2021-2022学年江苏省扬州市宝应县八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年江苏省扬州市宝应县八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    下列是一组设计的图案不考虑颜色，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    为了解家长对“禁止学生带手机进入校园”这一规定的意见，某校随机抽取本校名学生家长进行调查，这一问题中样本的容量是(    )

A.  B. 被抽取的名学生家长
C. 全校学生家长的意见 D. 被抽取的名学生家长的意见

3.    对于事件“某学习小组人中至少有人在同一个月过生日”，从发生的可能性大小判断，你认为该事件属于(    )

A. 不可能事件 B. 随机事件 C. 必然事件 D. 无法判断

4.    若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

5.    关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征．
   甲：函数图象经过点；
   乙：函数图象经过第四象限；
   丙：当时，随的增大而增大．
   则这个函数表达式可能是(    )

A.  B.  C.  D.

6.    如图，在四边形中，对角线、相交于点，，，，则四边形的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

7.    如图，设，则有(    )

A.  B.  C.  D.

8.    定义新运算“”：对于实数、、、，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是(    )

A.  B.  C. 且 D. 且

二、填空题（本大题共10小题，共30分）

9.    “神舟十四”号载人飞船发射前，工程师对载人飞船和“长征二号”火箭所有零部件进行检查，应采用的调查方式是______请填“普查”或“抽样调查”．
10. 某工厂生产一批足球共只，经工厂质检科抽检获得该批足球优等品的频率约为，则这批足球的优等品约为______只．
11. 计算：______．
12. 如图，是等腰直角三角形，是斜边，为内一点，将绕点逆时针旋转后与重合，若，那么线段的长等于______．

13. 如图，数轴上点表示的数为，化简：______．

14. 如图，在矩形中，对角线、相交于点，若，，则矩形的周长为______．

15. 如图，正比例函数和反比例函数图象相交于、两点，若点的坐标是，则点的坐标是______．

16. 一个直角三角形的两条边长分别是方程的两根，则该直角三角形的面积是______．
17. 如图，点、分别在函数的图象上，点、在轴上，且若四边形为矩形，点在第一象限，则______．

18. 如图，四边形中，，且与不平行，、、分别是、、的中点，设的面积为，则的范围是______．

三、解答题（本大题共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 本小题分
    化简或计算：
    ；
    ．
20. 本小题分
    先化简，再求值：，其中．
21. 本小题分
    某学校计划在八年级开设“折扇”、“刺绣”、“剪纸”、“陶艺”四门校本课程，要求每人必须参加，并且只能选择其中一门课程，为了解学生对这四门课程的选择情况，学校从八年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图部分信息未给出．
    
    请你根据以上信息解决下列问题：
    参加问卷调查的学生人数为______ 名，补全条形统计图画图并标注相应数据；
    在扇形统计图中，选择“陶艺”课程的学生占______ ；
    若该校八年级一共有名学生，试估计选择“刺绣”课程的学生有多少名？
22. 本小题分
    已知关于的一元二次方程．
    若，求此方程的解；
    当时，试判断方程的根的情况．
23. 本小题分
    如图，点、、、在同一条直线上，，，．
    求证：≌．
    连结，请判断四边形的形状，并证明你的结论．

24. 本小题分
    某地为美化环境，计划种植树木棵，由于志愿者的加入，实际每天植树的棵树比原计划增加了，结果提前天完成任务．求实际每天植树多少棵？
25. 本小题分
    如图，将一张长方形纸片沿折叠，使、两点重合，点落在点处已知，．
    求证：是等腰三角形；
    求线段的长．
     

26. 本小题分
    通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散学生注意力指标随时间分钟变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分．
    求点对应的指标值；
    张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于？请说明理由．

27. 本小题分
    如图，点和点是反比例函数图象上的两点，点在反比例函数的图象上，分别过点、作较的垂线，垂足分别为点、，，连接交轴于点．
    求；
    设点的横坐标为，点的纵坐标为，求证：．
    连接、，当时，求的坐标．

28. 本小题分
    如图，在正方形中，，点是的中点，以为边作正方形，连接、将正方形绕点顺时针旋转，旋转角为．
    如图，在旋转过程中，判断与是否全等，并说明理由；
    如图，延长交直线于点．
    求证：；
    在旋转过程中，线段的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值：若不存在，请说明理由．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：为了解家长对“禁止学生带手机进入校园”这一规定的意见，某校随机抽取本校名学生家长进行调查，这一问题中样本的容量是．
故选：．
样本容量是指样本中个体的数目，据此即可求解．
本题考查了样本容量的定义，样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
 

3.【答案】 

【解析】解：人中至少有人在同一个月过生日”这一事件为必然事件，
故选：．
先确定“人中至少有人在同一个月过生日”这一事件为必然事件，即可求解．
本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

4.【答案】 

【解析】解：二次根式在实数范围内有意义，
，
解得．
故选：．
先根据二次根式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数大于等于是关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：把点分别代入四个选项中的函数表达式，可得，选项B不符合题意；
又函数过第四象限，而只经过第一、二象限，故选项C不符合题意；
对于函数，当时，随的增大而减小，与丙给出的特征不符合，故选项A不符合题意．
故选：．
结合给出的函数的特征，在四个选项中依次判断即可．
本题主要考查一次函数，反比例函数及二次函数的性质，根据题中所给特征依次排除各个选项，排除法是中考常用解题方法．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
四边形的面积．
故选：．
先利用勾股定理计算出，则，加上，则可判断四边形为平行四边形，然后根据三角形的面积公式，利用四边形的面积进行计算．
本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即底高．也考查了平行四边形的判定与性质．
 

7.【答案】 

【解析】解：甲图中阴影部分面积为，
乙图中阴影部分面积为，
则，
，
，
，

故选：．
分别计算出甲图中阴影部分面积及乙图中阴影部分面积，然后计算比值即可．
本题考查了分式的乘除法，会计算矩形的面积及熟悉分式的运算是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，
整理得：，
方程有两个实数根，
，，
解得：，，
故选：．
由新定义的运算，可得到关于的一元二次方程，再利用根的判别式进行求解即可．
本题主要考查根的判别式，解答的关键是正确运用根的判别式．
 

9.【答案】普查 

【解析】解：“神舟十四”号载人飞船发射前，工程师对载人飞船和“长征二号”火箭所有零部件进行检查，应采用的调查方式是普查．
故答案为：普查．
根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意得：
只，
这批足球的优等品约为只，
故答案为：．
根据频数总次数频率，进行计算即可解答．
本题考查了频数与频率，用样本估计总体，熟练掌握频数总次数频率是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式

．
故答案为：．
用平方差公式和计算即可．
本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握平方差公式和．
 

12.【答案】 

【解析】解：将绕点逆时针旋转后与重合，
，，
，
故答案为：．
由旋转的性质可得，，由等腰直角三角形的性质可求解．
本题考查旋转的性质和直角三角形的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．
 

13.【答案】 

【解析】解：由数轴表示数的意义可知，，
所以原式，
故答案为：．
得出数的取值范围，再根据二次根式的化简方法进行计算即可．
本题考查二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质与化简方法，理解数轴表示数的意义是解决问题的前提．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，
四边形是矩形，
，，，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
矩形的周长为．
故答案为：
根据矩形的性质求出，，根据等边三角形的判定得出是等边三角形，由勾股定理求出的长，则可得出答案．
本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质以及勾股定理，熟记矩形的性质定理并灵活运用是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，
、两点关于原点对称，
的坐标为，
的坐标为．
故答案为：．
由于正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，所以、两点关于原点对称，由关于原点对称的点的坐标特点求出点坐标即可．
本题考查的是反比例函数的对称性，熟知反比例函数的图象关于原点对称的特点是解答此题的关键．
 

16.【答案】或 

【解析】解：，
或．
当长是的边是直角边时，该直角三角形的面积是；
当长是的边是斜边时，第三边是，该直角三角形的面积是．
故答案为：或．
先解出方程的两个根为和，再分长是的边是直角边和斜边两种情况进行讨论，然后根据直角三角形的面积公式即可求解．
本题考查了一元二次方程的解法，三角形的面积，正确求解方程的两根，能够分两种情况进行讨论是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：四边形为矩形，点、分别在函数的图象上，
矩形的面积，
，
矩形的面积，
点在第二象限，
，
故答案为：．
利用反比例函数系数的几何意义即可求得矩形的面积，由，即可得到矩形的面积，从而求得．
本题考查了矩形的性质，反比例函数系数的几何意义，在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．
 

18.【答案】 

【解析】解：作，如图所示，

，，分别是，，中点，
，，
，
与不平行，
，不能重合，
．
．
．
故答案是：．
有中点一般思考中线或者中位线，本题借助三角形中位线求解即可．
本题主要考查三角形中位线定理，解题关键是三角形面积公式的使用．
 

19.【答案】解：原式

；
原式
 

【解析】先用乘法分配律，化为最简二次根式，再合并同类二次根式；
先算乘方，把除化为乘，再约分即可．
本题考查二次根式和分式的运算，解题的关键是掌握二次根式，分式相关运算的法则．
 

20.【答案】解：

，
当时，
原式
． 

【解析】利用分式的相应的法则进行化简，再代入相应的值运算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

21.【答案】解：
补全统计图如下：

 
名，
答：估计选择“刺绣”课程的学生有名． 

【解析】

解：参加问卷调查的学生人数为名，
剪纸的人数有：名，
故答案为：，图见答案；
在扇形统计图中，选择“陶艺”课程的学生所占的百分比是：．
故答案为：；
见答案．
【分析】
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
根据折扇的人数和所占的百分比，求出调查的学生总人数，再用总人数减去其它课程的人数，求出剪纸的人数，从而补全统计图；
用选择“陶艺”课程的学生数除以总人数即可；
用八年级的总人数乘以选择“刺绣”课程的学生所占的百分比即可．  

22.【答案】解：把代入原方程得：，
整理得：，
分解因式得：，
解得：，；
，

，
方程有两个实数根． 

【解析】利用因式分解法解一元二次方程即可；
根据根的判别式的意义得，判断即可得到结论．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根；也考查了解一元二次方程．
 

23.【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌；
四边形是平行四边形，
证明：如图，

≌，
，，
，
四边形是平行四边形． 

【解析】根据可证明≌；
由全等三角形的性质得出，，证出，则可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，平行四边形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
 

24.【答案】解：设原计划每天植树棵，则实际每天植树棵，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则．
答：实际每天植树棵． 

【解析】设原计划每天植树棵，则实际每天植树棵，由题意：计划种植树木棵，由于志愿者的加入，实际每天植树的棵树比原计划增加了，结果提前天完成任务．列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

25.【答案】证明：由折叠性质可知，，
由长方形性质可得，
，
．
，
故为等腰三角形．
解：由折叠可得，设，
则，
，
在中，有，
即，解得：．
由结论可得，
故FD． 

【解析】由折叠性质可知，由可得，所以，由等角对等边即可得证；
由折叠性质并结合中结论可设，则，在中，根据勾股定理建立方程，即，解得，则．
本题考查了矩形的性质，图形折叠的性质，等腰三角形的证明，平行线的性质，勾股定理，根据勾股定理建立方程求解线段长是解题的关键．
 

26.【答案】解：设当时，反比例函数的解析式为，将代入
得：，
解得：，
反比例函数的解析式为：，
当时，，
，
，即对应的指标值为；
设当时，的解析式为，将、代入
得：，
解得：，
的解析式为：，
当时，，解得：，
由得反比例函数的解析式为：，
当时，，解得：，
时，注意力指标都不低于，
而，
张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于． 

【解析】设反比例函数的解析式为，由求出，可得坐标，从而求出的指标值；
求出解析式，得到时，，由反比例函数可得时，，根据，即可得到答案．
本题考查函数图象的应用，涉及一次函数、反比例函数及不等式等知识，解题的关键是求出和时的解析式．
 

27.【答案】解：点是反比例函数图象上的点，
；
证明：点的横坐标为，
点的纵坐标为，
，
，
，
，，
，
≌，
，
，
；
解：，，
，
，
由知，，
，
解得或，
当时，舍去，
当时，，
 

【解析】将点的坐标代入反比例函数，即可得出答案；
首先表示出，的坐标，再利用证明≌，得，从而得出的纵坐标；
根据，得，则，由知，，代入解关于的方程即可．
本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，运用方程思想是解题的关键．
 

28.【答案】解：≌；理由：
四边形和四边形是正方形，
，，，
，
，
在和中，
，
≌；

证明：如图，
与的交点记作点，
由知，≌，
，
，
，
，
，
，
；

如图，连接，
四边形是正方形，
，，
在中，，
，
当最小时，的值最大，
当时，的值最小，此时的值最大，此时点与重合如图中，
由题意知，，
，
，
，
的最大值为． 

【解析】先判断出，，，进而判断出，即可得出结论；
由知，≌，得出，即可得出结论；
判断出当时，的值最小，此时的值最大，此时点与重合，最后用勾股定理求解即可求出答案．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会寻找特殊位置解决最值问题，属于中考压轴题．