山东省“山东学情”2021-2022学年高二上学期12月联考试题数学含答案

山东学情2021年12月份高二质量检测

数学试题(A版)

考试时间：120分钟

注意事项：

1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2.请将答案正确填写在答题卡上

第I卷(选择题)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1.抛物线y＝4x2的焦点F到其准线的距离为

A.     B.     C.     D.2

2.在等差数列{an}中，a3＝3，a5＝5，其前n项和为Sn，则S10的值为

A.10     B.55     C.100     D.110

3.在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E为PD的中点，若，，，则用基底{，，}表示向量为

A.＋＋     B.－＋     C.－－－     D.－－＋

4.在等比数列{an}中，若a1，a5是方程x2＋4x＋3＝0的两根，则a3的值是

A.－2     B.－     C.     D.±

5.m＝是两直线x＋2my－1＝0，(3m－1)x－my－1＝0平行的

A.充分不必要条件     B.充要条件     C.必要不充分条件     D.既不充分也不必要条件

6.在下列四个命题中：

①若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；

②向量a＝(2，－1，2)，b＝(－4，2，m)，若a与b的夹角为钝角，则实数m的取值范围为m<5；

③直线的一个方向向量为(1，－)；

④若存在不全为0的实数x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，则a，b，c共面。

其中正确命题的个数是

A.0     B.1     C.2     D.3

7.等差数列{an}满足：a1>0，3a5＝5a8。当数列{an}的前n项和Sn取最大值时，n＝

A.12     B.13     C.14     D.15

8.已知⊙C：x2－10x＋y2＋16＝0，直线l：x－y＋1＝0。P为l上的动点。过点P作⊙C的切线PA、PB，切点为A、B，当最小时，直线AB的方程为

A.x＋y－5＝0     B.x－y－1＝0     C.2x－y－1＝0     D.x－y－2＝0

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.下列说法正确的是

A.直线2x＋y＝2与直线x＋2y＝1垂直。

B.过点(1，2)的直线被圆x2＋y2－6x＝0所截得的弦的长度的最小值为2。

C.直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系不确定。

D.若直线mx＋ny＝1与圆x2＋y2＝1相交，则点P(m，n)在圆外。

10.如图，已知棱长为的1正方体ABCD－A1B1C1D1中，F为线段BC1的中点，E为线段A1C1上的动点，则下列四个结论正确的是

A.存在点E，使EF∥BD

B.点E到直线BD距离的最小值为1

C.当E为A1C1的中点时，EF与AD1所成的角等于60°

D.三棱锥B1－ACE的体积为定值

11.双曲线，(a2＋b2＝c2，a>0，b>0，c>0)的左右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与渐近线和双曲线分别交于M，N(M，N均在第一象限)，连接MF1，交另一支渐近线于E，且E为MF1的中点，O是坐标原点。下列说法正确的是

A.双曲线的离心率e＝2                B.双曲线的渐近线方程为x±y＝0

C.当a＝1时，△NF1F2的面积为3       D.当a＝1时，△NF1F2的周长为4＋2

12.设数列{an}是无穷数列，若存在正整数k，使得对任意n∈N＋，均有an＋k>an，则称{an}是间隔递增数列，k是{an}的间隔数。则下列说法正确的是

A.公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列

B.已知an＝n＋，则{an}是间隔递增数列且最小间隔数是4

C.已知an＝2n＋(－1)n，则{an}是间隔递增数列且最小间隔数是3

D.已知an＝n2－tn＋2021，若{an}是间隔递增数列且最小间隔数是3，则4≤t<5

第II卷(非选择题)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，则数列{an2}的前n项和为          。

14.在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AD1与平面BDC1之间的距离为          。

15.与圆C：x2＋y2－2x＋4y＝0外切于原点，且被y轴截得的弦长为8的圆的标准方程为              。

16.双曲线的离心率是，点F1，F2是该双曲线的两焦点，P在双曲线上，且PF1⊥x轴，则△PF1F2的内切圆和外接圆半径之比＝            。

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.已知空间三点A，B，C，三点的坐标分别是(2，－1，2)，(4，5，－1)，(－2，2，3)。

(1)求与共线的单位向量。

(2)若P(1，，λ)，且A，B，C，P四点共面，求λ，并求此时点P到直线AB的距离。

18.已知{an}是递增等差数列，{bn}是正项等比数列，b1＝2a1＝2，b3＝2a4，b5＝5a6＋2。

(1)求{an}，{bn}的通项公式；

(2)若的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，都有Sn<m恒成立。求实数m的最小值。

19.已知点A、B在直线x＋y＝0上且关于坐标原点O对称，|AB|＝4，圆M过点A、B且与直线x＋2＝0相切。

(1)求圆M的半径。

(2)若圆M的半径小于4，求过点P(1，)且与圆M相切的直线方程。

20.已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线交抛物线于A，B，△OAB的面积为(O为坐标原点)。

(1)求抛物线的标准方程；

(2)过点P(1，0)的直线l交抛物线于M，N，且，求|MN|。

21.在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，侧棱AA1的长为2，且∠A1AB＝∠A1AD＝60°。

(1)证明：平面A1AC⊥平面ABCD

(2)求平面A1AC与平面A1C1D的夹角

(3)在线段CC1上是否存在点P，使BP||平面A1C1D1？若存在求出点P的坐标，不存在说明理由。

22.在平面直角坐标系中，点P为椭圆C：上的一点，F1，F2分别为椭圆左右焦点，若△F1PF2的面积的最大值为，且以原点为圆心，短半轴长为半径的圆与直线3x－4y＋5＝0相切。

(1)求椭圆C的方程；

(2)若过点(1，0)直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点D是椭圆C的右顶点，直线DA，DB分别与y轴交于M，N两点，试问：以线段MN为直径的圆是否过x轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由。

高二数学答案

一．单选题：ABDB    ACAD

二.多选题：9.BD   10.BCD   11.ACD   12.BD

三.填空题：13.；14.； 15.； 16.

四.解答题：

17.解：（1） ＝(2,6，－3)，设与共线的单位向量为u=

………………………………………………1分

解得………………………………………3分

所以与共线的单位向量为……………………4分

(2)＝(2,6，－3)，＝(－4,3,1)，＝(-1,，－2)…………………5分

因为A，B，C，P四点共面，设=x+y…………………………6分

即解得                   ………………………7分

由（1）知，设直线AB的单位方向向量为u=………………………8分

＝(-1,，-1),…………………………………………9分

点P到直线AB的距离…………………………10分

18.解：(1)解　设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，

由题意得……….1分    解得，.………2分

∴an＝n，bn＝2n.       …………………………4分

(2)证明　由(1)知＝，…………………………5分

∴Sn＝＋＋＋…＋＋，

Sn＝＋＋＋…＋＋＋，

两式相减得Sn＝＋＋＋＋…＋－＝－，………8分

Sn＝2－－，…………………………10分

Sn<2.             …………………………11分

m的最小值为2.    …………………………12分

19.解：（1）、B在直线上    设，则

又，解得：2分

过点，圆心必在直线上

设，圆的半径为

与相切    …………4分

又，即6分

，解得：或

当时，；当时，

的半径为：或8分

（2）由（1）知，圆M的方程为：,     ……….9分

因为点在圆上

切线的斜率k=………..10分

切线方程为：12分

20.解：（1）由题意可知，………1分

所以的面积，解得，  ………3分

所以抛物线的标准方程为                  ………4分

（2）易知直线斜率存在，设直线为，   

由消去得      ……………5分

设则         ………6分

由得，                   ………8分

由可解得，                          ………10分

由弦长公式可得……12分

21.(1)证明：设与的交点为，连接，

，，，，

，        ……………………………………1分

又因为是的中点，……………………2分

故  故

又，所以…………3分

而，故平面 …………4分

(2)由（1）知：两两垂直，分别以为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

依题意，，，，…………………5分

设平面的法向量为

即

令 ，得 ，则……………………6分

易知平面的一个法向量为……………7分

.       ……………….8分

即平面与平面的夹角为………………………………9分

(3)设

，…………10分

因为平面，所以      ………11分

所以棱上不存在点满足平面.………………12分

22.解：（1）由△的面积最大值为，且以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切.

∴……………2分

解得，，，    …………3分

则椭圆的方程是.   …………4分

（2）以线段为直径的圆过轴上的定点.证明如下：

设l方程为，代入

得.

，             ………6分

直线：，

令得，即， ……7分

同理得                          …….8分

设以线段为直径的圆过轴上的定点，

有，即，则，………9分

将、代入得，，   ………11分

则定点.                    ………12分