⊙O与AC相切于点D，交BC于点E，则CE的长为（　　）

A． B． C． D．1
【解答】解：连接OD，过点O作OF⊥BC于F，
则BF＝EF，
∵AC是⊙O的切线，
∴OD⊥AC，
∵∠C＝90°，OF⊥BC，
∴OD∥BC，四边形ODCF为矩形，
∴△AOD∽△ABC，CF＝OD＝2，
∴＝，即＝，
解得：BC＝，
∴BF＝BC﹣CF＝﹣2＝，
∴BE＝2BF＝，
∴CE＝BC﹣BE＝﹣＝，
故选：B．

13．（2021•贺州）如图，在边长为2的等边△ABC中，D是BC边上的中点，以点A为圆心，AD为半径作圆与AB，AC分别交于E，F两点，则图中阴影部分的面积为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：连接AD，如图所示：
∵D是BC边上的中点，
∴AD⊥BC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，BC＝AB＝2，
∴AD＝AB•sin60°＝2×＝，
∴阴影部分的面积＝＝．
故选：C．

14．（2021•柳州）如图所示，点A，B，C对应的刻度分别为1，3，5，将线段CA绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时，记为点A′，则此时线段CA扫过的图形的面积为（　　）

A．4 B．6 C． D．
【解答】解：由题意，知AC＝4，BC＝4﹣2＝2，∠A′BC＝90°．
由旋转的性质，得A′C＝AC＝4．
在Rt△A′BC中，cos∠ACA′＝＝．
∴∠ACA′＝60°．
∴扇形ACA′的面积为＝π．
即线段CA扫过的图形的面积为π．
故选：D．
15．（2021•柳州）往水平放置的半径为13cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度AB＝24cm，则水的最大深度为（　　）

A．5cm B．8cm C．10cm D．12cm
【解答】解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：
∵AB＝24cm，
∴BD＝AB＝12（cm），
∵OB＝OC＝13cm，
在Rt△OBD中，OD＝＝＝5（cm），
∴CD＝OC﹣OD＝13﹣5＝8（cm），
即水的最大深度为8cm，
故选：B．

16．（2020•梧州）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点O在对角线BD上，以OB为半径作⊙O交BC于点E，连接DE，若DE是⊙O的切线，此时⊙O的半径为（　　）

A．2 B． C． D．
【解答】解：如图，过点O作OF⊥BE于点F，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠C＝90°，BC＝AD＝8，DC＝AB＝6，
在Rt△ADB中，∠C＝90°，
∴BD＝＝10，
∴tan∠DBC＝＝＝，
设OF＝3x，BF＝4x，
则BO＝5x，
∵OB＝OE，
∴BF＝EF＝4x，
∴CE＝CB﹣BE＝8﹣8x，
∵DE是⊙O的切线，
∴OE⊥DE，
∴∠OEF+∠DEC＝90°，
∵∠DEC+∠EDC＝90°，
∴∠OEF＝∠EDC，
∵∠OFE＝∠DCE，
∴△OEF∽△EDC，
∴＝，
∴＝，
解得x＝0（舍去），x＝，
∴OB＝5x＝．
故选：C．
17．（2020•贺州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠AOC＝∠ABC，AC＝2，则的长度是（　　）

A． B． C．2π D．
【解答】解：∵对的圆周角是∠D，对的圆心角是∠AOC，
∴∠D＝∠AOC，
∵∠AOC＝∠ABC，
∴∠D＝ABC，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC+∠D＝180°，
∴ABC+∠ABC＝180°，
解得：∠ABC＝120°，
∴∠AOC＝∠ABC＝120°，

过O作OE⊥AC于E，则∠OEA＝90°，
∵OE过O，AC＝2，
∴AE＝CE＝AC＝，
∴OA＝OC，OE⊥AC，∠AOC＝120°，
∴∠OAE＝30°，
∴OE＝AE×tan30°＝＝1，
∴OA＝2OE＝2，
∴的长度是＝，
故选：B．
18．（2020•梧州）如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，连接CF，∠C＝30°，CF＝2，则OG的长是（　　）

A．1 B． C．2 D．2
【解答】解：连接OF，

∵⊙O的直径CD过弦EF的中点G，
∴CD⊥EF，
∴∠CGF＝90°，
∵∠C＝30°，CF＝2，
∴GF＝CF＝，
由勾股定理得：CG＝＝＝3，
设OC＝OF＝R，
在Rt△OGF中，由勾股定理得：OG2+GF2＝OF2，
即（3﹣R）2+（）2＝R2，
解得：R＝2，
即OC＝2，
∴OG＝CG﹣OC＝3﹣2＝1，
故选：A．
19．（2020•广西）如图，已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形，BD平分∠ABC，DH⊥AB于点H，DH＝，∠ABC＝120°，则AB+BC的值为（　　）

A． B． C．2 D．
【解答】解：延长BA到E，使AE＝BC，连接DE，如图，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝×120°＝60°，
∵∠DAC＝∠DBC＝60°，∠DCA＝∠DBA＝60°，
∴△DAC为等边三角形，
∴DA＝DC，
在△ADE和△BCD中，
，
∴△ADE≌△BCD（SAS），
∴∠E＝∠DBC＝60°，
而∠DBA＝60°，
∴△DBE为等边三角形，
∵DH⊥AB，
∴BH＝EH，
在Rt△BDH中，BH＝DH＝×＝1，
∴BE＝2BH＝2，
∴AB+BC＝2．
故选：C．

20．（2020•贵港）如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠ACB＝130°，则∠α的度数为（　　）

A．100° B．110° C．120° D．130°
【解答】解：在优弧AB上任意找一点D，连接AD，BD．

∵∠D＝180°﹣∠ACB＝50°，
∴∠AOB＝2∠D＝100°，
故选：A．
21．（2020•柳州）如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BOC＝70°，则∠A的度数为（　　）

A．35° B．40° C．55° D．70°
【解答】解：∵如图，∠BOC＝70°，
∴∠A＝∠BOC＝35°．
故选：A．

22．（2020•桂林）如图，AB是⊙O的弦，AC与⊙O相切于点A，连接OA，OB，若∠O＝130°，则∠BAC的度数是（　　）

A．60° B．65° C．70° D．75°
【解答】解：∵AC与⊙O相切于点A，
∴AC⊥OA，
∴∠OAC＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA．
∵∠O＝130°，
∴∠OAB＝＝25°，
∴∠BAC＝∠OAC﹣∠OAB＝90°﹣25°＝65°．
故选：B．
二．填空题（共13小题）
23．（2022•柳州）如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB＝60°，则∠ACB的度数是 　30　°．

【解答】解：∵∠AOB＝60°，
∴∠ACB＝∠AOB＝30°，
故答案为：30．
24．（2022•贵港）如图，在▱ABCD中，AD＝AB，∠BAD＝45°，以点A为圆心、AD为半径画弧交AB于点E，连接CE，若AB＝3，则图中阴影部分的面积是 　5﹣π　．

【解答】解：过点D作DF⊥AB于点F，

∵AD＝AB，∠BAD＝45°，AB＝3，
∴AD＝×3＝2，
∴DF＝ADsin45°＝2×＝2，
∵AE＝AD＝2，
∴EB＝AB−AE＝，
∴S阴影＝S▱ABCD−S扇形ADE−S△EBC
＝3×2﹣﹣××2
＝5﹣π，
故答案为：5﹣π．
25．（2022•梧州）如图，四边形ABCD是⊙O的内接正四边形，分别以点A，O为圆心，取大于OA的定长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交⊙O于点E，F．若OA＝1，则，AE，AB所围成的阴影部分面积为 　　．

【解答】解：连接OA，
由题意可知，直线MN垂直平分线段OA，
∴EA＝EO，
∵OA＝OE，
∴△AOE为等边三角形，
∴∠AOE＝60°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接正四边形，
∴∠AOB＝90°，
∴∠BOE＝30°，
∵S弓形AOE＝S扇形AOE﹣S△AOE，
∴S阴影＝S扇形AOB﹣S弓形AOE﹣S△AOB
＝S扇形AOB﹣（S扇形AOE﹣S△AOE）﹣S△AOB
＝S扇形AOB﹣S扇形AOE+S△AOE﹣S△AOB
＝S扇形BOE+S△AOE﹣S△AOB
＝+﹣
＝．
故答案为：．

26．（2022•玉林）如图，在5×7网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是△ABC的外心，在不添加其他字母的情况下，则除△ABC外把你认为外心也是O的三角形都写出来 　△ABD，△ACD，△BCD　．

【解答】解：由图可知：
OA＝，
OB＝，
OC＝，
OD＝，
OE＝，
∴OA＝OB＝OC＝OD≠OE，
∴△ABD，△ACD，△BCD的外心都是点O，
故答案为：△ABD，△ACD，△BCD．
27．（2022•玉林）数学课上，老师将如图边长为1的正方形铁丝框变形成以A为圆心，AB为半径的扇形（铁丝的粗细忽略不计），则所得扇形DAB的面积是 　1　．

【解答】解：由题意的长＝CD+BC＝1+1＝2，
S扇形ABD＝••AB＝×2×1＝1，
故答案为：1．
28．（2021•河池）如图，圆锥的底面半径为2，母线长为6，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角是 　120°　．

【解答】解：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×2＝4π，
设圆心角的度数是n度．则＝4π，
解得：n＝120．
故答案为：120°．
29．（2021•河池）如图，在平面直角坐标系中，以M（2，3）为圆心，AB为直径的圆与x轴相切，与y轴交于A，C两点，则点B的坐标是 　（4，3﹣）　．

【解答】解：设以AB为直径的圆与x轴相切于点D，连接MD，BC，
则MD⊥x轴，
∵点M的坐标为（2，3），
∴CE＝BE＝2，BM＝DM＝3，
∵AB为圆的直径，
∴AC⊥BC，
∴BC∥x轴，
∴MD⊥BC，
∴BC＝2CE＝4，CE＝BE＝2，
在Rt△BME中，由勾股定理得：ME＝＝＝，
∴DE＝MD﹣ME＝3﹣，
∴点B的坐标为（4，3﹣），
故答案为：（4，3﹣）．

30．（2021•贵港）如图，圆锥的高是4，它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，则圆锥的侧面积是 　6π　（结果保留π）．

【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
根据题意得：2πr＝，
解得：l＝3r，
∵高为4，
∴r2+42＝（3r）2，
解得：r＝，
∴母线长为3，
∴圆锥的侧面积为πrl＝π××3＝6π，
故答案为：6π．
31．（2021•广西）如图，从一块边长为2，∠A＝120°的菱形铁片上剪出一个扇形，这个扇形在以A为圆心的圆上（阴影部分），且圆弧与BC，CD分别相切于点E，F，将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半径是 　　．

【解答】解：连接AC、AE，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴∠BAC＝∠BAD＝×120°＝60°，AB＝BC，
∴△ABC为等边三角形，
∵圆弧与BC相切于E，
∴AE⊥BC，
∴BE＝CE＝1，
∴AE＝＝＝，
设圆锥的底面圆半径为r，
根据题意得2πr＝，解得r＝，
即圆锥的底面圆半径为．
故答案为．

32．（2020•梧州）如图，已知⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，的长是，则阴影部分的面积是　﹣　．

【解答】解：∵⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，
∴∠AOB＝＝60°，
∵的长是π，
∴＝π，
∴OA＝2，
∴S扇形OAB＝＝，
过O作OH⊥AB于H，
∵OA＝OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴AB＝OA＝2，∠AOH＝∠AOB＝30°，
∴AH＝AB＝1，
∴OH＝＝，
∴S△OAB＝AB•OH＝，
∴S阴影＝S扇形OAB﹣S△OAB＝﹣，
故答案为：﹣．

33．（2020•百色）如图，正方形ABCD的边长为2．以点A为圆心，AB为半径画，则图中阴影部分的面积是　4﹣π　．

【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，边长为2，
∴AD＝AB＝2，∠A＝90°，
∴阴影部分的面积S＝S正方形ABCD﹣S扇形DAB＝2×2﹣＝4﹣π，
故答案为：4﹣π．
34．（2020•贵港）如图，在扇形OAB中，点C在上，∠AOB＝90°，∠ABC＝30°，AD⊥BC于点D，连接AC，若OA＝2，则图中阴影部分的面积为　1+﹣π　．

【解答】解：连接OC，作CM⊥OB于M，
∵∠AOB＝90°，OA＝OB＝2，
∴∠ABO＝∠OAB＝45°，AB＝2，
∵∠ABC＝30°，AD⊥BC于点D，
∴AD＝＝，BD＝AB＝，
∵∠ABO＝45°，∠ABC＝30°，
∴∠OBC＝75°，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝75°，
∴∠BOC＝30°，
∴∠AOC＝60°，CM＝OC＝＝1，
∴S阴影＝S△ABD+S△AOB﹣S扇形OAB+（S扇形OBC﹣S△BOC）
＝S△ABD+S△AOB﹣S扇形OAC﹣S△BOC
＝+×﹣﹣
＝1+﹣π．
故答案为1+﹣π．

35．（2020•河池）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E都在⊙O上，∠1＝55°，则∠2＝　35　°．

【解答】解：如图，连接AD．

∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠1＝∠ADE，
∴∠1+∠2＝90°，
∵∠1＝55°，
∴∠2＝35°，
故答案为35．
三．解答题（共7小题）
36．（2021•贺州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AB上的一点，以AD为直径的⊙O与BC相切于点E，连接AE，DE．
（1）求证：AE平分∠BAC；
（2）若∠B＝30°，求的值．

【解答】（1）证明：连接OE，
∵BC是⊙O的切线，
∴OE⊥BC，即∠OEB＝90°，
∵∠C＝90°，
∴OE∥AC，
∴∠OEA＝∠EAC，
∵OE＝OA，
∴∠OEA＝∠OAE，
∴∠OAE＝∠EAC，即AE平分∠BAC；
（2）解：∵AD为⊙O的直径，
∴∠AED＝90°，
∵∠OAE＝∠EAC，∠C＝90°，
∴△DAE∽△EAC，
∴＝，
∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝90°﹣30°＝60°，
∴∠DAE＝∠BAC＝30°，
∵cos∠DAE＝，cos30°＝，
∴＝＝．

37．（2021•玉林）如图，⊙O与等边△ABC的边AC，AB分别交于点D，E，AE是直径，过点D作DF⊥BC于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）连接EF，当EF是⊙O的切线时，求⊙O的半径r与等边△ABC的边长a之间的数量关系．

【解答】（1）证明：连结OD，如图所示：

∵∠DAO＝60°，OD＝OA，
∴△DOA是等边三角形，
∴∠ODA＝∠C＝60°，
∴OD∥BC，
又∵∠DFC＝90°，
∴∠ODF＝90°，
∴OD⊥DF，
即DF是⊙O的切线；
（2）设半径为r，等边△ABC的边长为a，
由（1）可知：AD＝r，则CD＝a﹣r，BE＝a﹣2r
在Rt△CFD中，∠C＝60°，CD＝a﹣r，
∴CF＝，
∴BF＝a﹣，
又∵EF是⊙O的切线，
∴△FEB是直角三角形，且∠B＝60°，∠EFB＝30°，
∴BF＝2BE，
∴a﹣（a﹣r）＝2（a﹣2r），
解得：a＝3r，
即r＝，
∴⊙O的半径r与等边△ABC的边长a之间的数量关系为：r＝．
38．（2020•贺州）如图，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上的一点，点C在⊙O上，BC＝BD，AE⊥CD交DC的延长线于点E，AC平分∠BAE．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CD＝6，求⊙O的直径．

【解答】（1）证明：连接OC，如图，

∵AC平分∠EAB，
∴∠OAC＝∠EAC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠EAC＝∠ACO，
∴OC∥AE，
∵AE⊥DC，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵BC＝BD，
∴∠BCD＝∠BDC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ACO+∠OCB＝90°，
由（1）知OC⊥CD，
∴∠OCD＝∠BCD+∠OCB＝90°，
∴∠OAC＝∠OCA＝∠BCD＝∠BDC，
∵OC＝OB，
∴∠OBC＝∠OCB，
而∠OBC＝∠BCD+∠D＝2∠BCD，
∴∠OCB＝2∠BCD，
而∠OCD＝∠BCD+∠OCB＝3∠BCD＝90°，
∴∠OAC＝∠OCA＝∠BCD＝∠D＝30°，
设OC＝x，则OD＝2x，
由勾股定理得4x2﹣x2＝62，
解得，
所以．
39．（2020•玉林）如图，AB是⊙O的直径，点D在直径AB上（D与A，B不重合），CD⊥AB，且CD＝AB，连接CB，与⊙O交于点F，在CD上取一点E，使EF＝EC．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若D是OA的中点，AB＝4，求CF的长．

【解答】（1）证明：连接OF，如图1所示：
∵CD⊥AB，
∴∠DBC+∠C＝90°，
∵OB＝OF，
∴∠DBC＝∠OFB，
∵EF＝EC，
∴∠C＝∠EFC，
∴∠OFB+∠EFC＝90°，
∴∠OFE＝180°﹣90°＝90°，
∴OF⊥EF，
∵OF为⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：连接AF，如图2所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∵D是OA的中点，
∴OD＝DA＝OA＝AB＝×4＝1，
∴BD＝3OD＝3，
∵CD⊥AB，CD＝AB＝4，
∴∠CDB＝90°，
由勾股定理得：BC＝＝＝5，
∵∠AFB＝∠CDB＝90°，∠FBA＝∠DBC，
∴△FBA∽△DBC，
∴＝，
∴BF＝＝＝，
∴CF＝BC﹣BF＝5﹣＝．


40．（2020•广西）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为直径的⊙O交BC于点E，点D为AC的中点，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若CE＝1，OA＝，求∠ACB的度数．

【解答】（1）证明：如图，连接OD，OE，

∵OB＝OE，
∴∠OBE＝∠OEB，
∵点D是AC的中点，O是AB的中点，
∴OD∥BC，
∴∠OBE＝∠AOD，∠OEB＝∠DOE，
∴∠AOD＝∠EOD，
在△AOD和△EOD中，
，
∴△AOD≌△EOD（SAS），
∴∠OED＝∠OAD＝90°，
∴OE⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接AE，

∵AB为⊙O直径，
∴∠AEB＝∠AEC＝90°，
∵点D为AC的中点，
∴设AD＝CD＝x，
∴AE＝＝，
∵∠C+∠CAE＝90°，∠BAE+∠CAE＝90°，
∴∠C＝∠BAE，
∴△AEC∽△BEA，
∴＝，
∴＝，
∴x＝，
两边平方，得
（4x2﹣1）x2＝3，
整理，得4x4﹣x2﹣3＝0，
∴（x2﹣1）（4x2+3）＝0，
∴（x2﹣1）＝0或（4x2+3）＝0，
解得，x＝±1（负值舍去），（4x2+3）＝0无解，
∴x＝1，
∴AC＝2x＝2，
∴cos∠C＝＝，
∴∠C＝60°．
答：∠ACB的度数为60°．
41．（2020•贵港）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，且AD＝BD，⊙O是△ACD的外接圆，AE是⊙O的直径．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若AB＝2，AD＝3，求直径AE的长．

【解答】（1）证明：连接DE，如图1，

∵AB＝AC，AD＝BD，
∴∠B＝∠BAD，∠B＝∠C，
∴∠C＝∠E，
∴∠E＝∠BAD，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ADE＝90°，
∴∠E+∠DAE＝90°，
∴∠BAD+∠DAE＝90°，
即∠BAE＝90°，
∴AE⊥AB，
∴直线AB是⊙O的切线；
（2）解：如图2，作AH⊥BC，垂足为点H，

∵AB＝AC，
∴BH＝CH，
∵∠B＝∠C＝∠BAD，
∴△ABC∽△DBA，
∴，
即AB2＝BD•BC，
又AB＝2，BD＝AD＝3，
∴BC＝8，
在Rt△ABH中，BH＝CH＝4，
∴AH＝＝＝2，
∵∠E＝∠B，∠ADE＝∠AHB，
∴△AED∽△ABH，
∴，
∴＝3．
42．（2020•河池）如图，AB是⊙O的直径，AB＝6，OC⊥AB，OC＝5，BC与⊙O交于点D，点E是的中点，EF∥BC，交OC的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）CG∥OD，交AB于点G，求CG的长．

【解答】证明：（1）连接OE，交BD于H，

∵点E是的中点，OE是半径，
∴OE⊥BD，BH＝DH，
∵EF∥BC，
∴OE⊥EF，
又∵OE是半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）∵AB是⊙O的直径，AB＝6，OC⊥AB，
∴OB＝3，
∴BC＝＝＝，
∵S△OBC＝×OB×OC＝×BC×OH，
∴OH＝＝，
∵cos∠OBC＝，
∴＝，
∴BH＝，
∴BD＝2BH＝，
∵CG∥OD，
∴，
∴＝，
∴CG＝．