2021-2022学年湘鄂冀三省益阳平高学校、长沙市平高中学等七校联考高二（下）期末数学试卷（Word解析版）

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2021-2022学年湘鄂冀三省益阳平高学校、长沙市平高中学等七校联考高二（下）期末数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知复数满足，则的虚部为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且面积为，则圆锥的体积为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 要得到函数的图像，只需将的图像(    )

A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度

5. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，若的周长为，且椭圆的短轴长为，则椭圆的离心率为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 已知，，则(    )

A.  B.  C.  D.

7. 下列说法中正确的是(    )
   设随机变量服从二项分布，则；
   已知随机变量服从正态分布且，则；
   小赵、小钱、小孙、小李到个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则；
   ；．

A.  B.  C.  D.

8. 若过点可作曲线三条切线，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 已知，则下列说法中正确的有(    )

A. 的展开式中的常数项为
B. 的展开式中不含的项
C. 的展开式中的各项系数之和与二项式系数之和相等
D. 的展开式中的二项式系数最大的项是第四项和第五项

10. 已知，，是与同向的单位向量，则下列结论错误的是(    )

A.
B.
C. 与可以作为一组基底
D. 向量在向量上的投影向量为

11. 已知圆：，直线过点，且交圆于，两点，点为线段的中点，则下列结论正确的是(    )

A. 点的轨迹是圆 B. 的最小值为
C. 使为整数的直线共有条 D. 使为整数的直线共有条

12. 如图，在正三棱柱中，，，为线段上的动点，且，则(    )

A. 存在，使得
B. 当时，三棱锥的外接球表面积为
C. 当时，异面直线和所成角的余弦值为
D. 过且与直线和直线所成角都是的直线有三条
 

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 若，则______．
14. 已知是抛物线：的焦点，是上一点，的延长线交轴于点若为的中点，则          ．
15. 已知函数，若函数有个零点，则实数的取值范围为______．
16. 数列是公差不为零的等差数列，其前项和为，若记数据，，，，的方差为，数据的方差为，则______．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知数列满足，，令．
    求证：是等比数列；
    记数列的前项和为，求．
18. 如图所示，位于处的甲船获悉：在其正东方向相距海里的处有一艘渔船遇险，在原地等待救援．甲船立即把消息分别告知在其北偏东角且相距海里处的乙船、和其正北方向处的丙船．若乙船在丙船的东南方向，且两船相距海里．
    求；
    若乙船要去救援，至少要航行多少海里才能到达处？

19. 如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面．
    证明：平面；
    求二面角的余弦值．

20. 九连环是中国传统的有代表性的智力玩具，凝结着中国传统文化，具有极强的趣味性九连环既能练脑又能练手，对开发人的逻辑思维能力及活动手指筋骨大有好处．同时它还可以培养学习工作的专注精神和耐心，实为老少咸宜．据明代杨慎丹铅总录记载，曾以玉石为材料制成两个互贯的圆环，“两环互相贯为一，得其关换，解之为二，又合而为一”后来，以铜或铁代替玉石．甲、乙两位同学进行九连环比赛，每局不存在平局．比赛规则规定，领先局者获胜．若比赛进行了局，仍然没有人领先局，比赛结束，领先者也获胜．已知甲同学每局获胜的概率为，且每局之间相互独立．现比赛已经进行了局，甲同学局全输．
    由于某种原因，比赛规则改为“五局三胜制”，试判断新规则对谁更有利，并说明理由；
    设比赛总局数为，求随机变量的分布列及期望．
21. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线的右顶点在圆：上，且．
    求双曲线的方程；
    动直线与双曲线恰有个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点，，设为坐标原点．求证：的面积为定值．
22. 已知函数，．
    当时，讨论函数的单调性；
    若函数在处的切线方程为，且不等式恒成立，求实数的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，
，
．
故选：．
根据已知条件，结合交集和补集的运算，即可求解．
本题主要考查交集和补集的运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
，
由虚部的定义可得，的虚部为．
故选：．
根据已知条件，结合复数的运算，以及虚部的定义，即可求解．
本题主要考查复数的运算，以及虚部的定义，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：设圆锥的母线长为，底面半径为，高为，
圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且面积为，
，解得，，，
，
圆锥的体积．
故选：．
由圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且面积为，求出底面半径和高，由此能求出圆锥的体积．
本题考查圆锥的体积的求法，考查圆锥的性质、结构特征等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：要得到函数的图像，只需将的图像向右平移个单位长度，
故选：．
由题意，利用函数的图象变换规律，得出结论．
本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：设的焦距为因为的周长为，所以，
所以，
因为的短轴长为，所以，
因为，所以，
所以，，
故C的离心率为．
故选：．
由的周长为，再由椭圆的定义可得，的关系，由短轴长可得的值，再由，，之间的关系求出，的值，进而求出椭圆的离心率．
本题考查椭圆的性质的应用及椭圆方程的求法，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：因为，可得，
又因为，，
所以，可得，
两边平方，可得，
解得．
故选：．
利用二倍角公式化简已知等式，结合，可得，两边平方，利用同角三角函数基本关系式以及二倍角的正弦公式即可求解的值．
本题考查了同角三角函数基本关系式以及二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：设随机变量服从二项分布，则，故正确；
随机变量服从正态分布，正态曲线的对称轴是，
，则，，故正确；
设事件“个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，
小赵独自去一个景点，则有个景点可选，其余人只能在小赵剩下的个景点中选择，可能性为种，
所以小赵独自去一个景点的可能性为种；
个人去的景点不相同的可能性为种，，故正确；
，，故不正确．
故选：．
由二项分布的概率公式求得概率判断；由正态分布的对称性求得概率判断；利用条件概率计算公式求得概率判断；由期望与方差的计算公式判断．
本题考查命题的真假判断与应用，考查正态分布、二项分布及条件概率的求法，是中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：设切点为，
由，故切线方程为，
因为在切线上，所以代入切线方程得，
令，则或，
所以当，时，，为增函数，
当时，，为减函数，
且时，，时，，
所以只需，解得，
故选：．
设切点为，根据导数的几何意义写出切线的方程，代入点，转化为方程有个根，构造函数，利用导数可知函数的极值，根据题意列出不等式组求解即可．
本题考查利用导数研究曲线的切线方程，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：因为展开式的通项公式，，，，，
所以当，故A正确；
当时，，故B错误；
的展开式中各项系数和为，二项式系数之和为，故C正确；
根据二项式系数的性质可知，最大，所以，的展开式中二项式系数最大的项是第五项和第六项，故D错误．
故选：．
根据二项展开式的通项公式以及二项式系数的性质即可解出．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：对于，，故A错误，
对于，，故B错误，
对于，，是不共线的一组非零向量，
与可以作为一组基底，故C正确，
对于，向量在向量上的投影向量为，故D正确．
故选：．
对于，结合向量模公式，即可求解，
对于，结合单位向量的定义，即可求解，
对于，结合基底的定义，即可求解，
对于，结合投影公式，即可求解．
本题主要考查向量模公式，单位向量和基底的定义，以及投影公式，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：因为直线恒过点，且点为线段的中点，所以，则易得点的轨迹是圆，故A选项正确；
易知圆心到直线的距离的最大值为，故的最小值为，最大值为，故B选项正确；
由最短弦与最长弦有唯一性，长度在最短弦与最长弦之间的弦有对称性可知，使为整数的直线有条，所以选项错误，选项正确．
故选：．
根据直线与圆的关系，结合题目给的条件逐一判断选项对错即可．
本题主要考查了直线和圆的方程的应用，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对于，过作交于，连，
依题意，对任意位置的点，，
则，为等腰三角形，为锐角，即不垂直于，也不垂直于，不正确；
对于，当时，，过点作与底面平行的正三棱柱的截面，

则三棱柱是棱长为的正三棱柱，它与三棱锥有相同的外接球，
球心到平面的距离的外接圆半径，则球半径，
于是得三棱锥的外接球表面积为，B正确；
对于，当时，，记此时点为，过作交于，连，
则是异面直线和所成的角或其补角，，
而，
在中，由余弦定理得：，不正确；
对于，因，则过点与直线和直线都成角的问题转化为过点与直线和直线都成角的问题，
显然的平分线所在与直线和都成角，在由直线与确定的平面内将绕点旋转，
旋转过程中的每一位置的直线与直线和都成角，，
当时，由旋转方向的不同，这样的直线有条，
此时，过点与直线和直线所成角都是的直线有条，
的邻补角平分线所在与直线和都成角，
在由直线与确定的平面内将绕点旋转，旋转过程中的每一位置的直线与直线和都成角，
，
当时，由旋转方向的不同，这样的直线有条，
此时，过点与直线和直线所成角都是的直线只有条，即直线，
综上得，过且与直线和直线所成角都是的直线有三条，D正确．
故选：．
过作交于，证明判断；过中点作与平面的平行截面，求截面与底面间的正三棱柱外接球半径计算判断时，作出异面直线所成的角计算判断；分析过且与直线和都成角的直线条数判断作答．
本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，
则．
故答案为：．
推导出，从而，由此能求出结果．
本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力，属于基础题．
求出抛物线的焦点坐标，推出坐标，然后求解即可．

【解答】

解：抛物线：的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．
由为的中点，可知的横坐标为，则的纵坐标为，
．
故答案为．

15.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，
所以函数为偶函数，
又，
所以在上有两个零点，
即有两个不同的正实数解，
与有两个不同的交点．
令，
则，
令，得；令，得．
故在上递减，上递增，
故画出图像如图所示：
 从而．
故答案为：．
先分析函数的奇偶性，再转化为，有两个不同的正实数解，令，求出函数的最小值即得解．
本题考查了函数的零点、奇偶性及转化思想、数形结合思想，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：数据，，，，的平均数为，
所以，
数据数据的平均数为，
所以
，
则，
故答案为：．
先分别求出两组数据的平均数，再分别计算两组数据的方差，从而能求出结果．
本题考查等差数列的通项公式与求和公式，考查平均数与方差的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．
 

17.【答案】证明：，，
，
，
得，．
经检验，当时上式也成立，
即．
所以，即，且．
所以是首项为，公比为的等比数列．
解：由得，．
所以，
，
两式相减得：，． 

【解析】根据数列的递推公式求得，进而求证为等比数列；
裂项相消法求和．
本题考查数列递推公式，以及裂项相消法数列求和，是中档题．
 

18.【答案】解：依题意知，中，，，，
由正弦定理得，
即；
中，，
所以，
由余弦定理得，
，
即，
所以乙船至少要航行海里才能到达救援． 

【解析】中，由正弦定理可得；首先求得，然后利用余弦定理可得．
本题考查了正余弦定理在实际问题中的应用，属于基础题．
 

19.【答案】证明：，
，
平面平面，
又且平面平面，
平面，
，
由可知，平面；
解：取中点，且为中点，
，又，，
以为原点，，，所在直线为，，轴，建立如图空间直角坐标系，

则，，，，
，，
设平面法向量，
，，
令，则，
平面法向量，
同理平面的法向量为，
，
二面角的余弦值为． 

【解析】根据平面平面，得到，再根据线面垂直的判定定理即可证明；建立如图空间直角坐标系后，分别求出两个平面的法向量，代入公式计算即可．
本题考查了线面垂直的证明和二面角的计算，属于中档题．
 

20.【答案】解：比赛已经进行了局，甲同学局全输，若规则不变，要使甲同学胜出，则第局甲胜，后局情况如下：
第，局甲乙各胜一局，则第，局甲全胜，此情况概率为；
第，局甲全胜，则第，局甲乙各胜一局或甲全胜，此情况概率为；
综上，甲获胜的概率为，故乙获胜概率为；
若改为“五局三胜制”，要使甲要胜出，后三局必须全胜，
所以甲获胜的概率为，故乙获胜的概率为；
显然，甲获胜的概率变小，而乙获胜概率变大，故对乙有利．
比赛总局数．
．
所以的分布列如下：

所以． 

【解析】利用独立事件的乘法公式及互斥概率求法求规则不变或“五局三胜制”情况下甲获胜的概率，判断大小关系，即可得结论．
由题设分析有，求出对应概率，进而写出分布列，并求期望．
本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望，属于基础题．
 

21.【答案】解：不妨设，，因为，
从而，
故由，
又因为，所以，
又因为在圆：上，
所以，
所以双曲线的标准方程；
设直线与轴交于点，双曲线的渐近线方程为，
由于动直线与双曲线恰有个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点，，
当动直线的斜率不存在时，，
当动直线的斜率存在时，且斜率，
不妨设直线：，
故由，
依题意，且，
化简得，
故由，
同理可求，，
所以，
又因为原点到直线：的距离，
所以，又由，
所以，
故的面积是为定值，定值为． 

【解析】设，，通过，求解，通过在圆上，求解，得到双曲线的标准方程．
当动直线的斜率不存在时，求解三角形的面积；当动直线的斜率存在时，且斜率，不妨设直线：，联立直线与双曲线方程，求出，然后求解、的坐标，求解，结合原点到直线：的距离，求解的面积是为定值即可．
本题考查双曲线的简单性质以及直线与双曲线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
 

22.【答案】解：当时，，，
，，
当时，，在上单调递减，
当时，令得，
时，；时，，
在上单调递增，在上单调递减，
综合得：当时，在上单调递减，
当时，在上单调递增，在上单调递减；
在处的切线方程为，
，解得，
，
又不等式恒成立，
，都有恒成立，
，，
，，
设，
，
时，；时，，
在上单调递减，在上单调递增，
，
，当且仅当时取得等号，
，当且仅当时取得等号，
，又，
，当且仅当时取得等号，
，
所求实数的取值范围为． 

【解析】直接讨论导数的符号即可求解；
先由切线，根据导数几何意义建立方程求出参数，，再对恒成立问题分离参数转化成最值，最后构造函数求出最值，从而得解．
本题考查导数的几何意义，分类讨论思想，方程思想，导数研究单调性，导数证明不等式，恒成立问题，属难题．