2021-2022学年湖南省湘鄂冀三省七校高二下学期期末联考数学试题含答案

湘鄂冀三省七校2021-2022学年高二下学期期末联考

数学试卷

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ）

A.  B.

C.  D.

2. 已知复数z满足，则z的虚部为（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且面积为4，则圆锥的体积为（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 要得到函数的图像，只需将的图像（    ）

A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度

C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度

5. 已知椭圆的左､右焦点分别为为椭圆上一点，若的周长为54，且椭圆的短轴长为18，则椭圆的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 已知，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 下列说法中正确的是（    ）

①设随机变量X服从二项分布，则

②已知随机变量X服从正态分布且，则

③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则；

④；.

A. ①②③ B. ②③④ C. ②③ D. ①③

8. 若过点可作曲线三条切线，则（    ）

A.  B.  C.  D.

二､多选题，本题共4小题，每题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得2分.

9. 已知，则下列说法中正确的有（    ）

A. 展开式中的常数项为84

B. 的展开式中不含的项

C. 的展开式中的各项系数之和与二项式系数之和相等

D. 的展开式中的二项式系数最大的项是第四项和第五项

10. 已知，，是与同向的单位向量，则下列结论错误的是（    ）

A.  B.

C. 与可以作为一组基底 D. 向量在向量上的投影向量为

11. 已知圆，直线l过点，且交圆O于P，Q两点，点M为线段PQ的中点，则下列结论正确的是（    ）

A. 点M的轨迹是圆 B. 的最小值为6

C. 使为整数的直线l共有9条 D. 使为整数的直线l共有16条

12. 如图，在正三棱柱中，，，P为线段上的动点，且，则（    ）

A. 存在，使得

B. 当时，三棱锥的外接球表面积为

C. 当时，异面直线和所成角的余弦值为

D. 过且与直线AB和直线所成角都是的直线有三条

三､填空题，本题共4小题，每题5分，共20分.

13. 若，则______．

14. 已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则____________．

15. 已知函数，若函数有5个零点，则实数k的取值范围为______．

16. 数列是公差不为零的等差数列,其前n项和为,若记数据的方差为,数据的方差为,则______.

四､解答题（17题10分，其它各题12分）

17. 已知数列满足，，令

（1）求证：是等比数列；

（2）记数列的前项和为，求.

18. 如图所示，位于A处的甲船获悉：在其正东方向相距海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待救援.甲船立即把消息分别告知在其北偏东角且相距5海里C处的乙船、和其正北方向D处的丙船.若乙船在丙船的东南方向，且两船相距2海里．

（1）求；

（2）若乙船要去救援，至少要航行多少海里才能到达B处？

19. 如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面.

20. 九连环是中国传统的有代表性的智力玩具，凝结着中国传统文化，具有极强的趣味性九连环既能练脑又能练手，对开发人的逻辑思维能力及活动手指筋骨大有好处．同时它还可以培养学习工作的专注精神和耐心，实为老少咸宜．据明代杨慎《丹铅总录》记载，曾以玉石为材料制成两个互贯的圆环，“两环互相贯为一，得其关换，解之为二，又合而为一”．后来，以铜或铁代替玉石．甲、乙两位同学进行九连环比赛，每局不存在平局．比赛规则规定，领先3局者获胜．若比赛进行了7局，仍然没有人领先3局，比赛结束，领先者也获胜．已知甲同学每局获胜的概率为，且每局之间相互独立．现比赛已经进行了2局，甲同学2局全输．

（1）由于某种原因，比赛规则改为“五局三胜制”，试判断新规则对谁更有利，并说明理由；

（2）设比赛总局数为，求随机变量的分布列及期望．

21. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线的右顶点在圆上，且．

（1）求双曲线的方程；

（2）动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点、，设为坐标原点．求证：的面积为定值．

22. 已知函数，.

（1）当b=1时，讨论函数的单调性；

（2）若函数在处的切线方程为，且不等式恒成立，求实数m的取值范围.

1-5：CCDBB 6-8:CAA

9.AC 10.AB 11.ABD 12.BD

13.

14.6

15.

16.4

17. 【小问1】

证明：，

，①

②

①-②得，

经检验，当时上式也成立，

即.

所以

即，且.

所以是首项为3，公比为3的等比数列.

【小问2】

由（1）得，.

所以，

两式相减，得

，

18. 【小问1】

依题意知，中，，

由正弦定理得

即；

【小问2】

中，，所以

由余弦定理得=25  即BC=5

所以乙船至少要航行5海里才能到达救援.

19. 【小问1】

由题设，，又面面，面面，面，

所以面，而面，则，

由得：，

又，则平面.

【小问2】

若是的中点，连接，

由，，，，

所以，

面面，面面，面，

所以面，面，则.

综上，可构建如下空间直角坐标系，，

所以，则，

若是面的法向量，则，令，则，

若是面的法向量，则，令，则，

所以，故二面角的余弦值为.

20. 【小问1】

比赛已经进行了2局，甲同学2局全输，

若规则不变，要使甲同学胜出，则第3局甲胜，后4局情况如下：

第4、5局甲乙各胜一局，则第6、7局甲全胜，此情况概率为；

第4、5局甲全胜，则第6、7局甲乙各胜一局或甲全胜，此情况概率为；

综上，甲获胜的概率为，故乙获胜概率为；

若改为“五局三胜制”，要使甲要胜出，后三局必须全胜，

所以甲获胜的概率为，故乙获胜的概率为；

显然，甲获胜的概率变小，而乙获胜概率变大，故对乙有利.

【小问2】

比赛总局数，且，，，

所以的分布列如下：

所以

21. 【小问1】

不妨设 , 因为,

从而 故由 ,

又因为, 所以 ,
又因为 在圆 上, 所以
所以双曲线的标准方程为：

【小问2】

设直线与轴交于点，双曲线的渐近线方程为

由于动直线与双曲线恰有1个公共点, 且与双曲线的两条渐近线分别交于点,

当动直线的斜率不存在时, ,，,

当动直线的斜率存在时, 且斜率, 不妨设直线 ,

故由
依题意，且

,

化简得 ,
故由 ,

同理可求,,
所以

又因为原点到直线的距离,
所以,又由
所以,
故的面积是为定值,定值为

22. 【小问1】

当b=1时，，定义域（0，+∞），.

当时，，所以函数在（0，+∞）上单调递减.

当时，，

令，得；令，得，

所以函数在（0，a）上单调递增，在（a，+∞）上单调递减.

综上，当时，函数在（0，+∞）上单调递增，

当时，函数在（0，a）上单调递增，在（a，+∞）上单调递减.

【小问2】

因为函数在处的切线方程为y=(e－1)x－2，

所以，且，由于，

所以解得a=b=1，所以f(x)=lnx－x，

所以f(x)≤g(x)即，等价于对x>0恒成立，即对x>0恒成立.

令，所以，

.令，，

则恒成立，所以G(x)在（0，＋∞）上单调递增.

由于G(1)=e>0，，所以使得，

即，（※）

所以当时，G(x)<0，当时，G(x)>0，

即F(x)在上单调递减，在上单调递增，

所以，

由（※）式可知，，，

令，，又x>0，所以，即s(x)在（0，+∞）上为增函数，所以，即，所以，

所以

所以，实数m的取值范围为（－∞，1].