2.7.1函数的零点与函数的图像（题型战法）- 备战2023年高三数学一轮复习题型与战法精准训练（新高考专用）

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第二章 函数
2.7.1函数的零点与函数的图像（题型战法）
知识梳理
一 函数的零点
1.函数的零点
一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于零，即f(α)＝0，则称α为函数y＝f(x)的零点．
函数的零点方程的根函数图象与轴交点的横坐标两函数交点的横坐标
2.零点存在性定理（判定函数零点的）
如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根。
注意：①不满足的函数也可能有零点.
②若函数在区间上的图象是一条连续曲线，则是在区间内有零点的充分不必要条件.
一 函数的图像变换
1.平移变换
图象左、右平移
图象上、下平移
2.对称变换
,图象关于轴对称
,图象关于轴对称
3.翻折变换：
,把轴右边的图象保留，然后将轴左边部分关于轴对称
把轴上方的图象保留，轴下方的图象关于轴对称
题型战法
题型战法一 求函数的零点
典例1．函数的零点为（       ）
A．2 B．1 C．0 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
令，求出方程的解，即可得到函数的零点.
【详解】
解：令，即，解得，所以函数的零点为；
故选：D
变式1-1．二次函数的零点是（       ）
A．， B．，1
C．， D．，
【答案】A
【解析】
【分析】
函数的零点转化为方程的根，求解即可．
【详解】
解：二次函数的零点就是的解，
解得，或，
故选：A．
变式1-2．函数的零点是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
令即得解.
【详解】
令.
所以函数的零点是.
故选：B
变式1-3．函数的零点是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数零点定义解方程，即可得出结果.
【详解】
解：由函数零点定义可知，
解得：.
故选：B.
变式1-4．函数的零点为，则实数的值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知可得，即可求得实数的值.
【详解】
由题意得，即．
故选：B.

题型战法二 求函数的零点的个数
典例2．函数的零点的个数为（       ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
利用函数的单调性及零点存在性定理即得.
【详解】
由于函数在上是增函数，且，
故函数在上有唯一零点，也即在上有唯一零点.
故选：B.
变式2-1．函数的零点个数为（       ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
先确定单调性，再根据函数值正负结合零点存在定理判断零点个数.
【详解】
因为在上单调递增，

所以在上有且仅有一个零点，
故选：B
【点睛】
本题考查函数零点，考查基本分析求解能力，属基础题.
变式2-2．已知函数，则函数零点个数为（       ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】
【分析】
当时和时，分别化简函数的解析式可直接判断零点的个数.
【详解】
当时，，所以不存在零点；
当时，，也不存在零点，所以函数的零点个数为0.
故选：A.
变式2-3．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，满足f（x＋2）＝f（﹣x），当x∈[0，1]时，则函数的零点个数是（       ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【解析】
【分析】
在平面直角坐标系中作出的图象后可得正确的选项.
【详解】
因为，故的图象关于直线对称.
结合为偶函数可得，故是周期为2的周期函数，
在平面直角坐标系中作出的图象，如图所示：

由图象可得的图象的交点有7个，
故的零点个数为7，
故选：C.
变式2-4．已知定义域为R的奇函数满足，当时，，则函数在上零点的个数为（       ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】D
【解析】
【分析】
根据奇函数的性质可得，令，根据题意运算可得是以4为周期的周期函数，作出函数在上的图象，结合数形结合的思想即可得出结果.
【详解】
解：因为是定义域为R的奇函数，所以．
因为，令，得，
即，所以．
又因为为奇函数，所以，所以，
所以是以4为周期的周期函数．
根据周期性及奇函数的性质画出函数在上的图象，如图．
由图可知，函数在上有零点-4，-3.5，-3，-2，-1，-0.5，0，0.5，1，2，3，3.5，4，共13个零点．
故选：D


题型战法三 比较零点的大小与求零点的和
典例3．已知函数，，的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小顺序是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
将，，的零点看成函数分别与，，的交点的横坐标，分别画出这些函数图象，利用数形结合的方法即可求解.
【详解】
由已知条件得
的零点可以看成与的交点的横坐标，的零点可以看成与的交点的横坐标，的零点可以看成与的交点的横坐标，
在同一坐标系分别画出，，，的函数图象，如下图所示,
可知，
故选：.

变式3-1．若，，，则的大小关系是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
根据已知可得分别为与三个函数交点的横坐标，做出函数图象，即可求解结论.
【详解】
做出函数的图象，
根据图象可得，.
故选：B.

【点睛】
本题考查方程的解与函数图象间的关系，熟练掌握基本初等函数性质是解题关键，属于基础题.
变式3-2．已知函数的零点依次为，则
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
将，转化为函数，与函数的交点坐标，在同一平面直角坐标系结合函数图象，数形结合判断，的取值范围，由是的零点，直接求，然后与，进行比较大小
【详解】
在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝2x，y＝－x，的图象，结合函数y＝2x与y＝－x的图象可知其交点横坐标小于0，即a