2022年吉林省长春十一高中北湖学校中考数学调研试卷(含答案)

这是一份2022年吉林省长春十一高中北湖学校中考数学调研试卷(含答案)，共37页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年吉林省长春十一高中北湖学校中考数学调研试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24分）
1．（3分）如图表示互为相反数的两个点是（　　）

A．点A与点B B．点A与点D C．点C与点B D．点C与点D
2．（3分）随着我国金融科技不断发展，网络消费、网上购物已成为人们生活不可或缺的一部分，今年“双十一”天猫成交额高达2684亿元．将数据“2684亿”用科学记数法表示（　　）
A．2.684×103 B．2.684×1011 C．2.684×1012 D．2.684×107
3．（3分）下列立体图形中，主视图和左视图不一样的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（3分）不等式组的解集在数轴上用阴影表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（3分）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设该店有客房x间、房客y人，下列方程组中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（3分）如图，一座厂房屋顶人字架的跨度AC＝12m，上弦AB＝BC，∠BAC＝25°．若用科学计算器求上弦AB的长，则下列按键顺序正确的是（　　）

A． B．
C． D．
7．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中错误的是（　　）

A．点D在AB的中垂线上
B．AD＝2CD
C．点D到∠CAB两边的距离相等
D．AB＝CD
8．（3分）如图，P为第一象限内一点，过P作PA∥x轴，PB∥y轴，分别交函数于A，B两点，若S△BOP＝4，则S△ABO为（　　）

A．12 B．14 C．16 D．18
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
9．（3分）计算的结果是 　 　．
10．（3分）因式分解：4m2﹣25＝　 　．
11．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣3＝0有两个相等的实数根，则m的值是　 　．
12．（3分）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F在上，则∠CFD＝　 　度．

13．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6．矩形ABCD绕点A逆时针旋转一定角度得到矩形AB′C′D′．若点B的对应点B′落在边CD上，连接DD′，则△ADD′的面积为 　 　．

14．（3分）如图，抛物线y＝x2﹣3与x轴交于A，B两点，点P是以点C（0，4）为圆心，1为半径的圆上的动点，点Q是线段PB的中点，连接OQ，则线段OQ的最小值是 　 　．

三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）先化简，再求值：（a﹣2b）（a+2b）﹣（a﹣2b）2+8b2，其中a＝﹣6，b＝
16．（6分）由于疫情爆发，张明一家小区被管控，规定每两日每户可派一人出小区购买生活必需品．为增添生活乐趣，张明制作了下面两个可以自由转动的转盘：A转盘被分成如图所示的三份（一个半圆，两个四分之一圆），并分别标有数字1，2，﹣3；B转盘被等分成三份，分别标有数字﹣1，﹣2，3．
（1）A转盘转出﹣3的概率是 　 　．
（2）张明让爸妈两人同时转动A、B两个转盘，规则如下：当转盘停止转动时（两个指针只要有一个指针停在分割线上时，重新转动两个转盘，直到指针停在标有数字的扇形区域），如果指针所指的数字之和为正数，则爸爸去；如果指针所指的数字之和为负数，则妈妈去．请问，这个游戏对双方公平吗？说明理由．

17．（6分）2022年北京冬奥会是我国又一次举办的大型国际奥林匹克运动盛会．为了增加学生相关知识，某校开展“冬奥会知识竞赛”活动并计划购买大小两种型号的吉祥物玩偶作为奖品．已知大型号的单价比小型号的单价多16元，且学校用1950元购买小型号的数量是用1050元购买大型号数量的三倍．
（1）求两种型号玩偶的单价；
（2）为了让更多同学参与竞赛活动，学校决定购进这两种型号吉祥物玩偶共200个，但总费用不超过7000元求最多可购买大型号吉祥物玩偶的个数．
18．（7分）由边长为1的小正方形构成网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点A、B、C、D都是格点，仅用无刻度的直尺在给定12×8的网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示按要求完成下列问题：
（1）平移线段AC得到线段DE，在图1中画出线段DE；
（2）点F在线段BC上，使△ABF的面积等于△ACF面积的2倍，在图1中画出线段AF；
（3）点M在线段AD上，使tan∠ABM＝在图2中画出线段BM．

19．（7分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝，BD＝2，请直接写出△AOE的面积为 　 　．

20．（7分）为了解某地区企业信息化发展水平，从该地区中随机抽取50家企业调研，针对体现企业信息化发展水平的A和B两项指标进行评估，获得了它们的成绩（十分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．A项指标成绩的频数分布直方图如图（数据分成6组：4≤x＜5，5≤x＜6，6≤x＜7，7≤x＜8，8≤x＜9，9≤x≤10）：
b．A项指标成绩在7≤x＜8这一组的是：
7.2，7.3，7.5，7.67，7.7，7.71，7.75，7.82，7.86，7.9，7.92，7.93，7.97．
c．A，B两项指标成绩的平均数、中位数、众数如下：

平均数
中位数
众数
A项指标成绩
7.37
m
8.2
B项指标成绩
7.21
7.3
8
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m的值；
（2）在此次调研评估中，某企业A项指标成绩和B项指标成绩都是7.5分，该企业成绩排名更靠前的指标是
　 　（填“A“或“B”），理由是　 　；
（3）如果该地区有500家企业，估计A项指标成绩超过7.68分的企业数量．

21．（8分）甲乙两人相约一起去登山，登山过程中，甲先爬了100米、乙才开始追赶甲．甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）（x≥0）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）甲登山的速度是每分钟 　 　米，乙提速时距地面的高度b为 　 　米；
（2）若乙提速后，乙的速度是甲登山速度的3倍，请求出整个登山过程中乙距离地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系，并写出相应自变量取值范围；
（3）直接写出甲乙相遇后，甲再经过多长时间与乙相距30米？

22．（9分）【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容：
如图，在△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点，可以猜想：DE∥BC且DE＝BC．请写出证明过程．
【结论应用】
（1）如图1，四边形ABCD中，AD＝BC，E、F、G分别是AB、DC、AC的中点．若∠ACB＝80°，∠DAC＝20°，求∠EFG的度数．
（2）如图2，在△ABC外分别作正方形ACEF和BCGH，D是AB的中点，M，N分别是正方形的中心，AC＝6，
BC＝4，则△DMN的面积最大值为 　 　．



23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝4，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB向点B运动，过点P作PD⊥AB交边AC或边BC于点D，点E是射线PB上的一点，且PE＝2PD，以PD、PE为邻边作矩形PEFD．设矩形PEFD与△ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t（秒）．
（1）用含t的代数式表示线段PE的长．
（2）当点F落在BC上时，求t的值．
（3）当矩形PEFD与△ABC重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式．
（4）若△ABC重心为G，矩形DPEF中心为O，当点O与点G到直线AB距离相同时，请直接写出t的值．

24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2ax﹣a（a为常数）．
（1）当（﹣，m）在抛物线上，求m的值．
（2）当抛物线的最低点到直线y＝﹣的距离恰好是时，求a的值．
（3）已知A（﹣1，1）、B（﹣1，2a﹣），连接AB．当抛物线与线段AB有交点时，记交点为P（点P不与A、B重合），将线段PB绕点P顺时针旋转90°得到线段PM，以PM、PA为邻边构造矩形PMQA．
①若抛物线在矩形PMQA内部的图象的函数值y随自变量x的增大而减小时，求a的取值范围．
②当抛物线在矩形PMQA内部（包含边界）图象所对应的函数的最大值与最小值的差为时，直接写出α的值．

2022年吉林省长春十一高中北湖学校中考数学调研试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，共24分）
1．（3分）如图表示互为相反数的两个点是（　　）

A．点A与点B B．点A与点D C．点C与点B D．点C与点D
【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．
【解答】解：3和﹣3互为相反数，则点A与点D表示互为相反数的两个点．
故选：B．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．
2．（3分）随着我国金融科技不断发展，网络消费、网上购物已成为人们生活不可或缺的一部分，今年“双十一”天猫成交额高达2684亿元．将数据“2684亿”用科学记数法表示（　　）
A．2.684×103 B．2.684×1011 C．2.684×1012 D．2.684×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将2684亿＝268400000000用科学记数法表示为：2.684×1011．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）下列立体图形中，主视图和左视图不一样的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】主视图、左视图是分别从物体正面、左面看，所得到的图形．
【解答】解：A、圆柱的主视图和左视图均为全等的长方形，不符合题意；
B、圆锥的主视图和左视图均为全等的等腰三角形，不符合题意；
C、正方体的主视图和左视图均为全等的正方形，不符合题意；
D、这个三棱柱的主视图是正方形，左视图是三角形，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图．
4．（3分）不等式组的解集在数轴上用阴影表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】求出不等式组的解集，表示出数轴上即可．
【解答】解：不等式组整理得：，
∴不等式组的解集为x≤﹣3，

故选：C．
【点评】此题考查了解一元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．（3分）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设该店有客房x间、房客y人，下列方程组中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】设该店有客房x间，房客y人；根据题意一房七客多七客，一房九客一房空得出方程组即可．
【解答】解：设该店有客房x间，房客y人；
根据题意得：，
故选：A．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用；根据题意得出方程组是解决问题的关键．
6．（3分）如图，一座厂房屋顶人字架的跨度AC＝12m，上弦AB＝BC，∠BAC＝25°．若用科学计算器求上弦AB的长，则下列按键顺序正确的是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】过B点作BD⊥AC于D，根据等腰三角形的性质得到AD＝CD＝5米，在Rt△ADB中，利用∠AC的余弦进行计算即可得到AB，再得到正确的按键顺序．
【解答】解：过B点作BD⊥AC于D，
∵AB＝BC，BD⊥AC，AC＝12米，
∴AD＝CD＝6米，
在Rt△ADB中，∠BAC＝25°，
∴AB＝＝，
即按键顺序正确的是．
故选：B．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用：在直角三角形中，已知一个锐角和它的邻边，可利用这个角的余弦求出斜边．也考查了等腰三角形的性质．
7．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中错误的是（　　）

A．点D在AB的中垂线上
B．AD＝2CD
C．点D到∠CAB两边的距离相等
D．AB＝CD
【分析】根据角平分线的性质和含30°的直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：由图可知：AD是∠BAC的平分线，
∴点D到∠BAC的两边距离相等，
∵△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠B＝∠DAB＝30°，
∴AD＝DB，
∴点D在AB的中垂线上，
∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠DAC＝30°，
∴AD＝2CD，
∴AB＝2AC，AC＝CD，
∴AB＝2CD，
∴选项A，B，C正确．
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图﹣基本作图．解题时，需要熟悉等腰三角形的判定与性质．
8．（3分）如图，P为第一象限内一点，过P作PA∥x轴，PB∥y轴，分别交函数于A，B两点，若S△BOP＝4，则S△ABO为（　　）

A．12 B．14 C．16 D．18
【分析】延长BP交x轴于点M，过点A作AN⊥x轴于点N，设B（t，），根据S△BOP＝4，可得BP＝，进而可得A（3t，），根据反比例函数k的几何意义，可得S梯形ABMN＝S△AOB，表达梯形的面积即可求解．
【解答】解：如图，延长BP交x轴于点M，过点A作AN⊥x轴于点N，

则四边形APMN是矩形，
∴AP＝MN，AN＝PM，
设点B的横坐标为t，
点A，B在函数上，
∴B（t，），
∵S△BOP＝4，
∴•t•BP＝4，解得BP＝，
∴PM＝AN＝，
∴A（3t，），
∴AP＝MN＝2t，
∵S△BOM+S梯形ABMN＝S△AON+S△AOB，且S△BOM＝S△AON＝＝6，
∴S梯形ABMN＝S△AOB＝•（）•2t＝16．
故选：C．
【点评】本题主要考查反比例函数k的几何意义，三角形的面积，梯形的面积等知识，由k的几何意义得出S梯形ABMN＝S△AOB是解题关键．
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
9．（3分）计算的结果是 　6　．
【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．
【解答】解：＝2
＝2×3
＝6．
故答案为：6．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确化简二次根式是解题关键．
10．（3分）因式分解：4m2﹣25＝　（2m+5）（2m﹣5）　．
【分析】直接利用平方差公式进行分解即可．
【解答】解：原式＝（2m+5）（2m﹣5），
故答案为：（2m+5）（2m﹣5）．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
11．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣3＝0有两个相等的实数根，则m的值是　4　．
【分析】由于关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣3＝0有两个相等的实数根，可知其判别式为0，据此列出关于m的方程，解答即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣3＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（m﹣3）＝0，即4﹣m＝0，
解得m＝4．
故答案是：4．
【点评】本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程有两个相等的实数根，则可得Δ＝0，此题难度不大．
12．（3分）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F在上，则∠CFD＝　36　度．

【分析】连接OC，OD．求出∠COD的度数，再根据圆周角定理即可解决问题；
【解答】解：如图，连接OC，OD．
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠COD＝＝72°，
∴∠CFD＝∠COD＝36°，
故答案为：36．

【点评】本题考查正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
13．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6．矩形ABCD绕点A逆时针旋转一定角度得到矩形AB′C′D′．若点B的对应点B′落在边CD上，连接DD′，则△ADD′的面积为 　　．

【分析】如图，过点D′作D′E⊥AD于点E，求出D′E，可得结论．
【解答】解：如图，过点D′作D′E⊥AD于点E，

∵AB＝10，AD＝6，由旋转的性质可得AB′＝10，
在Rt△ADB′中，由勾股定理可得DB′＝＝8，
又∵∠D′AB′＝90°，
∴∠D′AD＝90°﹣∠DAB′＝∠DB′A，
∴cos∠D′AD＝cos∠DB′A＝＝＝，
∴＝，
∴AE＝，
在Rt△D′AE中，由勾股定理，得D′E＝＝＝，
∴S△ADD′＝AD•D′E＝×6×＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了旋转的性质，矩形的性质．解题时，根据旋转的性质得到AD＝AD′＝6是解题的关键．
14．（3分）如图，抛物线y＝x2﹣3与x轴交于A，B两点，点P是以点C（0，4）为圆心，1为半径的圆上的动点，点Q是线段PB的中点，连接OQ，则线段OQ的最小值是 　2　．

【分析】连接BP，如图，先解方程x2﹣3＝0得A（﹣3，0），B（3，0），再判断OQ为△ABP的中位线得到OQ＝AP，利用点与圆的位置关系，连接AC交圆于P时，PA最小，然后计算出AP的最小值即可得到线段OQ的最小值．
【解答】解：连接AP，如图，
当y＝0时，x2﹣3＝0，解得x1＝3，x2＝﹣3，则A（﹣3，0），B（3，0），
∵Q是线段PB的中点，
∴OQ为△ABP的中位线，
∴OQ＝AP，
当AP最小时，OQ最小，
连接AC交圆于P时，PA最小，
∵AC＝＝5，
∴AP的最小值＝5﹣1＝4，
∴线段OQ的最小值为2．
故答案为2．

【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了三角形中位线．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）先化简，再求值：（a﹣2b）（a+2b）﹣（a﹣2b）2+8b2，其中a＝﹣6，b＝
【分析】原式利用平方差公式，完全平方公式计算，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝a2﹣4b2﹣a2+4ab﹣4b2+8b2＝4ab，
当a＝﹣6，b＝时，原式＝﹣8．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．（6分）由于疫情爆发，张明一家小区被管控，规定每两日每户可派一人出小区购买生活必需品．为增添生活乐趣，张明制作了下面两个可以自由转动的转盘：A转盘被分成如图所示的三份（一个半圆，两个四分之一圆），并分别标有数字1，2，﹣3；B转盘被等分成三份，分别标有数字﹣1，﹣2，3．
（1）A转盘转出﹣3的概率是 　　．
（2）张明让爸妈两人同时转动A、B两个转盘，规则如下：当转盘停止转动时（两个指针只要有一个指针停在分割线上时，重新转动两个转盘，直到指针停在标有数字的扇形区域），如果指针所指的数字之和为正数，则爸爸去；如果指针所指的数字之和为负数，则妈妈去．请问，这个游戏对双方公平吗？说明理由．

【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等，据此求解即可．
【解答】解：（1）A转盘转出﹣3的概率是＝；
故答案为：；

（2）列表如下：

1
2
﹣3
﹣3
﹣1
0
1
﹣4
﹣4
﹣2
﹣1
0
﹣5
﹣5
3
4
5
0
0
由表知，共有12种等可能结果，其中指针所指的数字之和为正数有3种结果，指针所指的数字之和为负数有5种结果，
所以爸爸去的概率为＝，妈妈去的概率为，
∵≠，
∴这个游戏对双方不公平．
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
17．（6分）2022年北京冬奥会是我国又一次举办的大型国际奥林匹克运动盛会．为了增加学生相关知识，某校开展“冬奥会知识竞赛”活动并计划购买大小两种型号的吉祥物玩偶作为奖品．已知大型号的单价比小型号的单价多16元，且学校用1950元购买小型号的数量是用1050元购买大型号数量的三倍．
（1）求两种型号玩偶的单价；
（2）为了让更多同学参与竞赛活动，学校决定购进这两种型号吉祥物玩偶共200个，但总费用不超过7000元求最多可购买大型号吉祥物玩偶的个数．
【分析】（1）设小型号的单价为x元，则大型号的单价为（x+16）元，根据“用1950元购买小型号的数量是用1050元购买大型号数量的三倍”列方程，求解即可；
（2）最多购买大型号吉祥物玩偶m个，根据“总费用不超过7000元”列不等式42m+26（200﹣m）≤7000，求解即可．
【解答】解：（1）设小型号的单价为x元，则大型号的单价为（x+16）元，
根据题意，得，
解得x＝26，
经检验，x＝26是原分式方程的根，
∴小型号的单价为26元，大型号的单价为42元．
（2）设最多购买大型号吉祥物玩偶m个，
根据题意，得42m+26（200﹣m）≤7000，
解得m≤112.5，
∴最多可购买大型号吉祥物玩偶112个．
【点评】本题考查了分式方程的应用题，根据题意建立关系式是解题的关键，还要注意分式方程检验与取整问题．
18．（7分）由边长为1的小正方形构成网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点A、B、C、D都是格点，仅用无刻度的直尺在给定12×8的网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示按要求完成下列问题：
（1）平移线段AC得到线段DE，在图1中画出线段DE；
（2）点F在线段BC上，使△ABF的面积等于△ACF面积的2倍，在图1中画出线段AF；
（3）点M在线段AD上，使tan∠ABM＝在图2中画出线段BM．

【分析】（1）利用平移变换的性质作出点C的对应点E即可；
（2）利用网格特征作出BC的中点F，连接AF即可；
（3）取格点A，J，K，G，连接AJ，GK交于点P，作射线BP交AD于点M，点M即为所求．
【解答】解：（1）如图，线段DE即为所求；
（2）如图，线段AF即为所求；
（3）如图，点M即为所求．

【点评】本题考查作图﹣平移变换，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19．（7分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝，BD＝2，请直接写出△AOE的面积为 　　．

【分析】（1）先证CD＝AD，再证四边形ABCD是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论；
（2）由菱形的性质和勾股定理得OA＝3，则AC＝2OA＝6，再证△AOB∽△AEC，求出EA的长，过O作OP⊥AE于P，然后由三角形面积求出OP的长，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AC为∠BAD的平分线，
∴∠CAB＝∠DAC，
∵AB∥CD，
∴∠CAB＝∠DCA，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD，
∵AB＝AD，
∴AB＝CD，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：如图，过O作OP⊥AE于P，

∵四边形ABCD是菱形，BD＝2，
∴OA＝OC，BD⊥AC，OB＝OD＝1，
∴∠AOB＝90°，
∴OA＝＝＝3，
∴AC＝2OA＝6，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°＝∠AOB，
又∵∠OAB＝∠EAC，
∴△AOB∽△AEC，
∴＝，
∴＝，
解得EA＝，
∵OP⊥AE，
∴AB•OP＝OA•OB，
∴OP＝3×1，
∴OP＝，
∴S△AOE＝AE•OP＝×＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、相似三角形的判定与性质以及三角形面积等知识，熟练掌握菱形的判定与性质和等腰三角形的判定，证明三角形相似是解题的关键．
20．（7分）为了解某地区企业信息化发展水平，从该地区中随机抽取50家企业调研，针对体现企业信息化发展水平的A和B两项指标进行评估，获得了它们的成绩（十分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．A项指标成绩的频数分布直方图如图（数据分成6组：4≤x＜5，5≤x＜6，6≤x＜7，7≤x＜8，8≤x＜9，9≤x≤10）：
b．A项指标成绩在7≤x＜8这一组的是：
7.2，7.3，7.5，7.67，7.7，7.71，7.75，7.82，7.86，7.9，7.92，7.93，7.97．
c．A，B两项指标成绩的平均数、中位数、众数如下：

平均数
中位数
众数
A项指标成绩
7.37
m
8.2
B项指标成绩
7.21
7.3
8
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m的值；
（2）在此次调研评估中，某企业A项指标成绩和B项指标成绩都是7.5分，该企业成绩排名更靠前的指标是
　B　（填“A“或“B”），理由是　该企业A项指标成绩是7.5分，小于A项指标成绩的中位数，说明该企业指标成绩的排名在后25名；B项指标成绩是7.5分，大于B项指标成绩的中位数，说明该企业B项指标成绩的排名在前25名　；
（3）如果该地区有500家企业，估计A项指标成绩超过7.68分的企业数量．

【分析】（1）根据频数分布直方图可得表中m的值：3+8+6＝17，再从A项指标成绩在7≤x＜8这一组的数据中数到第25、26个数是7.82和7.86，进而可得m的值；
（2）根据B项指标成绩是7.5分，大于B项指标成绩的中位数，说明该企业B项指标成绩的排名在前25名，进而可以判断；
（3）根据题意可得，在样本中，A项指标成绩超过7.68分的企业数量是29，进而可以估计该地区A项指标成绩超过7.68分的企业数量为290家．
【解答】解：（1）m＝（7.82+7.86）÷2＝7.84；
（2）该企业成绩排名更靠前的指标是B，
理由是：该企业A项指标成绩是7.5分，小于A项指标成绩的中位数，说明该企业指标成绩的排名在后25名；
B项指标成绩是7.5分，大于B项指标成绩的中位数，说明该企业B项指标成绩的排名在前25名；
故答案为：B，该企业A项指标成绩是7.5分，小于A项指标成绩的中位数，说明该企业指标成绩的排名在后25名；B项指标成绩是7.5分，大于B项指标成绩的中位数，说明该企业B项指标成绩的排名在前25名；
（3）根据题意可知：
在样本中，A项指标成绩超过7.68分的企业数量是29，
因为×500＝290．
所以估计该地区A项指标成绩超过7.68分的企业数量为290家．
【点评】本题考查了频数分布直方图、用样本估计总体、中位数，解决本题的关键是综合运用以上知识．
21．（8分）甲乙两人相约一起去登山，登山过程中，甲先爬了100米、乙才开始追赶甲．甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）（x≥0）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）甲登山的速度是每分钟 　10　米，乙提速时距地面的高度b为 　30　米；
（2）若乙提速后，乙的速度是甲登山速度的3倍，请求出整个登山过程中乙距离地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系，并写出相应自变量取值范围；
（3）直接写出甲乙相遇后，甲再经过多长时间与乙相距30米？

【分析】（1）根据速度＝高度÷时间即可算出甲登山上升的速度；根据高度＝速度×时间即可算出乙在A地时距地面的高度b的值；
（2）分0≤x≤2和x＞2两种情况，根据高度＝初始高度+速度×时间即可得出y关于x的函数关系；
（3）先求出甲、乙相遇时所用时间，在路程之间的关系列出方程求解即可．
【解答】解：（1）（300﹣100）÷20＝10（米/分钟），
b＝15÷1×2＝30．
故答案为：10；30；
（2）当0≤x≤2时，y＝15x；
当x＞2时，y＝30+10×3（x﹣2）＝30x﹣30．
当y＝30x﹣30＝300时，x＝11．
∴乙登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为y＝；
（3）甲登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为y＝10x+100（0≤x≤11）．
当10x+100＝30x﹣30时，
解得：x＝6.5；
∴30（x﹣6.5）﹣10（x﹣6.5）＝30，
解得x＝8，
∴x﹣6.5＝1.5
答：甲乙相遇后，甲再经过1.5分与乙相距30米．
【点评】本题考查了一次函数的应用以及解一元一次方程，解题的关键是根据数量关系列出函数解析式．
22．（9分）【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容：
如图，在△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点，可以猜想：DE∥BC且DE＝BC．请写出证明过程．
【结论应用】
（1）如图1，四边形ABCD中，AD＝BC，E、F、G分别是AB、DC、AC的中点．若∠ACB＝80°，∠DAC＝20°，求∠EFG的度数．
（2）如图2，在△ABC外分别作正方形ACEF和BCGH，D是AB的中点，M，N分别是正方形的中心，AC＝6，
BC＝4，则△DMN的面积最大值为 　　．



【分析】【教材呈现】：利用相似三角形的性质证明即可；
【结论应用】：（1）由三角形的中位线定理可得GF＝AD，GF∥AD，GE∥BC，GE＝BC，由平行线的性质和等腰三角形的性质可求解；
（2）由“SAS”可证△ACG≌△ECB，可得BE＝AG，∠CEB＝∠CAG，由三角形中位线定理可证△MDN是等腰直角三角形，可得△DMN的面积＝DM2，则当DM有最大值时，△DMN的面积有最大值，即可求解．
【解答】【教材呈现】：证明：∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴，
∵∠A＝∠A，
∴△DAE∽△BAC，
∴∠ADE＝∠B，，
∴DE∥BC，DE＝BC；
【结论应用】
（1）∵E、F、G分别是AB、DC、AC的中点，
∴GF＝AD，GF∥AD，GE∥BC，GE＝BC，
∴∠DAC＝∠GFC＝20°，∠AGE＝∠ACB＝80°，
∴∠CGE＝100°，
∴∠EGF＝120°，
∵AD＝BC，
∴GF＝GE，
∴∠EFG＝∠FEG＝30°；
（2）如图2，连接BE，AG交于点P，BE与AC与点O，连接AE，GB，

在正方形ACEF和BCGH中，AC＝EC，BC＝CG，∠ACE＝∠BCG＝90°，
∴∠BCE＝∠ACG，
∴△ACG≌△ECB（SAS），
∴BE＝AG，∠CEB＝∠CAG，
∵∠CEB+∠COE＝90°，
∴∠CAG+∠AOP＝90°，
∴∠APO＝90°，即BE⊥AG，
∵M，N分别是正方形的中心，
∴点M在AE上，点N在BG上，
∴AM＝EM，BN＝NG，
又∵AD＝BD，
∴MD＝BE，DN＝AG，MD∥BE，DN∥AG，
∴MD＝DN，MD⊥DN，
∴△MDN是等腰直角三角形，
∴△DMN的面积＝DM2，
∴当DM有最大值时，△DMN的面积有最大值，
∵MD＝BE，
∴当BE有最大值时，MD有最大值，
∵BE≤BC+CE，
∴BE≤10，
∴MD≤5，
∴△DMN的面积的最大值为，
故答案为：．
【点评】本题是四边形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题．
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝4，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB向点B运动，过点P作PD⊥AB交边AC或边BC于点D，点E是射线PB上的一点，且PE＝2PD，以PD、PE为邻边作矩形PEFD．设矩形PEFD与△ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t（秒）．
（1）用含t的代数式表示线段PE的长．
（2）当点F落在BC上时，求t的值．
（3）当矩形PEFD与△ABC重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式．
（4）若△ABC重心为G，矩形DPEF中心为O，当点O与点G到直线AB距离相同时，请直接写出t的值．

【分析】（1）分两种情况：D在AC和BC上，根据三角函数列式先求PD的长，可得结论；
（2）如图4，根据EF＝2BE，列方程可得结论；
（3）存在两种情况，先求边界点时t的值，分别画图根据面积公式可得结论；
（4）分两种情况，根据点O与点G到直线AB距离相同时列方程可得t的值．
【解答】解：（1）∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝4，
∴AB＝，
如图2，当D与C重合时，CP⊥AB，
cos∠A＝，即，
AP＝，
tan∠A＝，即，
∴PD＝t，
∴当0＜t≤时，如图1，PE＝2PD＝2×t＝2t，

如图3，AP＝2t，

∴PB＝4﹣2t，
tan∠DBP＝，即，
PD＝8﹣4t，
当＜t≤2时，如图3，PE＝2PD＝2（8﹣4t）＝16﹣8t；
（2）当点F落在BC上时，如图4，

BE＝4﹣4t，EF＝PD＝t，
∵EF＝2BE，
∴t＝2×（4﹣4t），
t＝（秒）；
（3）当0＜t≤时，如图1，矩形PEFD与△ABC重叠部分图形是矩形PEFD，
S＝PD•PE＝t•2t＝10t2；
如图5，当E与B重合时，PB＝2PD，则4﹣2t＝2×，t＝1，

当1＜t≤时，如图6，
cos∠A＝，即，
AD＝5t，
∴CD＝8﹣5t，
∵DM∥AB，
∴∠CDM＝∠A，
∴cos∠A＝cos∠CDM＝，即，
DM＝4﹣t，
S＝（4﹣t+4﹣2t）•t＝﹣t2+20t；
综上，S与t之间的函数关系式是：S＝．
（4）
∵AQ＝QB，G是△ABC的重心，
∴QG：GC＝1：2，
∵AC＝8，BC＝4，
∴AB＝，
∴CK＝，
∵GJ∥CK，
∴△QGJ∽△QCK，
∴，
∴，
∴GJ＝，
当点O与点G到直线AB距离相同时，当0＜t≤时，PD＝，
解得：t＝，
当＜t≤2时，PD＝，
解得：t＝，
因为AB＝4，t＝，
∴，
综上所述，当点O与点G到直线AB距离相同时，t的值为或．

【点评】本题是四边形的综合题，考查了直角三角形的性质、矩形的性质、三角函数和重叠部分的面积，比较复杂，此类题要先求特殊位置时对应的t值，做到不重不漏，利用数形结合的思想，先确定重叠部分图形的形状，再求其面积．
24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2ax﹣a（a为常数）．
（1）当（﹣，m）在抛物线上，求m的值．
（2）当抛物线的最低点到直线y＝﹣的距离恰好是时，求a的值．
（3）已知A（﹣1，1）、B（﹣1，2a﹣），连接AB．当抛物线与线段AB有交点时，记交点为P（点P不与A、B重合），将线段PB绕点P顺时针旋转90°得到线段PM，以PM、PA为邻边构造矩形PMQA．
①若抛物线在矩形PMQA内部的图象的函数值y随自变量x的增大而减小时，求a的取值范围．
②当抛物线在矩形PMQA内部（包含边界）图象所对应的函数的最大值与最小值的差为时，直接写出α的值．
【分析】（1）将（﹣，m）代入解析式，可求解；
（2）求出顶点坐标，由题意列出方程可求解；
（3）①通过数形结合，讨论抛物线对称轴与矩形边的位置关系与抛物线经过临界点时的值求解；
②分类讨论点B在A上方与点B在A下方两种情况，分别求出最高点与最低点坐标作差求解．
【解答】解：（1）将（﹣，m）代入y＝x2﹣2ax﹣a可得：
m＝+a﹣a，
∴m＝．
（2）∵y＝x2﹣2ax﹣a＝（x﹣a）2﹣a2﹣a，
∴抛物线顶点坐标为（a，﹣a2﹣a），
∵抛物线的最低点到直线y＝﹣的距离恰好是，
∴|﹣a2﹣a+|＝，
解得：a＝﹣或或﹣±；
（3）①AB所在直线解析式为x＝﹣1，
将x＝﹣1代入y＝x2﹣2ax﹣a，得y＝1+a，
∴点P坐标为（﹣1，1+a），
当点B在点A上方时，2a﹣＞1+a＞﹣1，
解得：a＞，
∵PB＝PM＝2a﹣﹣（1+a）＝a﹣，
∴点M横坐标为﹣1+a﹣＝a﹣，
∵a＞a﹣，
∴抛物线对称轴在点M右侧，满足题意，
∴a＞．

当点B在点A下方时，﹣1＞1+a＞2a﹣，
解得：a＜0，
∵PB＝PM＝1+a﹣（2a﹣）＝﹣a，
∴点M横坐标为﹣1﹣（﹣a）＝a﹣，
当抛物线经过点M时，a＝，
解得：a＝﹣，
∴﹣＜a＜0满足题意．

综上所述，﹣＜a＜0或a＞；
②由①得Q的横坐标为a﹣，
∴Q的坐标为（a﹣，1），
当a＞，抛物线经过点Q时，将（a﹣，1）代入抛物线解析式得：1＝（a﹣）2﹣2a（a﹣）﹣a，
解得a＝或a＝（舍），
抛物线与直线x＝a﹣交点为（a﹣，﹣a2﹣a+），
当＜a＜时，抛物线与矩形交点最高点为点P（﹣1，1+a），最低点纵坐标为1，
则（1+a）﹣1＝时，
解得a＝（舍），

当点P为最高点，抛物线与MQ交点E为最低点时，
则（1+a）﹣（﹣a2﹣a+）＝，
解得：a＝﹣1﹣（舍）或a＝﹣1+．

当a＜0时，抛物线经过点Q时，a＝，
∴≤a＜0时，抛物线与矩形交点最高点纵坐标为1，最低点纵坐标为点P纵坐标为1+a，
当1﹣（1+a）＝时，
∴a＝﹣．

当a＜时，抛物线与直线MQ交点（a﹣，﹣a2﹣a+）为最高点，点P为最低点，
当﹣a2﹣a+﹣（1+a）＝时，
解得：a＝﹣1+（舍）或a＝﹣1﹣，

综上所述，a＝﹣1﹣或a＝﹣或a＝﹣1+．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，矩形的性质，旋转的性质等知识，利用数形结合的思想解决问题是解题的关键．
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