2021-2022学年山东省临朐县实验中学高二12月学情检测数学试题含答案

山东省临朐县实验中学2021-2022学年高二12月学情检测

数学

一、选择题（共8小题）.

1．直线x+y+1＝0的倾斜角是（　　）

A．30° B．60° C．120° D．150°

2．椭圆x2+2y2＝1的焦点坐标是（　　）

A．（±1，0） B．（0，±1） C．（±，0） D．（0，±）

3．若抛物线过点，则该抛物线的焦点坐标为（   ）

A． B． C． D．

4．圆C1：x2+y2+8x+12＝0和圆C2：x2+y2﹣6y＝0的位置关系是（　　）

A．相离 B．相交 C．内切 D．外切

5．某城市的电话号码由六位升为七位(首位数字均不为零)，则该城市可增加的电话部数是(　　)

A．9×8×7×6×5×4×3×2    B．8×96  C．9×106     D．8.1×106

6．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点F是侧面CDD1C1的中心，若＝x+y+z，则x+y+z＝（　　）

A．1 B． C．2 D．

7．已知F是椭圆的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则△ABF面积的最大 值 为（）

A．6 B．15 C．20 D．12

8．设F1，F2是双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P是双曲线C右支上一点．若|PF1|+|PF2|＝6a，且＝，则双曲线C的渐近线方程是（　　）

A．x±y＝0 B．xy＝0 C．x±2y＝0 D．2xy＝0

二、多项选择题（共4小题）.

9．若，，与的夹角为120°，则λ的值为（　　）

A．17 B．﹣17 C．﹣1 D．1

10．在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，则（）

A．AC1B1C     B．直线CD1与BD 所成的角为60°

C．三棱锥O-B1CD1的体积为

D．直线AC1与平面AA1D1D所成角的正弦值为

11．下列命题中正确的是（）

A．双曲线与直线有且只有一个公共点

B．平面内满足的动点的轨迹为双曲线

C．若方程表示焦点在轴上的双曲线，则

D．过给定圆上一定点作圆的动弦，则弦的中点的轨迹为椭圆

12．已知F1，F2分别为双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A1，A2分别为其实轴的左、右端点，且|F1F2|＝，点P为双曲线右支一点，I为△PF1F2的内心，则下列结论正确的有（　　）

A．离心率         B．点I的横坐标为定值a 

C．若（λ∈R）成立，则λ＝﹣1 

D．若PH垂直x轴于点H，则|PH|2＝|HA1|•|HA2|

三、填空题（共4小题）.

13．已知直线l1：（m﹣1）x﹣3y+3＝0和直线l2：2x+my﹣5＝0垂直，则实数m＝　   　．

14．集合P＝{x|x＝A，m∈N＋}，则集合P中共有______个元素．.

15．已知空间直线l的方向向量是，平面α的法向量．若l⊥α，则a+b＝　   　．

16．已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A，B两点，抛物线的准线与y轴交于点M，当最大时，弦AB长度是　   　．

四、解答题（共6小题）.

17．求符合下列条件的曲线的标准方程：

(1) 过点(－3，2)且与椭圆＋＝1有相同的焦点的椭圆的标准方程；

(2)经过点(2，2)，且与－x2＝1具有相同的渐近线的双曲线的标准方程.

18．如图，四棱锥的侧面是正三角形，底面是直角梯形，，，为的中点.

（1）求证：；

（2）若，求线与平面所成角的正弦值.

19．已知△ABC中，点A（﹣1，5），边BC所在直线l1的方程为7x﹣y﹣18＝0，边AB上的中线所在直线l2的方程为y＝x．

（1）求点B和点C的坐标；

（2）若△ABC的外接圆为⊙M，求直线l2被⊙M截得的弦长．

20．在平面直角坐标系中，动点P（x，y）（y＞0）到定点M（0，1）的距离比到x轴的距离大1．

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）过点M的直线l交曲线C于A，B两点，若|AB|＝8，求直线l的方程．

21．如图所示，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为BC，CD的中点．

（1）求平面C1EF与平面AB1D1夹角的余弦值；

（2）设，若平面C1EF∥平面MB1D1，求λ的值．

22．已知椭圆的离心率为，且经过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）经过点的直线与椭圆交于不同的两点，，为坐标原点，若的面积为，求直线的方程.

高二数学十二月试题参考答案

一、单项选择题   1-6  D．C．B．D．D .A．  7．D 

 8．解：由双曲线的定义知，|PF1|﹣|PF2|＝2a，∵|PF1|+|PF2|＝6a，

∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，∵＝|PF1|•|PF2|sin∠F1PF2，

∴•4a•2a•sin∠F1PF2＝，即sin∠F1PF2＝，

在△PF1F2中，由余弦定理知，cos∠F1PF2＝＝＝1﹣，∵，

∴（）2+（1﹣）2＝1，化简得，＝2，∴双曲线C的渐近线方程为y＝±x＝±x，即x±y＝0．故选：A．

二、9．AC． 10．解:建立如图所示空间直角坐标系.，

，所以，A选项正确.

,，

,所以直线CD1与BD 所成的角为60°，B选项正确.平面的法向量为，，所以直线AC1与平面AA1D1D所成角的正弦值为，所以D选项错误.根据正方体的性质可知，，由于，所以平面，

所以，所以C选项错误.故选：AB

11．A C．解：对于，解方程组，得唯一解，所以曲线与直线有且只有一个公共点，所以对；对于，当时，满足的动点的轨迹为两条射线，不是双曲线，所以错；

对于，若方程表示焦点在轴上的双曲线，且，所以对；对于，举反例，不妨设圆的方程为，定点，动点，则在圆上，在，，点轨迹是圆，而不是椭圆，所以错．故选：．

 12．解：∵|F1F2|＝＝2c，且b2＝c2﹣a2，∴c2﹣2ac﹣a2＝0，

∵e＝＞1，∴e2﹣2e﹣1＝0，∴e＝+1，即选项A正确；

设内切圆I与△PF1F2的三边分别相切于点M，N，T，如图所示，

由圆的切线长定理知，|PM|＝|PN|，|F1M|＝|F1T|，|F2N|＝|F2T|，

由双曲线的定义知，2a＝|PF1|﹣|PF2|＝|PM|+|F1M|﹣（|PN|+|F2N|）＝|F1T|﹣|F2T|，而|F1T|+|F2T|＝2c，∴|F1T|＝c+a，|F2T|＝c﹣a，∴T（a，0），即点I的横坐标为定值a，故选项B正确；设圆I的半径为r，∵（λ∈R），∴|PF1|•r＝|PF2|•r+λ•|F1F2|•r，即|PF1|＝|PF2|+λ|F1F2|，∴|PF1|﹣|PF2|＝λ|F1F2|，即2a＝λ•2c，∴λ＝＝＝＝，即选项C正确；假设点P在第一象限，设其坐标为（m，n），则﹣＝1，∵PH垂直x轴于点H，∴|PH|2＝n2＝（1﹣）b2，|HA1|＝m+a，|HA2|＝m﹣a，∴|HA1|•|HA2|＝（m+a）（m﹣a）＝m2﹣a2，若|PH|2＝|HA1|•|HA2|，则（1﹣）b2＝m2﹣a2，化简得m2＝a2，此时点P与H重合，不符合题意，即选项D错误．故选：ABC．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．﹣2．   14． 3     15．2．

16．解：抛物线的标准方程为x2＝8y，所以焦点F（0，2），准线方程为y＝﹣2，

因为抛物线的准线与y轴交于点M，所以点M（0，﹣2），

设A（x1，y1），y1＞0，则有，所以，

，

所以＝

＝，当且仅当，即y1＝2时取等号，

所以当y1＝2时，最大，此时A（±4，2），故AB＝4+4＝8．答案为：8．

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（1） ＋＝1. （2）－＝1

  18．（1）证明：取中点，连，，

因为是正三角形，所以.

又是中点，所以.

因为，即.

所以，因为，､平而，

所以平面，平面，所以.

（2），又，

所以，则.

又，所以平面，所以平面平面，

，平面，平面平面，

所以平面.如图以为原点，所在的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，可得，，，，

，，

设平面的法向量为，所以

即，令，可得，，

可取，又，

所以.

即直线与平面所成角的正弦值为.

19.解：（1）联立方程组，解得，即C（3，3）．

设B（s，t），则边AB上的中点坐标为（，），

可得方程组，解得，即点B（2，﹣4）；

（2）设△ABC的外接圆方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），

将三角形的三个顶点坐标代入，得：

．解得．所以三角形外接圆的方程为（x+1）2+y＝25．

所以该圆的圆心坐标是（﹣1，0），半径r＝5．圆心（﹣1，0）到直线l2的方程为x﹣y＝0的距离为：d＝＝．所以弦长等于2＝7．

20．解：（1）动点P（x，y）到x轴的距离为y，到点M的距离为PM＝，

因为动点P（x，y）（y＞0）到定点M（0，1）的距离比到x轴的距离大1，

所以＝y+1，两边平方可得，x2＝4y，故动点P的轨迹C的方程为x2＝4y；

（2）根据题意，显然直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝kx+1，

设A（x1，y1），B（x2，y2），由，消去x可得y2﹣（2+4k2）y+1＝0，

所以，所以AB＝，解得k＝±1，

所以直线l的方程为y＝x+1或y＝﹣x+1．

21．解：（1）以D为坐标原点，分别以棱DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，

则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A1（2，0，2），B1（2，2，2），C1（0，2，2），D1（0，0，2），因为E，F分别为BC，CD的中点，

所以点E（1，2，0），F（0，1，0）所以，

设平面C1EF的法向量为，则有，所以，

令z＝1，则x＝2，y＝﹣2，所以，

又，设平面AB1D1的法向量为，

则有，所以，令c＝1，则a＝1，b＝﹣1，所以，

设平面C1EF和平面AB1D1的夹角为θ，所以＝，

所以平面C1EF与平面AB1D1夹角的余弦值为；

（2）因为，设点M的坐标为（x，y，z），所以（x，y﹣2，z）＝λ（2，﹣2，0），故点M的坐标为（2λ，2﹣2λ，0），

所以，

由（1）可知，平面C1EF的法向量为，因为平面C1EF∥平面MB1D1，所以，所以，解得．

22．解：（1）因为椭圆的离心率为，所以.①

又因为椭圆经过点，所以有.②

联立①②可得，，，所以椭圆的方程为.

（2）由题意可知，直线的斜率存在，设直线的方程为.

由消去整理得，.

因为直线与椭圆交于不同的两点，

所以，即，所以.

设，，则，.

由题意得，的面积

，

即.

因为的面积为，所以，即.

化简得，，即，解得或，均满足，所以或.

所以直线的方程为或.