人教版数学七年级上册专项培优练习十《角的综合问题》（2份打包，教师版+原卷版）

人教版数学七年级上册专项培优练习十

《角的综合问题》

1.如图①，已知线段AB=12cm，点C为AB上的一个动点，点D、E分别是AC和BC的中点.

(1)若点C恰好是AB中点，则DE=　  　cm；

(2)若AC=4cm，求DE的长；

(3)试利用“字母代替数”的方法，说明不论AC取何值(不超过12cm)，DE的长不变；

(4)知识迁移：如图②，已知∠AOB=120°，过角的内部任一点C画射线OC，若OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，试说明∠DOE=60°与射线OC的位置无关.

【答案解析】解：(1)∵点D，E分别是AC和BC的中点，

∴DC=AC，CE=CB，

∴DC+CE=(AC+CB)=6cm；

故答案为：6．

(2)∵AC=4cm，

∴CD=2cm，

∵AB=12cm，AC=4cm，

∴BC=8cm，

∴CE=4cm，DE=DC+CE=6cm；

(3)∵点D，E分别是AC和BC的中点，

∴DC=AC，CE=CB，

∴DC+CE=(AC+CB)，

即DE=AB；

(4)∵OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC，

∴∠DOC=∠AOC，∠COE=∠COB，

∴∠DOE=∠DOC+∠COE=∠AOB=50°，

当∠AOB=n°，∠DOE=n°．

故答案为：50；n．

2.已知O为直线AD上一点，以O为顶点作∠COE＝90°，射线OF平分∠AOE.

(1)如图①，∠AOC与∠DOE的数量关系为______，∠COF和∠DOE的数量关系为_____；

(2)若将∠COE绕点O旋转至图②的位置，OF依然平分∠AOE，请写出∠COF和∠DOE之间的数量关系，并说明理由；

(3)若将∠COE绕点O旋转至图③的位置，射线OF依然平分∠AOE，请直接写出∠COF和∠DOE之间的数量关系.

【答案解析】解：(1)∠AOC+∠DOE=180°；∠DOE=2∠COF；

(2)(1)∵∠COE=90°，

∴∠COF=90°-∠EOF=90°-∠AOE，

∵∠DOE=180°-∠AOE，

所以∠DOE=(180°-∠AOE)=90°-∠AOE，

∴∠DOE=∠COF.

所以∠DOE=2∠COF.

 (3)不发生变化.证明如下：

∵射线OF平分∠AOE，

∴∠EOF=∠AOE，

∵∠COE=90°，

∴∠COF=90°+∠EOF=90°+-∠AOE

∠DOE=90°+∠EOF.

∴∠DOE=90°+-∠AOE.

所以∠COF=∠DOE.

3.将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起：

(1)①如图(1)若∠ECD=35°，则∠ACB=    °若∠ACB=135°，则∠ECD=        °

②猜想∠ACB与∠ECD的数量关系式，并加以证明. 

(２)若三角尺ACD不动，将三角尺BCE的CE边与CA边重合，然后绕点C按顺时针方向任意转动一个角度，当∠ACE(0°＜∠ACE＜90°)等于多少度时，这两块三角尺各有一条边互相垂直，先画出所有可能的图形，并求出∠ACE角度所有可能的值.

(３)若三角尺ACD不动，将三角尺BCE的CE边与CA边重合，然后绕点C按顺时针方向每分钟旋转15°，旋转过程中两三角尺斜边无重叠，旋转时间为t分钟.在旋转一周过程中，t为何值时，AD与BE平行?

【答案解析】解：(1)①∵∠ECB=90°，∠DCE=45°，

∴∠DCB=90°-45°=45°，

∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+45°=135°.

②∵∠ACB=140°，∠ACD=90°，

∴∠DCB=140°-90°=50°，

∴∠DCE=90°-50°=40°.

(2)∠ACB+∠DCE=180°，

∵∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+∠DCB，

∴∠ACB+∠DCE=90°+∠DCB+∠DCE=90°+90°=180°.

(3)存在.

当∠ACE=30°时，AD∥BC，

当∠ACE=∠E=45°时，AC∥BE，

当∠ACE=120°时，AD∥CE，

当∠ACE=135°时，BE∥CD，

当∠ACE=165°时，BE∥AD.

4.以直线 AB 上一点 O 为端点作射线 OC，使∠BOC=60°，将一个直角三角形的直角顶点放在点 O 处.(注：∠DOE=90°)

(1)如图 -1，若直角三角板 DOE 的一边 OD 放在射线 OB 上，则∠COE=_______°；

(2)如图 -2，将直角三角板 DOE 绕点 O 逆时针方向转动到某个位置，若 OE 恰好平分∠AOC，请说明 OD 所在射线是∠BOC 的平分线；

(3)如图 -3，将三角板 DOE 绕点 O 逆时针转动到某个位置时，若恰好∠COD=∠AOE， 求∠BOD 的度数？

【答案解析】解：(1)∵∠BOE=∠COE+∠COB=90°，

又∵∠COB=60°，

∴∠COE=30°，

(2)∵OE平分∠AOC，

∴∠COE=∠AOE=∠COA，

∵∠EOD=90°，

∴∠AOE+∠DOB=90°，∠COE+∠COD=90°，

∴∠COD=∠DOB=∠BOC=30°；

(3)设∠COD=x，则∠AOE=5x．

∵∠AOE+∠DOE+∠COD+∠BOC=180°，∠DOE=90°，∠BOC=60°，

∴5x+90°+x+60°=180°，解得x=5°，

即∠COD=5°，

∴∠BOD=∠COD+∠BOC=5°+60°=65°，

∴∠BOD的度数为65°．

5.已知∠AOB=160°，∠COE=80°，OF平分∠AOE.

(1)如图1，若∠COF=14°，则∠BOE=28°；若∠COF=n°，则∠BOE=2n°，∠BOE与∠COF的数量关系为             ；

(2)当射线OE绕点O逆时针旋转到如图2的位置时，(1)中∠BOE与∠COF的数量关系是否仍然成立？请说明理由；

(3)在(2)的条件下，如图3，在∠BOE的内部是否存在一条射线OD，使得∠BOD为直角，且∠DOF=3∠DOE？若存在，请求出∠COF的度数；若不存在，请说明理由.

【答案解析】解：(1)∵∠AOE=∠AOB﹣∠BOE，

而OF平分∠AOE，

∴∠AOE=2∠EOF，

∴2∠EOF=∠AOB﹣∠BOE，

∴2(∠COE﹣∠COF)=∠AOB﹣∠BOE，

而∠AOB=160°，∠COE=80°，

∴160°﹣2∠COF=160°﹣∠BOE，

∴∠BOE=2∠COF，当∠COF=14°时，∠BOE=28°；

当∠COF=n°时，∠BOE=2n°，

(2)∠BOE=2∠COF仍然成立.理由如下：

∵∠AOE=∠AOB﹣∠BOE，而OF平分∠AOE，

∴∠AOE=2∠EOF，

∴2∠EOF=∠AOB﹣∠BOE，

∴2(∠COE﹣∠COF)=∠AOB﹣∠BOE，

而∠AOB=160°，∠COE=80°，

∴160°﹣2∠COF=160°﹣∠BOE，

∴∠BOE=2∠COF；

(3)存在.设∠AOF=∠EOF=2x，

∵∠DOF=3∠DOE，

∴∠DOE=x，

而∠BOD为直角，

∴2x+2x+x+90°=160°，解得x=14°，

∴∠BOE=90°+x=104°，

∴∠COF=×104°=52°(满足∠COF+∠FOE=∠COE=80°).

6.已知点O是直线AB上的一点，∠COE=90°，OF是∠AOE的平分线. 

(1)当∠AOC=40°，点C、E、F在直线AB的同侧(如图1所示)时，求∠BOE和∠COF的度数.

(2)当∠AOC=40°，点C与点E、F在直线AB的两旁(如图2所示)时，求∠BOE和∠COF的度数.

(3)当∠AOC=n°，请选择图(1)或图(2)一种情况计算，         

∠BOE=               

∠COF=      (用含n的式子表示)         

(4)根据以上计算猜想∠BOE与∠COF的数量关系      (直接写出结果).

【答案解析】解：(1)如图(1)，∵∠AOC=40°，∠COE是直角，

∴∠AOE=130°，∴∠BOE=180°﹣130°=50°，

又∵OF平分∠AOE，

∴∠AOF=∠AOE=65°，

∴∠COF=65°﹣40°=25°；          

(2)如图(2)，∵∠AOC=40°，∠COE是直角，

∴∠AOE=50°，

∴∠BOE=180°﹣50°=130°，        

又∵OF平分∠AOE，

∴∠AOF=∠AOE=25°，

∴∠COF=25°+40°=65°；     

(3)如图(2)，∵∠AOC=n°，∠COE是直角，

∴∠AOE=(90﹣n)°，          

∴∠BOE=180°﹣(90﹣n)°=(90+n)°，        

又∵OF平分∠AOE，

∴∠AOF=∠AOE=(45﹣n)°，

∴∠COF=n°+(45﹣n)°=45°+n°.

(4)根据以上计算的∠BOE和∠COF的度数可得：∠BOE=2∠COF.

7.已知∠AOB内部有三条射线，其中OE平分∠BOC，OF平分∠AOC.

(1)如图1，若∠AOB=90°，∠AOC=30°，求EOF的度数；

(2)如图2，若∠AOB=α，求∠EOF的度数(用含α的式子表示)；

(3)若将题中的“OE平分∠BOC，OF平分∠AOC”的条件改为“∠EOB=∠BOC，∠COF=∠AOC”，且∠AOB=α，求∠EOF的度数(用含α的式子表示)

【答案解析】解：(1)∠BOC=∠AOB﹣∠AOC=90°﹣30°=60°，

∵OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，

∴∠EOC=∠BOC=×60°=30°，∠COF=∠AOC=×30°=15°，

∴∠EOF=∠EOC+∠COF=30°+15°=45°；

(2)∵OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，

∴∠EOC=∠BOC，∠COF=∠AOC，

∴∠EOF=∠EOC+∠COF=∠BOC+∠AOC=(∠BOC+∠AOC)=∠AOB=a；

(3)∵∠EOB=∠BOC，

∴∠EOC=∠BOC，

又∵∠COF=∠AOC，

∴∠EOF=∠EOC+∠COF=∠BOC+∠AOC=(∠BOC+∠AOC)=∠AOB=a.

8.如图1，已知∠AOB=150°，∠AOC=40°，OE是∠AOB内部的一条射线，且OF平分∠AOE.

(1)若∠EOB=10°，则∠COF=________；

(2)若∠COF=20°，则∠EOB=____________；

(3)若∠COF=n°，则∠EOB=­­­_____(用含n的式子表示).

(4)当射线OE绕点O逆时针旋转到如图2的位置时，请把图补充完整；此时，∠COF与∠EOB有怎样的数量关系？请说明理由.

【答案解析】解：(1)∵∠AOB=150°，∠EOB=10°，

∴∠AOE=∠AOB-∠EOB=150°-10°=140°，

∵OF平分∠AOE，

∴∠AOF==70°，

∴∠COF=∠AOF-∠AOC=70°-40°=30°；

(2)∵∠AOC=40°，∠COF=20°， 

∴∠AOF=∠AOC+∠COF=40°+20°=60°，

∵OF平分∠AOE，

∴∠AOE=2∠AOF=2×60°=120°，

∴∠EOB=∠AOB-∠AOE=150°-120°=30°；

(3)∵∠AOC=40°，∠COF=n°，

∴∠AOF=∠AOC+∠COF=40°+n°=60°，

∵OF平分∠AOE，

∴∠AOE=2∠AOF=2(40°+n°)=80°+2n°，

∴∠EOB=∠AOB-∠AOE=150°-(80°+2n°)=70°-2n°；

(4)如图所示；∠EOB=70°+2∠COF.

证明：设∠COF=n°，则∠AOF=∠AOC-∠COF=40°-n°，

又∵OF平分∠AOE，

∴∠AOE=2∠AOF=80°-2n°.

∠EOB=∠AOB-∠AOE=150°-(80°-2 n°)=(70+2n)°

即∠EOB=70°+2∠COF.

9.如图，∠AOB＝90°，∠AOC为∠AOB外的一个锐角，且∠AOC＝30°，射线OM平分∠BOC，ON平分∠AOC.

(1)求∠MON的度数；

(2)如果(1)中∠AOB＝α，其他条件不变，求∠MON的度数；

(3)如果(1)中∠AOC＝β(β为锐角)，其他条件不变，求∠MON的度数；

(4)从(1)，(2)，(3)的结果中，你能看出什么规律？

(5)线段的计算与角的计算存在着紧密的联系，它们之间可以互相借鉴解法.请你模仿(1)～(4)设计一道以线段为背景的计算题，并写出其中的规律.

【答案解析】解：(1)因为∠AOB=90°，∠AOC=30°，所以∠BOC=120°.

因为OM平分∠BOC，所以∠COM=∠BOC=60°.

因为ON平分∠AOC，所以∠CON=∠AOC=×30°=15°，

所以∠MON=∠COM－∠CON=60°－15°=45°

(2)当∠AOB=α，其它条件不变时，仿(1)可得∠MON=α

(3)仿(1)可求得∠MON=∠COM－∠CON=45°

(4)从(1)(2)(3)的结果中，可以得出一般规律：∠MON的大小总等于∠AOB的一半，与锐角∠AOC的大小无关

(5)问题可设计为：已知：线段AB＝a，延长AB到点C，使BC＝6，点M，N分别为AC，BC的中点，求MN的长.

规律是：MN的长度总等于AB的长度的一半，而与BC的长度无关

10.如图1，将一副三角板的两个锐角顶点放到一块，∠AOB=45°，∠COD=30°，OM，ON分别是∠AOC，

∠BOD的角平分线.

(1)当∠COD绕着点O逆时针旋转至射线OB与OC重合时(如图2)，则∠MON的大小为        ；

(2)如图3，在(1)的条件下，继续绕着点O逆时针旋转∠COD，当∠BOC=10°时，求∠MON的大小，写出解答过程；

(3)在∠COD绕点O逆时针旋转过程中，∠MON=        °.

【答案解析】解：(1)∵∠AOB=45°，∠COD=30°，OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的角平分线，

∴∠BON=∠COD=15°，∠MOB=∠AOB=22.5°，

∴∠MON=37.5°.故答案为：37.5°；

(2)当绕着点O逆时针旋转∠COD，∠BOC=10°时，∠AOC=55°，∠BOD=40°，

∴∠BON=∠BOD=20°，∠MOB=∠AOC=27.5°，

∴∠MON=47.5°；

(3)∵∠AOC=∠AOB+∠BOC，∠BOD=∠COD+∠BOC，

∵OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的角平分线，∠AOB=45°，∠COD=30°，

∴∠MOC=∠AOC=(∠AOB+∠BOC)，∠CON=∠BOD﹣∠BOC，

∴∠MON=(∠AOB+∠BOC)+BOD﹣∠BOC

=∠AOB+(∠BOD﹣∠BOC)=∠AOB+=∠COD=37.5°，

α+β=(α+β).

11. (1)已知：如图1，点O为直线AB上任意一点，射线OC为任意一条射线.OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，则∠DOE=       ；

(2)已知：如图2，点O为直线AB上任意一点，射线OC为任意一条射线，其中∠COD=∠AOC，∠COE=∠BOC，求∠DOE得度数；

(3)如图3，点O为直线AB上任意一点，OD是∠AOC的平分线，OE在∠BOC内，∠COE=∠BOC，∠DOE=72°，求∠BOE的度数.

【答案解析】解：(1)∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，

∴∠COD=AOC，∠COE=BOC，

∵∠AOB=180°，

∴∠DOE=∠COD+∠COE=(∠AOC+∠BOC)=∠AOB.

(2)∵∠COD=∠AOC，∠COE=∠BOC，

∴∠DOE=∠COD+∠COE=∠AOC+∠BOC=(∠AOC+∠BOC)=∠AOB=60°；

(3)设∠BOC=x°则∠COE=x°，∠BOE=x°，∠AOC=(180﹣x)°，

∵OD是∠AOC的平分线，

∴∠COD=∠AOC=(90﹣x)°，

∵∠DOE=72°，

∴(90﹣x)+x=72°，解得：x=108，

∴∠BOE=×108=72°.

12.如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一条边OM在射线OB上，另一条边ON在直线AB的下方.

(1)将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，问直线ON是否平分∠AOC？请说明理由；

(2)将图1中的三角板绕点O按每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为             ；(直接写出结果)

(3)将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究：∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由.

【答案解析】解：(1)直线ON是否平分∠AOC.理由：设ON的反向延长线为OD，

∵OM平分∠BOC，

∴∠MOC=∠MOB，

又∵OM⊥ON，

∴∠MOD=∠MON=90°，

∴∠COD=∠BON，

又∵∠AOD=∠BON(对顶角相等)，

∴∠COD=∠AOD，

∴OD平分∠AOC，即直线ON是否平分∠AOC.

(2)∵∠BOC=120°

∴∠AOC=60°，

∴∠RON=∠COD=30°，

即旋转60°时ON平分∠AOC，

由题意得，6t=60°或240°，

∴t=10或40；

(3)∵∠MON=90°，∠AOC=60°，

∴∠AOM=90°﹣∠AON、∠NOC=60°﹣∠AON，

∴∠AOM﹣∠NOC=(90 °﹣∠AON)﹣(60 °﹣∠AON)=30 °.