第23、24章-旋转、圆【人教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（四川德阳）

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第23、24章-旋转、圆【人教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（四川德阳）
一．圆周角定理（共1小题）
1．（2021•德阳）在锐角三角形ABC中，∠A＝30°，BC＝2，设BC边上的高为h，则h的取值范围是 　 　．
二．三角形的外接圆与外心（共1小题）
2．（2017•德阳）如图，点D、E分别是⊙O的内接正三角形ABC的AB、AC边上的中点，若⊙O的半径为2，则DE的长等于（　　）

A． B． C．1 D．
三．切线的性质（共2小题）
3．（2016•德阳）如图，AP为☉O的切线，P为切点，若∠A＝20°，C、D为圆周上两点，且∠PDC＝60°，则∠OBC等于（　　）

A．55° B．65° C．70° D．75°
4．（2016•德阳）如图所示，已知∠AOB＝60°，☉O1与∠AOB的两边都相切，沿OO1方向做☉O2与∠AOB的两边相切，且与☉O1外切，再作☉O3与∠AOB的两边相切，且与☉O2外切，…，如此作下去，☉On与∠AOB的两边相切，且与☉On﹣1外切，设☉On的半径为rn，已知r1＝1则r2016＝　 　．

四．切线的判定与性质（共2小题）
5．（2022•德阳）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足是点H，过点C作直线分别与AB，AD的延长线交于点E，F，且∠ECD＝2∠BAD．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）如果AB＝10，CD＝6，
①求AE的长；
②求△AEF的面积．

6．（2021•德阳）如图，已知：AB为⊙O的直径，⊙O交△ABC于点D、E，点F为AC的延长线上一点，且∠CBF＝∠BOE．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若AB＝4，∠CBF＝45°，BE＝2EC，求AD和CF的长．

五．三角形的内切圆与内心（共2小题）
7．（2022•德阳）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，与BC相交于点G，则下列结论：①∠BAD＝∠CAD；②若∠BAC＝60°，则∠BEC＝120°；③若点G为BC的中点，则∠BGD＝90°；④BD＝DE．其中一定正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2016•德阳）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝，点D是BC边上的一点，AD＝BD＝2DC，设△ABD与△ACD的内切圆半径分别为r1，r2，那么＝（　　）

A．2 B． C． D．
六．正多边形和圆（共2小题）
9．（2020•德阳）半径为R的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜b＜a
10．（2018•德阳）已知圆内接正三角形的面积为，则该圆的内接正六边形的边心距是（　　）
A．2 B．1 C． D．
七．圆锥的计算（共3小题）
11．（2022•德阳）一个圆锥的底面直径是8，母线长是9，则圆锥侧面展开图的面积是（　　）
A．16π B．52π C．36π D．72π
12．（2021•德阳）已知圆锥的母线长为3，底面圆半径为1，则圆锥侧面展开图的圆心角为（　　）
A．30° B．60° C．120° D．150°
13．（2016•德阳）已知一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，圆锥的母线长为2，则圆锥的底面半径是（　　）
A． B．1 C． D．
八．旋转的性质（共3小题）
14．（2020•德阳）如图，Rt△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝90°．将Rt△ABC绕点B逆时针方向旋转得到△A'BC'．此时恰好点C在A'C'上，A'B交AC于点E，则△ABE与△ABC的面积之比为（　　）

A． B． C． D．
15．（2018•德阳）如图，将边长为的正方形绕点B逆时针旋转30°，那么图中阴影部分的面积为（　　）

A．3 B． C．3﹣ D．3﹣
16．（2021•德阳）如图，点E是矩形ABCD的边BC上一点，将△ABE绕点A逆时针旋转至△AB1E1的位置，此时E、B1、E1三点恰好共线．点M、N分别是AE和AE1的中点，连接MN、NB1．
（1）求证：四边形MEB1N是平行四边形；
（2）延长EE1交AD于点F，若EB1＝E1F，，判断△AE1F与△CB1E是否全等，并说明理由．

九．中心对称图形（共1小题）
17．（2022•德阳）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．

第23、24章-旋转、圆【人教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（四川德阳）
参考答案与试题解析
一．圆周角定理（共1小题）
1．（2021•德阳）在锐角三角形ABC中，∠A＝30°，BC＝2，设BC边上的高为h，则h的取值范围是 　2＜h≤2+　．
【解答】解：如图，BC为⊙O的弦，OB＝OC＝2，
∵BC＝2，
∴OB＝OC＝BC，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠BOC＝60°，
∴∠BAC＝∠BOC＝30°，
作直径BD、CE，连接BE、CD，则∠DCB＝∠EBC＝90°，
∴当点A在上（不含D、E点）时，△ABC为锐角三角形，
在Rt△BCD中，∵∠D＝∠BAC＝30°，
∴CD＝BC＝2，
当A点为的中点时，A点到BC的距离最大，即h最大，
延长AO交BC于H，如图，
∵A点为的中点，
∴＝，
∴AH⊥BC，
∴BH＝CH＝1，
∴OH＝BH＝，
∴AH＝OA+OH＝2+，
∴h的范围为2＜h≤2+．
故答案为2＜h≤2+．

二．三角形的外接圆与外心（共1小题）
2．（2017•德阳）如图，点D、E分别是⊙O的内接正三角形ABC的AB、AC边上的中点，若⊙O的半径为2，则DE的长等于（　　）

A． B． C．1 D．
【解答】解：连接BO并延长交⊙O于F，连接CF，
则BF为⊙O的直径，
∴∠BCF＝90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∴∠F＝∠A＝60°，
∵⊙O的半径为2，
∴BF＝4，
∴BC＝2，
∵点D、E分别是AB、AC边上的中点，
∴DE＝BC＝，
故选：A．

三．切线的性质（共2小题）
3．（2016•德阳）如图，AP为☉O的切线，P为切点，若∠A＝20°，C、D为圆周上两点，且∠PDC＝60°，则∠OBC等于（　　）

A．55° B．65° C．70° D．75°
【解答】解：
连接OP、OC，
∵AP为⊙O的切线，
∴OP⊥AP，
∴∠APO＝90°，
∴∠AOP＝90°﹣∠A＝90°﹣20°＝70°，
∵∠PDC＝60°，
∴∠POC＝2∠PDC＝120°，
∴∠BOC＝∠POC﹣∠AOP＝120°﹣70°＝50°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝＝65°，
故选：B．

4．（2016•德阳）如图所示，已知∠AOB＝60°，☉O1与∠AOB的两边都相切，沿OO1方向做☉O2与∠AOB的两边相切，且与☉O1外切，再作☉O3与∠AOB的两边相切，且与☉O2外切，…，如此作下去，☉On与∠AOB的两边相切，且与☉On﹣1外切，设☉On的半径为rn，已知r1＝1则r2016＝　32015　．

【解答】解：设⊙O1、⊙O2、⊙O3与边OA的切点为G、M、N，
连接O1G、O2M、O3N，
则O1G⊥OA、O2M⊥OA、O3N⊥OA，
∴O1G∥O2M∥O3N，
∵⊙O1与∠AOB的两边都相切，∠AOB＝60°，
∴∠AOO1＝∠BOO1＝30°，
∵OG＝r1＝1，
∴OO1＝2，
∵O1G∥O2M，
∴△OO1G∽△OO2M，
∴＝，
∴＝，
∴r2＝3，
同理得：＝，
∴r3＝9＝32，
…
∴r2016＝32015，
故答案为：32015．

四．切线的判定与性质（共2小题）
5．（2022•德阳）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足是点H，过点C作直线分别与AB，AD的延长线交于点E，F，且∠ECD＝2∠BAD．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）如果AB＝10，CD＝6，
①求AE的长；
②求△AEF的面积．

【解答】（1）证明：连接OC，如图，

∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，
∴，
∴∠CAB＝∠DAB．
∵∠COB＝2∠CAB，
∴∠COB＝2∠BAD．
∵∠ECD＝2∠BAD，
∴∠ECD＝∠COB．
∵AB⊥CD，
∴∠COB+∠OCH＝90°，
∴∠OCH+∠ECD＝90°，
∴∠OCE＝90°．
∴OC⊥CF．
∵OC是⊙O的半径，
∴CF是⊙O的切线；
（2）解：①∵AB＝10，
∴OA＝OB＝OC＝5，
∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，
∴CH＝DH＝CD＝3．
∴OH＝＝4，
∵OC⊥CF，CH⊥OE，
∴△OCH∽△OEC，
∴，
∴，
∴OE＝．
∴AE＝OA+OE＝5+＝；
②过点F作FG⊥AB，交AB的延长线于点G，如图，

∵∠OCF＝∠FGE＝90°，∠CEO＝∠GEF，
∴△OCE∽△FGE．
∴，
设FG＝4k，则FE＝5k，
∴EG＝＝3k，
∵DH⊥AB，FG⊥AB，
∴DH∥FG．
∴，
∴，
解得：k＝．
∴FG＝4k＝5．
∴△AEF的面积＝×AE•FG＝．
6．（2021•德阳）如图，已知：AB为⊙O的直径，⊙O交△ABC于点D、E，点F为AC的延长线上一点，且∠CBF＝∠BOE．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若AB＝4，∠CBF＝45°，BE＝2EC，求AD和CF的长．

【解答】（1）证明：连结AE，OE，

∵∠BAE＝∠BOE，∠CBF＝∠BOE，
∴∠BAE＝∠CBF，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BAE+∠ABE＝90°，
∴∠ABE+∠CBF＝90°，
即∠ABF＝90°，
∴BF⊥AB，
∴BF是⊙O的切线；
（2）解：过点C作CG⊥BF于点G，连结BD，

∵∠CBF＝45°，
∴∠ABE＝90°﹣∠CBF＝45°，
在Rt△ABE中，AB＝4，
∴AE＝BE＝4×sin45°＝4，
∵BE＝2EC，
∴EC＝2，BC＝6，
在Rt△CBG中，∠CBG＝45°，BC＝6，
∴CG＝BG＝3，
∵CG⊥BF，BF⊥AB，
∴AB∥CG，
∴△FCG∽△FAB，
∴＝，
∴＝，
∴FG＝9，
∴BF＝12，
在Rt△FCG中，CF＝＝6，
在Rt△ABF中，AF＝＝8，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
又∵∠BAD＝∠BAF，
∴cos∠BAD＝cos∠BAF，
即＝，
∴＝，
∴AD＝．
五．三角形的内切圆与内心（共2小题）
7．（2022•德阳）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，与BC相交于点G，则下列结论：①∠BAD＝∠CAD；②若∠BAC＝60°，则∠BEC＝120°；③若点G为BC的中点，则∠BGD＝90°；④BD＝DE．其中一定正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵E是△ABC的内心，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，故①正确；
如图，连接BE，CE，

∵E是△ABC的内心，
∴∠EBC＝∠ABC，∠ECB＝ACB，
∵∠BAC＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∴∠BEC＝180°﹣∠EBC﹣∠ECB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝120°，故②正确；

∵∠BAD＝∠CAD，
∴＝，
∴OD⊥BC，
∵点G为BC的中点，
∴G一定在OD上，
∴∠BGD＝90°，故③正确；
如图，连接BE，
∴BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠DBC＝∠DAC＝∠BAD，
∴∠DBC+∠EBC＝∠EBA+∠EAB，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴DB＝DE，故④正确．
∴一定正确的①②③④，共4个．
故选：D．
8．（2016•德阳）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝，点D是BC边上的一点，AD＝BD＝2DC，设△ABD与△ACD的内切圆半径分别为r1，r2，那么＝（　　）

A．2 B． C． D．
【解答】解：如图，设⊙O与△ABD内切于E、F、G．

∵DA＝DB，DG＝DF，
∴BF＝AG＝BE＝AE，
∵AB＝3，
∴AE＝BE＝BF＝AG＝，设DF＝DG＝m，
∵AD＝2DC，
∴CD＝（+m），
∵S△ABD：S△ADC＝BD：DC＝2：1，
∴：[+]•r2＝2：1，
∴（6+2m）•r1：（6+2m）•r2＝2：1，
∴r1：r2＝3：2．
故选：C．
六．正多边形和圆（共2小题）
9．（2020•德阳）半径为R的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜b＜a
【解答】解：设圆的半径为R，
则正三角形的边心距为a＝R×cos60°＝R．
四边形的边心距为b＝R×cos45°＝R，
正六边形的边心距为c＝R×cos30°＝R．
∵RRR，
∴a＜b＜c，
故选：A．
10．（2018•德阳）已知圆内接正三角形的面积为，则该圆的内接正六边形的边心距是（　　）
A．2 B．1 C． D．
【解答】解：如图（1），
O为△ABC的中心，
AD为△ABC的边BC上的高，
则OD为边心距，
∴∠BAD＝30°，
又∵AO＝BO，
∴∠ABO＝∠BAD＝30°，
∴∠OBD＝60°﹣30°＝30°，
在Rt△OBD中，
BO＝2DO，
即AO＝2DO，
∴OD：OA：AD＝1：2：3．
在正△ABC中，AD是高，设BD＝x，则AD＝BD•tan60°＝BD＝x．
∵正三角形ABC面积为cm2，
∴BC•AD＝，
∴×2x•x＝，
∴x＝1．
即BD＝1，则AD＝，
∵OD：OA：AD＝1：2：3，
∴AO＝cm．
即这个圆的半径为cm．
所以该圆的内接正六边形的边心距×sin60°＝，
故选：B．

七．圆锥的计算（共3小题）
11．（2022•德阳）一个圆锥的底面直径是8，母线长是9，则圆锥侧面展开图的面积是（　　）
A．16π B．52π C．36π D．72π
【解答】解：如图，AB＝8，SA＝SB＝9，
所以侧面展开图扇形的弧BC的长为8π，
由扇形面积的计算公式得，
圆锥侧面展开图的面积为×8π×9＝36π，
故选：C．

12．（2021•德阳）已知圆锥的母线长为3，底面圆半径为1，则圆锥侧面展开图的圆心角为（　　）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【解答】解：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×1＝2π，
设圆心角的度数是n度，
则＝2π，
解得：n＝120．
故选：C．
13．（2016•德阳）已知一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，圆锥的母线长为2，则圆锥的底面半径是（　　）
A． B．1 C． D．
【解答】解：设圆锥的底面半径为r，根据题意得：
2π×r×2÷2＝2×πr2，
解得：r＝1．
故选：B．
八．旋转的性质（共3小题）
14．（2020•德阳）如图，Rt△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝90°．将Rt△ABC绕点B逆时针方向旋转得到△A'BC'．此时恰好点C在A'C'上，A'B交AC于点E，则△ABE与△ABC的面积之比为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：∵∠A＝30°，∠ABC＝90°，
∴∠ACB＝60°，
∵将Rt△ABC绕点B逆时针方向旋转得到△A'BC'，
∴BC＝BC'，∠ACB＝∠A'C'B＝60°，
∴△BCC'是等边三角形，
∴∠CBC'＝60°，
∴∠ABA'＝60°，
∴∠BEA＝90°，
设CE＝a，则BE＝a，AE＝3a，
∴，
∴，
∴△ABE与△ABC的面积之比为．
故选：D．
15．（2018•德阳）如图，将边长为的正方形绕点B逆时针旋转30°，那么图中阴影部分的面积为（　　）

A．3 B． C．3﹣ D．3﹣
【解答】解：连接BM，
在Rt△ABM和Rt△C′BM中，
，
∴Rt△ABM≌Rt△C′BM，
∠2＝∠3＝＝30°，
在△ABM中，
AM＝×tan30°＝1，
S△ABM＝＝，
正方形的面积为：＝3，
阴影部分的面积为：3﹣2×＝3﹣，
故选：C．
16．（2021•德阳）如图，点E是矩形ABCD的边BC上一点，将△ABE绕点A逆时针旋转至△AB1E1的位置，此时E、B1、E1三点恰好共线．点M、N分别是AE和AE1的中点，连接MN、NB1．
（1）求证：四边形MEB1N是平行四边形；
（2）延长EE1交AD于点F，若EB1＝E1F，，判断△AE1F与△CB1E是否全等，并说明理由．

【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∵△AB1E1是△ABE旋转所得的，
∴AE＝AE1，∠AB1E1＝∠AB1E＝∠B＝90°，
∴B1是EE1的中点，
∴EB1＝EE1，
∵M、N分别是AE和AE1的中点，
∴MN∥EB1，MN＝EE1，
∴EB1＝MN，
∴四边形MEB1N为平行四边形，
（2）△AE1F≌△CB1E，
证明：连接FC，

∵EB1＝B1E1＝E1F，
∴＝，
同理，S＝S△FEC，
∵＝，
∴S△EAF＝S△FEC，
∵AF∥EC，
∴△AEF底边AF上的高和△FEC底边上的高相等．
∴AF＝EC．
∵AF∥EC，
∴∠AFE＝∠FEC，
在△AE1F和△CB1E中，
，
∴△AE1F≌△CB1E（SAS）．
九．中心对称图形（共1小题）
17．（2022•德阳）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．