2.4.2指数函数（针对练习）- 备战2023年高三数学一轮复习题型与战法精准训练（新高考专用）

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第二章 函数2.4.2 指数函数（针对练习）针对练习针对练习一 指数与指数幂的运算1．用分数指数幂的形式表示下列各式(a>0，b>0)．(1)a2；(2)·；(3)()2·；(4)．【答案】(1)；(2)；(3)；(4).【解析】【分析】由根式与有理数指数幂的关系，结合指数幂的运算性质化简求值即可.(1)原式＝.(2)原式＝．(3)原式＝.(4)原式＝．2．计算或化简下列各式：（1）(a－2)·(－4a－1)÷(12a－4)(a>0)；（2）－10(－2)－1＋()0.【答案】（1）－a；（2）－.【解析】【分析】直接根据指数幂的运算性质计算即可.【详解】(1)原式(2)原式＝＋10－10－20＋1＝－ .3．计算：(1)(2)【答案】(1)-16(2) 【解析】【分析】（1）根据分数指数幂的运算规则化简计算即可；（2）根据分数指数幂的运算规则化简得出结果.(1)原式=(2)原式4．计算：(1)；(2).【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用指数幂的运算性质即可求解.（2）利用根式与分数指数幂的互化以及指数幂的运算性质即可求解.(1)原式.(2)原式.5．(1)；(2).【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)(2)均根据指数幂的运算性质即可计算；【详解】(1)原式1＋|3﹣π|4﹣1＋π﹣3＋23＝π＋8.(2)原式. 针对练习二 指数函数的概念6．在①；②；③；④；⑤中，y是关于x的指数函数的个数是（       ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】直接根据指数函数的定义依次判断即可.【详解】根据指数函数的定义，知①⑤中的函数是指数函数，②中底数不是常数，指数不是自变量，所以不是指数函数；③中的系数是，所以不是指数函数；④中底数，所以不是指数函数．故选：B．7．下列函数是指数函数的是（       ）A．y＝ B．y＝(－9)xC．y＝2x－1 D．y＝2×5x【答案】A【解析】【分析】根据指数函数定义判断．【详解】B中底数，C中指数是，不是，D中前面系数不是1，根据指数函数定义，只有A中函数是指数函数，故选：A.8．下列函数中为指数函数的是（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据指数函数的定义，逐项判定，即可求解.【详解】根据指数函数的定义知，，可得函数不是指数函数；函数不是指数函数；函数是指数函数；函数不是指数函数.故选：C.9．函数是指数函数，则有（       ）A．a＝1或a＝3 B．a＝1 C．a＝3 D．a＞0且a≠1【答案】C【解析】【分析】根据已知条件列不等式，由此求得正确选项.【详解】由已知得，即，解得．故选：C10．若函数（a>0，且a≠1）的图象经过，则=（       ）A．1 B．2 C． D．3【答案】C【解析】【分析】由指数函数所过的点求解析式，进而求的值.【详解】由题意，，又a>0，则，∴，故.故选：C 针对练习三 指数函数的图像11．函数的图象大致是（       ）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根据函数的解析式可得函数是以为底数的指数函数，再根据指数函数的图像即可得出答案.【详解】解：由，得函数是以为底数的指数函数，且函数为减函数，故D选项符合题意.故选：D.12．函数①；②；③；④的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（       ）A．，，， B．，，，C．，，， D．，，，【答案】C【解析】【分析】由直线与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b即可求解.【详解】解：直线与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，而，所以a，b，c，d的值分别是，，，，故选：C.13．若且，则函数的图象一定过点（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】令求出定点的横坐标，即得解.【详解】解：令.当时，，所以函数的图象过点.故选：C.14．已知函数f（x）= ax+1的图象恒过定点P，则P点的坐标为（       ）A．(0，1) B．(0，2) C．(1，2) D．【答案】B【解析】【分析】由指数函数过定点的性质进行求解.【详解】的图象恒过定点，所以的图象恒过定点故选：B15．对任意实数，函数的图象必过定点（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据指数函数的知识确定正确选项.【详解】当，即时，，所以过定点.故选：B 针对练习四 指数函数的定义域16．函数的定义域为（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据函数的定义域定义求解即可.【详解】要使得函数有意义，则，，，解得.故函数的定义域为.故选：D.17．函数的定义域为（       ）A． B．C． D．【答案】D【解析】求出使函数式有意义的自变量的范围即得、【详解】由得，即.故选：D.18．设函数f（x）=，则函数f（）的定义域为（　　）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】求得，由根式内部的代数式大于等于0，结合指数函数的性质求解即可．【详解】因为，所以，因为，所以的定义域为，故选A．【点睛】本题主要考查函数的定义域以及指数函数的单调性的应用，是基础题．定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.19．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】抽象函数的定义域求解，要注意两点，一是定义域是x的取值范围；二是同一对应法则下，取值范围一致.【详解】的定义域为，，即，，解得：且，的定义域为.故选：.20．函数y＝的定义域是(－∞，0]，则a的取值范围为(　　)A．a＞0 B．a＜1C．0＜a＜1 D．a≠1【答案】C【解析】【分析】由题意可得，对讨论，分,运用指数函数的单调性，列不等式即可得到的范围.【详解】要使函数且有意义,则,即,当时，；当时，，因为的定义域为所以可得符合题意，的取值范围为，故选C.【点睛】本题考查函数的定义域以及指数函数的单调性，注意运用偶次根式被开方式非负，意在考查分类讨论思想与运算能力，属于中档题. 针对练习五 指数函数的值域21．函数的值域为（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】令，则，转求二次函数与指数函数的值域即可.【详解】令，则，∵，∴，∴函数的值域为，故选：D22．若，则函数的最小值为（       ）A．4 B．0 C．5 D．9【答案】A【解析】【分析】设，则利用函数单调性可得答案.【详解】设，则（），对称轴为，所以在上单调递增，所以.故选：A.23．函数的值域是（       ）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】将函数化为，利用列出关于的不等式，解出不等式即可.【详解】设，由原式得，,，∴，即函数的值域为.故选：C24．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】先求出在上的取值范围，再利用分段函数的值域进行求解．【详解】因为在上单调递增，所以当时，，若函数的值域为R，则，解得．故选：A.25．函数（且，）的值域是，则实数（       ）A．3 B．C．3或 D．或【答案】C【解析】当且时，函数为指数型函数，需要分情况进行讨论解决．当时，函数是增函数；当时，函数是减函数，由此结合条件建立关于a的方程组，解之即可求得答案．【详解】当时，在上为增函数， ，解得；当时，在上为减函数，，解得．综上可知：或．故选：C【点睛】关键点点睛：本题主要考查了指数函数的单调性和值域，解题的关键是利用函数的单调性求解函数值域，但含有参数时往往需要讨论. 针对练习六 指数函数的单调性26．函数的单调递减区间是（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用复合函数的单调性“同增异减”来解题.【详解】设，在单调递增，在单调递减，在单调递增，根据“同增异减”可得，函数的单调递减区间是.故选：A.27．函数的单调递减区间为（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据复合函数单调性法则“同增异减”求解即可.【详解】解：因为函数在区间上单调递减，在上单调递增，函数在定义域内是单调递减函数，所以，根据复合函数单调性法则“同增异减”得的单调递减区间为.故选：D28．若函数在单调递减，则a的取值范围（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据复合函数单调性来求得的取值范围.【详解】依题意函数在单调递减，在上递减，的开口向上，对称轴为，根据复合函数单调性同增异减可知，.故选：C29．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据分段函数的性质，以及函数在上单调递减，结合指数函数的性质，可知，求解不等式，即可得到结果.【详解】∵函数在上单调递减，∴，解得，实数的取值范围是.故选：A.30．已知函数是上的单调函数，那么实数的取值范围为（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据的单调性列不等式组，由此求得的取值范围.【详解】函数，若在上为单调递增函数，则，解得；若在上为单调递减函数，则，无解．综上所述，实数的取值范围为．故选：C 针对练习七 比较大小与解不等式31．已知，，，则a，b，c的大小关系是（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据指数函数的单调性判断指数式的大小关系.【详解】由题设，，，，又在定义域上递增，∴.故选：C.32．已知，则a，b，c的大小关系为（       ）A．a<b<c B．c<a<b C．a<c<b D．c<b<a【答案】B【解析】【分析】结合指数函数、幂函数的单调性确定正确选项.【详解】在上递增，在上递增..故选：B33．若，则实数的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据指数函数的单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；【详解】解：因为在定义域上单调递减，所以等价于，解得，即原不等式的解集为故选：A34．若x满足不等式，则函数的值域是（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】利用指数函数的单调性得到自变量的范围，进而得到指数函数的值域.【详解】由可得，因为在R上单调递增，所以即x2+2x-3≤0，解得： ，所以，即函数的值域是，故选:B.35．若，则下列正确的是（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】先根据题干条件和函数的单调性得到，A选项可以利用函数的单调性进行判断，BC选项可以举出反例，D选项用不等式的基本性质进行判断.【详解】因为在R上单调递减，若，则，对于选项A：若，因为单调递增，所以，故A错误；对于选项B：当时，若，则，故B错误；对于选项C：由，不妨令，，则此时，故C错误；对于选项D：由不等式性质，可知D正确.故选：D. 针对练习八 指数函数的应用36．专家对某地区新型流感爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间（单位：天）与病情爆发系数之间，满足函数模型：，当时，标志着疫情将要局部爆发，则此时约为（参考数据：）（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据列式，并根据给出参考数据，结合指数函数的性质解相应的指数方程，即可得答案.【详解】解：因为，，所以，即，所以，由于，故，所以，所以，解得.故选：A.37．基本再生数与世代间隔是流行病学基本参数，基本再生数是指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指两代间传染所需的平均时间，在型病毒疫情初始阶段，可以用指数函数模型描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率与、近似满足，有学者基于已有数据估计出，.据此，在型病毒疫情初始阶段，累计感染病例数增加至的4倍，至少需要（       ）（参考数据：）A．6天 B．7天 C．8天 D．9天【答案】B【解析】【分析】根据题意将给出的数据代入公式即可计算出结果【详解】因为，，，所以可以得到，由题意可知，所以至少需要7天，累计感染病例数增加至的4倍故选：B38．某灭活疫苗的有效保存时间T（单位：小时）与储藏的温度t（单位：℃）满足的函数关系为（k，b为常数，其中，是一个和类似的无理数，叫自然对数的底数），超过有效保存时间，疫苗将不能使用.若在0℃时的有效保存时间是1080，在10℃时的有效保存时间是120，则该疫苗在15℃时的有效保存时间为（       ）A．15h B．30h C．40h D．60h【答案】C【解析】【分析】根据已知的函数模型以及已知数据，待定系数即可求得结果.【详解】由题意知，，所以，所以，所以，所以.故选：C．39．某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，为常数）．若该食品在的保鲜时间是小时，在的保鲜时间是小时，则该食品在的保鲜时间是（       ）A． 小时 B．小时 C．小时 D．小时【答案】D【解析】【分析】根据题意建立方程组，进而解出，然后将22代入即可求得答案.【详解】由题意，，所以该食品在的保鲜时间是.故选：D.40．牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：，其中为时间（单位：），为环境温度，为物体初始温度，为冷却后温度），假设在室内温度为的情况下，一桶咖啡由降低到需要.则的值为（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】把，，，代入可求得实数的值.【详解】由题意，把，，，代入中得，可得，所以，，因此，.故选：A.