2.6.1幂函数（题型战法）- 备战2023年高三数学一轮复习题型与战法精准训练（新高考专用）

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第二章 函数2.6.1幂函数（题型战法）知识梳理一 幂函数的概念一般地，函数称为幂函数，其中为常数.注意：幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量.二 幂函数的图像与性质（1）五个常见幂函数的图像：如右图所示（2）五个常见幂函数的性质：函数性质y＝xy＝x2y＝x3定义域RRR值域RR奇偶性奇非奇非偶偶奇奇单调性R上增上增(－∞，0)上减[0，＋∞)上增R上增(－∞，0)上减(0，＋∞)上减公共点（1）所有的幂函数在区间上都有定义，因此在第一象限内都有图像，并且图像都过点.（2）如果，幂函数图像过原点，并且在上是增函数（3）如果，幂函数图像过原点，并且在上是减函数题型战法题型战法一 幂函数的概念典例1．下列函数是幂函数的是（       ）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】由幂函数定义可直接得到结果.【详解】形如的函数为幂函数，则为幂函数.故选：C.变式1-1．下列函数是幂函数的是（       ）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】根据幂函数的定义判断.【详解】形如（为常数且）为幂函数，所以，函数为幂函数，函数、、均不是幂函数.故选：C.变式1-2．已知幂函数的图象过点，则的值为（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】设，由已知条件求出的值，可得出函数的解析式，由此可求得的值.【详解】设，由，可得，则，因此，.故选：B.变式1-3．已知幂函数的图象不过原点，则实数m的取值为（       ）A．1 B．2 C．-2 D．1或2【答案】A【解析】【分析】根据题意，可知系数为1，指数应小于0，由此列出不等式组，解得答案.【详解】由题意可知： ，解得 ,经经验，符合题意，故选：A.变式1-4．已知幂函数的图象过点，则等于（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据幂函数的定义，结合代入法进行求解即可.【详解】因为是幂函数，所以，又因为函数的图象过点，所以，因此，故选：A  题型战法二 幂函数的图像典例2．函数的图象大致为（       ）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】根据幂函数的性质判断函数值、增长特点，即可确定大致图象.【详解】由，排除B、D，根据对应幂函数的性质，第一象限增速逐渐变慢，排除C.故选：A.变式2-1．已知幂函数的图象过点，则函数的图象是（       ）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】设出函数的解析式，根据幂函数的图象过点，构造方程求出指数的值，再结合函数的解析式研究其性质即可得到图象．【详解】设幂函数的解析式为，∵幂函数的图象过点，∴，解得∴，其定义域为，且是增函数，当时，其图象在直线的上方．对照选项可知C满足题意．故选:C．变式2-2．如图，①②③④对应四个幂函数的图像，其中①对应的幂函数是（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据函数图象求出幂函数的指数取值范围，得到正确答案.【详解】根据函数图象可得：①对应的幂函数在上单调递增，且增长速度越来越慢，故，故D选项符合要求.故选：D变式2-3．图中C1、C2、C3为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（　　）A．、、 B．、、 C．、、 D．、、【答案】D【解析】【分析】根据幂函数在第一象限内的图象性质，结合选项即可得出指数的可能取值．【详解】由幂函数在第一象限内的图象，结合幂函数的性质，可得：图中C1对应的，C2对应的，C3对应的，结合选项知，指数的值依次可以是．故选：D.变式2-4．已知幂函数和，其中，则有下列说法：①和图象都过点；②和图象都过点；③在区间上，增长速度更快的是；④在区间上，增长速度更快的是.则其中正确命题的序号是（       ）A．①③ B．②③ C．①④ D．②④【答案】A【解析】【分析】由幂函数的性质进行分析判断即可【详解】幂函数的图象过定点，①正确，在区间上，越大增长速度更快，③正确，故选：A. 题型战法三 幂函数的定义域典例3．下列幂函数中，定义域为的是（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】直接根据幂函数的定义域可直接判断，偶次根式被开方式必须大于等于0才有意义，分式则必须分母不为0【详解】对选项，则有：对选项，则有：对选项，定义域为：对选项，则有： 故答案选：变式3-1．若有意义，则实数的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】将分式指数幂化为根式，结合根式的性质可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围.【详解】由负分数指数幂的意义可知，，所以，即，因此的取值范围是．故选：C.变式3-2．函数的定义域是（     ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据函数解析式有意义可得出关于实数的不等式组，由此可解得函数的定义域.【详解】因为，则有，解得且，因此的定义域是．故选：B.变式3-3．5个幂函数：①；②；③；④；⑤.其中定义域为的是（       ）A．只有①② B．只有②③ C．只有②④ D．只有④⑤【答案】C【解析】【分析】分别写出所给函数的定义域，然后作出判断即可.【详解】①的定义域为，②的定义域为R，③的定义域为，④的定义域为R，⑤的定义域为，故选：C.【点睛】本题考查幂函数的定义，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于基础题.变式3-4．若函数则函数y＝f(4 x－3)的定义域是(　　)A．(－∞，＋∞) B．C． D．【答案】D【解析】【分析】先求出，根据幂函数的定义域求解即可.【详解】幂函数，,所以，所以，所以函数的定义域是，故选D.【点睛】本题主要考函数的定义域、不等式的解法，属于简单题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出. 题型战法四 幂函数的值域典例4．函数在区间上的最小值是（       ）A． B． C．4 D．【答案】A【解析】【分析】由于函数在区间上是减函数，从而可求出其最小值【详解】∵函数在区间上是减函数，∴，故选：A.【点睛】此题考查由函数的单调性求最值，属于基础题变式4-1．在下列函数中，定义域和值域不同的是（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】把幂函数写成根式的形式即可求出定义域及值域，逐项分析即可得解.【详解】由可知，,，定义域、值域相同；由可知，，定义域、值域相同；由可知，,，定义域、值域相同；由可知，，，定义域、值域不相同.故选：D变式4-2．幂函数的图象过点，则函数的值域是（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】设，带点计算可得，得到，令转化为二次函数的值域求解即可.【详解】设，代入点得，则，令，函数的值域是.故选：C.变式4-3．已知函数则函数值域是（       ）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】结合分段函数的单调性来求得的值域.【详解】当吋，单调递增，值域为；当时，单调递增，值域为，故函数值域为.故选：B变式4-4．已知幂函数的图象过点，则函数的值域为A． B． C． D．【答案】C【解析】【详解】试题分析：的图象过点，值域为考点：幂函数值域 题型战法五 幂函数的单调性典例5．下列函数在上为减函数的是（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】依据幂函数的性质去判断各选项的单调性即可解决.【详解】选项A：由可得在上单调递增.不符合要求，排除；选项B：由可得在上单调递减.符合要求，可选；选项C：由可得在上单调递增.不符合要求，排除；选项D：由可得在上单调递增.不符合要求，排除.故选：B变式5-1．已知函数的增区间为（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】先求得函数的定义域，再令，结合的单调性，利用复合函数的单调性求解.【详解】由，解得或，因为在递减，在递增，又因为在递增，所以增区间为故选：A变式5-2．已知函数是减函数，则实数的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由分段函数是减函数及幂函数的单调性，可得，解不等式组即可得答案.【详解】解：因为函数是减函数，所以，解得，所以实数的取值范围是，故选：A.变式5-3．已知幂函数在上是增函数，则实数的值为（       ）A．1或 B．3 C． D．或3【答案】B【解析】【分析】由函数是幂函数，解得或，再代入原函数，由函数在上是增函数确定最后的值.【详解】∵函数是幂函数，则，∴或.当时在上是增函数，符合题意；当时在上是减函数，不合题意.故选：B.变式5-4．已知幂函数在上为增函数，则（       ）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】A【解析】【分析】由于幂函数在在上为增函数，所以可得，求出的值，从而可求出幂函数的解析式，进而可求得答案【详解】由题意得，得，则，．故选：A 题型战法六 幂函数的奇偶性典例6．下列函数是奇函数的为（       ）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】奇函数应该满足，且定义域关于原点对称，对选项一一判断即可．【详解】奇函数应该满足，，的定义域为显然A,C,不成立，当时，有，所以为奇函数，由可知，为偶函数.故选：B．变式6-1．下列函数中，值域是且为偶函数的是（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据函数的奇偶性和值域确定正确选项.【详解】的值域为，不符合题意，A选项错误.，当时等号成立，不符合题意，B选项错误.的定义域为，是非奇非偶函数，不符合题意，C选项错误.令，其定义域为，，所以是偶函数，且，即的值域为，符合题意，D选项正确.故选：D变式6-2．下列函数中，既是奇函数又是定义域内的增函数为（       ）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根据初等函数的性质及奇函数的定义结合反例逐项判断后可得正确的选项.【详解】对于A，的定义域为，而，但，故在定义域上不是增函数，故A错误.对于B，的定义域为，它不关于原点对称，故该函数不是奇函数，故B错误.对于C，因为时，，故在定义域上不是增函数，故C错误.对于D，因为为幂函数且幂指数为3，故其定义域为R，且为增函数，而，故为奇函数，符合.故选：D.变式6-3．设，使函数的定义域是R，且为偶函数的所有的值是（       ）A．2 B．1，2C．，2 D．，1，2【答案】A【解析】【分析】把分别代入验证即可.【详解】当时，，定义域为，故；当时，，定义域为，但是为奇函数，故；当时，，定义域为，为偶函数，故.故选：A变式6-4．已知幂函数为偶函数，则实数的值为（       ）A．3 B．2 C．1 D．1或2【答案】C【解析】【分析】由题意利用幂函数的定义和性质，得出结论．【详解】幂函数为偶函数，，且为偶数，则实数，故选：C 题型战法七 比较大小与解不等式典例7．设，则a，b，c大小关系为（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】利用有理指数幂和幂函数的单调性分别求得，，的范围即可得答案．【详解】，，，又在上单调递增，，，故选：C．变式7-1．，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】利用幂函数的单调性判断，再利用对数函数的单调性、对数的换底公式即可求解．【详解】幂函数在上单调递增，，，，，故选：C．变式7-2．设，，，则（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据函数单调性和中间值比较函数值大小.【详解】因为在上单调递增，，所以，而，故.故选：B变式7-3．已知，则的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由幂函数的性质，可得，解不等式组可得答案【详解】解：因为，所以，解得，故选：B变式7-4．若，则实数a的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】首先利用幂函数的单调性得到，再解不等式组即可.【详解】因为，所以，解得.故选：B