第一章 特殊的平行四边形 单元检测　2022-2023学年北师大版数学 九年级上册(含答案)

2022-2023北师大版数学 九年级上册第一章 特殊的平行四边形 单元检测

一．选择题（共12小题）

1．如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，BC的垂直平分线EF分别交BC，AC于点E、F，连接DF，若∠BCD＝70°，则∠ADF的度数是（　　）

A．60° B．75° C．80° D．110°

2．已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件：①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD．从中选择两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（　　）

A．选①② B．选②③ C．选①③ D．选③④

3．下列判断错误的是（　　）

A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 

B．四个内角都相等的四边形是矩形 

C．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 

D．四条边都相等的四边形是菱形

4．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，OA＝6，将△ABC沿直线AC翻折，使点B落在点D处，AD交x轴于点E，若∠BAC＝30°，则点D的坐标为（　　）

A． B． C． D．

5．菱形具有而矩形不一定有的性质是（　　）

A．对角线互相平分 B．四条边都相等 

C．对角相等 D．对边平行

6．如图，正方形ABCD中，AC与BD相交于点O，F是AB上的任意一点，过点F分别作FE∥BD、FG∥AC，FE交AD于E点，FG交BC于G点．则下列结论错误的是（　　）

A．BD垂直平分FFG∥ACG B．EF+FG＝AC 

C．△AFE是等腰直角三角形 D．GC+FG＝AC

7．如图，已知正方形ABCD的边长为2，点O为正方形的中心，点G为AB边上一动点，直线GO交CD于点H，过点D作DE⊥GO，垂足为点E，连接CE，则CE的最小值为（　　）

A．2 B．4﹣ C． D．﹣1

8．如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF＝6，则菱形ABCD的周长为（　　）

A．48 B．36 C．24 D．18

9．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE＝DF；②∠DAF＝15°，③AC垂直平分EF，④，其中正确结论有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4

10．如图，Rt△ABC≌Rt△DCB，其中∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，O为BC中点，EF过点交AC、BD于点E、F，连接BE、CF，则下列结论错误的是（　　）

A．四边形BECF为平行四边形 

B．当BF＝3.5时，四边形BECF为矩形 

C．当BF＝2.5时，四边形BECF为菱形 

D．四边形BECF不可能为正方形

11．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的坐标为（1，），则点C的坐标为（　　）

A．（﹣，1） B．（﹣1，） C．（，1） D．（﹣，﹣1）

12．如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°，则∠BOE的度数为（　　）

A．60° B．75° C．72° D．90°

二．填空题（共6小题）

13．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF＝18°，则∠AED等于　   　度．

14．如图，正方形ABCD的面积等于36cm2，正方形DEFG的面积等于16cm2，则阴影部分的面积S＝　   　cm2．

15．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BD＝4，对角线AC、BD交于点O，AE⊥BD，则AD＝　   　，AE＝　   　．

16．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，C的坐标分别为（3，3），（﹣1，﹣1），对角线BD交AC于点M，交x轴于点N．若BN＝2ND，则点D的坐标为 　   　．

17．如图，正方形ABCD边长为4，E为CD边中点，P为射线BE上一点（点P不与点B重合），若△PDC为直角三角形，则BP的长是 　   　．

18．在平面直角坐标系中，一个长方形的三个顶点的坐标分别为（﹣2，﹣1）、（2，3）、（2，﹣1），则其第四个顶点的坐标为　   　．

三．解答题（共5小题）

19．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF⊥DE，且AF＝DE，AF与DE相交于点G．

（1）求证：矩形ABCD为正方形：

（2）若AE：EB＝2：1，△AEG的面积为4，求四边形BEGF的面积．

20．如图，在▱ABCD中，E、F分别是边BC，AD的中点，AC是对角线，过点D作DP∥AC，交BA的延长线于点P，∠P＝90°．求证：四边形AECF是菱形．

21．已知：在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点O作EF⊥BD，分别交AB，DC于点E，F，连接BF，DE．

（1）如图1，求证：四边形DEBF是菱形；

（2）如图2，AD∥EF，且AD＝AE，在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出图2中四个度数为30°的角．

22．如图，在平行四边形ABCD中，点P是AB边上一点（不与A，B重合），CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交AD边于点Q，连结CQ．

（1）若∠BPC＝∠AQP，求证：四边形ABCD是矩形；

（2）在（1）的条件下，当AP＝4，AD＝12时，求AQ的长．

23．如图，四边形ABCD为矩形，连接BD，AB＝2AD，点E在AB边上，连接ED．

（1）若∠ADE＝30°，DE＝6，求△BDE的面积；

（2）延长CB至点F使得BF＝2AD，连接FE并延长交AD于点M，过点A作AN⊥EM于点N，连接BN，求证：FN＝AN+BN．

参考答案与试题解析

一．选择题（共12小题）

1．【解答】解：连接BF，如图所示：

∵四边形ABCD是菱形，

∴∠DCF＝∠BCF＝∠BCD＝35°，AC垂直平分BD，AD∥BC，

∴BF＝DF，

∵EF是BC的垂直平分线，

∴BF＝CF，

∴DF＝CF，

∴∠CDF＝∠DCF＝35°，

∵AD∥BC，

∴∠ADC+∠BCD＝180°，

∴∠ADC＝180°﹣70°＝110°，

∴∠ADF＝110°﹣35°＝75°，

故选：B．

2．【解答】解：对于A，由①得四边形ABCD是菱形，由②得进一步可知四边形ABCD是正方形，故A选项不符合题意；

对于B，由②可证得四边形ABCD是矩形，而矩形有对角线相等的性质，则结合③条件不能判断平行四边形ABCD是正方形，故B选项符合题意；

对于C，由①得四边形ABCD是菱形，结合③可证得四边形ABCD是正方形，故C选项不符合题意；

对于D，由②可证得四边形ABCD是矩形，再结合④对角线垂直的条件，可推出四边形ABCD是正方形，故D选项不符合题意．

故选：B．

3．【解答】解：A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故A正确，不符合题意；

B．四个内角都相等的四边形是矩形，故B正确，不符合题意；

C．两条对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，故C错误，符合题意；

D．四条边都相等的四边形是菱形，故D正确，不符合题意；

故选：C．

4．【解答】解：过D点作DF⊥x轴，垂足为F，则DF∥y轴，

∵四边形AOCB为矩形，

∴∠OAB＝∠AOC＝∠B＝90°，BC＝AO＝6，AB＝OC，

∵∠BAC＝30°，

∴AC＝12，OC＝AB＝，

由折叠可知：∠DAC＝∠BAC＝30°，AD＝AB＝，

∴∠OAE＝30°，

∴OE＝，AE＝，

∴ED＝，

∵DF∥y轴，

∴∠EDF＝∠EAO＝30°，

∴EF＝，DF＝3，

∴OF＝OE+EF＝，

∴D点坐标为（，﹣3），

故选：B．

5．【解答】解：A．因为矩形和菱形都是平行四边形，对角线都互相平分，所以A选项不符合题意；

B．因为菱形的四条边相等，而矩形的四条边不行等，所以B选项符合题意；

C．因为矩形和菱形都是平行四边形，对角都相等，所以C选项不符合题意；

D．因为矩形和菱形的对边都相等且平行，不符合题意．

故选：B．

6．【解答】解：如图，

A、由对角线AC、BD互相垂直平分且相等，FG∥AC，可以得出FG∥AC，故命题正确；

B、由EF＝AM+CN，FG＝MN，可以得出EF+FG＝AC，故命题正确；

C、△ABD为等腰直角三角形，且FE∥BD，可以得出△AFE是等腰直角三角形，故命题正确；

D、由②可知，AM+CN＞CG，因此GC+FG＝AC不正确，故命题错误．

故选：D．

7．【解答】解：如图，连接OC，OD，

∵DE⊥GO，

∴点E在以OD为直径的圆上运动，

∴当OD中点F，点E，点C三点共线时，CE有最小值，

∵正方形ABCD的边长为2，

∴OC＝OD＝2，

∴OF＝1，

∴CF＝＝＝，

∴CE的最小值＝﹣1，

故选：D．

8．【解答】解：∵E、F分别是AB、AC的中点，

∴EF是△ABC的中位线，

∴BC＝2EF＝2×6＝12，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝BC＝CD＝AD＝12，

∴菱形ABCD的周长＝4×12＝48，

故选：A．

9．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝∠D＝∠BAD＝90°，

∵△AEF等边三角形，

∴AE＝EF＝AF，∠EAF＝60°，

∴∠BAE+∠DAF＝30°，

在Rt△ABE和Rt△ADF中，

，

∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），

∴BE＝DF，∠BAE＝∠DAF，

故①正确；

∵∠BAE+∠DAF＝30°，

∴∠DAF+∠DAF＝30°，

即∠DAF＝15°，

故②正确；

∵BC＝CD，

∴BC﹣BE＝CD﹣DF，即CE＝CF，

∵Rt△ABE≌Rt△ADF，

∴AE＝AF，

∴AC垂直平分EF，

∴EG＝FG，

故③正确；

∵∠ECF＝90°，EG＝FG，

∴CG＝EF，

设EC＝FC＝x，由勾股定理，得EF＝＝x，

∴CG＝EF＝x＝CE，

故④正确；

综上所述，正确的有①②③④，共4个．

故选：D．

10．【解答】解：∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，

∴AC＝＝5，

∵Rt△ABC≌Rt△DCB，

∴AB＝CD＝3，AC＝BD＝5，BC＝EF＝4，∠A＝∠D，∠ACB＝∠CBD，∠ABC＝∠DCB＝90°，

∵O为BC中点，

∴BO＝CO，

在△BOF和△COE中，

，

∴△BOF≌△COE（ASA），

∴OF＝OE，

∴四边形BECF为平行四边形，故A选项不符合题意；

当BF＝3.5时，若BE⊥AC，

∵，

∴BE＝，

∴＝＝，

∵BF＝3.5，

∴CE≠BF，

∴BF＝3.5时，四边形BECF不是矩形，

故B选项符合题意，

∵BF＝2.5，

∴CE＝2.5，

∴AE＝AC﹣CE＝2.5，

∴E为AC中点，

∴BE＝CE，

∵四边形BECF是平行四边形，

∴当BF＝2.5时，四边形BECF为菱形，故C选项不符合题意；

当BF＝2.5时，四边形BECF为菱形，此时∠BEC≠90°，

∴四边形BECF不可能为正方形．故D选项不符合题意．

故选：B．

11．【解答】解：如图所示，作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，则∠OEC＝∠ADO＝90°，

∴∠1+∠2＝90°，

∵A的坐标为（1，），

∴AD＝，OD＝1，

∵四边形OABC是正方形，

∴OA＝OC，∠AOC＝90°，

∴∠1+∠3＝90°，

∴∠3＝∠2，

在△OCE和△AOD中，

，

∴△OCE≌△AOD（AAS），

∴OE＝AD＝，CE＝OD＝1，

∴C（﹣，1）．

故选：A．

12．【解答】解：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，

∴∠BAE＝∠EAD＝45°，AD∥BC，OA＝OB，

∴∠AEB＝∠EAD＝45°，

∴BE＝BA．

∵∠CAE＝15°，∠BAE＝45°，

∴∠BAC＝60°，

又∵OA＝OB，

∴△OAB为等边三角形，

∴BO＝BA，

∴BO＝BE，

∴∠BOE＝∠BEO，

∵△OAB为等边三角形，

∴∠ABO＝60°，

∴∠OBE＝90°﹣60°＝30°，

∴∠BOE＝（180°﹣30°）÷2＝75°．

故选：B．

二．填空题（共6小题）

13．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，

∴AB＝AD，∠BAE＝∠DAE＝45°，∠ABC＝90°．

∵∠CBF＝18°，

∴∠ABE＝72°，

∴∠AEB＝180°﹣∠BAE﹣∠ABE＝180°﹣45°﹣72°＝63°．

∵AE＝AE，∠BAE＝∠DAE，AB＝AD，

∴△ABE≌△ADE（SAS），

∴∠AED＝∠AEB＝63°．

故答案为：63．

14．【解答】解：∵正方形ABCD的面积等于36cm2，正方形DEFG的面积等于16cm2，

∴AB＝BC＝CD＝6cm，EF＝ED＝4cm，

∴S△EFC＝EF•CE＝×4×（4+6）＝20（cm2），

S△ABC＝AB•BC＝×6×6＝18（cm2），

∴阴影部分的面积S

＝S正方形ABCD+S正方形DEFG﹣S△EFC﹣S△ABC

＝36+16﹣20﹣18

＝14（cm2），

故答案为：14．

15．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAD＝90°，

在Rt△BAD中，由勾股定理得：AD＝＝＝2，

∵在Rt△BAD中，AB＝2，BD＝4，

∴AB＝BD，

∴∠ADB＝30°，

∵AE⊥BD，

∴∠AED＝90°，

∴AE＝AD＝＝，

故答案为：2，．

16．【解答】解：如图，过点M作MF⊥ON于N，过点D作DE⊥x轴于E，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，AM＝CM，BM＝DM，

∵点A（3，3），C（﹣1，﹣1），

∴M（1，1），

∴OF＝1，MF＝1，

∴∠MON＝45°＝∠OMF，

∴∠FMN＝45°＝∠FNM，

∴MF＝FN＝1，

∴MN＝，

∵BN＝2ND，

∴BD＝3DN，DM＝DN，

∴MN＝DN＝，

∴DN＝2，

∵DE⊥x轴，

∴∠EDN＝∠DNE＝45°，

∴DE＝EN，

∴DE＝EN＝2，

∴EO＝4，

∴点D（4，﹣2），

故答案为：（4，﹣2）．

17．【解答】解：分三种情况：

①如图1，当∠DPC＝90°时，

∵E是CD的中点，且CD＝4，

∴PE＝CD＝2，

∵四边形ABCD是正方形，

∴BC＝4，∠BCD＝90°，

∴BE＝，

∴BP＝2﹣2；

②如图2，当∠DPC＝90°时，

同理可得BP＝2+2；

③如图3，当∠CDP＝90°时，

∵∠BCE＝∠EDP＝90°，DE＝CE，∠BEC＝∠DEP，

∴△BCE≌△PDE（ASA），

∴PE＝BE＝2，

∴BP＝4，

综上，BP的长是2﹣2或2+2或4；

故答案为：2﹣2或2+2或4．

18．【解答】解：如图，A（﹣2，﹣1），B（2，﹣1），C（2，3），

∵四边形ABCD为长方形，

∴D（﹣2，3）．

故答案为：（﹣2，3）．

三．解答题（共5小题）

19．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠DAB＝∠B＝90°，

∵DE⊥AF，

∴∠DAB＝∠AGD＝90°，

∴∠BAF+∠DAF＝90°，∠ADE+∠DAF＝90°，

∴∠BAF＝∠ADE，

在△ABF和△DAE中，

，

∴△ABF≌△DAE（AAS），

∴AD＝AB，

∵四边形ABCD是矩形，

∴四边形ABCD是正方形；

（2）解：∵△ABF≌△DAE，

∴BF＝AE，

∵AE：EB＝2：1，

设AE＝2x，EB＝x，

∴BF＝AE＝2x，AB＝3x，

∴AF＝＝x，

∵∠EAG＝∠FAB，∠AGE＝∠B＝90°，

∴△AEG∽△AFB，

∴△AEG的面积：△AFB的面积＝AE2：AF2＝4x2：13x2＝4：13，

∵△AEG的面积为4，

∴△AFB的面积为13，

∴四边形BEGF的面积＝13﹣4＝9．

20．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CB∥AD，CB＝AD．AB∥CD，

∵E、F分别是边BC，AD的中点，

∴CE＝CB，AF＝AD．

∴CE＝AF，

∴四边形AFCE是平行四边形，

∵∠P＝90°，AB∥CD，CB∥AD，

∴四边形CDPA是矩形，

∴∠ACD＝90°，

在Rt△ADB中

∵F为AB的中点，

∴AF＝CF＝DF，

∵四边形CFAE是平行四边形，

∴四边形CFAE是菱形．

21．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AB∥CD，

∴∠OBE＝∠ODF，

在△BOE和△DOF中，

，

∴△BOE≌△DOF（ASA），

∴BE＝DF，

∵BE∥DF，

∴四边形DEBF是平行四边形，

∵EF⊥BD，

∴四边形DEBF是菱形；

（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∵AD∥EF，

∴四边形ADFE是平行四边形，

∴AE＝DF，

由（1）得：四边形DEBF是菱形，

∴DE＝DF＝BE，

∴AD＝DE，

∵AD＝AE，

∴AD＝AE＝DE，

∴△ADE是等边三角形，

∴∠AED＝60°，

∵DE＝BE，

∴∠EDB＝∠EBD＝∠AED＝30°，

同理：∠FDB＝∠FBD＝30°，

即图2中四个度数为30°的角为∠EDB、∠EBD、∠FDB、∠FBD．

22．【解答】（1）证明：∵∠BPQ＝∠BPC+∠CPQ＝∠A+∠AQP，∠BPC＝∠AQP，

∴∠CPQ＝∠A，

∵PQ⊥CP，

∴∠A＝∠CPQ＝90°，

∴平行四边形ABCD是矩形；

（2）解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠D＝∠CPQ＝90°，

在Rt△CDQ和Rt△CPQ中，

，

∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ（HL），

∴DQ＝PQ，

设AQ＝x，则DQ＝PQ＝12﹣x，

在Rt△APQ中，AQ2+AP2＝PQ2，

∴x2+42＝（12﹣x）2，

解得：，

∴AQ的长是．

23．【解答】解：（1）在Rt△ADE中，∵∠EDA＝30°，

∴EA＝ED＝×6＝3，cos30°＝，

∴DA＝ED•cos30°＝6×＝3，

∴BE＝2DA﹣EA＝6﹣3，

∴S△BED＝×BE×DA＝（6﹣3）×3＝27﹣；

（2）过B作BH⊥BN，交FN于H，

∵∠NBH＝∠ABF＝90°，

∴∠NBH﹣∠ABH＝∠ABF﹣∠ABH，

∴∠ABN＝∠HBF，

∵AD∥BF，

∴∠AME＝∠F，

∵∠MAE＝∠ANM＝90°，

∴∠AMN+∠MAN＝∠ANE+∠NAE＝90°，

∴∠NAB＝∠F，

∵BF＝2AD，AB＝2AD，

∴AB＝BF，

在△FHB与△ANB，，

∴△FHB≌△ANB（SAS），

∴BH＝BN，HF＝AN，

∴△HBN是等腰直角三角形，

∴NH＝NB，

∵FN＝HF+HN，

∴FN＝AN+BN．